Прогнозирование на основе динамических рядов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Анализ социально-экономического развития - одно из важнейших заданий статистики. Информационной базой его служат динамические ряды.

Решение народно хозяйственных проблем связано с глубоким анализом и всесторонним учетом объективных закономерностей экономического и социального развития в течение определенного периода времени. Количественным выражением этих закономерностей могут служить динамические ряды.

Повторяемость, последовательность и порядок явлений можно обнаружить в изменении явлений и процессов во времени, который происходит под воздействием разных социальных, экономических, технических и других показателей. Изучение динамики позволяет выявить и оценить особенности развития явлений в течение времени под воздействием разных факторов. Знание этих особенностей важно не только для понимания и оценки прошлого, но и для прогнозирования, позволяющего контролировать процессы и руководить ими.

В данной работе будут рассмотрены основные виды динамических рядов и изучение тренда ряда динамики.

1. сущность и характеристика рядов динамики

1.1 Понятие и виды рядов динамики

Процесс развития общественных явлений во времени называется динамикой. Основная цель статистического изучения динамики заключается в выявлении закономерностей социально-экономических явлений.

Система статистических методов изучения динамики явлений позволяет определить, как развиваются общественные явления: растут или уменьшаются их размеры, быстро или медленно происходят эти изменения и так далее Изучения поступательного развития и изменений общественных явлений - одно из основных заданий статистики. Решается оно на основе анализа динамических рядов. Построение и исследование рядов динамики имеет большое значение для выявления развития общественных явлений в их взаимосвязи и взаимозависимости, позволяет выразить изменения количественно, служит базой оценки и прогнозирования социально-экономического развития общества.

Динамический ряд - это статистические показатели, расположенные в хронологической последовательности, которые характеризуют развитие того или другого социально-экономического явления во времени[1].

Элементами динамического ряда является перечень хронологических дат (моментов) или интервалов времени и конкретные значения соответствующих статистических показателей, которые называются уровнями ряда[3].

Уровень ряда отображает состояние явлений, достигнутое за любой период или на определенный момент времени. Первый показатель ряда называется начальным, а последний - конечным [1].

При изучении динамика важна не только числовые значения уровней, но и их последовательность. Как правило, часовые интервалы между уровнями одинаковы (сутки, декада, календарный месяц, квартал, год).

Взяв любой интервал за единицу, последовательность уровней записываем так: У₁, У₂,...,У_n, где “n” - число уровней (длин а динамического ряда) [1].

В зависимости от статистической природы показателя-уровня различают динамические ряды первичные и производные, ряды абсолютных, средних и относительных величин [3]. В зависимости от характера уровней ряда различают два вида рядов динамики: моментные и интервальные (периодические). Моментный ряд динамики характеризует значение явлений на определенные моменты времени. Суммирование уровней моментного ряда не имеет смысла, поскольку это приводит к повторному счету, однако разница уровней имеет определенное экономическое содержание.

Важно экономическое значение имеет суммирование уровней интервального ряда. Сумма уровней интервального ряда динамики характеризует уровень данного явления за длительный промежуток времени. Интервальный ряд динамики - это числовой ряд, который характеризует размеры общественных явлений за определенные периоды времени (день, месяц, квартал и тому подобное).

За количеством показателей, которые изменяются, ряды динамики бывают одномерные и многомерные. Одномерные ряды динамики характеризуют изменение во времени одного показателя. Многомерные ряды динамики характеризуют изменение во времени двух, трех и больше показателей. В свою очередь многомерные динамические ряды разделяются на параллельные ряды и ряды взаимоувязанных показателей. Параллельные ряды динамики отображают изменение во времени или одного показателя разных объектов (численность населения разных стран), или разных показателей одного объекта (валовой сбор пшеницы, сахарной свеклы и картофеля в районе).

Ряды взаимоувязанных показателей характеризуют зависимость одного явления от другого (зависимость заработной платы рабочих от их тарифного разряда). Связь между показателями многомерного динамического ряда может быть функциональной или корреляционной[4].

За полнотой времени динамические ряды разделяют на полные и неполные. В полных рядах динамики дать или периоды идут друг за другом с ровными интервалами. В неполных рядах динамики в последовательности показателей наблюдают неравные часовые интервалы[2].

Социально-экономические процессы являются динамическими и это выявляется постоянным изменением уровней динамического ряда. Рядом с динамической им присущая инертность: сохраняется механизм формирования явлений и характер развития (темпы, направление, колебание). При значительной инертности процесса и неизменности комплекса условий его развития правомерно ожидать в будущем те свойства и характер развития, которые были обнаружены в прошлом. Диалектическое единство изменчивости и постоянства, динамичности и инертности формирует характер динамики, возможность статистического прогнозирования социально-экономических процессов.

При изучении закономерностей социально-экономического развития статистика решает ряд заданий: измеряет интенсивность динамики, обнаруживает и описывает тенденции, оценивает структурные сдвиги, постоянство и колебание рядов; выявляет факторы, которые вызывают изменения.

Предпосылкой анализа любого динамического ряда является сравнимость статистических данных, которые его формируют. Несравнимость данных может обуславливается разными причинами:

- изменениями в методологии учета и расчета показателя, в частности использования разных единиц для измерения;

- изменениями в структуре совокупности, а также территориальными изменениями;

- разными критическими моментами регистрации данные или длительностью периодов, к которым принадлежат уровни;

- изменением цен для стоимостных показателей [3].

В каждом отдельном случае вопросы сравнения рассматривают в зависимости от цели исследования. Для сводки данных динамического ряда к сравнительному виду делают пересчет предыдущих данных с учетом новых границ.

Статистические данные, необходимые для построения ряда динамики могут быть сравнены за кругом охватываемых объектов.

В моментных рядах динамики нужно придерживаться сравнения по критическому моменту регистрации уровней явлений, которые поддаются сезонным влиянием. Как пример возьмем численность крупного рогатого скота, который летом преимущественно всегда больше, чем зимой. А потому нельзя считать сравненным ряд динамики, уровни которого принадлежат к разным датам регистрации.

Уровни динамического ряда должны быть сравниваемые за методом вычисления показателей. Например, за предыдущие годы численность рабочих завода была определена на начало каждый месяц, то есть на определенную дату, а в дальнейшем - как среднемесячную численность. Чтобы обеспечить сравнение показателей ряда, нужно данные о численности рабочих завода на начало месяца пересчитать на середину месяца.

Статистические данные динамического ряда должны быть сравниваемыми за периодами, или длительностью времени. Для того, чтобы обнаружить закономерности развития явлений со значительными сезонными колебаниями, нужно сравнивать между собой данные за одни и те же периоды времени и по одинаковой продолжительности периода.

Так, объем производства молока за разные годы нужно сравнивать только январь с январем, апрель с апрелем, июль с июлем и так далее Также нельзя сравнивать производство продукции за месяц и за квартал, за квартал и за полугодие и так далее То есть, интервалы времени, за которые приведены данные динамического ряда, должны быть равными.

Часто статистические величины выражают в разных единицах, что приводит к невозможности сравнения динамических рядов. Нужно придерживаться сравнимых показателей ряда за единицами величин, если ряд явлений описывается параллельно в разных физических или учетных единицах.

Сравнимость величин требует, чтобы уровни динамического ряда всегда были выражены в одинаковых единицах. Статистический анализ такого ряда дополняют параллельным анализом по другому способу измерения. Несравнимость рядов динамики через единицы исследуемых величин возникает в результате несравнимости денежной оценки (изменение денежной единицы, инфляция, изменение курса валюты и тому подобное). Для сводки к сравниваемому виду таких рядов динамики все предыдущие уровни исследуемых признаков перечисляют по действующей денежной оценке.

Невозможность сравнения статистических показателей динамики может быть также обусловлена разной структурой совокупности за несколько лет. Для сводки данных таких рядов к сравниваемому виду используют так называемую стандартизацию структуры (стандартизированные коэффициенты рождаемости, смертности, естественного прироста и тому подобное), что в значительной мере зависит от вековой структуры населения в разные годы. За стандартную структуру используют структуру определенного периода времени, а все показатели других периодов рассчитываются по этой самой структурой, что и делает такие показатели сравнительными[2].

1.2 Основные характеристики рядов динамики

Скорость и интенсивность развития разных общественных явлений значительно варьируют, что отражается на структуре соответствующих динамических рядов. Для оценивания отмеченных свойств динамики статистика использует ряд взаимосвязанных характеристик. Среди них: абсолютный прирост, относительный прирост, темп роста, другие. Расчет характеристик динамики обосновывается на сравнении уровней ряда. При сравнении определенного множественного числа последовательных уровней база сравнения может быть постоянной или переменной[3].

Уровень, который сопоставляется, называют текущим, а уровень, с которым сопоставляют другие уровни - базисным. За базу сопоставления принимают или предыдущий, или начальный (первый) уровень ряда динамики. За постоянную базу сравнения можно принять не только начальный, но и любой другой уровень ряда динамики. Иногда за базу сопоставления подбирают средний уровень любого предыдущего периода. Выбор базы сопоставления нужно обосновывать историческими и экономическими особенностями развития исследуемого явления[2].

Характеристики динамика, вычисленная относительно постоянной базы, называется базисной. Если каждый уровень ряда уt сравнивается с предыдущим У_t-1, характеристики динамики называются цепными (рис. 1.1).

Цепные характеристики

Базисные характеристики

Рис. 1.1 - Схемы сравнения при вычислении цепных и базисных характеристик динамики

Выявление основной тенденции (тренду) ряда является одним из главных методов анализа и обобщения динамических рядов[2].

В некоторых случаях эта закономерность, общая тенденция развития объекта достаточно четко отображается уровнями динамического ряда, которые в течение всего исследуемого периода или систематически увеличиваются, или уменьшаются. Но чаще встречаются ряды динамики, в которых происходят разные изменения (увеличение и уменьшение) и тогда можно говорить лишь об общей тенденции развития явления: или тенденция роста, или тенденция снижения. В таких случаях для определения основной тенденции развития явления используют особенные приемы обработки рядов динамики.

Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием разных факторов, как длительного действия, так и кратковременного действия, среди которых встречаются случайные обстоятельства.

Выявление основной закономерности изменения уровней ряда предусматривает ее количественную оценку, в некоторой степени свободную от случайного влияния [1].

В статистической практике основную тенденцию развития явлений во времени находят за методами увеличения интервалов, скользящей средней и аналитического сглаживания [2].

2. методика изучения тренда динамического ряда. ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

2.1 Методы изучения тренда динамического ряда

Анализ и статистическое описание динамики какого-либо существенного колеблющегося показателя начинается с выявления формы его тренда. После этого приступают к статистической оценке параметров тренда.

В соответствии с определением тренда, форма его объективна и отражает закономерности развития изучаемого процесса. Задача исследователя заключается в выявлении реально существующей формы тренда, а затем уже в выборе того уравнения (типа линии), которое наилучшим образом аппроксимирует объективный тренд. С позиций признания объективного характера формы тренда исходный пункт исследования самого процесса развития заключается в выявлении его материальной природы, внутренних причин развития и его внешних условий. Такое исследование может установить ожидаемую форму тренда.

Производственные процессы значительно сложнее и априорно установить характер закона изменения какого-либо показателя обычно не удается.

Существует система иерархически соподчиненных тенденций (трендов) динамики. Трендом называют конкретное, в форме определенной монотонной кривой описание тенденции развития. Тенденцией же точнее называть объективно существующее свойство процесса, которое лишь приближенно отражается и описывается трендом определенного вида. Тенденцию в этом смысле можно отождествить с понятием «истинного тренда». Система иерархически соподчиненных трендов состоит из трендов первого порядка, каждый их которых имеет определенное направление. Тренд первого порядка отражает определенный однородный период развития. На различных этапах развития тренды первого порядка могут иметь разный характер. Система трендов объединяется общим трендом более высокого порядка, отражающего характер процесса развития в целом.

Теоретический анализ тренда дополняется исследованием его формы по фактическому динамическому ряду, что позволяет выявить тип тренда и измерить его конкретные параметры.

В первичном динамическом ряду колебания уровней не позволяют установить, соблюдается ли единая тенденция за весь период и какова ее форма. Простейшим методом, позволяющим в значительной мере абстрагироваться от колебаний и выявить тенденцию, служит метод среднегодовых уровней за отдельные периоды. Для достаточно надежного выявления формы тренда необходимо иметь 4-5 таких среднегодовых уровней. В то же время для того, чтобы в основном абстрагировать эти среднегодовые уровни от колеблемости, каждый из них должен являться обобщением урожайности за достаточно большое число лет с различными по благоприятности для выращивания культур условиями и уже не менее чем за пять лет. Для этого необходимо иметь в наличии исходный ряд значительной длительности.

Сравнительно несложной и эффективной является методика изучения тренда динамического ряда на основе его сглаживания с помощью скользящей средней. По ряду скользящих средних определяются характеристики, соответствующие параметрам основных линий, выражающих тенденцию: цепной абсолютный прирост (для прямой), цепной темп роста (для экспоненты), ускорение прирост (для параболы второго порядка). Затем ряд значение прироста разбивается на несколько частей, минимально - две, лучше - три, четыре, по критерию t. Проверяется существенность различий между средними приростами за эти подпериоды. Если развития не существенны при заданном уровне вероятности, то среднюю характеристику можно считать константой (среднегодовой абсолютный прирост), и поэтому выбирается соответствующая ей линия (прямая). Если различия абсолютных приростов существенны между всеми подпериодами, но не существенны различия средних темпов роста, выбирается экспонента; если несущественны различия ускорений - парабола второго порядка и т.д.

Весьма существенным методом выявления формы тренда служит графическое изображение динамического ряда и его анализ путем подбора линий.

Также существуют методы, не пригодные в целом для выявления формы тренда, которые могут быть использованы как вспомогательные средства на отдельных этапах анализа типа тренда. Это сравнение остаточной суммы квадратов отклонений фактических уровней от уровней выровненного ряда к сумме уровней исходного динамического ряда. Эти методы относятся к апостенения для отображения тренда и существования тренда на протяжении всего периода.

Одним из количественных методов выбора формы тренда является дисперсионный анализ с оценкой наличных эффектов, который применяется в основном для обработки экспериментальных данных, но с некоторыми поправками может быть применен к временным рядам для оценки формы тренда. Сущность метода состоит в оценке средних квадратов, относящихся к линейному, квадратическому и кубическому эффектам факторы времени и сравнение этих средних квадратов с остаточной дисперсией.

Установив форму тренда, определяют параметры тренда на основании эмпирического динамического ряда. Для любой из основных форм трендов существует один главный параметр - константа.

Для линейного тренда - это среднегодовой прирост, для экспоненциального - среднегодовой темп роста, для степенного и логистического - показатель степени при номерах лет t или при числе l, для логарифмического тренда

это коэффициент a₁ при логарифме. Остальные параметры, включая свободный член, могут зависеть от произвольного выбора начальной точки отчета времени.

Тренд представляет собой среднюю динамическую величину. Уравнение тренда и его основной параметр принадлежат к семейству средних статистических величин. Поэтому на них распространяется общее положение, относящееся к любой средней статистической величине: при рассмотрении данной эмпирической системы значений признака изолированно в пространстве или во времени средняя величина является сплошной и определяется однозначно без вероятности ошибки и доверительного интервала. Если же данная эмпирическая система рассматривается как часть более общей системы, средняя является выборочной оценкой генеральной средней величины и подлежит сопровождению ее стохастической ошибкой и доверительным интервалом.

Так основное практическое применение тренда состоит в прогнозировании процесса, то вероятностная оценка генеральных величин параметра тренда является необходимой при условии сохранения однородности причинного комплекса. Отсюда вытекает одна из первоочередных задач методики определения величины основного параметра тренда, состоящая в минимизации стохастической ошибки этого параметра.

Большинство статистиков решает задачу определения параметров тренда способом наименьших квадратов, минимизируя сумму квадратов отклонений отдельных уровней от тренда. Существуют методы построения «нормальных уравнений» способом наименьших квадратов для прямой линии, парабол второго и третьего порядка, экспоненциальной кривой. При этом целесообразно переносить начало отчета времени в середину выравниваемого динамического ряда, система нормальных уравнений заметно упрощаются и уменьшается объем вычислительной работы.

Другим приемом построения систем нормальных уравнений методом наименьших квадратов для тех типов уравнений тренда, которые приводимы к линейному виду, является замена переменных.

Среднегодовые цепные и базисные показатели динамики хорошо описывают развитие явления во времени, когда динамические ряды меняются плавно. Для рядов, подверженных значительной колеблемости эти показатели могут сильно искажать действительную тенденцию, так как величина их определяется значением уровней динамического ряда, стоящих на концах изучаемого периода. Поэтому применяют другие показатели, в меньшей степени зависящие от значений, стоящих на концах ряда. Эти показатели исчисляются на основе аналитического выравнивания. Под аналитическим выравниванием понимают оптимальное в смысле заданного критерия выравнивание динамического ряда с обязательным аналитическим выражением тренда в виде некоторой кривой. Так, для выражения среднегодового прироста, полученного с помощью аналитического выравнивания и называемого выровненным приростом, применяют только линейное уравнение, а для выражения показателя среднегодового коэффициента и темпа роста служит выравнивание ряда по показательной кривой. Если развитие экономического процесса происходит с ускорением, целесообразно наряду со средней скоростью исчислять и величину среднегодового ускорения, для чего динамический ряд выравнивают по параболе второго порядка.

Для определения параметров тренда в сильно колеблющемся ряду применяют метод многократного аналитического выравнивания, так как чем сильнее колебания и чем короче динамический ряд, тем больше влияние случайного распределения отклонений от тренда искажает значения параметров, полученных при однократном аналитическом выравнивании.

Показатели эффективности производства и влияющие на них факторы могут находиться в стохастической или функциональной связи. В первом случае для их изучения применяются вероятностные методы, во втором - методы функционального анализа, к котором относится индексный анализ. Он изучает изменение в динамике показателей под влиянием факторов, которые являются составными частями показателя и служит для изучения односторонних причинных связей, отражая на самом деле не причинные, а структурные или объемные изменения показателя и выражая тем самым следствия действительных причин.

2.2 Анализ колебаний уровней динамического ряда

Колебаниями уровней динамических рядов называют их отклонения от тренда, выражающего тенденцию изменения уровней. Колебания - процесс, протекающий во времени. Однако существует понятие «вариации колебаний», т.е. различие показателей колебаний за один и тот же период между территориями и между объектами.

Сельскохозяйственному производству наряду с сезонными колебаниями присущи колебания уровней урожайности и валового сбора в разные годы. Поэтому одной из важнейших задач производства в сельском хозяйстве является задача уменьшения колебаний объема сельскохозяйственной продукции в разные годы.

В любой отрасли производства и любом социальном процессе появляется динамическое единство необходимости и случайности, служащее общим причинным обоснованием существования колебаний.

Основными задачами статистического изучения колебаний производственных и социальных процессов являются:

- измерение силы колебаний;

- изучение типа колебаний, разложение сложных колебаний на разнородные составляющие;

- исследование изменений колебаний во времени, динамики колебаний;

- изучение вариации колебаний в пространственной или иной совокупности объектов;

- изучение факторов колебаний и ее статистико-математическое моделирование.

Основными абсолютными показателями, характеризующими силу колебаний, являются:

1) амплитуда, или размах колебаний - это разность между алгебраическим наибольшим за период отклонением от тренда и наименьшим алгебраическим отклонением.

, (2.1)

2) Среднее линейное отклонение (по модулю) рассчитывается по формуле (2.2)

, (2.2)

где Еt - отклонения фактических уровней от тренда

N - число уровней,

3) Основным абсолютным показателем колебаний считают среднее квадратическое отклонение. Если рассматриваемый период является выборкой, по которой делается оценка генеральной величины колебаний в данном процессе для целей прогнозирования (экстраполяции), то оценку генерального среднего квадратического отклонения вычисляют по формуле

, (2.3)

где Р - число параметров тренда, включая свободный член.

В число показателей колебаний помимо абсолютных должны входить и относительные показатели, роль которых заключается в том, что лишь в них выражается сравнимая для различных рядов мера интенсивности колебательного процесса. Относительные показатели строятся как отношения абсолютных показателей к среднему уровню ряда динамики за тот же период. Так, на основе среднего квадратического отклонения можно вычислить относительный показатель - коэффициент колебаний.

, (2.4)

По отношению к урожайности на основе опыта массового измерения колебаний по разным культурам и территориям при колебаемость можно характеризовать как слабую; при как умеренную; при - как сильную; при - как очень сильную.

Система показателей колебаемости должна быть дополнена показателями устойчивости как свойства, противоположного колебаемости.

Коэффициентом устойчивости называют величину равную:

(2.5)

или дополнение коэффициента колебаемости до единицы.

Существенной характеристикой колебаемотси является тип колебаний. Первичных, или «чистых», колебаний в динамических рядах можно выделить три: «пилообразная», или «маятниковая», колебаемость, при которой знаки отклонений от тренда чередуются строго поочередно; долгопериодическая, или циклическая, при которой несколько уровней подряд отклоняются от тренда в одну сторону, а затем несколько уровней - в противоположную сторону и т.д.; случайно распределенная во времени, при которой равновероятна любая последовательность знаков и величины отклонений от тренда.

Ни один из этих типов, как правило, не встречается на практике в чистом виде, но обычно один из типов является преобладающим для определенного процесса. Знание типа преобладающие колеблемости имеет большое практическое значение для прогнозирования и для разработки мероприятий по уменьшению колебаний либо по преодолению их отрицательных последствий. Так, при преобладании «пилообразной» колебаемости требуется значительно меньший страховой запас, чем при равной по интенсивности долгопериодической колеблемости, так как недобор продукции при первой из них сразу же в следующем году компенсируется ее повышением над средним уровнем тренда, а при втором типе несколько лет с недобором продукции следуют один за другим.

Разные типы колебаемости объясняются, как правило, разними причинами. Так «пилообразная» колебаемость - автоколебательным причинным механизмом.

Долгопериодическая колебаемось обычно связана с циклами внешних факторов: солнечная активность, смена времени года, гипотетические циклы метеорологических процессов. Случайную колебаемось обычно рассматривают как наложение или «интерференцию» многих разных по характеру и длине цикла колебательных процессов.

Для исследования типа колебаемость предложен ряд методов. Так, М.Дж. Кондэл предложил критерий «поворотных точек», или локальных экстремумов, в ряду отклонений от тренда. Им доказано, что при случайном распределении во времени колебаний число локальных экстремумов в среднем равно:

, (2.6)

при среднем квадратическом отклонении

(2.7)

При «пилообразной» колебаемости число «поворотных точек» будет точно равно N-2, а при долгопериодической - удвоенному числу циклов, уменьшающихся на длине периода N, поскольку каждый цикл содержит экстремума. Измерив фактическое число «поворотных точек» и сравнив его с ожидаемым при различных типах колебаний можно определить преобладающий тип колебаемости.

Другой метод определения типа колебаемости, при котором учитывается не только порядок чередования величин отклонений от тренда, но и сами эти величины - автокорреляционный анализ. Он состоит в вычислении коэффициентов автокорреляции в ряду отклонений от тренда со сдвигом на 1,2,3 и т.д. Полученная серия коэффициентов автокорреляции образует так называемую «автокорреляционную функцию». Уже по коэффициенту автокорреляции первого порядка, то есть со сдвигом на один год можно достаточно надежно судить о преобладающем типе колебаний.

Коэффициент автокорреляции первого порядка вычисляется по формуле

, (2.8)

При «пилообразной» колебаемости все произведения в числителе коэффициента будут отрицательны и будет получена существенная величина коэффициента. Напротив, при долгопериодической колеблемости подавляющая часть произведений - в числителе, притом наибольшее при абсолютной величине будут положительны, и в результате коэффициент автокорреляции окажется существенно положительным. При случайно распределенной во времени колебаемости одинаково вероятно любое чередование знаков отклонений от тренда. Поэтому окажется примерно поровну положительных и отрицательных произведений, а коэффициент окажется несущественно отличным от нуля. Существенность отличия коэффициента автокорреляции проверяется по специальным таблицам.

2.3 Прогнозирование на основе динамических рядов

Одно из важнейших практических применений статистического изучения тенденций динамики и колебаемости состоит в прогнозировании на его основе возможных оценок величины изучаемого признака. Прогнозирование на основе измерения тренда и колебаемости один из методов статистического прогнозирования.

Статистический прогноз - это вероятностная оценка возможностей развития того или иного объекта (процесса) и величины его признаков в будущем, полученная на основе статистической закономерности, выявленной по данным прошлого периода. Он предназначен либо для планирования управления объекта, либо для выработки стратегии поведения субъекта, если объект не управляем.

Статистический прогноз предполагает не только верное качественное предсказание, но и достаточно точное количественное измерение вероятных возможностей ожидаемых значений признаков. Для данной цели необходимо, чтобы прогностическая модель имела достаточную точность или допустимо малую ошибку прогноза. Ошибка статистического прогноза будет тем меньше, чем меньше срок упреждения - временной промежуток от базы прогноза до прогнозируемого периода, и чем длиннее база прогноза - прошлый период, однородный по закономерностям развития, на основе информации за который построена прогностическая модель. Для определения срока упреждения используют чисто эмпирическое правило: в большинстве случаев срок упреждения не должен превышать третьей части длины базы прогноза.

Ошибка прогноза связана прямой зависимостью с колебаемостью. Поэтому сила колебаний должна учитываться при выборе соотношения между длиной базы прогноза и сроком упреждения. Чем сильнее колебаемость, тем большим должно быть это соотношение.

Область применения метода прогнозирования не основе тренда и колебаемости весьма широка, что вытекает из большого значения изучения трендов и колебаемости в социально-экономических науках, а так же в процессе практического планирования и управления производством.

Одним из самых ярких примеров может служить прогнозирование урожайности на основе трендовой модели, а значит и объема продукции растениеводства, так как среди факторов, влияющих на урожайность, значительную роль играют метеорологические явления, которые в настоящее время наука не в состоянии прогнозировать даже на год в перед, а трендовая модель и измерение колебаемости позволяют рассчитывать вероятные границы прогнозируемой урожайности на несколько лет вперед.

Прогнозирование всегда опирается на опыт развития изучаемого явления в прошлом. Поэтому любой прогноз как выход за пределы изучаемого периода можно рассматривать как экстраполяцию.

Прогноз выражается как в виде точечной или интервальной оценке. Точечный прогноз есть оценка прогнозируемого показателя в точке (в конкретном году, месяце, дне, середине периода прогноза) по уравнению, описывающему тенденцию показателя.

Точечная оценка рассчитывается путем подстановки номера года, на который рассчитывается прогноз, в уравнение тренда. Она является средней оценкой для прогнозируемого интервала времени. Так, точечный прогноз указывает ту величину урожайности, на которую в среднем выйдет объект на прогнозируемый год, если тенденция динамики урожайности сохранится. Эту величину можно использовать в планирование.

Интервальный прогноз по типу прогнозируемого показателя распадается на три вида: прогноз вероятных границ тренда; прогноз вероятных границ уровней отдельных лет с учетом их возможной колебаемости относительно тренда; прогноз вероятных границ среднегодовых уровней динамического ряда.

Прогноз вероятных границ тренда для любого заданного года (срока упреждения) отвечает на вопрос о том, в границах какого интервала окажется с заданной вероятность уровень тренда в году с номером t_k, после того как станут известны все уровни y_i отдельных лет, начиная от следующего за концом базы прогноза уровня и до уровня в прогнозируемом году y_k (l - период упреждения, k-l - база прогноза).

При однократном выравнивании для определения параметра линейного тренда - среднегодового абсолютного прироста - средняя ошибка прогноза тренда для года с номером t_k, отсчитываемого от середины прогноза, вычисляется по формуле

, (2.9)

где - обозначение средней ошибки прогноза тренда;

- оценка среднего квадратического отклонения отдельных уровней от тренда;

N - число уровней динамического ряда.

Среднее квадратическое отклонение получают при однократном выравнивании. Из формулы следует, что ошибка прогноза тренда получается как дисперсия суммы. Первое слагаемое подкоренного выражения - это квадрат средней ошибки параметра а₀ - свободного члена уравнения линейного тренда, то есть средней ошибки уровня ряда, обратно пропорциональной числу членов ряда, рассматриваемого как выборка. Второе - это дисперсия оценки второго параметра а₁, то есть среднегодового прироста, умноженного на число лет от середины базы прогноза до прогнозируемого периода, так как ошибка в прогнозе возрастает пропорционально числу лет. Так как параметры а₀ и а₁ - линейно независимы, то применяется сложение по правилам дисперсии суммы независимых величин.

Для вычисления вероятных границ прогноза тренда необходимо среднюю ошибку прогноза умножить на величину t критерия или нормального распределения, чтобы получить вероятную ошибку прогноза тренда а.

а= (2. 10)

Вероятный интервал прогноза тренда равен точечному прогнозу плюс-минус вероятная ошибка

а, (2.11)

Вероятную ошибку и интервал целесообразно вычислять с достаточно близкими t единицы вероятности: Конкретный выбор вероятности или надежности прогноза зависит от его задач и от силы колебаний. При прогнозе конкретного, у ровня ряда динамики в силу того, что конкретный уровень зависит как от тренда, так и от колебаемости, средняя ошибка прогноза рассчитывается по формуле

, (2.12)

где - средняя ошибка тренда;

- среднее ожидаемое для прогнозируемого года отклонение конкретного уровня от тренда или абсолютной колебаемости.

При прогнозе среднегодового уровня на несколько лет рассчитывается точечный прогноз среднегодового абсолютного уровня. Если рассматривается динамика одномерного показателя, это есть средняя арифметическая величина из точечных прогнозов для всех лет усредняемого периода упреждения l:

, (2.13)

При линейных формах тренда среднего уровня и тренда среднего квадратического отклонения формула средней ошибки прогноза среднегодового уровня выглядит следующим образом

, (2.14)

Для оценки правильности статистического прогноза применяется методика ретроспективной оценки авторегрессионых прогнозов, основу которой составляет система показателей.

1. Показатель оправдываемости. Оправдавшимся считается прогноз, в доверительные границы интервала которого попало фактическое значение уровня. По группе прогнозов вычисляется показатель оправдываемости прогнозов j:

, (2.15)

где g_j - число оправдавшихся прогнозов;

g - общее число прогнозов.

Таким образом, показатель оправдываемости прогнозов - это доля оправдавшихся в достаточно однородной по характеру прогнозируемых процессов, достаточной большой для погашения случайностей группе прогнозов.

2. Абсолютное отклонение точного прогноза от фактического уровня:

, (2.16)

3. Относительное отклонение точечного прогноза от фактического уровня:

, (2.17)

Относительные отклонения сравнимы не только в пределах группы однородных качественно рядов динамики, но и для любых прогнозов, полученных одним и тем же методом. По средней величине относительного отклонения можно судить о качестве методики прогнозов.

Если основание этой методики: гипотеза о сохранении тренда до конца срока упреждения, сохранение типа колебаемости и ее тенденции, правильное отображение этих тенденций прогностическими уравнениями - справедливы, то средняя величина относительного отклонения прогнозов от фактических уровней должна быть близка к средней величине относительных ошибок, заложенных в методике самих прогнозов, то есть величине.

, (2.18)

где - средняя статистическая ошибка прогноза, уровня.

Близкое совпадение априорной величины средней относительной ошибки в группе прогнозов и средней фактической апостериорной величины прогнозов при их достаточно большом числе свидетельствует о правильности исходных предпосылок метода прогнозирования.

При этом испытуемая методика находится в неравных ухудшенных условиях, ибо, чем короче исходный динамический ряд, тем труднее верно определить форму и параметры тренда и колебаемости.

урожайность зерновой тренд динамика прогнозирование

3. прогнозирование урожайности зерновых культур с помощью тренда динамики

Для характеристики направления и интенсивности развития изучаемого явления рассчитаем систему показателей динамики посевной площади зерновых культур в Лебединском районе Сумской области цепными и базисными способами.

Таблица 3.1 Показатели динамики посевной площади зерновых культур в Лебединском районе Сумской области.

Годы	Посевная площадь, га	Абсолютный прирост	Темп роста, %	Темп прироста, %	Абсолютные значения
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
1994	62400	-	-	-	100	-	-	-
1995	61680	-720	-720	98,8	98,8	-1,2	-1,2	-
1996	59789	-1891	-2611	96,9	95,8	-3,1	-4,2	-
1997	57086	-2703	-5314	95,5	91,5	-4,5	-8,5	-
1998	56562	-524	-5838	99,1	90,6	-0,9	-9,4	-
1999	56234	-328	-6166	99,4	90,1	-0,6	-9,9	-
2000	55922	-312	-6478	99,4	89,6	-0,6	-10,4	-
2001	55261	-661	-7139	98,8	88,6	-1,2	-11,4	-
2002	54072	-1189	-8328	97,8	86,7	-2,2	-13,3	-
2003	52928	-1144	-9472	97,9	84,8	-2,1	-15,2	-
2004	45789	-7139	-16611	86,5	73,4	-13,5	-26,6	-
2005	43725	-2064	-18675	95,5	70,1	-4,5	-29,9	-
2006	52601	8876	-9799	120,3	84,3	20,3	-15,7	8876

Рассчитаем среднегодовой абсолютный прирост по формуле

, (3.1)

где S_n - конечный уровень ряда, га;

S₀ - начальный уровень ряда, га;

n - число уровней.

га

Определим среднегодовой темп роста по формуле

, (3.2)

За период 1994-2006 гг. в Лебединском районе Сумской области посевная площадь зерновых культур ежегодно сокращалась в среднем на 1,4% или 816,58 га.

Анализ цепных показателей динамики показал, что в период с 1994-2006 гг. происходило сокращение посевной площади зерновых культур по сравнению с предыдущим годом. Увеличение посевной площади происходило лишь в 2006 году на 20,3% или 8876 га.

Анализ базисных показателей динамики позволил установить, что на всем протяжении периода происходило неуклонное сокращение посевной площади зерновых культур по сравнению с 1994 годом, наибольшее сокращение посевной площади зерновых культур было отмечено в 2005 году на 29,9% или 18675 га.

Для проведения дальнейшего экономического анализа с целью составления прогноза урожайность зерновых культур в Лебединском районе Сумской области необходимо установить наличие тенденции динамики в динамических рядах урожайности зерновых культур.

Проверим гипотезу о существовании тенденции в динамическом ряду урожайность зерновых культур в Лебединском районе Сумской области.

Таблица 3.2 Динамика урожайности зерновых культур в Лебединском районе Сумской области

Годы	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Урожайность, ц/га	19,2	23,0	27,4	20,2	26,4	25,7	19,5	13,9	13,1	13,6	13,6	12,3	18,2

Разобьем динамический ряд урожайности зерновых культур на две части, каждая из которых представляет собой самостоятельную выборочную совокупность, имеющую нормальное распределение.

1994 - 1999 гг. - n₁ = 6 шт.

2000 - 2006 гг. - n₂ = 7 шт.

Принимаем нулевую гипотезу о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей. По каждой части ряда рассчитаем среднюю урожайность и дисперсию.

Среднюю урожайность рассчитаем по формуле:

, (3.3)

где - уровни динамического ряда;

n - число уровней ряда.

ц/га

ц/га

Рассчитаем дисперсию для каждой части ряда по формуле:

, (3.3)

ц/га²

ц/га²

Проверим гипотезу о равенстве дисперсий при уровне значимости

Рассчитаем F критерий по формуле

(3.4)

По специальной таблице значений Фишера табличное значение критерия Фишера F_табл. (0,0.5,6.7)= 3,87.

Так как F_табл. < F_ф (3,87<1,47), то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. По данным наблюдения выборочные дисперсии различаются незначительно, и расхождение между ними носит случайный характер.

Проверим основную гипотезу о равенстве средних.

Для этого рассчитаем Т критерий по формуле:

, (3.5)

По таблице «Значение критерия t Стьюдента при уровне значимости 0, <0, 0,05,0,01» на основе заданной вероятности (0,95) и числа степеней свободы n-2(13-2=11) определим табличное значение критерия t Стьюдента.

Так как (5,59>2,2010), то нулевая гипотеза о равенстве средних отвергается, расхождение между ними значимо, что позволяет сделать вывод о существование между ними значимо, что позволяет сделать вывод о существовании тенденции динамики в динамическом ряду урожайности зерновых культур в Лебединском районе Сумской области.

Так как урожайность меняется по годам более-менее равномерно, то для всех рядов динамики урожайности зерновых культур формой тренда может служить уравнение прямой линии.

, (3.6)

где - теоретические уровни;

- средняя урожайность;

- среднегодовой абсолютный прирост;

- обозначение времени.

Для определения параметров а и b способом наименьших квадратов решим систему нормальных уравнений

(3.7)

Так как t - обозначение времени, ему можно задать такие значения, чтобы сумма t была равна нулю. Система при этом упрощается:

(3.8)

Отсюда находим значения параметров a и b

(3.9)

(3.10)

Установим уравнение тренда для Лебединского района. Определим для этого параметры a и b, используя приложение 1.

ц/га

ц/га

Уравнение тренда имеет вид:



Подставляя в уравнение тренда значение t для каждого года рассчитаем теоретическую урожайность.

и т.д.

За период 1994-2006 гг. урожайность зерновых культур в Лебединском районе имела тенденцию снижения в среднем на 0,9 ц/га. Средняя урожайность за изучаемый период составила 18,9 ц/га.

Определим среднегодовой темп роста по выровненным уровням по формуле:

, (3.11)

где и - конечный и начальный теоретические уровни, рассчитанные по тренду.

n - число уровней.

Для Лебединского района среднегодовой темп роста равен:

За период 1988-2000 гг. урожайность зерновых культур в Лебединском районе ежегодно уменьшалась в среднем на 4,8% или на 0,9 ц/га.

Определим показатели колеблемости по Лебединскому району:

1) Размах колебаний. Рассчитывается по формуле (3.12)

ц/га

Рассчитаем размах колебаний по формуле:

(3.12)

где максимальный и минимальный уровни динамического ряда.

ц/га

В Лебединском районе разность между уровнями урожайности зерновых культур урожайного и неурожайного годов составила 15,1 ц/га; разность же между отклонениями фактических уровней от тренда - максимальным и минимальным составила 11 ц/га.

2) Среднее линейное отклонение равно

ц/га

За период 1994-2000 гг. урожайность зерновых культур в Лебединском районе отклонялось от уровня тренда на 3,3 ц/га.

3) Среднее квадратическое отклонение равно

ц/га

За период 1988-2000 гг. урожайность зерновых культур отклонялась от уровня тренда в среднем на 4,14 ц/га.

4) Коэффициент колеблем ости



Расчеты показали, что колеблемость урожайности является умеренной и составляет 21,9% среднего многолетнего уровня. Это означает, что урожайность зерновых культур в Лебединском районе ежегодно отклонялась от многолетнего уровня в среднем на 21,9%.

Рассчитаем коэффициент устойчивости равен:

, 78,1%

В среднем ввиду ежегодной колеблемости обеспечивается 78,1% уровня, рассчитанного по тренду.

Определим тип колебаний по числу «поворотных точек». Среднеожидаемое число поворотных точек в ряду случайно распределенных отклонений фактических уровней от тренда равно:

Среднее квадратическое отклонение:

По ряду отклонений фактических уровней от теоретических (см. приложение 1) определяем фактическое число поворотных точек

Так как входит в пределы то подтверждается гипотеза о случайном распределении колебаний урожайности зерновых культур во времени.

Таблица 3.3 Уравнения основной тенденции динамики, показатели колеблемости, определение степени и типа колеблемости урожайности зерновых культур в Лебединском районе

Средняя урожайность ц/га	Уравнение тренда, t=0 в 1994 г.	Показатели колеблемости	Степень колеблемости	Коэффициент устойчивости	Фактическое число «поворотных точек»	Кm26	Тип колеблемости
		абсолютные	относительный, %
18,9	=18,9-0,9t	15,1	3,3	4,14	21,9	умеренное	78,1	6	7332,82	случай-ный

Так как рассчитанный выше показатель устойчивости не отражает эволюции уровней и характеризует устойчивость уровней ряда при минимальных колебаниях, то для оценки устойчивости динамики урожайности зерновых культур рассчитаем коэффициент корреляции рангов Спирмента, который определяется по формуле (3.13):

(3.13)

где d - разность рангов уровней изучаемого ряда и рангов лет в ряду;

n - число пар наблюдений.

Коэффициент рангов лет и уровней динамического ряда может принимать значения в пределах от 1 до 1. Если уровень каждого года выше предыдущего, то ранги уровней ряда и лет совпадают, т.е. непрерывность роста. При К_р =0 рост неустойчив. Чем ближе К_р к -1, тем устойчивее снижение изучаемого показателя.

Рассчитаем коэффициент корреляции рангов Спирмена для урожайности зерновых культур по Лебединскому району:

Таблица 3.4

Годы	ранги	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Урожайность, ц/га	19,2	23,0	27,4	20,2	26,4	25,7	19,5	13,9	13,1	13,6	13,6	12,3	18,2
pt	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
py	7	10	13	9	12	11	8	5	2	3	4	1	6
d	6	8	10	5	7	5	1	-3	-7	-7	-7	-11	-7
d2	36	64	100	25	49	25	1	9	49	49	49	121	49

Рассчитанный коэффициент устойчивости динамики урожайности зерновых культур в Лебединском районе свидетельствует о наличии устойчивого снижения изучаемого показателя.

В процессе экономического анализа важно установить роль систематической и случайной колеблемости урожайности зерновых культур. Для этого рассчитываются следующие показатели:

- Общая дисперсия

, (3.14)

где - фактические уровни ряда; - средний уровень ряда за период; n - число уровней.

По Лебединскому району общая дисперсия равна



Этот показатель характеризует общую колебаемость урожайности зерновых культур, обусловленную как стихийными метеорологическими факторами, так и управляемыми факторами.

- Остаточная (случайная) дисперсия. Рассчитывается по формуле:

(3.15)

Этот показатель обобщает отклонения фактической урожайности от теоретической, обусловленные в основном причинами, не зависящими от человека и прежде всего метеорологическими условиями.

- Коэффициент случайной колеблемости. Характеризует роль случайных факторов в общей колеблемости урожайности, чем ниже этот показатель, том меньше зависит урожайность от метеофакторов. Он рассчитывается по формуле (3.16):

(3.16)

За период 1994-2006 гг. в ежегодной колеблемости урожайности зерновых культур в Лебединском районе роль случайных факторов, не зависящих от человека, измерялась 54%.

- Факторная (объясненная) дисперсия

(3.17)

Этот показатель характеризует систематическую колеблемость урожайности зерновых культур, обусловленную управляемыми факторами.

- Коэффициент детерминации. Характеризует влияние величины факторной дисперсии на общую дисперсию чем больше этот показатель, тем больше зависит урожайность от уровня агротехнических мероприятий и других управляемых факторов, и наоборот.

Он рассчитывается по формуле:

(3.18)

За период 1994-2006 гг. в ежегодной колеблемости урожайности зерновых культур в Лебединском районе роль управляемых факторов измерялась 46%

- Индекс корреляции. Рассчитывается по формуле:

(3.19)

Этот показатель характеризует зависимость урожайности от уровня агротехники, организации и управления производством. Зависимость между урожайностью и управляемыми факторами в Лебединском районе сильная. Коэффициент корреляции существенен, так как согласно критерию Фишера при доверительной вероятности 0,95 и n = 13 существенными являются коэффициенты корреляции свыше 0,5139.

Теперь составим точечный и интервальный прогноз урожайности зерновых культур в Лебединском районе Сумской области на 2008 год. За период 1994-2006 гг. в Лебединском районе уравнение тренда урожайности зерновых культур составило

Обозначение времени t в 2008 году будет равно восьми (t₍₂₀₀₈₎ = 8).

ц/га.

Интервальный прогноз рассчитывают с учетом ежегодной колеблемости урожайности. Зная коэффициент колеблемости, рассчитаем среднее квадратическое отклонение для 2008 года по формуле:

ц/га

В 2008 году урожайность зерновых культур в Лебединском районе будет в пределах .

Составим прогноз среднегодового уровня урожайности зерновых культур по Лебединскому району 2007-2008 гг. Для этого сначала рассчитаем среднюю урожайность для года, стоящего в середине срока упреждения, так как точечный прогноз среднегодового уровня равен точечному прогнозу уровня, рассчитанного по тренду для года, стоящего в середине срока упреждения. Уравнение тренда по Лебединскому району имеет вид:



Средняя урожайность в 2008 году будет равна

Рассчитаем среднюю ошибку прогноза среднегодовой урожайности. Для этого сначала определим среднюю ошибку точечного прогноза для однократного выравнивания по прямолинейному тренду по формуле (9)

ц/га

Тогда средняя ошибка прогноза среднегодовой урожайности по формуле (14) равна

ц/га

Вероятная ошибка прогноза с вероятностью 0,95 (t критерий Стьюдента при числе степеней свободы n-2(13-2=11) и уровне значимости 0,05 равен 2,2010 составляет ц/га. Таким образом с вероятностью 0,95 следует ожидать среднегодовой уровень урожайности зерновых культур в Лебединском районе за 2007-2008 гг. в пределах ц/га.

Выводы

Система статистических методов изучения динамики явлений позволяет определить, как развиваются общественные явления: растут или уменьшаются их размеры, быстро или медленно происходят эти изменения и так далее. Изучения поступательного развития и изменений общественных явлений - одно из основных заданий статистики.

Решается оно на основе анализа динамических рядов. Построение и исследование рядов динамики имеет большое значение для выявления развития общественных явлений в их взаимосвязи и взаимозависимости, позволяет выразить изменения количественно, служит базой оценки и прогнозирования социально-экономического развития общества.