Статистический анализ простой линейной регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим статистический анализ простой линейной регрессии на следующем примере.

Пример 9.1. Автосервисное предприятие имеет следующие данные по стоимости ежегодного технического обслуживания автомобилей определенной марки в зависимости от времени эксплуатации.

Выполнить следующие расчеты:

1) для линейной регрессии y на x вычислить остатки e_i, i=1,2,…,n; остаточную сумму квадратов ; оценку дисперсии ошибок наблюдений S², коэффициент детерминации R²;

2) вычислить доверительные интервалы для параметров регрессии и для дисперсии ошибок наблюдений при доверительной вероятности 0,95;

3) вычислить сумму квадратов, обусловленную регрессией по одной из формул:

4) проверить тождество: ;

5) проверить гипотезу о незначимости модели Н₀ : = 0 по критерию Фишера и используя доверительный интервал для .

6) построить график остатков;

7) вычислить статистику Дарбина-Уотсона;

8) вычислить доверительные интервалы для среднего предсказанного значения и индивидуального предсказанного значения при х₀ =13.

Решение.

Используем результаты расчётов полученные ранее в примере 9.1. Объем выборки наблюдений n=11.

Оценка коэффициента корреляции r=0,9618. Оценки параметров линейной регрессии:

Уравнение выборочной линейной регрессии y на x имеет вид:

.

1) Для линейной регрессии y на x вычислим остатки:

Остаточная сумма квадратов :

.

Оценка дисперсии ошибок наблюдений:

где - число оцениваемых параметров; для простой линейной регрессии =2.

Коэффициент детерминации :

2) Оценки дисперсии и соответственно равны:

,

,

и

Доверительные интервалы для параметров линейной регрессии вычисляются по следующим формулам:

для : ;

для : ;

где - квантиль распределения Стъюдента с (n-k) степенями свободы порядка .

При доверительной вероятности , (по табл.). Окончательно имеем следующие значения доверительных интервалов:

для :

для

Таким образом оба коэффициента регрессии и значимы на уровне значимости , т.к. 95% доверительные интервалы для и не включают ноль.

Доверительный интервал для дисперсии ошибок наблюдений определяется по формуле:

,

где и - квантили распределения c степенями свободы. По таблице имеем:

Таким образом доверительный интервал для дисперсии ошибок наблюдений имеет вид:

,

или окончательно:

3) Сумма квадратов, обусловленная регрессией

Q_R =

(сравните результаты расчета с результатами дисперсионного анализа, рис. 6.8)

4) Проверяем тождество:

5) Проверим гипотезу о незначимости регрессионной модели по критерию Фишера. Выборочное значение статистики Фишера F равно:

линейный регрессия дисперсия фишер

F_в =

Так как F_в больше квантили распределения Фишера (по табл.)

то гипотезы отклоняется: регрессионная модель значима. Тот же результат получим используя девяносто пяти процентный доверительный интервал для .

Так как 95% доверительный интервал для не накрывает 0, гипотеза отклоняется на уровне значимости

6) График остатков. В данном примере число остатков мало поэтому сделать какие-либо выводы о выполнении предположений регрессионного анализа по графику остатков нельзя.

7) Вычислим статистику Дарбина-Уотсона

для критических значений статистики Дарбина-Уотсона в таблице (см. Приложение) нет. Поэтому проверить гипотезу о некоррелированности остатков при столь малом числе наблюдений нельзя.

8) Вычислим доверительные интервалы для предсказанных значений предполагая что регрессионная модель адекватна результатам наблюдений.

Найдем предсказанное значение стоимости технического обслуживания автомобиля при времени эксплуатации 13 лет:

Границы доверительного интервала для среднего предсказанного значения вычисляются по формуле:

В данном примере, при доверительной вероятности доверительный интервал для среднего предсказанного значения при , (по таблице) равен:

Чтобы вычислить доверительный интервал для индивидуального предсказанного значения оценка дисперсии должна включать еще один источник вариации - разброс относительно линии регрессии, определяемый дисперсией Таким образом, доверительный интервал для индивидуального значения вычисляется по формуле:

В рассматриваемом примере для индивидуального предсказанного значения Y при x₀₁=13, получим следующие значения границ доверительного интервала:

Размещено на Allbest.ru