Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Понятие выборочного метода и выборок

1.1 Основы выборочного метода

Выборочное наблюдение - одно из наиболее современных видов статистического наблюдения. Выборочное наблюдение - это такое наблюдение, при котором обследованию подвергается часть единиц изучаемой совокупности, отобранных на основе научно разработанных принципов, обеспечивающих получение достаточного количества достоверных данных, для того чтобы охарактеризовать всю совокупность в целом.

Средние и относительные показатели, полученные на основе выборочных данных, должны достаточно полно воспроизводить или репрезентатировать соответствующие показатели совокупности в целом.

Логика выборочного наблюдения

1) определение объекта и целей выборочного наблюдения;

2) выбор схема отбора единиц для наблюдения;

3) расчет объема выборки;

4) проведение случайного отбора установленного числа единиц из генеральной совокупности;

5) наблюдение отобранных единиц по установленной программе;

6) расчет выборочных характеристик в соответствии с программой выборочного наблюдения;

7) определение ошибки, ее размера;

8) распространение выборочных данных на генеральную совокупность;

9) анализ полученных данных.

Основные преимущества

1) Выборочное наблюдение можно осуществить по более широкой программе.

2) Выборочное наблюдение более дешевое с точки зрения затрат на его проведение.

3) Выборочное наблюдение можно организовать тогда и в тех случаях, когда отчетностью мы воспользоваться не можем.

Основные недостатки

1) Полученные данные всегда содержат в себе ошибку, о результатах наблюдения можно судить лишь с определенной степенью достоверности. Но по сравнению с другими видами наблюдения это достоинство выборочного метода.

2) Для его проведения требуются квалифицированные кадры.

Вся совокупность единиц, из которых производится отбор, называется генеральной. Совокупность единиц отобранных называется выборочной.

1.2 Простая случайная выборка

выборочное наблюдение совокупность статистический моментный

Простая случайная выборка (Simple Random Sampling - SRS) - Вероятностный метод выборки, согласно которому каждый элемент генеральной совокупности имеет известную и равную вероятность отбора. Каждый элемент выбирается независимо от каждого другого элемента, и выборка формируется произвольным отбором элементов из основы выборки. При простой случайной выборке отбор единиц в выборочную совокупность производится непосредственно из всей массы единиц генеральной совокупности в форме случайного отбора, при котором каждой единице генеральной совокупности обеспечивается одинаковая вероятность (возможность) быть выбранной. Единица отбора совпадает с единицей наблюдения. Случайный отбор осуществляется путем применения жеребьевки (лотереи) или путем использования таблиц случайных чисел.

Случайный отбор может быть проведен в двух формах: в форме возвратной (повторной) выборки и в форме безвозвратной (бесповторной) выборки. При повторном отборе вероятность попадания каждой единицы генеральной совокупности остается постоянной, так как после отбора какой-то единицы она снова возвращается в генеральную совокупность и может быть выбранной. При бесповторном отборе выбранная единица не возвращается в генеральную совокупность и вероятность попадания отдельных единиц в выборку все время изменяется (для оставшихся единиц она возрастает).

Применение простой случайной повторной выборки на практике весьма ограниченно; обычно используется бесповторная выборка.

Теорема П.Л. Чебышева утверждает принципиальную возможность определения генеральной средней по данным случайной повторной выборки. Теорема Чебышева дополняется теоремой А.М. Ляпунова, которая позволяет рассчитать максимальную ошибку выборочной средней при данном достаточно большом числе независимых наблюдений. Согласно этой теореме при достаточно большом числе независимых наблюдений в генеральной совокупности с конечной средней и ограниченной дисперсией вероятность того, что расхождение между выборочной и генеральной средней (х-х) не превзойдет по абсолютной величине некоторую величину t\i, равна интегралу Лапласа.

Приведем наиболее часто употребляемые уровни доверительной вероятности и соответствующие значения t для выборок достаточно большого объема (п > 30):

Величина средней ошибки в условиях большой выборки (п > 30) рассчитывается по известным из теории вероятностей формулам:

а) при случайной повторной выборке:

б) при случайной бесповоротной выборке:

При расчете ошибок возникает существенное затруднение: величины а и р по генеральной совокупности неизвестны. Эти величины в условиях большой выборки заменяют величинами S (выборочная дисперсия) и w (выборочная доля), рассчитанными по выборочным данным.

Формулы предельной ошибки позволяют решать задачи трех видов:

1. Определение пределов генеральных характеристик с заданной степенью надежности (доверительной вероятностью) на основе показателей, полученных по данным выборки.

Доверительные интервалы для генеральной средней:

Доверительные интервалы для генеральной доли:

2. Определение доверительной вероятности того, что генеральная характеристика может отличаться от выборочной не более чем на определенную заданную величину.

Доверительная вероятность является функцией от t, определяемой по формуле:

По величине t определяется доверительная вероятность по удвоенной нормированной функции Лапласа.

3. Определение необходимого объема выборки, который с практической вероятностью обеспечивает заданную точность выборки.

Для расчета объема выборки необходимо иметь следующие данные:

а) размер доверительной вероятности;

б) коэффициент t, зависящий от принятой вероятности;

в) величину) в генеральной совокупности; они заменяются величинами, полученными в предшествующих обследованиях или при пробных выборках;

г) величину максимально допустимой ошибки;

д) объем генеральной совокупности

1.3 Определение необходимой численности выборки

Вся совокупность из которой производится выборка называется генеральной совокупностью.

А совокупность единиц попавших в выборку называется - выборочная совокупность.



Генеральная совокупность	Выборочная совокупность
N	n
xcp	xcp'
sN2	sn2
p=M/N, M - число единиц, облад. призн.	W=m/n, W - доля, m - доля единиц, облад. призн.
s2=pq	s2=W(1-W)

Величина отклонения генеральной совокупности от выборочной называется ошибкой выборки.

Dx=xcp'-xcp DW=W-P

Ошибка выборки возникает из расхождения в структуре генеральной и выборочной совокупности:

xcp=xcp'±Dx p=W±DW

1.4 Малая выборка

Таблицы интеграла вероятностей используются для выборок большого объема из бесконечно большой генеральной совокупности. Но уже при п < \ 00 получается несоответствие между табличными данными и вероятностью предела; при п < 100 погрешность становится значительной. Несоответствие вызывается главным образом характером распределения единиц генеральной совокупности. При большом объеме выборки особенность распределения в генеральной совокупности не имеет значения, так как распределение отклонений выборочного показателя от генеральной характеристики при большой выборке всегда оказывается нормальным.

В выборках небольшого объема п ? 30 характер распределения генеральной совокупности сказывается на распределении ошибок выборки. Поэтому для расчета ошибки выборки при небольшом объеме наблюдения (уже менее 100 единиц) отбор должен проводиться из совокупности, имеющей нормальное распределение.

Теория малых выборок разработана английским статистиком В. Госсетом (писавшим под псевдонимом Стьюдент) в начале XX в. В 1908 г. им построено специальное распределение, которое позволяет и при малых выборках соотносить t и доверительную вероятность F(t). При п > 100 таблицы распределения Стьюдента дают те же результаты, что и таблицы интеграла вероятностей Лапласа, при 30 ? п ? 100 различия незначительны. Поэтому практически к малым выборкам относят выборки объемом менее 30 единиц (безусловно, большой считается выборка с объемом более 100 единиц).

Использование малых выборок в ряде случаев обусловлено характером обследуемой совокупности. Так, в селекционной работе «чистого» опыта легче добиться на небольшом числе делянок. Производственный и экономический эксперимент, связанный с экономическими затратами, также проводится на небольшом числе испытаний.

Как уже отмечалось, в случае малой выборки только для нормально распределенной генеральной совокупности могут быть рассчитаны и доверительные вероятности, и доверительные пределы генеральной средней.

Плотность вероятностей распределения Стьюдента описывается функцией

,

где t - текущая переменная;

п - объем выборки;

В - величина, зависящая лишь от п.

Распределение Стьюдента имеет только один параметр: d.f. - число степеней свободы (иногда обозначается k).

Это распределение, как и нормальное, симметрично относительно точки t = 0, но оно более пологое. При увеличении объема выборки, а следовательно, и числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Число степеней свободы равно числу тех индивидуальных значений признаков, которыми нужно располагать для определения искомой характеристики.

Так, для расчета дисперсии должна быть известна средняя величина. Поэтому при расчете дисперсии d.f. = п - 1

Таблицы распределения Стьюдента публикуются в двух вариантах:

1) аналогично таблицам интеграла вероятностей приводятся значения t и соответствующие вероятности F(t) при разном числе степеней свободы;

2) значения t приводятся для наиболее употребимых доверительных вероятностей 0,90; 0,95 и 0,99 или для 1 - 0,9 = 0,1, 1 - 0,95 = = 0,05 и 1 - 0,99 == 0,01 при разном числе степеней свободы. Такого рода таблица приведена в приложении (табл. 2), а также значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,10; 0,05; 0,01.

При малых выборках расчет средней возможной ошибки основан на выборочных дисперсиях, поэтому

.

Приведенная формула используется для определения предела возможной ошибки выборочного показателя:

.

Порядок расчетов тот же, что и при больших выборках.

Пример. Для изучения интенсивности труда было организовано наблюдение за 10 отобранными рабочими. Доля работавших все время оказалась равной 0,40, дисперсия 0,4*0,6 = 0,24. По табл. 2 приложения находим для F(t) = 0,95 и d.f. = n - 1 = 9, t = 2,26. Рассчитаем среднюю ошибку выборки доли работавших все время:

Тогда предельная ошибка выборки p = 2,26*0,16 = ± 0,36. Таким образом, с вероятностью 0,95 доля рабочих, работавших без простоев, в данном цехе предприятия находится в пределах

39,64% ? ? ? 40,36% или 39,6% ? ? ? 40,4%.

Если бы мы использовали для расчета доверительных границ генерального параметра таблицу интеграла вероятностей, то t было бы равно 1,96 и p - ± 0,31, т.е. доверительный интервал был бы несколько уже.

Малые выборки широко используются для решения задач, связанных с испытанием статистических гипотез, особенно гипотез о средних величинах.

2. Практика применения выборочного метода при изучении

производственных и финансовых показателей

2.1 Статистический контроль качества продукции

Процедура статистического контроля качества продукции или приемочного контроля предполагает тестирование произвольной выборки образцов из партии готовой продукции и принятие решения, стоит ли принять всю партию, основываясь на качестве данной произвольной выборки. Приемочный контроль также осуществляется при оценке комплектующих, полученных от поставщика, либо при оценке деталей, которые были изготовлены ранее на предыдущем производственном этапе и хранились на складе.

Приемочный контроль осуществляется в соответствии с определенным планом выборки. План выборочного контроля (план выборки) разрабатывается для определения процента выпущенных изделий, удовлетворяющих предъявляемым техническим требованиям. При однократном выборочном контроле качество продукции определяется на основе оценки одной выборки, при многократном выборочном контроле качество продукции определяется на основе оценки нескольких выборок. Решение о количестве выборок и о проценте продукции, которая должна быть охвачена контролем качества, зависит от соотношения стоимости контроля и потерь, которые несет компания в результате пропуска бракованных изделий. Оно также может зависеть от политики компании и контрактных условий.

План однократной выборки характеризуется такими показателями как количество единиц в выборке и допустимое число бракованных единиц в выборке. Целью производителя является определение такого плана выборки, которая обеспечит ему малую вероятность отбраковки качественных партий. При этом партия считается качественной, если в ней количество забракованных изделий не превышает конкретного предела, который называется приемлемым уровнем качества. В свою очередь цель потребителя состоит в том, чтобы план выборки обеспечивал низкую вероятность приемки некачественной партии. Некачественной считается партия, в которой процентный показатель бракованных изделий выше указанного числа, которое называют допустимым уровнем дефектов в партии. Риском производителя называют вероятность отбраковки качественной партии, а риском потребителя - вероятность приемки некачественной партии.

Составление плана выборки для конкретной производственной ситуации, то есть определение необходимого количества единиц в выборке и допустимого числа бракованных единиц в выборке, осуществляется в случае, если известны требования производителя (приемлемый уровень качества и риск производителя), а также требования потребителя (допустимый уровень дефектов в партии и риск потребителя).

2.2 Метод моментных наблюдений

Метод моментных наблюдений (ММН) является выборочным методом наблюдения при проведении ФРВ. Метод моментных наблюдений позволяет охватить исследованием 50-100 человек.

Сущность ММН заключается в получении сведений о составе и величине затрат рабочего времени путем проведения серии внезапных, коротких и нерегулярных наблюдений, в установлении количества повторения отдельных видов затрат рабочего времени (работ или простоя) и определения на основе этих данных удельного веса каждого вида затрат труда.

При моментных наблюдениях непрерывная регистрация отдельных элементов затрат рабочего времени заменяется статистической выборкой. Выборочная совокупность зарегистрированных элементов затрат времени достаточна велика, чтобы характеризовать генеральную совокупность.

Количество моментов наблюдений зависит от допустимой точности и доли интересуемых затрат рабочего времени (потерь) в его общем балансе:

где К - коэффициент, зависящий от заданной вероятности; К=2 для стабильного производственного процесса (массовое и серийное производство); К=3 для нестабильного производственного процесса (мелкосерийное и единичное производство);

У - удельный вес исследуемой категории затрат рабочего времени в общих затратах за время наблюдений, в долях единицы;

О - допустимая величина относительной ошибки результатов наблюдений (от 3 до 10%).

Точность результатов наблюдений с относительной ошибкой 5-10% обеспечивает вероятность получения заданного результата с точностью в пределах 0,92-0.95.

Подготовка к наблюдению включает выбор его элементов, составление маршрута, графика и времени наблюдения, разработку форм документов, используемых для наблюдения.

Маршрут обхода должен обеспечивать поочередную возможность наблюдения всех наблюдаемых рабочих или оборудования. Для каждого наблюдаемого объекта устанавливаются фиксажные пункты для регистрации наблюдений.

Рассчитывается количество моментов и обходов:

П=М/ч

где М - количество моментов,

ч - количество наблюдаемых рабочих.

Устанавливается продолжительность времени обхода на основании контрольного обхода. Определяется время начало обходов по таблице случайных чисел. Разность между началами двух обходов должна быть больше продолжительности одного обхода. Составляется график обходов, подготавливается наблюдательный лист.

Проведение моментных наблюдений заключается в фиксации принятыми условными знаками (точками и линиями) в наблюдательном листе моментов затрат рабочего времени по видам, совершаемой на рабочих местах работы или перерывов.

Правила наблюдения:

1. Каждый обход должен начинаться в точно назначенное время.

2. Обход осуществляется равномерным шагом по заранее намеченному маршруту.

3. Регистрация происходящего производится только в фиксажных точках.

4. Должен выполняться весь объем наблюдений, обходы доводиться до конца. В случае прерывания обхода следующий обход начинается с первого места.

В ходе обработки данных подсчитывается количество отмеченных моментов по каждому виду затрат и устанавливается их удельный вес в общем количестве моментов.

Фактический баланс рабочего времени составляется путем распределения сменного времени пропорционально удельному весу моментов по каждому виду затрат.

Далее обработка и анализ данных ведутся обычным способом, рассчитывается коэффициент использования рабочего времени, показатели потерь и возможное повышение производительности труда за счет устранения ряда потерь.

Этапы проведения хронометража:

1.1 Определение цели хронометража.

1.2 Выбор объекта наблюдения.

Для разработки нормативов выбираются работники, производительность которых находится между средним и высоким уровнем.

1.3 Изучение технологии выполнения работы, трудового процесса по технологии и фактически.

1.4 Расчленение изучаемой операции на составляющие элементы в зависимости от типа организации производства.

1.5 Определение точных границ составных элементов - фиксажных точек.

1.6 Определение количества наблюдений (по справочникам в зависимости от характера труда, длительности элемента операции, точности наблюдений. Учитывается требуемая точность норм и нормативный коэффициент устойчивости ряда).

1.7 Предупреждение работника и руководителя подразделения о цели и времени проведения хронометража.

1.8 Заполнение наблюдательного листа хронокарты.

2.1 Наблюдение проводится спустя 1-1,5 часа после начала работы - в фазу максимальной работоспособности и за 1-1,5 часа до конца работы - в фазу минимальной работоспособности. Количество наблюдений делится на равные части.

2.2 Искажение замеров в результате неполадок отмечается как дефектный замер в специальном разделе хронокарты.

3.1 Проверку качества хроноряда путем расчета коэффициента устойчивости хроноряда, который рассчитывается как отношение максимальной продолжительности замера к минимальной по каждому элементу операции, и сравнение его значения с нормативным:

Куст = Тмакс / Тмин

Исключаются дефектные замеры. Их количество не должно превышать 15%.

3.2 Определяется средняя продолжительность каждого элемента:

Тср=(Т1+…+Тп)/п

где Тп - продолжительность п-ного замера; п - количество замеров по каждому элементу операции

4.1 Изучение затрат машинного времени, сопоставление фактических режимов работы оборудования с нормативными.

4.2 Анализ фактических затрат времени на элементы операции, выполняемые вручную.

4.3 На основании данных анализа определяется состав операции и продолжительность выполнения ее отдельных элементов и операции в целом.

Если хронометраж проводился с целью выполнения норм и нормативов, то устанавливаются организационно-технические мероприятия, методы и приемы изучаемой работы.

В результате анализа и проектирования рационального состава и методов выполнения операции намечаются пути сокращения затрат оперативного времени.

Фотохронометраж: сущность, сфера применения, методика наблюдения и обработка данных

Фотохронометраж - это комбинированное наблюдение, сочетающее фотографию рабочего времени и хронометраж.

Суть фотохронометража состоит в том, что в процессе наблюдения затраты рабочего времени на выполнение каждой операции замеряются по отдельным ее элементам, т.е. путем фотохронометража, на все остальные действия - с помощью ФРВ.

Фотохронометраж может быть индивидуальным и групповым.

Используют наблюдательные листы такие же, как при ФРВ. Результаты наблюдения записывают цифровым, индексным, графическим, комбинированным способом.

По данным хронометража анализируется использование оперативного времени, целесообразность и последовательность выполнения отдельных приемов и действий.

Анализ ФРВ показывает использование фонда рабочего времени, причины и величину его потерь, возможное повышение производительности труда при устранении выявленных недостатков.

Фотохронометраж применяется в единичном и мелкосерийном производстве на станочных работах, для изучения деятельности бригад в строительстве, горной промышленности и т.п.

3. Практическая часть

Задача №1

Имеются данные о работе 24 заводов в одной из отраслей промышленности:

№ п/п	Среднегод. стоим. осн. произв. фондов, млн. руб.	Среднесписоч. число раб. за отчетный период, чел.	Произв. продукции за отчет. период, млн.руб.	Выполнение плана, %
1	3,0	360	3,2	103,1
2	7,0	380	9,6	120,0
3	2,0	220	1,5	109,5
4	3,9	460	4,2	104,5
5	3,3	395	6,4	104,8
6	2,8	280	2,8	94,3
7	6,5	580	9,4	108,1
8	6,6	200	11,9	125,0
9	2,0	270	2,5	101,4
10	4,7	340	3,5	102,4
11	2,7	200	2,3	108,5
12	3,3	250	1,3	102,1
13	3,0	310	1,4	112,7
14	3,1	410	3,0	92,0
15	3,1	635	2,5	108,0
16	3,5	400	7,9	111,1
17	3,1	310	3,6	96,9
18	5,6	450	8,0	114,1
19	3,5	300	2,5	108,0
20	4,0	350	2,8	107,0
21	1,0	330	1,6	100,7
22	7,0	260	12,9	118,0
23	4,5	435	5,6	111,9
24	4,9	505	4,4	104,7

Требуется сгруппировать заводы по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав 5 групп заводов с равными интервалами, рассчитать по каждой группе и в целом:

· количество заводов и их удельный вес;

· среднесписочное число работающих;

· производство продукции;

· средний процент выполнения плана.

Проанализировать данные таблицы и сделать выводы.

Решение:

Величину интервала можно определить по следующей формуле:

млн.руб.

где - максимальное значение стоимости основных производственных фондов (ОПФ); - минимальное значение среднегодовой стоимости ОПФ; ? число выделяемых групп (из условия оно равно 5).

После того, как рассчитана величина интервала, можно рассчитать количество заводов в каждой группе и их удельный вес (как отношение числа заводов в каждом из выделяемых интервалов к общему числу заводов). Результаты расчетов представлены в гр. 2 и 3 таблицы 1. Среднесписочное число работающих по каждой группе и производство продукции за отчетный период показаны в графах 4 и 5 таблицы 1. Они были рассчитаны как сумма значений показателей по каждой группе.

Процент выполнения плана рассчитывается как отношение произведенной продукции за отчетный период к запланированному объему. Так как известен объем произведенной продукции в отчетном периоде (т.е. числитель), то для расчета среднего процента выполнения плана необходимо воспользоваться средней гармонической взвешенной.

Так, для группы заводов со стоимостью ОПФ от 1 до 2,2 млн. руб. средний процент выполнения плана будет рассчитан по следующей формуле:

 или 103,2%;

где ? произведенная продукция в отчетном периоде по каждому заводу данной группы; ? процент выполнения плана по каждому заводу; тогда - это запланированный объем производства.

Аналогично расчеты проводятся по каждой группе. Результаты занесены в таблицу 1 (гр. 6). В целом по всем предприятиям средний процент выполнения плана рассчитывается как сумма произведенной продукции за отчетный период, отнесенная к сумме запланированного объема производства по всем предприятиям.

Таблица 1. ? Группировка заводов отрасли по среднегодовой

стоимости основных производственных фондов

Группы заводов по среднегод. стоим. ОПФ, млн.руб.	Число заводов	Удель-ный вес заводов, %	Среднеспис. чис. раб. за отч. период, чел.	Произв. продукции за отчетный период, млн. руб.	Ср. процент выполнения плана, %
1,0-2,2	3	12,5	820	5,6	103,2
2,2-3,4	9	37,5	3150	26,5	101,5
3,4-4,6	5	20,8	1945	23,0	109,2
4,6-5,8	3	12,5	1295	15,9	108,7
5,8-7,0	4	16,7	1420	43,8	117,9
Итого:	24	100,0	8630	114,8	110,0

Вывод: из таблицы 1 следует, что большая часть заводов (37,5%) имеет основные производственные фонды со среднегодовой стоимостью от 2,2 до 3,4 млн. руб. На них же занято больше всего работников (3150 чел.). Меньше всего работающих (820 чел.) оказалось в первой группе заводов, где стоимость основных производственных фондов от 1,0 до 2,2 млн. руб. По этой же группе самый низкий показатель производства продукции. В целом по всем предприятиям отрасли было произведено продукции на сумму 114,8 млн. руб. Наиболее информативный показатель - это средний процент выполнения плана по группам. Стоит отметить, что везде наблюдается перевыполнение плана. Ниже всего этот показатель по наиболее многочисленной группе заводов со стоимостью фондов от 2,2 до 3,4 млн. руб. (он равен 101,5%). В группе заводов с наиболее высокой стоимостью ОПФ самый высокий средний процент выполнения плана. Здесь он составил 117,9%. В среднем же по всем заводам производство продукции за отчетный период на 10% оказалось выше запланированного.

Задача №2

Годы	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Производство эл. энергии эл. станциями, млрд. кВт ч	506,7	740,9	1038,6	1293,9	1544,2	1705	1722

Определить:

1. Показатели динамики с постоянной и переменной базой сравнения.

2. Графически изобразить ряд динамики в зависимости от номера варианта.

3. Рассчитать среднегодовые показатели динамики.

4. Произвести сглаживание ряда методом 3-х летней скользящей средней.

5. Выровнять ряд по прямой.

6. Построить графики исходного и выровненных рядов

7. Использовать полученное уравнение для экстраполяции уровней на 2008 г.

8. Сделать выводы.

Решение

1) К показателям динамики относятся: абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста. Они бывают с постоянной и переменной базой сравнения, т.е. цепные и базисные. Формулы для расчета следующие:

Абсолютный прирост производства электроэнергии:

А). Цепной способ:

= y_{i -} y_i-1,

где y_i - анализируемый уровень ряда; y_i-1 - уровень ряда, предшествующий анализируемому. Данный показатель указывает, на сколько в абсолютном выражении (млдр.кВт.ч.) возросло или снизилось производство электроэнергии за год.

Б). Базисный способ:

= y_{i -} y₀

где y₀ - начальный уровень ряда. При расчете базисным способом показывается абсолютное увеличение производства элекроэнергии по сравнению с одним и тем же (базисным) периодом.

Темп роста показывает, во сколько раз увеличилось производство электроэнергии по сравнению с предыдущим (цепной способ) либо с начальным (базисный способ) годом. Формулы для расчета следующие:

А). Цепной способ: = y_i /y_i-1

Б). Базисный способ: = y_i / y₀

Для расчета темпа прироста необходимо от темпа роста, выраженного в процентах (в долях), отнять 100 (единицу). Данный показатель указывает, на сколько процентов возросло производство электроэнергии по сравнению с предыдущим либо базисным годом.

А). Цепной способ: = - 100

Б). Базисный способ: = -100

Абсолютное значение 1% прироста рассчитывается как сотая часть уровня, предшествующего анализируемому, и выражается в тех же единицах, что и соответствующие уровни, в нашем примере в млрд. кВт.ч. Также данный показатель можно рассчитать как отношение цепного абсолютного прироста за анализируемый период к соответствующему темпу прироста, выраженному в процентах, т.е.:

Расчет каждого из показателей приведен в соответствующих графах таблицы 2.

Таблица 2. ? Расчет аналитических показателей производства

электроэнергии.

Год	Произв. эл. энергии ТЭС, млрд. кВт.ч.	Абсолютный прирост, млдр. кВт.ч.	Темп роста, %	Темп прироста, %	Абс. содерж. 1% прироста, млрд. кВт.ч.
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
		yi - yi-1	yi -y0	yi /yi-1	yi / y0	-100	-100
2001	506,7	--	--	--	--	--	--	--
2002	740,9	234,2	234,2	146,2	146,2	46,2	46,2	5,1
2003	1038,6	297,7	531,9	140,2	205,0	40,2	105,0	7,4
2004	1293,6	255	786,9	124,6	255,3	24,6	155,3	10,4
2005	1544,2	250,6	1037,5	119,4	304,8	19,4	204,8	12,9
2006	1705	160,8	1198,3	110,4	336,5	10,4	236,5	15,4
2007	1722	17	1215,3	101,0	339,8	1,0	239,8	17,1

2) Представим исходные данные в виде столбиковой диаграммы:

Рис. 1. ? Производство электроэнергии электростанциями

за 2001-2007 гг.

3) К среднегодовым уровням ряда относятся: средний уровень ряда, среднегодовой абсолютный прирост, среднегодовые темп роста и темп прироста.

Средний уровень ряда за 2001-2007 гг. рассчитывается по формуле средней арифметической простой:

млрд. кВт.ч.

Среднегодовой абсолютный прирост:

млрд. кВт.ч., где -- число уровней ряда.

Среднегодовой темп роста:

или 122,6%.

Среднегодовой темп прироста:

Значит, ежегодно производство электроэнергии электростанциями увеличивалось на 22,6%, что в абсолютном выражении было равно 202,6 млрд. кВт. ч.

4) Выявление основной тенденции может быть осуществлено методом скользящей средней. Для определения скользящей средней формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получается постепенным сдвижением от начального уровня ряда на один уровень. По сформированным укрупненным интервалам рассчитываются средние арифметические. Полученная средняя относится к середине укрупненного интервала. Все расчеты для нахождения сглаженных уровней ряда приведены в таблице 3.

Таблица 3. ? Выровненные значения ряда по методу трехлетней

скользящей средней

Год	Производство эл. энергии электростанциями, млдр. кВт.ч.	Сумма за трехлетние периоды	Скользящая средняя, млдр. кВт.ч.
2001	506,7	--	--
2002	740,9	2286,2	762,1
2003	1038,6	3073,1	1024,4
2004	1293,6	3876,4	1292,1
2005	1544,2	4542,8	1514,3
2006	1705	4971,2	1657,1
2007	1722	--	--

5) Выравнивание по прямой относится к аналитическим способам выравнивания рядов динамики. При этом фактические уровни заменяются уровнями, вычисленными на основе прямой. Предполагается, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя. Закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени = . При выравнивании по прямой необходимо определить параметры a и b уравнения:

= .

Параметры рассчитываются по методу наименьших квадратов в результате решения системы нормальных уравнений. Поиск параметров уравнения можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени ряда была равна нулю. Тогда:

= , =

Тогда уравнение тренда будет выглядеть следующим образом:

= .

Таблица 4. ? Расчет показателей для уравнения тренда

Год	Производство эл. энергии электростанциями, млдр. кВт.ч. ()				Выровненные уровни ряда ()
1	2	3	4	5	6
2001	81,5	-3	9	-244,5	88,4
2002	124,4	-2	4	-248,8	114,4
2003	126,0	-1	1	-126	140,4
2004	163,9	0	0	0	166,4
2005	214,5	1	1	214,5	192,3
2006	230,8	2	4	461,6	218,3
2007	223,5	3	9	670,5	244,3
Итого:	1164,6		28	727,3	1164,6

Выровненные уровни ряда (гр.6) можно получить путем подстановки в уравнение тренда значений фактора времени, представленных в графе 3 таблицы 4.

6) Проиллюстрируем исходные и выровненные двумя способами данные о производстве электроэнергии за исследуемый период.

Рис. 2. ? Исходный и выровненные уровни ряда производства

электроэнергии

Из рисунка видно, что выровненные значения хорошо описывают исходный ряд динамики, т.е. могут использоваться для прогнозирования.

7) Прогнозирование производства электроэнергии электростанций на 2008 год можно осуществить с помощью метода экстраполяции, т.е. распространения тенденции на последующие годы. Это делается путем подстановки в уравнение тренда порядкового номера года, на который делается прогноз. Таким образом, если фактор t для 2007 года был равен 3, то чтобы спрогнозировать значение на 2008 год, на место фактора t нужно поставить значение 4.

= млрд. кВт.ч.

8) Вывод: За исследуемый период наблюдается постоянный рост производства электроэнергии, однако постепенно этот рост замедляется. Так, если за 2002 год темп роста производства электроэнергии составил 146,2%, то в 2007 году он был равен только 101% (т.е. увеличение производства электроэнергии в 2007 году по сравнению с 2006 г только на 1%). В 2007 году по сравнению с 2001 годом (базисным) производство увеличилось более, чем в три раза (темп роста составил 339,8%). В целом за период среднегодовое производство электроэнергии электростанциями равнялось 1221,6 млрд. кВт. ч., а ежегодный прирост - 202,6 млрд. кВт. ч (в относительном выражении этот прирост равен 22,6%).

Если тенденция сохранится, то можно предполагать (опираясь на метод экстраполяции), что в 2008 году производство электроэнергии достигнет уровня 2090 млрд. кВт. ч. в год.

Задача №3

Издержки производства и себестоимость единицы продукции «А» по трем заводам характеризуются следующими данными:

Номер завода	Издержки производства, тыс. руб.	Себестоимость единицы продукции, руб.
1	200	20
2	460	23
3	110	22

Исчислите среднюю себестоимость изделия по трем заводам.

Решение

Средняя по трем заводам себестоимость изделия определяется как отношение суммарных издержек производства к количеству произведенных на всех заводах изделий, т.е.:

Так как издержки производства известны по каждому предприятию, то формула для расчета средней себестоимости примет вид средней гармонической взвешенной:

тыс. руб. или 22 руб.

где - издержки производства; - средняя себестоимость единицы изделия на каждом заводе; - рассчитанное количество произведенных изделий.

Таким образом, средняя по всем заводам себестоимость единицы изделия «А» составляет 22 руб.

Размещено на Allbest.ru