Автокореляційні моделі та оцінка їх параметрів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

на тему:

"Автокореляційні моделі та оцінка їх параметрів"

Природа автокореляції та її наслідки

Розглянемо класичну лінійну багатофакторну модель

або в матричному вигляді

де у - вектор-стовпець залежної змінної розмірності (nх 1); X - матриця незалежних змінних розмірності (n х (m + 1)); a - вектор-стовпець невідомих параметрів розмірності ((m + 1) х 1); u вектор-стовпець випадкових помилок розмірності (n х 1);

Одним із припущень класичного регресійного аналізу є припущення про незалежність випадкових величин u, і = 1, ..., n, тобто якщо це припущення порушується (незважаючи на те, що дисперсія залишків є сталою - наявна гомоскедастичність), то ми маємо справу з явищем, яке називається автокореляцією залишків.

Важливо зрозуміти, що спричинює автокореляцію, які її практичні та теоретичні наслідки, чи є ефективні методи тестування наявності автокореляції, чи змінюються методи знаходження невідомих параметрів моделі в умовах автокореляції.

Автокореляція залишків виникає найчастіше тоді, коли економетрична модель будується на основі часових рядів. Якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої незалежної змінної, то спостерігатиметься й кореляція послідовних значень залишків, так звані лагові затримки (запізнювання) в економічних процесах.

Автокореляція може виникати через інерційність і циклічність багатьох економічних процесів. Провокувати автокореляцію також може неправильно специфікована функціональна залежність у регресійних моделях.

Отже, як і у випадку гетероскедастичності, дисперсія залишків

Але при гетероскедастичності змінюються дисперсії залишків за відсутності їх коваріації, а при автокореляції існує коваріація залишків за незмінної дисперсії.

Зазначимо, що за наявності автокореляції залишків, як і за наявності гетероскедастичності, дисперсія залишків має вигляд

однак матриця Q матиме тут інший вигляд:

де параметр р характеризує коваріацію кожного наступного значення залишків із попереднім.

Так, якщо для залишків записати авторегресійну модель першого порядку

то р характеризує силу зв'язку величин залишків у період t з величинами залишків у період t-1.

Якщо проігнорувати матрицю Q при визначенні дисперсії залишків і для оцінювання параметрів моделі застосувати МНК, то можливі такі наслідки:

1. Оцінки параметрів моделі можуть бути незміщеними, але неефективними, тобто вибіркові дисперсії вектора оцінок a можуть бути невиправдано великими.

2. Статистичні критерії t- і ^-статистик, які отримані для класичної лінійної моделі, не можуть бути використані для дисперсійного аналізу бо їх розрахунок не враховує наявності коваріації залишків.

3. Неефективність оцінок параметрів економетричної моделі, як правило, призводить до неефективних прогнозів, тобто прогнозні значення матимуть велику вибіркову дисперсію.

Висновки. За наявності автокореляції поширеним методом оцінювання невідомих параметрів є узагальнений метод найменших квадратів, який було розглянуто в попередньому розділі. Отримані за допомогою УМНК оцінки є незміщеними та ефективними.

Тестування наявності автокореляції

Тестування наявності автокореляції, як правило, здійснюється за d-тестом Дарбіна - Уотсона, хоча існують й інші не менш відомі тести: критерій фон Неймана, нециклічний коефіцієнт автокореляції, циклічний коефіцієнт автокореляції.

Критерій Дарбіна -- Уотсона (складається з кількох етапів і включає зони невизначеності) Крок 1. Розраховується значення d-статистики за формулою

Зауваження. Доведено, що значення d-статистики Дарбіна - Уотсона перебуває в межах 0 < DW< 4.

Крок 2. Задаємо рівень значущості а. За таблицею Дарбіна - Уотсона при заданому рівні значущості а, кількості факторів m і кількості спостережень n знаходимо два значення DW1 і DW2 :

. Якщо 0< DW< DW1 , то наявна додатна автокореляція.

. ЯкщоDW 1 <DW< DW2 або 4 - DW2< DW< 4 - D W, ми не можемо зробити висновки ані про наявність, ані про відсутність автокореляції (DW потрапляє в зону невизначеності).

. Якщо 4-DW1 < DW < 4, маємо від'ємну автокореляцію.

. Якщо DW < DW < 4-DW2, то автокореляція відсутня.

Графічне зображення розподілу ілюструє

Рис. Зони автокореляційного зв'язку за критерієм Дарбіна - Уотсона

Критерій фон Неймана

Розраховується

Звідси

Фактичне значення критерію фон Неймана порівнюється з табличним при вибраному рівні значущості а і заданій кількості спостережень: Qтабл = Q(a n) .

Коефіцієнти автокореляції та їх застосування

Окрім статистик Дарбіна - Уотсона та Неймана, для перевірки автокореляції застосовують також нециклічний коефіцієнт автокореляції r*, який відображає ступінь взаємозв'язку рядів u1,u2,..., un і обчислюється за формулою

Коефіцієнт r* може набувати значень в інтервалі (-1,1). Його від'ємні значення свідчать про від'ємну автокореляцію залишків, а до-датні - про додатну автокореляцію. Значення, що лежать в деякій кри-тичній області поблизу нуля, підтверджують нульову гіпотезу про відсутність автокореляції в залишках. Оскільки ймовірнiсний розподіл r* встановити важко, то на практиці замість r* обчислюють циклічний коефіцієнт автокореляції r0. Загалом, якщо часовий ряд має циклічний характер, тобто припускається, що після значення uх загальний характер зміни членів ряду повторюється, то автокореляцію визначають за допомогою коефіцієнта r0, запровадженого Андерсоном.

У цьому разі автокореляція визначається між послідовностями, зсунутими на період х:

Якщо період х = 1, то маємо коефіцієнт циклічної автокореляції першого порядку, який відбиває інтенсивність взаємозв'язку між послідовностями

Для досить довгих рядів вплив циклічних членів стає незначним, тому ймовірнісний розподіл коефіцієнта r* наближається до ймовірнісного розподілу коефіцієнта циклічної автокореляції r0, який обчислюється за формулою

Якщо останній член ряду дорівнює першому, тобто u1=un, то нециклічний коефіцієнт автокореляції дорівнює циклічному. Очевидно, якщо залишки не містять тренда, то припущення про рівність u1 = un недалеке від дійсності й циклічний коефіцієнт автокореляції близький до нециклічного. Крім того, припускаючи, що середня залишків дорівнює нулю, тобто u = 0 а отже,

отримуємо приблизну формулу для обчислення циклічного коефіцієнта автокореляції:

причому r (-1,1). Значення r використовується при оцінюванні параметрів моделі.

Параметризація моделі з автокорельованими залишками

Зазначимо, що параметри моделі з автокорельованими залишками можна оцінити на основі чотирьох методів:

1) Ейткена (УМНК);

2) перетворення вихідної інформації;

3) Кочрена-Оркатта;

4) Дарбіна.

Перші два методи доцільно застосовувати тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю першого порядку:

Ітераційні методи Кочрена - Оркатта і Дарбіна можна застосовувати для оцінки параметрів економетричної моделі й тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю вищого порядку:

Метод Ейткена

Як зазначалося, оператор оцінювання УМНК можна записати так:

Оскільки в Q коваріація залишків ps --> 0 при S > 2, то матриця Q-1 матиме вигляд

На практиці для розрахунку р використовується співвідношення

Метод Кочрена - Оркатта

Зауваження. Метод Кочрена - Оркатта є ітераційним методом наближеного пошуку оцінок параметрів моделі з автокорельованими залишками, який базується на МНК.

Крок 1. Довільно вибрати значення параметра р, наприклад р = r1. Підставивши його у обчислити a0(1) і a1(1).

Крок 2. Покласти a0 = a(0) і a1=a1(1); підставивши їх у рівняння, обчислити p=r1.

Крок 3. Підставити в рівняння значення р=r2, знайти

a0(2) і a1(2).

Крок 4. Використати a0 =а(0) і a1 = a1(2) для мінімізації суми квадратів залишків (6.14) за невa0домим параметром р = r3. Процедуру повторювати доти, доки наступні значення параметрів a0, a1 і р не відрізнятимуться менш як на задану величину.

Зазначимо, що наведений метод завжди забезпечує:

- знаходження глобального оптимуму;

- порівняно добру збіжність.

Приклад оцінювання параметрів моделі з автокорельованими залишками

На основі двох взаємопов'язаних часових рядів про роздрібний товарообіг і доходи населення побудувати модель, що характеризує залежність роздрібного товарообігу від доходу.

Вихідні дані наведено в таблиці.

Розв'язання.

1. Ідентифікуємо змінні моделі: yt - роздрібний товарообіг у період t, залежна змінна; xt - дохід у період t, пояснююча змінна;

yt=f (xt, ut ), де ut - стохастична складова (залишки).

2. Специфікуємо модель у лінійній формі:

yt = a0 + a1x1 + u; yt=a0 +a1xt; ut =yt - yt.

3. Визначимо a0, a1 на основі МНК, припустивши, що залишки некорельовані:

Отже, модель має вигляд

4. Знайдемо оцінені значення yt на основі отриманої моделі та визначимо залишки ut.

Рис.1

5. Обчислимо оцінку статистики Дарбіна - Уотсона:

Задамо б = 0,05 і при п = 10 та т= 1 знайдемо за таблицею статистики Дарбіна - Уотсона критичні значення критерію: Ш1= 0,604 - нижня межа; Ш2= 1,001 - верхня межа.

Оскільки DW1 < DW < DW2, то з похибкою щонайбільше у 5 % випадків можна стверджувати, що автокореляція залишків ut невизначена.

Завдання для самостійної роботи: перевірити автокореляцію залишків моделі на основі критерію фон Неймана.

Щоб оцінити параметри моделі з автокорельованими залишками, використаємо УМНК. Оператор оцінювання

де Q -дисперсійно-коваріаційна матриця залишків, яка має вигляд

Щоб сформувати Q або S, необхідно знати величину р, яка характеризує взаємозв'язок між послідовними членами ряду залишків.

Припустимо, залишки описуються автокореляційною моделлю першого порядку:

Отже,

6. Розрахуємо:

Отже, yt = 3,20236 + 0,834594*t

7. Знайдемо оцінені значення yt на основі побудованої моделі та визначимо її залишки V{

Рис.2

8. Розрахуємо статистику Дарбіна - Уотсона:

Порівняємо статистику Дарбіна - Уотсона з критичними значеннями при б= 0,05, п = 10 та т = 1.

Оскільки DW2 < DW < 4-DW2, робимо висновок, що ми усунули автокореляцію залишків. А це в свою чергу означає, що дотримується гіпотеза про те, що залишки описуються авторегресійною схемою першого порядку. Якщо залишки описуються авторегресійною схемою вищого порядку, доцільно оцінити параметри моделі методом Кочрена - Оркатта або Дарбіна.

9. Прогноз: Співвідношення, що визначає прогнозний рівень залежної змінної, має вигляд: уп+1 = хп+1а. Отже,

Це означає, що прогнозний рівень роздрібного товарообігу на (u+1)-й рік становить 49,105085.

Список використаної літератури

1. Демиденко Е. 3. Линейная и нелинейная регрессии. -- М.: Финансы и статистика, 1981. -- 302 с.

2. Дружинин В. В., Конторов Д. С. Проблемы системологии. Проблемы теории сложных систем. -- М.: Радио и связь, 1986. -- 296 с.

3. Дружинин В. В., Конторов Д. С. Системотехника. -- М.: Радио и связь, 1985. - 200 с.

4. Дюран Б., Одел П. Кластерный анализ. -- М.: Статистика, 1977. -- 128 с.

5. Емельянов А. С. Общественное производство: Динамика, тенденции, модели. - К.: Наук, думка, 1980. - С. 347-409.

6. Емельянов А. С, Кузьменко В. П. Многорегиональная эконометрическая модель УКР-3: Плановое управление экономикой развитого социализма: В 5 т. -- К.: Наук, думка, 1985. -- Т. 1. Народнохозяйственные процессы, их планирование и прогнозирование. -- С. 285-289.

7. Иванова В. М. Экономическая теория. Основы бизнеса / Ред. совет: А. Д. Смирнов, В. Ф. Максимова и др. - М.: СОМИНТЭК, 1991. -Ч. IV. Эконометрика.

8. Ивахненко А. Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами. -- К.: Тэхника, 1975. -- 312 с.

автокореляція коефіцієнт залишок

Размещено на Allbest.ru