Ряды распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Статистика - наука, изучающая положение дел в государстве. Иными словами, это вид деятельности, направленной на получение, обработку и анализ информации, характеризующей количественные закономерности жизни общества во всем их многообразии (технико-экономические, социально-политические явления, культура) в неразрывной связи с ее качественным содержанием. Таким образом, под статистикой понимается сбор цифровых данных, их обобщение и обработка. Статистика необходима для изучения количественных явлений посредством цифр. Она предоставляет необходимый цифровой банк данных. Статистика должна давать не произвольный материал, а те данные, которые ясно и понятно характеризуют различные явления.

Определяющее значение статистики вытекает из того, что вся информация, имеющая значимость, как для государства, так и для физических и юридических лиц и собираемая путем бухгалтерского или оперативного учета, в конечном счете, обрабатывается и анализируется с помощью статистики. Исходные методологические принципы для построения основных показателей во всех видах учета являются едиными.

Актуальность работы состоит в том, что именно с помощью статистических рядов в статистике характеризуют изменения изучаемых экономических явлений.

В данной работе мы подробнее остановим своё внимание на таких вопросах, как характеристика рядов распределения, виды рядов распределения, подробно остановим своё внимание на примерах для более наглядного примера.

В практической части работы мы решим задание, в котором рассмотрим такие методы изучения статистики, как ряды распределения, мода, медиана, проведем анализ полученных данных, построим графическое изображение полученных данных.

Виды рядов распределения

В результате обработки и систематизации первичных статистических данных получают ряды цифровых показателей, которые характеризуют изменение изучаемых явлений. Эти ряды называются статистическими рядами.

По своему содержанию статистические ряды подразделяются на ряды распределения и ряды динамики.

Рядом динамики называется ряд чисел, характеризующих последовательное изменение явления во времени. Например, изменение объема розничного товарооборота за ряд лет или изменение численности магазинов по состоянию на конец года также за ряд лет и т.д.

Элементами ряда динамики являются время (дата или промежуток - дни, месяцы, годы и т.п.) и соответственно - числа, характеризующие величину, уровень, объем явления.

Рядом распределения называется ряд чисел, характеризующих распределение единиц совокупности на группы по одному признаку.

Распределение единиц совокупности на группы по атрибутивному (качественному) группировочному признаку называется атрибутивным рядом распределения. Пример. В табл. 1 приведено распределение розничного товарооборота Российской Федерации в 1995 г. по группировочному признаку - формам собственности.

Распределение розничного товарооборота Российской Федерации в 1995 году по формам собственности, млн. руб.

Виды форм собственности	Розничный товарооборот, млн. руб.	В % к итогу
Частная собственность Из нее потребительская кооперация Другие негосударственные формы собственности	406797900 23653810 76156423 705121177	73,5 4,3 13,8 12,7
Итого	553 466 490	100,0

Из этого ряда распределения видно, что наибольшая доля розничного товарооборота Российской Федерации приходилась в 1995 году на торговые предприятия частной формы собственности (73,5%). Значительное место в общем объеме розничного товарооборота все еще занимают государственные розничные торговые предприятия, доля которых в 1995 году составила седьмую часть розничного товарооборота (12,7%) России. На остальные негосударственные торговые предприятия в 1995 году падало 13,8% от всего розничного товарооборота страны.

Вариационный ряд распределения

Распределение единиц совокупности на группы по количественному признаку, по степени возрастания или убывания числового значения признака называется вариационным рядом.

Если распределение произведено по дискретному (прерывному), выраженному целыми числами признаку, то такой вариационный ряд называется дискретным

Пример. Приведенные в табл. 2 данные распределения совокупности магазинов, входящих в открытое акционерное общество «Перспектива», характеризуют дискретный вариационный ряд.

Распределение совокупности магазинов ОАО «Перспектива» по числу рабочих мест.

Группы магазинов ОАО «Перспектива» по числу рабочих мест	Число магазинов, единиц	В % к итогу
А	1	2
С 1 рабочим местом С 2 рабочими местами С 3 рабочими местами С 4 рабочими местами С 5 рабочими местами	4 8 5 2 1	20 40 25 10 5
Итого	20	100

Из этого вариационного ряда видно, что преобладающую долю во всей совокупности магазинов (более половины) составляют мелкие магазины, имеющие 1-2 рабочих места.

Если распределение совокупности произведено по количественному признаку, выраженному в виде интервалов «от» и «до», то такой вариационный ряд называется интервальным.

Пример. Для установления процента естественной убыли товара произведено наблюдение за 100 равными по всему партиями товара; при этом наименьший процент естественной убыли оказался 3%, а наибольший - 13%. Определить интервальные группы.

Если имеется в виду выделить пять групп, то величина интервала составит:

В результате этого образуются следующие интервальные группы по проценту естественной убыли товара и соответственно (в результате подсчетов данных наблюдения) в каждой группе окажется следующее количество партий товара (см. табл. 3):

Таблица 1 - Группировка партий товаров по размерам естественной убыли

Процент естественной убыли, %	Количество партий товара, штук
3-5 5-7 7-9 9-11 11-13	10 26 43 16 5
Итого	100

Составными элементами каждого вариационного ряда являются два ряда чисел: 1) ряд вариантов и 2) ряд частот или частностей.

Варианты - отдельные числовые значения варьирующего признака.

Частоты - это абсолютные числа, показывающие, сколько раз встречается та или иная варианта в данной совокупности или, иначе говоря, это абсолютное число единиц в каждой группе. Частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу, называются частностями.

Так, в приведенном выше примере распределения магазина ОАО «Перспектива» по числу рабочих мест в первой колонке показано число рабочих мест (1, 2, 3, 4, 5) - это расположены варианты, во второй колонке соответственно этим вариантам помещены частоты, а в третьей - частности.

Вариационные ряды широко используются в различного рода исследованиях, например при определении стандартов по качеству (или сортности) товаров. В испытаниях различных свойств товаров изучается, например, вариация количественных признаков (при проведении физико-механических испытаний на качество товаров, при определении допусков в стандартах и для установления границ при определении технических условий). Аттестация качества товаров указывается в его товарном ярлыке или паспорте.

Кроме того, многие товары имеют сертификаты, удостоверяющие их качество. Нормы показателей качества товаров определяются в виде средней величины и часто приводятся с допускаемыми отклонениями. Иногда отклонения от нормы приводятся в виде указаний «не более» или «не менее». Отклонения количественных показателей товара от этих границ свидетельствует о недопустимом снижении качества. Наряду с отклонениями и средним значением количественного признака указываются способы испытаний товара. Товары более высокого качества меньше отклоняются от установленной нормы показателей качества товаров, и, наоборот, товары низкого качества больше отклоняются от своих стандартов. Для того чтобы сопоставить данные испытаний по качеству с установленными стандартами, необходимо результаты физико-механических испытаний на качество товара представить в виде вариационного ряда.

Пример. В табл. 2 представлены результаты двухсот испытаний показателя прочности швейных ниток.

Требуется проанализировать колебание прочности швейных ниток.

Таблица 2 - Данные испытания прочности швейных ниток

№ группы	Прочность при растяжении, в граммах	Число испытаний
1	575-625	8
2	625-675	16
3	675-725	24
4	725-775	33
5	775-825	36
6	825-875	34
7	875-925	26
8	925-975	16
9	975-1025	7
ИТОГО	200

Из этого вариационного ряда видно, в каких пределах колеблется прочность швейных ниток и как с нарастанием прочности при растяжении до 825 г постепенно увеличивается число испытаний, а затем постепенно уменьшается. Наиболее распространенная прочность швейных ниток при растяжении оказалась в интервале 775 - 825 (группа 5) со средним значением 800 г

На основе такого вариационного ряд могут быть исчислены и показатели вариации: средняя, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации, мода, медиана и др.

Вариационный ряд графически обычно изображается при помощи гистограммы распределения или полигона распределения.

Вариационный ряд можно рассматривать как группировку по одному признаку с единственным показателем в сказуемом - числом единиц совокупности, попадающих в данный интервал (абсолютном или относительном - в % и т.п.). Чтобы получить вариационный ряд, надо подсчитать численность единиц по группам, чающим его интервалам. В типологической группировке, производимой на основании количественного признака, границы, отделяющие друг от друга качественные типы, не являются произвольными. Они должны отвечать узловым значениям, в которых количественные изменения переходят в новое качество.

В отличие от этого в группировке, имеющей целью получение вариационного ряда, величина интервалов и, значит, границы между ними могут быть вообще любыми. Правда, и вариационный ряд в известных случаях может быть использован для выделения типов методом вторичной группировки. Но обычно при его построении преследуется только цель характеристики количественной вариации. Если при этом вся задача сводится к получению характеристик вариации, то чем уже интервал, тем они будут получены более точными. Еще лучше, если они будут получены просто по совокупности индивидуальных значений, что возможно для средней арифметической, дисперсии и всех моментов распределения, порядковых статистик. Но вариационный ряд нужен и сам по себе. В виду этого сужение его интервалов привело бы к случайным колебаниям частот в них, плохой обозримости ряда в целом.

Моменты распределения

Одной из важных задач анализа рядов распределения является выявление закономерности распределения, определения ее характера и количественного выражения. Эта задача решается при помощи показателей, характеризующих форму, тип распределения.

Кроме рассмотренных выше важной характеристикой рядов распределения являются также моменты распределений.

Моментом распределения (Мк) называется средняя арифметическая из отклонений значений признака х от некоторой постоянной величины а в степени к. Порядок момента определяется величиной к. Эмпирический момент к-го порядка определяется по формуле .

В зависимости от постоянной величины, а различают начальные, центральные и условные моменты. Если, а=0, то моменты называются начальными и определяются по формуле .

В этом случае при к=0 получим начальный момент нулевого порядка, который равен: . При к=1 получим начальный момент первого порядка, который равен: , при к=2 - начальный момент второго порядка, равный , и т.д. Начальные моменты используются, в частности, при расчете дисперсии:2=v2 - v12, откуда 2 = .

Условные моменты используются для определения дисперсий высоких степеней 2, 3, 4. Практически используются моменты первых четырех порядков. Если в качестве весов взять не частоты, а вероятности, то получим теоретические моменты распределения.

Кривые распределения

Кривая распределения - линия на плоскости, отражающая зависимость между значениями рассматриваемой случайной величины и соответствующими им числами наблюдений.

Если на оси абсцисс откладывать значения варьирующего признака, а на оси ординат частоты, то, соединяя эти точки, получаем эмпирическую кривую распределения. Пользуются также кумулятивной кривой распределения, указывающей для каждого данного значения х частоту тех значений, которые не превосходят х. Кривая распределения служит отправным пунктом статистического исследования варьирующего признака. Она является обобщенной характеристикой особенностей формы распределения. Кривая распределения выражает закономерность распределения единиц совокупности по величине варьирующего признака. Различают эмпирические и теоретические кривые распределения. Эмпирическая кривая - это фактическая кривая распределения, полученная по данным наблюдения, в которой отражаются как общие, так и случайные условия, определяющие распределение. Теоретическая кривая распределения - это кривая, выражающая функциональную связь между изменением варьирующего признака и изменением частот и характеризующая определенный тип распределения. Кривые распределения бывают симметричными и асимметричными. В зависимости от того, какая ветвь кривой распределения вытянута - правая или левая - различают правостороннюю или левостороннюю асимметрию. Кривые распределения могут быть одно-, двух- и многовершинными.

В нормальном ряду распределения размах вариации R = 6; =1,25d; х = М0 = Ме. Если указанные соотношения нарушены, то это свидетельствует о наличии асимметрии распределения. Так, при М0<Ме<х разности между х - М0 и х-Ме положительные и асимметрия правосторонняя, а при М 0 > Ме > х, наоборот, разности между х - М0 и х- Ме отрицательные и симметрия левосторонняя (см. схемы 1,2 в которых показаны соотношения между средней, модой и медианой).



Схема 1 - Правосторонняя асимметрия

>Me>Mo

Схема 2 - Симметричная кривая

= Mo= Me

В симметричном распределении центральный момент третьего порядка m3 = 0, поэтому чем он больше, тем больше и асимметрия. Эта особенность и используется для характеристики асимметрий. Коэффициент асимметрии равен отношению центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в кубе.

Чем числитель ближе к 0, тем асимметрия меньше.

Кривые распределения имеют различную островершинность. Крутизна, островершинность кривой распределения называется эксцессом. Различают эксцессы: нормальный, выше нормального и ниже нормального (схема 3).



Схема 3 - Эксцессы распределения

Для характеристики степени эксцесса применяют коэффициент эксцесса, который равен отношению центрального момента четвертого порядка к среднему квадратическому отклонению в четвертой степени: . Если распределение нормальное, то эксцесс нормальный и равен 3. Поэтому если Е > 3, то эксцесс выше нормального, а если Е < 3, то эксцесс ниже нормального.

Моделирование рядов распределения

Все рассмотренные нами показатели характеризуют отдельные свойства совокупности. Общую характеристику ряда распределения можно представить аналитически, в виде функции, характеризующей зависимость между изменениями варьирующего признака и частотами. Каждому ряду свойственна определенная закономерность, выражением которой является кривая распределения, представляющая собой функцию распределения. Если имеется эмпирический ряд распределения, то необходимо найти функцию распределения, т.е. подобрать такую теоретическую кривую распределения, которая наиболее полно отражала бы закономерность распределения. Нахождение функции кривой распределения называется моделированием. Моделирование имеет большое познавательное значение, функции кривой распределения дают в компактной форме характеристику изучаемой совокупности, ее закономерности, сглаживают различные «неправильности» эмпирического ряда, возникшие вследствие случайных обстоятельств, дают возможность находить частоты интервалов, которые не встречались в эмпирическом распределении. Уравнения кривых распределения позволяют при помощи двух-трех, а иногда и одной сводной характеристики получить представление о характере распределения, они весьма важны для прогнозирования будущих распределений.

Для аппроксимации (выравнивания) эмпирических кривых распределения и сопоставления их с теоретическими в статистике частью пользуются нормальным распределением, функции которого

где F(х) - интегральная функция распределения;

е - основание натуральных логарифмов; dt - разность между смежными значениями F(x), т.е. величина интервала. Таким образом, кривую нормального распределения можно построить по двум параметрам х и . Исчислив по ним нормированное отклонение t, можно по специальной таблице получить готовые значения F (x) при условии, что t > 0.

Важное значение в анализе имеет проверка того, насколько фактическое распределение признака соответствует теоретическому, например нормальному распределению. Задача состоит в то» чтобы по фактическим данным вычислить теоретические частоты кривой распределения и сравнить их с эмпирическим рядом. Теоретические частоты f1 для нормального распределения рассчитываются по формуле:

Теоретическое распределение вероятностей и частот дает представление о форме, типе распределения, о закономерности, свойственной изучаемому явлению.

Эмпирические и теоретические распределения по степени выполнения норм приведены в схеме

Схема 4 - Эмпирическое и теоретическое распределение ткачих по степени выполнения норм

Для того, чтобы установить, подчиняется ли эмпирическое распределение закону нормального распределения, необходимо сравнить его с теоретическим распределением. Если теоретическое и эмпирическое распределения частот близки между собой, т.е. разности незначительны, то эмпирическое распределение подчиняется закону нормального распределения. Поэтому важно установить, являются ли разности между эмпирическими и теоретическими частотами результатом действия случайных причин или эта разница существенна и обусловлена неправильно подобранной функцией.

Критерий согласия

ряд распределение вариационный критерий

Для оценки близости эмпирического отношения к теоретическому нормальному пользуются специальными показателями, которые называются согласия. Они разработаны Пирсоном, Колмогоровым, Романовским и Ястремским. Наиболее простым и доступным является критерий Пирсона:

Чем меньше отклонение между эмпирическими и теоретическими частотами, тем меньше значение х2, а значит, теоретическое распределение лучше воспроизводит эмпирическое, и наоборот. Если эмпирические частоты совпадают с теоретическими, х2 = 0.

Вычисление х2 Пирсона связано с показателем, который называется числом степеней свободы. Под числом степеней свободы К понимают количество независимых величин, которые могут принимать независимые значения, не изменяющие заданные характеристики. Так, если средняя выработка рабочих участка равна

деталей, то пять значений из шести могут быть произвольными, а шестое должно быть единственно возможным, при котором средняя выработка 300 деталей останется без изменений. В данном случае задан один параметр (х), поэтому число степеней свободы будет равно: 6-1 = 5.

В нашем примере распределения ткачих по степени выполнения норм выделено семь групп, функция нормального распределения имеет два параметра: и . Кроме того, исчисление критерия х2 связано с ограничительным условием:

Следовательно, число степеней свободы будет равно: К =7-2-1=4. обозначим число групп m, число параметров r и получим К = т-r-1. По специальной таблице находим значение х2, соответствующее данному числу степеней свободы и заданной вероятности. По этой же таблице для заданного критерия х2 при разных значениях степеней свободы можно определить вероятность того, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами изучаемого ряда является случайным. Если фактическое значение критерия х2 меньше табличного, то отклонение между эмпирическими и теоретическими частотами являются случайными, несущественными, и можно сделать вывод о том, что теоретическое распределение хорошо воспроизводит эмпирическое, и, наоборот, если фактическое значение больше табличного, то отклонения являются существенными и эмпирический ряд распределения не подчиняется закону нормального распределения.

Пример. Рассчитаем критерий х2 по данным табл. 3.

Таблица 3 - Распределение ткачих по степени выполнения норм, %

Номер группы	Эмпирические частоты (f)	Теоретические частоты (f1)	Отклонение (f-f1)	Квадрат отклонения (f-f1)2	Отношение
1 2 3 4 5 6 7	2 15 26 32 12 9 4	5 13 24 28 20 8 2	-3 2 2 4 8 1 2	9 4 4 16 64 1 4	1.80 0.32 0.17 0.57 3.20 0.12 2.0
Итого	100	100	-	-	8,18

Следовательно, х2 = 8,18. Теперь по таблице находим критическое значение х2 для заданной вероятности и числа степеней свободы. При К=4 и Р = 0,95 получим х2 = 9,49. В нашем примере фактическое значение х2 = 8,18, а табличное х2 = 9,49 т.е. фактическое значение меньше табличного. Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что распределение ткачих по степени выполнения норм подчиняется закону нормального распределения.

Критерий согласия Колмогорова () рассматривает близость эмпирического и теоретического распределения путем сравнения их накопленных частот. Критерий лямбда равен максимальной разности накопленных эмпирических и теоретических частот (без учета знаков), поделенный на корень квадратный из числа наблюдений.

где D - максимальная разность накопленных эмпирических и теоретических частот, а n - объем совокупности. По сравнительной таблице находим вероятность, с которой можно утверждать, что отклонение эмпирических частот от теоретических является несущественным, случайным, т.е. фактическое распределение подчиняется закону нормального распределения.

Пример. Рассчитаем критерий по данным, приведенным в табл. 4.

Таблица 4 - Распределение ткачих по степени выполнения норм, %

Номер группы	Эмпирические частоты	Теоретические частоты	Накопленные частоты	Отклонение
			эмпирические	теоретические
1 2 3 4 5 6 7	2 15 26 32 12 9 4	5 13 24 28 20 8 2	2 17 43 75 87 96 100	5 18 42 70 90 98 100	+3 +1 -1 -5 +3 +2 -
Итого	100	100	-	-	-

В нашем примере D = 5, п = 100, откуда = 5/10= 0,5. По таблице определяем, что значению X = 0,5 соответствует вероятность 0,963. Следовательно, с вероятностью 0,963 можно утверждать, что отклонение эмпирических частот от теоретических является случайным, т.е: распределение ткачих по степени выполнения норм выработки подчиняется закону нормального распределения.

В явлениях различных аспектов рыночного хозяйства асимметричные распределения встречаются значительно чаще, чем симметричные. Имеется много функций, характеризующих закономерности эмпирических асимметричных распределений. Некоторые асимметричные распределения могут быть приведены к фермер приближающейся к нормальной, путем преобразования значений признака х. Например, путем логарифмирования переменной асимметричное распределение может быть приведено к нормальному. Распределение, которое с помощью логарифмирования переменной х может быть приведено к нормальному, называется логарифмически нормальным распределением. Частоты такого распределения определяются на основе интегральной функции нормального распределения

Для объективной оценки близости эмпирических и теоретических частот также пользуются критериями согласия.

Задача

Имеются следующие данные по 30 строительным организациям региона (выборка 10%-ная, механическая) об объеме выполненных работ и численности, рабочих за год:

№ п/п	Численность рабочих, чел.	Объем выполненных работ, млн. руб.	№ п/п	Численность рабочих, чел.	Объем выполненных работ, млн. руб.
1	110	19	16	125	17
2	123	17	17	114	18
3	133	24	18	118	25
4	142	25	19	98	14
5	135	25	20	140	22
6	128	21	21	160	25
7	131	23	22	124	18
8	139	28	23	117	23
9	126	20	24	80	12
10	138	26	25	112	20
11	115	22	26	143	25
12	108	16	27	102	17
13	129	21	28	127	21
14	140	23	29	132	24
15	98	16	30	130	23

По исходным данным:

Постройте статистический ряд распределения строительных организаций по объему выполненных работ, образовав 4 группы с равными интервалами.

Постройте графики ряда распределения. Графически определите значения моды и медианы.

Рассчитайте характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Вычислите среднюю величину по исходным. Сравните ее величину с аналогичным показателем п. 3. объясните причину их несовпадения.

Сделайте выводы.

Решение:

Для образования 4 групп с равными интервалами вычислим равную величину интервала применив формулу:

Хmax=28

Xmin=12

n=4

Где факторный признак (Х) - объем выполненных работ.

Группа	Объем выполненных работ, млн. руб.	Численность рабочих, чел.
I 12-16 24 19	12 14	80 98
Всего 2	26	178
II 16-20 12 15 2 16 27 17 22 1	16 16 17 17 17 18 18 19	108 98 123 125 102 114 124 110
Всего 8	138	904
III 20-24 9 25 6 13 28 11 20 7 14 23 30	20 20 21 21 21 22 22 23 23 23 23	126 112 128 129 127 115 140 131 140 117 130
Всего 11	239	1395
IV 24-28 3 29 4 5 18 21 26 10 8	24 24 25 25 25 25 25 26 28	133 132 142 135 118 160 143 138 139
Всего 9	227	1240

Группировка распределения строительных организаций по объему выполненных работ.

Группы организаций по объёму выполненных работ, млн. руб.	Число предприятий	Объем выполненных работ млн. руб. (Х)	Численность рабочих, чел. (У)	Кол-во предприятий в % к итогу	Среднее значение середина интервала	х-х	(х-х)2	(х-х)2f
		Всего	В среднем	Всего	В среднем
12-16 16-20 20-24 24-28	2 8 11 9	26 138 239 227	13 17 22 25	178 904 1395 1240	89 113 127 138	6,6 26,7 36,7 30,0	14 18 22 26	-7,6 -3,6 0,4 4,4	57,8 13,0 0,2 19,4	115,6 104 2,2 174,6
ИТОГО	30	630	21	3717		100				396,4

Мода - это есть варианта, у которой частота наибольшая. В данном случае это 11 предприятий в интервале 20-24.

Медианой называется серединная варианта. В нашем случае - 20.

Определим средний взвешенный размер объема выполненных работ:

Среднеквадратическое отклонение (взвешенное)



Средний объем выполненных работ колеблется в пределах 21,6 +- 3,6 млн. руб.

Коэффициент вариации для среднего арифметического отклонения (взвешенного):

Коэффициент вариации характеризует колеблемость вариант вокруг средней величины.

Вычислим среднюю величину по исходным данным:

По вычислениям в п. 3 составило 21,6 млн. руб.

Данные несовпадения объясняются тем, что при исчислении внутри интервалов были использованы не точные, а усредненные данные.

Заключение

Статистика является важнейшей в системе экономических процессов, так как она помогает систематизировать и анализировать сведения, характеризующие экономическое и социальное развитие всех сфер общественной жизни.

Изучение явлений жизни в непрерывном их развитии - одна из основных задач статистики. Это вызвано с тем, что все явления, будь то экономические или социальные, изменяются. С течением времени, от месяца к месяцу, от квартала к кварталу изменяется численность населения, его состав, объем произведенной продукции, промышленности и сельского хозяйства, уровень производительности труда и т.д.

Список литературы

1. А.М. Годин «Статистика» Учебник, М., 2002 год.

2. Гусаров В.М. Статистика: учебн. пособие для вузов. - М., 2001 год.

3. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности. Учебник А.И. Харламов и др. - М. Финансы и статистика, 1994.

4. Российский статистический ежегодник. - М., 1999 год.

Размещено на Allbest.ru