Системы эконометрических уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Системы эконометрических уравнений

экономический квадрат идентифицируемый уравнение

Объектами изучения в экономике являются сложные системы. При использовании отдельных уравнений регрессии предполагается, что факторы можно изменять независимо друг от друга. Однако практически изменение одной переменной влечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. Поэтому сложные экономические системы описываются с помощью систем одновременных уравнений. Так, например, при изучении модели спроса как соотношения цен и количества потребляемых товаров необходимо изучать одновременно и модель потребления, где также рассматривается связь между количеством и ценой потребляемых благ.

Системы взаимосвязанных уравнений могут иметь различную структуру. Если имеется несколько переменных , рассматриваемых как функции, зависящие от одного набора факторов , то уравнения называются независимыми:

Если зависимая переменная каждого уравнения системы входит как фактор в последующие уравнения, система называется рекурсивной:

Если одни и те же переменные в одних уравнениях являются зависимыми, а в других входят как факторы, уравнения системы называются взаимосвязанными, совместными или одновременными:

В эконометрике такая система уравнений называется также структурной формой модели.

Примером может служить модель динамики цены и заработной платы вида

где: - темп изменения месячной заработной платы;

- темп изменения цен;

- процент безработных;

- темп изменения постоянного капитала;

- темп изменения цен на импорт сырья.

Для нахождения параметров каждого из независимых уравнений отдельно применяется МНК. Параметры рекурсивных уравнений находятся последовательно с помощью МНК. Рассмотрим методы решения систем одновременных уравнений.

Переменные, которые определяются внутри системы, называются эндогенными и обычно обозначаются через . Независимые переменные, которые определяются вне системы, называются экзогенными и обычно обозначаются через . Предопределенными называются экзогенные и лаговые эндогенные переменные.

Система одновременных уравнений может быть записана в структурной или приведенной форме.

Простейшая структурная форма имеет вид:

,

коэффициенты при переменных в правой части называются структурными коэффициентами модели.

Если выразить из первого уравнения:

и подставить во второе, получим:

Или

.

Аналогично выражая из второго уравнения, получим выражение для :

.

Эти выражения образуют приведенную форму модели:

,

где

, , , .

Легко видеть, что коэффициенты приведенной формы нелинейно выражаются через структурные коэффициенты.

По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от независимых уравнений, поэтому ее можно решать обычным МНК, получив оценки для . Однако нашей задачей является получение оценок для коэффициентов структурной модели, которые можно попытаться выразить через коэффициенты приведенной формы модели.

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. С точки зрения идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

идентифицируемые, т.е. такие, в которых все структурные коэффициенты однозначно определяются по коэффициентам приведенной формы;

неидентифицируемые, т.е. такие, в которых число приведенных коэффициентов меньше числа структурных, в результате чего не все структурные коэффициенты можно оценить через коэффициенты приведенной модели;

сверх идентифицируемые, т.е. такие, в которых число приведенных коэффициентов больше числа структурных, в результате чего структурные коэффициенты не могут быть однозначно оценены через коэффициенты приведенной модели.

Если обозначить число эндогенных переменных в уравнении через , а число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе через , то условие идентифицируемости можно записать в виде следующего правила:

при уравнение идентифицируемо;

при уравнение неидентифицируемо;

при уравнение сверх идентифицируемо.

Достаточным условием идентификации уравнения является не вырожденность матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении (т.е. отличие от нуля ее определителя). Ранг этой матрицы должен быть не мене.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, а для решения сверх идентифицируемого - двух шаговый метод наименьших квадратов.

Косвенный МНК состоит из следующих этапов.

Структурную модель преобразуют в приведенную форму модели.

Для каждого уравнения оценивают параметры обычным МНК.

С помощью алгебраических преобразований возвращаются к структурной форме, получая отсюда оценки параметров структурной формы уравнений.

Двух шаговый МНК состоит в том, что после нахождения параметров приведенных уравнений обычным МНК, находят расчетные значения эндогенных переменных, входящих в правую часть соответствующего уравнения и, подставляя их в исследуемое структурное уравнение как исходные данные, находят его коэффициенты с помощью МНК.

Пример. Проверить идентифицируемость системы:

Решение.

Модель имеет три эндогенные () и три экзогенные () переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентифицируемости.

Первое уравнение.

(), (),

следовательно, выполняется необходимое условие идентифицируемости (2=1+1). В первом уравнении отсутствуют и . Составим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях:

.

Определитель не равен нулю, ранг матрицы равен двум. Следовательно, уравнение точно идентифицируемо. Аналогично проверяем второе и третье уравнения.

Размещено на Allbest.ru