Статистическая наука

Размещено на http://www.allbest.ru/

51

Введение. Предмет и метод статистической науки

Термин "статистика" произошел от латинских слов stato (государство) status (положение вещей, политическое состояние).

Статистика - это наука, изучающая количественную сторону массовых явлений и процессов в неразрывной связи с их качественной стороной, количественное выражение закономерностей общественного развития в конкретных условиях места и времени.

Статистика - это отрасль практической деятельности по сбору, накоплению, обработке и анализ цифровых данных, характеризующих население, экономику, культуру, образование и другие явления общественной жизни и предназначенную для задач государственного регулирования и управления.

Статистика - это собственно данные (цифровой материал), который обрабатывается определенными методами.

Предмет и метод статистической науки

Объектом исследования статистики как науки являются:

* общество;

* массовые социально-экономические явления;

* влияние природных и технических факторов на изменение количественных характеристик социально-экономических явлений;

* влияние жизнедеятельности общества на среду обитания.

Предметом статистики выступают количественные характеристики и соотношения качественно определенных социально-экономических явлений, закономерности их связей и развития в конкретных условиях места и времени.

Понятие о статистической информации

Информация - (лат.) "осведомление, доведение сведений о чем-либо".

Статистическая информация (статистические данные) - первичный материал о социально-экономических явлениях, формирующийся в процессе статистических наблюдений, который затем подвергается систематизации, сводке, анализу и обобщению.

В природе, технике, обществе, экономике нет явлений, в которых не присутствовали бы элементы случайности. Случайность (неопределенность) - когда исход не ясен в принципе - порождается одновременным влиянием множества изменяющихся факторов на изучаемый процесс.

Статистическое наблюдение

Статистическое наблюдение - это такое наблюдение, которое обеспечивает получение объективной, сопоставимой, достоверной и полной информации о событии и обладает, как и вероятность, следующими свойствами:

рассматривают события (данные) только тех испытаний (явлений), которые могут быть воспроизведены в сопоставимых условиях достаточно много раз;

вероятность появления войн или гениальных произведений не определяется как статистическая закономерность;

события (данные) должны обладать статистической устойчивостью, т.е. изменяться в пределах закономерностей больших чисел;

число данных должно быть достаточно большим (массовым), чтобы вероятность Р(А) приближенно равнялась частоте (А).

Не всякий сбор данных является статистическим наблюдением. Статистическим можно назвать такое наблюдение, которое обеспечивает регистрацию устанавливаемых фактов.

Объект статистического наблюдения - явление или процесс, обладающий свойствами однородности, воспроизводимости и устойчивости.

Сводка и группировка статистических данных

Получаемая в ходе статистического наблюдения информация характеризует единицы статистической совокупности с различных сторон и не позволяет сделать обобщающие выводы об объекте в целом (т.е. о всей статистической совокупности).

Статистическая совокупность - это множество единиц явления, объединенных в соответствии с задачей исследования единой качественной основой (однородностью), но отличающиеся друг от друга признаками.

Единицей статистической совокупности является элементы данного множества, которые характеризуются общими свойствами, т.е. признаками.

Признаки бывают:

атрибутивными, т.е. качественными;

количественными (дискретными и непрерывными).

Вариация признаков обуславливается случайным характером реальных явлений и процессов и зависит от изменения факторов, влияющих на объект статистического исследования.

Статистическое наблюдение - это первый этап анализа.

Статистическая сводка - это специальным образом организованная первичная обработка данных статистического наблюдения, включающая систематизацию, группировку данных, подсчет групповых, итоговых и относительных (средних показателей ). (Это второй этап обработки данных).

Программа статистической сводки устанавливает следующие этапы:

выбор группировочных признаков;

определение порядка формирования групп;

разработка системы статистических показателей для характеристик групп и объекта в целом;

разработка макетов статистических таблиц или графиков.

В сводке отдельные единицы статистической совокупности объединяются в группы при помощи метода группировок.

С помощью метода группировок решаются задачи:

выделение социально-экономических типов явлений;

изучение структуры явления и структурных сдвигов, происходящих в нем;

выявление связи и зависимости между явлениями.

Группировка - это процесс образования однородных групп на основе расчленения статистической совокупности на части или объединения изучаемых единиц в частные совокупности по существенным признакам.

Различают следующие виды группировок:

типологическая группировка, т.е. разделение качественно разнородной совокупности на классы или однородные группы;

структурная группировка, в которой происходит разделение однородной совокупности на группы, характеризующие ее структуру по какому-либо варьируемому признаку;

аналитическая группировка, выявляющая взаимосвязи между изучаемыми явлениями и их признаками (факторными и результативными);

комбинированная группировка, образованная по двум или более признакам.

Принципы построения статистических группировок

1. Выбор группировочного признака - признака, по которому производится разбиение совокупности на отдельные группы. В качестве признака необходимо использовать существенные обоснованные признаки. Группировочный признак - это основание (свойство объекта) для разделения объектов на группы.

Признаки различаются:

по форме выражения (атрибутивные и количественные);

по характеру колебания (альтернативные "да", "нет"; множественные);

по роли во взаимосвязи явлений (результативные - могут меняться в зависимости от ситуации и целей анализа; факторные - воздействующие на другие признаки).

2. Определение количества групп. Если в основание группировки положен атрибутивный признак, то количество групп будет столько, сколько существует градаций (уровней) данного признака. Если основание группировки - количественный признак, то при определении количества групп в каждом конкретном случае следует исходить не только из степени колеблемости признака, но и из особенностей объекта и цели исследования.

Если совокупность состоит из большого числа единиц и распределение единиц по группировочному признаку близко к нормальному, для определения количества групп (m) используют формулу Стерджесса:

m = 1+3,322·lg N, (2.1)

где N - численность единиц совокупности.

3. Определение интервала группировки. Интервал - это значение варьирующего признака, лежащее в определенных границах.

Если вариация признака происходит в сравнительно узких границах и распределение носит равномерный характер, то строят группировку с равными интервалами:

, (2.2)

где h - величина интервала;

xmax, xmin - максимальное и минимальное значения группировочного признака в совокупности;

m - число групп.

Величина интервала округляется до ближайшего целого числа, или же кратного 10, 50, 100.

Возможны и другие варианты определения интервала группировки.

Интервалы могут быть двух видов:

закрытыми, когда у интервала указаны обе границы;

открытыми, когда у первого интервала указана верхняя граница, а у последнего - нижняя (например, в таблице 2.3, 1-я группа населения по размеру среднедушевого дохода - до 1000 руб.; последняя - 10000 и более).

Возможно построение вторичных группировок. Основные задачи, вторичной группировки:

приведение данных к сопоставимым результатам;

укрупнение интервалов;

долевая перегруппировка (образование новых групп с меньшими интервалами).

Вариационные ряды

При изучении совокупности интересующий нас признак у различных единиц совокупности принимает различные значения, т.е. он имеет некоторую вариацию.

Вариацией признака называется наличие различий в численных значениях признаков у отдельных единиц совокупности.

Чтобы выявить характер распределения единиц совокупности по варьирующим признакам, определить закономерности в этом распределении, строят ряды распределения единиц совокупностей по какому-либо варьирующему признаку.

Ряды распределения, построенные по количественному признаку называются вариационными.

При анализе вариационных рядов решают следующие задачи:

1) Определение меры вариации, т.е. количественное измерение степени колеблемости признака. Это позволяет сравнивать различные совокупности между собой по степени рассеяния и отслеживать уровень вариации признака одной и той же совокупности в различные периоды.

2) Исследование закономерностей вариации в статистических совокупностях для изучения причин, вызывающих вариацию.

Для описания статистических распределений обычно используются следующие виды характеристик (показателей):

1) средние величины;

2) характеристики вариации (рассеяния);

3) характеристики дифференциации и концентрации;

4) характеристики формы распределения.

Графическое отображение вариационных рядов

Вариационный ряд по своей конструкции имеет 2 характеристики:

значения варьирующего признака - варианты xi, i = 1,2,…,m;

число случаев вариантов: абсолютные - частоты ni (fi), относительные - частости wi (относительные доли частот в общей сумме частот).

Тогда можно сказать, что вариационный ряд - это ранжированный (упорядоченный) в порядке возрастания или убывания ряд статистических частот (частостей).

Вариационные ряды по способу построения бывают дискретные и интервальные.

Дискретный вариационный ряд можно рассматривать как такое преобразование ранжированного ряда, при котором перечисляются отдельные значения признака и указывается их частота.

Если число вариантов велико или признак имеет непрерывную вариацию, то строится интервальный вариационный ряд, в котором отдельные варианты объединяются в интервалы (группы). Принципы построения групп рассмотрены в разделе

Обобщающие статистические показатели

Экономико-статистические показатели содержат количественную характеристику тех или иных свойств экономических явлений и представляют собой модель. С помощью показателей определяются результаты экономической деятельности и состояние общества. Система статистических показателей основана на содержательном единстве характеристик объекта исследования. Развитие систем статистических показателей происходит в соответствии с развитием отражаемой объективной реальности и в результате углубления процессов познания реальных систем.

Под статистическим показателем понимается количественная характеристика изучаемого объекта или его свойства. На этапе статистической сводки от индивидуальных значений признаков совокупности путем суммирования переходят к показателям совокупности, которые называются обобщающими.

Например, система статистических показателей продукции промышленного предприятия включает следующие показатели:

товарная продукция;

отгруженная продукция;

реализованная продукция;

чистая продукция;

добавленная стоимость и др.

Раньше учитывали товарную продукцию, а в новых условиях - чистую и добавленную стоимость.

Система экономико-статистических показателей в управлении предприятиями призвана выполнять четыре функции:

директивную (плановые показатели, нормативы, разряды, ставка);

учетную (фактические результаты деятельности);

стимулирующую (зарплата, средняя численность, развитие производства);

познавательную (сведения о налогах, трудоустройстройстве, среднем возрасте и т.д.).

В зависимости от методов расчета обобщающие статистические показатели могут быть:

абсолютными;

относительными;

средними величинами.

Абсолютные и относительные статистические показатели

Абсолютными в статистике называются суммарные обобщающие показатели, характеризующие размеры, объемы, уровни, мощности, темпы и др. изменения величин. Абсолютные показатели являются именованными числами, т.е. измеримы. Существуют: натуральные, стоимостные и условно-натуральные (условное топливо, эталонные лошадиные силы) измерители. Они служат для описания фактического состояния объекта, установления плановых и прогнозных значений. Абсолютные показатели могут быть сравнимы в разные периоды времени (прошлый, настоящий, будущий).

Абсолютные показатели позволяют точно характеризовать объект в данный момент времени, но должны уточняться в динамике (сопоставимые цены, инвестиции с учетом инфляции и т.д.).

Относительные статистические величины - это показатели в виде коэффициентов, характеризующих долю отдельных частей, изучаемой совокупности во всем ее объеме.

Относительные показатели при исследовании экономических явлений и процессов изучаются совместно с абсолютными показателями и обеспечивают сопоставимость сравниваемой и базовой величин.

Относительный показатель динамики (ОПД) представляет собой отношение уровня исследуемого процесса или явления за данный период времени (по состоянию на данный момент времени) к уровню этого же процесса или явления в прошлом:

ОПД или ОПД . (4.1)

Относительный показатель структуры (ОПС) представляет собой отношение структурных частей изучаемого объекта и их целого:

ОПС. (4.2)

Выражается относительный показатель структуры в долях единицы или в процентах. Рассчитанные величины, соответственно называемые долями или удельными весами, показывают, какай долей обладает или какой удельный вес имеет та или иная часть в общем итоге.

Относительный показатель координации (ОПК) представляет собой отношение одной части совокупности к другой части этой же совокупности:

ОПК . (4.3)

При этом в качестве базы сравнения выбирается та часть, которая имеет наибольший удельный вес или является приоритетной с экономической, социальной или какой-либо другой точки зрения. В результате получают величину, отражающую во сколько раз данная часть больше базисной или сколько процентов от нее составляет, или сколько единиц данной структурной части приходится на 1 единицу (иногда - на 100, 1000 и т.д. единиц) базисной структурной части.

Относительный показатель сравнения (ОПСр) представляет собой отношение одноименных абсолютных показателей, характеризующих разные объекты (предприятия, фирмы, районы, области, страны и т.п.):

ОПСр . (4.4)

Относительный показатель интенсивности (ОПИ) характеризует степень распространения изучаемого процесса или явления и представляет собой отношение исследуемого показателя к размеру присущей ему среды:

ОПИ , (4.5)

где xA - показатель, характеризующий явление А;

YA - показатель, характеризующий среду распространения явления А.

Данный показатель получают сопоставлением уровней двух взаимосвязанных в своем развитии явлений. Поэтому, наиболее часто он представляет собой именованную величину, но может быть выражен и в процентах и т.п.

Обычно ОПИ рассчитывается в тех случаях, когда абсолютная величина оказывается недостаточной для формулировки обоснованных выводов о масштабах явления, его размерах, насыщенности, плотности распространения. Так, например, для определения уровня обеспеченности населения легковыми автомобилями рассчитывается число автомашин, приходящихся на 100 семей, для определения плотности населения рассчитывается число людей, приходящихся на 1 км2.

Например, если число граждан, состоящих на учете в службе занятости, составляет 3064 тыс. человек, а число заявленных предприятиями вакансий - 309 тыс., то на каждых 100 незанятых приходилось 10 свободных мест ().

Разновидностью относительных показателей интенсивности являются относительные показатели уровня экономического развития, характеризующие производство продукции в расчете на душу населения и играющие важную роль в оценке развития экономики государства. Так как объемные показатели производства продукции по своей природе являются интервальными, а показатель численности населения - моментным, в расчетах используют среднюю за период численность населения.

Относительные показатели плана и реализации плана используются для целей планирования и сравнения реально достигнутых результатов с ранее намеченными.

ОПП , (4.6)

где ОПП - относительный показатель плана;

- уровень, планируемый на i+1 период;

xi - уровень, достигнутый в i-м периоде.

ОПРП , (4.7)

где ОПРП - относительный показатель реализации плана;

xi - уровень, достигнутый в (i+1)-м периоде.

ОПП характеризует напряженность плана, т.е. во сколько раз намечаемый объем производства превысит достигнутый уровень или сколько процентов от этого уровня составит. ОПРП отражает фактический объем производства в процентах или коэффициентах по сравнению с плановым уровнем.

Относительные величины выполнения плана и динамики связаны между собой следующими соотношениями:

ОПД = ОПП · ОПРП . (4.8)

ОПП = 100% = 140,0%;

ОПРП = 100% = 92,9%.

ОПД = 1,4·0,929 = =1,3 или 130%.

1. Средние величины

Средняя величина является обобщающей характеристикой совокупности однотипных явлений по изучаемому признаку. Средняя величина должна вычисляться с учетом экономического содержания определяемого показателя.

Все виды средних делятся на:

степенные (аналитические, порядковые) средние (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая);

структурные (позиционные) средние (мода и медиана) - применяются для изучения структуры рядов распределения.

1.1 Средние степенные величины

Средняя степенная (при различной величине k) определяется:

(1.1).

Таблица 1.1 - Виды средних степенных величин

k	Наименование средней	Формула средней	Когда используется
1	Средняя арифметическая простая (невзвешенная)	(1.2) где xi - i-й вариант осредняемого признака (); n - число вариант	Используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным
1	Средняя арифметическая взвешенная	(1.3), где fi - частота повторяемости i-го варианта	Используется, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок
-1	Средняя гармоническая взвешенная	(1.4), где .	Используется, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов
-1	Средняя гармоническая невзвешенная	(1.5)	Используется в случае, когда веса равны
0	Средняя геометрическая невзвешенная	(1.6)	Используется в анализе динамики для определения среднего темпа роста
0	Средняя геометрическая взвешенная	(1.7)
2	Средняя квадратическая невзвешенная	(1.8)	Используется при расчете показателей вариации
2	Средняя квадратическая взвешенная	(1.9)

В статистическом анализе также применяются степенные средние 3-го и более высоких порядков.

Правило мажорантности средних: с ростом показателя степени значения средних возрастают.

(1.10)

Средняя прогрессивная - средняя для "лучших" значений признака.

Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая постоянной величины равна самой величине.

Если все варианты xi увеличить (уменьшить) на одно и тоже число c, увеличится (уменьшится) на то же число.

. (1.11)

Если все варианты xi увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз k, увеличится (уменьшится) в то же число раз.

. (1.12)

Средняя арифметическая отклонений вариантов от средней арифметической равна 0.

. (1.13)

По свойству 2 при : .

Средняя арифметическая алгебраической суммы признаков равна такой же сумме средней арифметической этих признаков.

. (1.14)

Если ряд состоит из нескольких групп, общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются объемы группы.

, (1.15)

где - средняя арифметическая группы i;

N - общий объем ряда ();

ni - объем группы i ().

. (1.16)

1.2 Средние структурные величины

В условиях недостаточности средних используют структурные средние величины - моду и медиану.

Медиана (Ме) - это вариант, который находится а середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу наблюдений) части. В ранжированных рядах не сгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера и значения варианта у этого номера.

Медиана в интервальных вариационных рядах рассчитывается по формуле:

, (1.17)

где х0 - нижняя граница медианного интервала (накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

- величина медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- частота медианного интервала.

Также в интервальных вариационных рядах медиана может быть найдена с помощью кумуляты как значение признака, для которого или . (1.18). Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины: .

Модой (Мо) вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Для вычисления моды в интервальном ряду сначала находится модальный интервал, имеющий наибольшую частоту (или наибольшую плотность распределения - отношение частоты интервала к его величине ni/hi - в интервальном ряду с неравными интервалами), а значение моды определяется линейной интерполяцией:

, (1.19)

где хо - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

, , - частота ni (в интервальном ряду с равными интервалами) или плотность распределения ni/hi (в интервальном ряду с неравными интервалами) модального, до и послемодального интервала.

Мода так же, как и медиана обладает определенной устойчивостью к вариации признака. Если в совокупности первичных признаков нет повторяющихся значений, то для определения моды проводят группировку.

Графически отобразить моду по гистограмме можно следующим образом: нужно взять столбец, имеющий наибольшую высоту, и из его левого верхнего угла провести отрезок в угол последующего столбца, а из правого угла - в верхний правый угол предыдущего столбца, абсцисса точки пересечения отрезков и будет соответствовать модальному значению признака в изучаемой совокупности. Медиану приближенно можно определить графически - по кумуляте. Для этого высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и есть медиана (рисунок 1.1)

Рис. 1.1 Графическое отображение интервального вариационного ряда

В симметричных рядах имеет место следующее соотношение моды, медианы и средней арифметической (1.20).

В случае, если (1.21), имеет место левосторонняя асимметрия ряда.

В случае, если (1.22), имеет место правосторонняя асимметрия ряда.

Мода и медиана, в отличие от степенных средних, являются конкретными характеристиками ряда. Медиана - характеризует центр, вычисляется проще и не чувствительна к концам интервала. Мода - наиболее вероятное значение в изучаемой совокупности (например, наиболее возможные результаты).

2. Анализ вариационных рядов

2.1 Показатели вариации

Вариацией называется изменяемость, колеблемость величины признака. Вариация проявляется в отклонениях от средних и зависит от множества факторов, влияющих на социально-экономическое явление. Вариация бывает случайной и систематической, существует в пространстве и во времени. Показатели вариации делятся на абсолютные и относительные (таблица 2.1).

Таблица 2.1 - Показатели вариации

	Показатель	Формула расчета показателя
		простой	взвешенный
Абсолютные	Размах	(2.1)
	Среднее линейное отклонение	(2.2)	* (2.3)
	Дисперсия	у2 (2.4)	(2.5)
	Среднее квадратическое отклонение	(2.6)	(2.7)
относительные	Коэффициент вариации	(2.8)
	Линейный коэффициент вариации	(2.9)
	Коэффициент осцилляции	(2.10)

* - Здесь fi - частота ().

Относительные показатели (коэффициент вариации, линейный коэффициент вариации, коэффициент осцилляции) строятся с учетом базы (в виде средней), выражаются в процентах и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации

. (2.11)

Для расчета дисперсии можно использовать модифицированную формулу:

. (2.12)

Выведем эту формулу из формулы (2.5)

Для расчета дисперсии можно использовать способ отсчета от условного нуля, который позволяет упростить вычисления при больших значениях признака. Тогда дисперсия вычисляется по формуле:

, (2.13)

где h - величина интервала; А - условный нуль, в качестве которого можно использовать как середину серединного интервала, так и середину интервала с наибольшей частотой.

2.1.1 Свойства дисперсии

Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Если у всех значений вариантов отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений (дисперсия) от этого не изменится

. (2.14)

Это значит, что дисперсию можно вычислить не по заданным значениям признака, а по их отклонениям от какого-то постоянного числа, например условного нуля (см. формулу 2.13).

Если все значения вариантов разделить на какое-то постоянное число А, то дисперсия уменьшится в А2 раз:

. (2.15)

Если распределение признака близко к нормальному или симметричному, то по правилу мажорантности (т.к. среднее квадратическое отклонение - средняя геометрическая величина, а среднее линейное отклонение - средняя арифметическая) среднее квадратическое отклонение больше среднего линейного отклонения (), причем

, . (2.16)

Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратичное отклонение - это именованные величины. Единицей измерения у них и у исходных значений признака совпадают. Дисперсия может быть задана в ед.2 признака или в % отклонений.

2.1.2 Вариация альтернативного признака

Альтернативные признаки - два противоположных, взаимоисключающих друг друга качественных признака, которыми одни единицы совокупности обладают (значение варианта 1), а другие не обладают (значение варианта 0) (например, пол - мужской и женский, население - городское и сельское, продукция - годная и бракованная).

Частостью (p) является доля единиц, обладающих данным признаком, в общей численности совокупности и (q = 1 - p) - доля единиц, не обладающих данным признаком, в общей численности совокупности.

xi	fi
1	p
0	q = 1 - p

Средняя арифметическая альтернативного признака

. (2.18)

Дисперсия альтернативного признака

, (2.19)

т.е. дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, и доли единиц, не обладающих этим признаком.

Исходя из того, что p + q = 1:

; . (2.20)

2.2 Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий

дисперсия выборочный корреляционный экономический

Если исходная совокупность является такой, что по значениям признака она делится на l групп, то общая дисперсия складывается из частных дисперсий. В таблице 2.2 представлен анализ такой совокупности.

Таблица 2.2 - Определение исходной совокупности по группам

Значение признака х	Число единиц в j-й группе	Итого
	1	…	j	…	l
х1	f11	…	f1j	…	f1l
…	…	…	…	…	…	…
хi	fi1	…	fij	…	fil
…	…	…	…	…	…	…
хk	fk1	…	fkj	…	fkl
Итого		…		…

Здесь j - номер группы ();

хi - i-е значение признака ();

fij - частота i-го значения признака, число единиц в j-й группе;

mi - сумма частот i-го значения признака в каждой группе;

nj - сумма частот всех значений признака в j-й группе;

N - сумма частот всех значений признака во всех группах (объем совокупности).

Сначала вычисляем l частных средних (), т.е. среднее значение признака в каждой группе:

. (2.22)

На основе частных средних определяем общую среднюю () по формулам

или . (2.23)

Общая дисперсия совокупности

. (2.24)

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех факторов, действующих в данной совокупности.

Вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки, отражает межгрупповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений групповой средней от общей средней:

. (2.25)

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, т.е. вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки.

Вариацию внутри каждой группы изучаемой совокупности отражает внутригрупповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений значений признака х от частной средней :

или . (2.26)

Для всей совокупности внутригрупповую вариацию будет выражать средняя из внутригрупповых дисперсий, которая рассчитывается как средняя арифметическая из внутригрупповых дисперсий:

. (2.27)

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основу группировки.

Между представленными видами дисперсий существует определенное соотношение, которое известно как правило сложения дисперсий:

. (2.28)

Таким образом, общая дисперсия складывается из двух слагаемых: первое - средняя из внутригрупповых дисперсий - измеряет вариацию внутри частей совокупности, второе - межгрупповая дисперсия - вариацию между средними этих частей.

Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результатов от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой и общей дисперсий. Это соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации (з2) и показывает долю вариации результативного признака под влиянием факторного.

. (2.29)

Эмпирическое корреляционное отношение (з) показывает тесноту связи между исследуемым явлением и группировочным признаком.

. (2.30)

з2 и з [0, 1]. (2.31)

Если связь отсутствует, то = 0. В этом случае межгрупповая дисперсия равна нулю (д2=0), т.е. все групповые средние равны между собой и межгрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак не влияет на вариацию исследуемого признака х.

Если связь функциональная, то = 1. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии (). Это означает, что группировочный признак полностью определяет характер изменения изучаемого признака.

Чем больше значение корреляционного отношения приближается к единице, тем полнее (сильнее) корреляционная связь между признаками (таблица 2.3).

Таблица 2.3 - Качественная оценка связи между признаками (шкала Чэддока)

Значение	Характер связи		Значение	Характер связи
з = 0	Отсутствует		0,5 ? з < 0,7	Заметная
0 < з < 0,2	Очень слабая		0,7 ? з < 0,9	Сильная
0,2 ? з < 0,3	Слабая		0,9 ? з < 1	Весьма сильная
0,3 ? з < 0,5	Умеренная		з = 1	Функциональная

3. Моменты распределения. Показатели формы распределения

3.1 Моменты распределения

Для подробного описания особенностей распределения используют дополнительные характеристики - моменты распределения.

Момент распределения k-го порядка - средняя величина отклонений k-й степени от некоторой постоянной величины А:

. (3.1)

Практически используют моменты первых четырех порядков. Если А = , то моменты центральные; А = 0, то моменты начальные; А - произвольное число, то моменты условные.

Начальные моменты	Центральные моменты	Нормированные моменты
(3.2) m0 = 1; m1 - средняя арифметическая ()	(3.3) = 1; = 0 - средний квадрат отклонений, дисперсия (2)	(3.4) м0=1; м1=0; м2=1; - показатель асимметрии

3.2 Показатели формы распределения

Нормированный момент третьего порядка является показателем асимметрии распределения :

. (3.5)

Степень существенности асимметрии характеризуется средней квадратической ошибкой, которая зависит от объема наблюдения:

, (3.6)

Если , то асимметрия существенна.

При симметричном распределении варианты, равноудаленные от , имеют одинаковую частоту, поэтому = 0, а следовательно, и м3=0.

Если м3 < 0, то в вариационном ряду преобладают (имеют большую частоту) варианты, которые меньше , т.е. ряд отрицательно ассиметричен (или с левосторонней скошенностью - более длинная ветвь влево). Положительная асимметрия (правосторонняя скошенность - более длинная ветвь вправо) характеризуется значением м3 > 0 (рис. 2.1). В качестве показателя асимметрии применяется и коэффициент асимметрии Пирсона (As):

. (3.7)

Если As= 0, (т.е. ), то распределение симметричное (нормальное).

Если As < 0, то имеет место левосторонняя асимметрия.

Если As > 0,то имеет место правосторонняя асимметрия.

Если |As| > 0,25, то асимметрия значительна; если |As| < 0,25 - незначительна.

Нормированный момент четвертого порядка характеризует крутизну (заостренность) графика распределения:

. (3.8)

Для нормального распределения м4 = 3, поэтому для оценки крутизны исследуемого распределения в сравнении с нормальным из м4 вычитается 3 и таким образом рассчитывается показатель эксцесса:

. (3.9)

Если Ex = 0, то распределение симметрично;

Ex > 0, то распределение островершинное;

Ex < 0, то распределение плосковершинное (рис. 3.2).

3.3 Теоретические кривые распределения

Анализ вариационных рядов предполагает выявление закономерностей распределения, определение и построение (получение) некой теоретической (вероятностной) формы распределения. Характер распределения лучше всего проявляется при большом числе наблюдений и малых интервалах. В этом случае графическое отображение эмпирического вариационного ряда принимает вид плавной кривой, именуемой кривой распределения. Кривая распределения может рассматриваться как некая теоретическая (вероятностная) форма распределения, свойственная определенной совокупности в конкретных условиях.

Таким образом, анализируя частоты в эмпирическом распределении, можно описать его с помощью математической модели - закона распределения, установить по исходным данным параметры теоретической кривой и проверить правильность выдвинутой гипотезы и типе распределения данного ряда.

При исследовании закономерностей распределения очень важно выдвинуть верную гипотезу о типе кривой распределения, так как, если кривая описана математически (с помощью уравнения) верно, она более точно отражает закономерности данного распределения и может быть использована в различных практических расчетах и прогнозах. Кроме того, в этом случае можно сформулировать рекомендации для принятия практических решений.

Теоретическое распределение случайной величины - это математическое выражение функциональной зависимости значений случайной величины x и вероятности ее попадания в соответствующий интервал.

Для построения функции теоретического распределения необходимо знать и и обосновать вид кривой из сведений об экономическом явлении или процессе. Рассмотрим только нормальное распределение, поскольку именно оно наиболее широко применяется при построении статистических моделей.

Распределение непрерывной случайной величины x называют нормальным, если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой

,

или ,

где x - значение изучаемого признака;

- средняя арифметическая ряда;

2 - дисперсия значений изучаемого признака;

- среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;

р = 3,1415926; е = 2,7182;

- нормированное отклонение.

Кривая нормального распределения (рис. 3.3) симметрична относительно вертикальной прямой , поэтому среднюю арифметическую ряда называют центром распределения.

Случайные величины, распределенные по нормальному закону, различаются значениями параметров и , поэтому важно выяснить, как эти параметры влияют на вид кривой нормального распределения.

Если не меняется, а изменяется только , то: чем меньше , тем более вытянута кривая (рис. 3.3, а), а так как площадь, ограниченная осью и данной кривой, равна 1, то вытягивание вверх компенсируется сжатием около центра распределения и более быстрым приближением кривой к оси абсцисс; чем больше , тем более плоской и растянутой вдоль оси абсцисс становится кривая.

Если остается неизменной, а изменяется, то кривые нормального распределения имеют одинаковую форму, но отличаются друг от друга положением максимальной ординаты (рис 3.3, б).

Особенности кривой нормального распределения.

Кривая симметрична и имеет максимум в точке, соответствующей значению .

Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. Чем больше отдельные значения x отклоняются от , тем реже они встречаются.

Кривая имеет две точки перегиба на расстоянии от .

Площадь между ординатами, проведенными на расстоянии (заштрихованная область на рис 3.3, б), составляет 0,683. Это означает, что 68,3% всех исследуемых единиц (частот) отклоняется от средней арифметической не более, чем на , т.е. находится в пределах . В промежутке 2 находится 95,4%, а в промежутке 3 соответственно, 99,7% всех единиц исследуемой совокупности.

Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

4. Выборочное наблюдение в статистике

Наиболее широко распространенным видом несплошного наблюдения является выборочное наблюдение, при котором обследуются не все единицы изучаемой совокупности, а лишь определенным образом отобранная их часть.

Вся подлежащая изучению совокупность объектов (наблюдений) называется генеральной совокупностью. Выборочной совокупностью или выборкой называется часть генеральной совокупности, отобранная для изучения свойств обеспечивающая репрезентативность.

Отбор из генеральной совокупности проводится таким образом, чтобы на основе выборки можно было получить достаточно точное представление об основных параметрах совокупности в целом. При этом речь идет как о точечной оценке, в качестве которой принимается соответствующее значение средней, доли и т.д., полученное в результате выборки, так и об интервальной оценке, т.е. о тех пределах, в которых с определенной вероятностью может находиться значение искомого параметра в генеральной совокупности. Главное требование, которому должна отвечать выборочная совокупность, -- это требование ее репрезентативности, т.е. представительности.

В статистике результаты сплошного наблюдения иногда оцениваются как выборочные характеристики. Такая трактовка полученных данных имеет место в тех случаях, когда число обследованных единиц невелико и нет твердой уверенности в том, что изучаемые характеристики не могут принимать иных значений, кроме выявленных в результате наблюдения. При проведении экспериментов число значений может быть бесконечно большим, поэтому, формулируя выводы на основе ограниченного их числа, необходимо рассматривать полученные данные как выборочные характеристики.

Распространяя результаты выборочного обследования на генеральную совокупность, следует иметь в виду, что между характеристиками генеральной и выборочной совокупности возможно расхождение, обусловленное тем, что обследуется не, вся совокупность, а лишь ее часть.

Ошибкой статистического наблюдения считается величина отклонения между расчетным и фактическим значениями признаков изучаемых объектов.

Выборочный метод обеспечивает значительную экономию материальных и финансовых ресурсов при проведении статистического наблюдения, что позволяет расширить программу обследования и повысить его оперативность. Второе преимущество - высокая достоверность получаемых данных, так как при относительно небольшом объеме выборки можно организовать эффективный контроль за качеством собираемой информации. Таким образом, снижается вероятность появления ошибок регистрации и необнаружения их на стадии проверки первичной информации. И наконец, в ряде случаев, когда сплошное наблюдение связано с уничтожением или порчей обследуемых единиц (например, при проверке качества поступающих в продажу продуктов питания), возможно только выборочное обследование.

Точность оценок, полученных на основе выборочного метода, зависит не от доли обследованных единиц, а от их числа.

Основные этапы выборочного наблюдения;

1) определение цели, задач и составление программы наблюдения;

2) формирование выборки;

3) сбор данных на основе разработанной программы;

4) анализ полученных результатов и расчет основных характеристик выборочной совокупности;

5) расчет ошибки выборки и распространение ее результатов на генеральную совокупность.

Различают виды выборки:

случайная (собственно-случайная);

механическая (например, каждый 10, 20 и т.д.);

типическая (стратифицированная), когда генеральная совокупность разбита на группы и в каждой группе обследуются по нескольку объектов));

серийная (гнездовая), когда случайным образом отбираются целые серии.

Наиболее простой способ формирования выборочной совокупности - собственно случайный отбор. Теоретические основы выборочного метода, первоначально разработанные применительно к собственно случайному отбору, используют и для определения ошибок выборки при других способах наблюдения.

Собственно случайный отбор может быть повторным и бесповторным. При повторном отборе каждая единица, отобранная в случайном порядке из генеральной совокупности, после проведения наблюдения возвращается в эту совокупность и может быть вновь подвергнута обследованию. На практике такой способ отбора встречается редко. Гораздо более распространен собственно случайный бесповторный отбор, при котором обследованные единицы в генеральную совокупность не возвращаются и не могут быть обследованы повторно. При повторном отборе вероятность попадания в выборку для каждой единицы генеральной совокупности остается неизменной. При бесповторном отборе она меняется, но для всех единиц, оставшихся в генеральной совокупности после отбора из нее нескольких единиц, вероятность попадания в выборку одинакова.

4.1 Закон больших чисел и предельные теоремы

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. Или иначе: При большом числе случайных величин их средней результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Неравенство Чебышева: для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X) справедливо:

, (4.1)

, (4.2)

Если формула (6.1) устанавливает верхнюю границу рассматриваемого события, то (4.2) - нижнюю границу вероятности события, состоящего в том, что отклонения значения случайной величины от математического ожидания не превысит (не будет менее) величины, где - достаточно малая величина.

В приложении к выборочному методу неравенство Чебышева может быть сформулировано так: при неограниченном увеличении числа наблюдений () в генеральной совокупности с ограниченной дисперсией с вероятностью близкой к единице можно ожидать, что отклонение выборочной средней () от генеральной средней будет сколь угодно мало: при . Эту вероятность в теореме А.М. Ляпунова (1901г.) используют для определения ошибки наблюдений.

, (4.3)

где - нормированная формула Лапласса.

- средняя квадратическая или стандартная ошибка выборки.

. (4.4)

Пусть надо измерить некоторою величину, истинное значение которой равно a. Пусть результат каждого измерения - случайная величина Xi (i=1,2,…,n). Если при измерениях отсутствует систематические погрешности, то M(Xi)=a при любом i. Тогда средняя арифметическая результатов и измерений сходится по вероятности к истинному значению a.

(4.5)

Дисперсия средней случайной величины Xi равна

(4.6)

Среднее квадратическое отклонение ошибок выборки

, (4.7)

. (4.8).

Зная выборочную среднюю и предельную ошибку выборки можно определить границы, в которых размещена генеральная средняя .

Величина средней квадратической ошибки простой случайной повторной выборки может быть определена по формуле:

, (4.9)

т.е. чем больше вариация признака в генеральной совокупности, тем больше ошибка выборки.

Величину называют предельной ошибкой для определения значения вероятности. Если требуется оценить среднюю генеральной совокупности с вероятностью 0,9545, то надо получить значение выборочной средней из соотношения (функция Лапласа).

Для выборки объема предельная ошибка может быть определена из соотношения .

t	1,00	1,96	2,00	2,58	3,00
F(t)	0,683	0,9500	0,9545	0,9901	0,9973

 - это предел возможной ошибки (правило "трех сигм").

Формула предельной ошибки выборки используется не только для оценки пределов, в которых находится изучаемый признак в генеральной совокупности, но и для определения необходимого объема выборки при заданной ее ошибке. Третий тип задач, которые могут быть решены с использованием предельной ошибки выборки, - это определение вероятности, с которой можно гарантировать, что ошибка выборки не выйдет за заданные пределы.

Величина дисперсии генеральной совокупности принципиально не известна и можно говорить лишь о ее оценке по результатам одной выборки.

-для простой случайной выборки.

При , поправка становится 3,5% (30/(30-1)), поэтому ею можно пренебречь.

Выборочное наблюдение

Наименование показателя	Вид выборки
	повторная	бесповторная
Случайная выборка Средняя (стандартная) ошибка
Средняя ошибка доли признака
Объем выборки
Типическая выборка Средняя ошибка
Объем выборки
Серийная выборка Средняя ошибка
Объем выборки

Величина ошибки зависит от колеблемости признака в генеральной совокупности и от объема выборки. Т.е. чем больше вариация тем больше ошибка, чем больше выборка, тем меньше ошибка. Величину называют предельной ошибкой выборки. Следовательно, предельная ошибка выборки , т.е. предельная ошибка равна t-кратному числу средних ошибок выборки.

t - коэффициент доверия

n - объем выборки;

N - объем генеральной совокупности;

s - число отобранных серий;

S - общее число серий;

- средняя из групповых дисперсий;

- межгрупповая дисперсия.

4.2 Ошибка выборки для альтернативного признака

Теорема Бернулли утверждает, что при достаточно большом объеме выборки вероятность P расхождения между долей признака в выборочной совокупности р и долей в генеральной совокупности Pг будет стремиться к 1.

, (4.10)

Для альтернативного признака среднее квадратическое отклонение равно, где . Тогда средняя ошибки выборки для альтернативного признака равна

, (4.11)

, (4.12)

Доля в генеральной совокупности Pг неизвестна и может быть только оценена при выборочном наблюдении

, (4.13)

При простой случайной выборке средняя квадратическая ошибки определяется по формулам:

Средняя квадратическая ошибка	Повторная выборка	Бесповторная выборка
При определении среднего размера признака	, (4.14)	, (4.16)
При определении доли признака	,(4.15)	. (4.17)

4.3 Определение необходимой численности выборки

Численность стандартной и предельной ошибки выборки связано с увеличением объема выборки n. При проектировании выборочного наблюдения заранее задается величина допустимой ошибки и доверительная вероятность для определения предельной ошибки .

Если P=0,954, то (2у)

Если P=0,997, то (3у)

, (4.18)

. (6.19)

Для определения дисперсии признака в генеральной совокупности используются приближенные методы.

Можно провести несколько пробных обследований и по ним выбирать наибольшее значение дисперсии , где достаточно пробных наблюдений. Можно использовать данные прошлых или аналогичных обследований. Можно использовать размах вариации , если распределение нормальное, то , т.е. .

Объем выборки N	Повторный отбор	Бесповторный отбор
При определении среднего размера признака	, (4.20)	, (4.22)
При определении доли признака	, (4.21)	. (4.23)

4.4 Формы организации выборочного наблюдения

Типическая (стратифицированная) выборка: общий список разбивается на отдельные списки (однородной группы). Общий объем выборки n разбивается пропорционально между списками:

1-й вариант

, (4.24)

где n - объем выборки

N - объем генеральной совокупности

ni - число наблюдений из i-ой типической группы

Ni - объем i-ой типической группы в генеральной совокупности.

2-й вариант - равномерный (из каждой группы поровну)

, (4.25)

где k - число групп.

3-й вариант - оптимальный (для групп с большей вариацией признака объем наблюдений увеличивается)

. (4.26)

Серийная (гнездовая) выборка - в случайном порядке отбираются серии сплошного контроля. Тогда в сериях определяется без случайной ошибки. При равновеликих сериях стандартная ошибка выборки определяется

, (4.27)

где s - число серий;

д - межгрупповая дисперсия.

При бесповторном отборе

, (4.28)

где S - общее число серий в генеральной совокупности.

Механическая выборка - при ранжировании генеральной совокупности устанавливается шаг отбора в зависимости от предполагаемого % отбора. Если совокупность не ранжирована, то это случайный отбор, т.е. по известным формулам.

, (4.29)

Механический отбор удобен, прост и широко применяется, так при 2%-й выборке отбирается каждая 500-я единица (1:0,02), при 5%-й - каждая 20-я.

5. Статистические методы изучения взаимосвязи социально-экономических явлений

Корреляционная связь (частный случай стохастической) - связь, проявляющаяся при достаточно большом числе наблюдений в виде определенной зависимости между средним значением результативного признака и признаками-факторами.

Задача корреляционного анализа - измерение тесноты связи между варьируемыми признаками и оценка факторов, оказывающих наибольшее влияние.

Задача регрессионного анализа - выбор типа модели (формы связи), устанавливающих степени влияния независимых переменных.

Связь признаков проявляется в их согласованной вариации, при этом одни признаки выступают как факторные, а другие - как результативные. Причинно-следственная связь факторных и результативных признаков характеризуется по степени:

тесноты;

направлению;

аналитическому выражению.

5.1 Регрессионный анализ

Для оценки параметров уравнений регрессии наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК), суть которого заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативного признака должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических (фактических) значений, т.е.

. (5.1)

При изучении связей показателей применяются различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Так, при анализе прямолинейной зависимости применяется уравнение:

(5.2)

Это наиболее часто используемая форма связи между коррелируемыми признаками, при парной корреляции она выражается уравнением (6.2), где а0 - среднее значение в точке x=0, поэтому экономической интерпретации коэффициента нет; а1 - коэффициент регрессии, показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

При криволинейной зависимости применяется ряд математических функций:

полулогарифмическая (5.3)

показательная (5.4)

степенная (5.5)

параболическая (5.6)

гиперболическая (5.7)

Система нормальных уравнений МНК для линейной парной регрессии имеет следующий вид:

 (5.8)

Отсюда можно выразить коэффициенты регрессии:

;

. (5.9)

При численности объектов анализа до 30 единиц возникает необходимость проверить, насколько вычисленные параметры типичны для отображаемого комплекса условий, не являются ли полученные значения параметров результатом действия случайных причин. Значимость коэффициентов регрессии применительно к совокупности n<30 определяется с помощью t-критерия Стьюдента. При этом вычисляются фактические значения t-критерия:

для параметра а0: , (5.10)

для параметра а1: . (5.11)

В формулах (6.10) и (6.11):

- среднее квадратическое отклонение результативного признака от выровненных значений . (5.12)

- среднее квадратическое отклонение факторного признака от общей средней . (5.13)