Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Теорія корисності

Для задач прийняття рішень за умов невизначеності та ризику принцип оптимальності нерідко будується у вигляді функції корисності. Оскільки при наявності ризику результати рішень залежать від випадкових величин, то для порівняння їх ефективності необхідно вміти порівнювати функції розподілу ефективності. У цьому випадку важливе значення для прийняття рішень мають результати про властивості функцій корисності.

Корисність визначає ступінь задоволення, яке одержує суб'єкт від споживання товару чи виконання будь - якої дії.

Найбільш загальний підхід щодо оцінки ступеня (міри) ризику полягає у введенні функції корисності. Концепція функції корисності є одним з важливих елементів будь - якої сучасної економічної теорії. Вона дозволяє здійснити співвимірність споживчих елементів різних товарів.

Корисність включає важливу психологічну компоненту, тому що люди досягають корисності, отримуючи речі, що приносять їм задоволення. В економічному аналізі корисність часто використовується для того, щоб описати пріоритети при ранжуванні наборів споживчих товарів та послуг.

Застосовуючи різні функції корисності, можна описати будь - які варіанти оцінки випадкової економічної ситуації у вигляді сподіваного значення такої функції.

Введемо таке поняття як пріоритет, яке досить часто використовується суб'єктами прийняття рішень.

Позначимо поняття “пріоритетніше ніж”, ”байдуже”, “не гірше ніж” відповідними символами >, ~, >~. Нестроге співвідношення пріоритетності “не гірше ніж” є одним із основних найпростіших понять; його записують так: x >~ y, де x та y є набором товарів чи послуг (точками простору Х).

Цей запис означає, що певний суб'єкт (споживач) вважає для себе набір х або пріоритетнішим ніж набір у, або не робить між ними різниці, тобто х не гірший ніж у. Можна визначити поняття байдужості та строгої пріоритетності у термінах нестрогого співвідношення пріоритетності: набори товарів х та у байдужі (еквівалентні) для споживача (х ~ у) тоді і лише тоді, коли x >~ y та y >~ х.

А коли споживач бажає обрати х, а не у, тобто х пріоритетніше, ніж у (записують х > у), тоді і лише тоді, якщо х не гірше ніж у, а у не гірше ніж х. Значить х > у тоді і лише тоді, коли

x >~ y, а x >~ y - несправедливе.

Надалі будемо вважати, що нестроге співвідношення пріоритетності задовольняє дві основні аксіоми. Перша аксіома стверджує, що це співвідношення є досконалою напівупорядкованістю у просторі товарів Х. Співвідношення називається досконалим, якщо для двох заданих наборів товарів х та у з Х справедливе одне з двох співвідношень:

x >~ y, або y >~ х, або одночасно. Це означає, що у просторі товарів немає таких “білих плям”, де пріоритет не існує. Співвідношення називають частковою впорядкованістю, якщо воно транзитивне, тобто для трьох заданих наборів х, у та z із Х виконується умова:

якщо x >~ y та y >z, то x >z, що виражає сумісність пріоритетів. І, якщо співвідношення рефлексивне, тобто для будь - якого х є Х:

x >~ x.

Цей факт випливає з досконалості співвідношення.

Нестроге співвідношення пріоритетності є досконалою частковою впорядкованістю простору товарів і означає, що співвідношення байдужості є співвідношенням еквівалентності, яке транзитивне, оскільки при заданих х, у та z є Х, якщо x ~ y та y ~ z, тоді x ~z - рефлексивне, оскільки при заданому х є Х: x ~ x, та симетричне, оскільки при заданих х та у є Х : x ~ y означає y ~ x.

Для доведення, наприклад, транзитивності зазначимо, що x ~ y та y ~ x означає з визначення байдужості, що x >~ у та у >~ z і що z >~ у та у >~ х. Тоді з транзитивності нестрогого співвідношення пріоритетності x >~z та z >~ х випливає, що х ~ z.

Співвідношення байдужості, як співвідношення еквівалентності, ділить простір товарів Х на класи еквівалентності - підмножини, що попарно не перетинаються, називаються множинами байдужості, кожна з яких складається з усіх наборів, байдужих заданому наборові

Іх = { у є Х| у ~ х}.

Друга основна аксіома стверджує, що нестроге співвідношення пріоритетності неперервне, тобто пріоритетні множини, кожна з яких складається з усіх наборів, що є пріоритетніші чи байдужі заданому набору Х: Рх = {у єХ| у >~ х}, і непріоритетні множини, кожна з яких складається з усіх таких наборів, для яких заданий набір Х пріоритетніший чи байдужий

NPx = {y є X|x >~y} є замкнутою множиною простору товарів для будь - якого х є Х.

За цією аксіомою обидві множини містять усі граничні точки, причому для обох множин ці точки утворюють множину байдужості їх, рівну перетинові РхINPx.

З цих основних аксіом досконалої нестрогої впорядкованості та неперервності випливає, що існує неперервна дійсна функція, визначена на елементах множини Х є U(o), котру називають функцією корисності і для якої U(x) >~U(y), якщо х >~ у.

Функція корисності зіставляє кожному наборові споживчих товарів певне число в такий спосіб, що, якщо набір А пріоритетніший, ніж набір В (А > В), то число, яке відповідає набору А, буде більшим, ніж те, що відповідає набору В. Гранична корисність вимірює додаткове задоволення, яке отримує особа від споживання додаткової кількості товару.

Наприклад, гранична корисність, що пов'язана із зростанням споживання від 1 до 5 одиниць шоколаду, може дорівнювати 10, від 6 до 10 одиниць - 5, а від 11 до 15 одиниць - 3. Ці цифри узгоджуються з принципом зниження граничної корисності. У міру зростання споживання товару процес додаткового споживання дає усе менший приріст корисності.

Для визначення корисності розглянемо вибір особи за умов ризику, який формалізується за допомогою поняття лотереї.

Для цього необхідно з множини пред'явлених експертам значень певного економічного показника (об'єкта) виділити два х* та х* таких, що х*~<х для всіх х* Х та х*>~х для всіх х Х , тобто найменше пріоритетне, в певному сенсі, значення економічного показника (це буде “нуль” даної шкали інтервалів) і найбільш пріоритетне у певному сенсі значення показника (разом з “нулем” воно визначить масштаб даної шкали). Власне так побудована функція корисності Дж.Неймана і О.Моргенштерна.

Експерти пропонують порівнювати альтернативу: 1) значення показника х; 2) лотерею: одержати х* з імовірністю (1-р) чи х* з імовірністю (р). Величину ймовірності р змінюють доти, доки, на погляд експерта, значення показника х і лотерея L(x*, p, х*) не стануть еквівалентними. Максимальному та мінімальному значенням х* та х* приписують довільні числові значення U*=U(x*) та U*=U(x*), але так, щоб U*>U*.

Під лотереєю L(x*,p(х),х* ) розуміють ситуацію, в якій особа може отримати х* з імовірністю р(х) або х* з імовірністю 1-р(х).

Корисність варіанту х визначається ймовірністю р(х), при якій особі байдуже, що обирати х - гарантовано, чи лотерею L(x*,p(х),х* ), де х*,х* вектори, більш та менш пріоритетні порівняно з х.

Нехай L - лотерея, що приводить до виграшів (подій) х1,х2,…,хN з відповідними ймовірностями р1,р2,…, рN. Позначимо сподіваний виграш (математичне сподівання виграшу) через х:

Справедлива головна формула теорії сподіваної корисності, ,

тобто корисність ансамблю результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.

Поняття детермінованого еквівалента лотереї L є одним з основних при розгляді різних характеристик ризику і їх взаємозв'язку з функціями корисності. Детермінований еквівалент лотереї L - це гарантована сума, отримання якої еквівалентне участі в лотереї, тобто ~L. Отже визначається з рівняння U(Х) =M[U(X)], тобто =U-1MU(x). Сподіваний виграш та детермінований еквівалент, визначені згідно з формулами, стосовно лотереї із скінченим числом можливих виграшів. Якщо можливі виграші описуються щільністю (х), то сподіваний виграш у цій лотереї дорівнює

, а детермінований еквівалент є розв'язанням рівняння

.

За своєю суттю премія за ризик (надбавка за ризик) - це сума (в одиницях виміру критерію х), якою суб'єкт керування (особа, що приймає рішення) згоден знехтувати (поступитися нею) з середнього виграшу (тобто ця сума менша, ніж математичне сподівання виграшу), за те, щоб уникнути ризику, пов'язаного з лотереєю.

Якщо особа, що приймає рішення зіштовхується з несприятливою для неї лотереєю (тобто лотереєю, що менш пріоритетна ніж стан, в якому вона у даний час знаходиться), то природно виникає питання, скільки вона заплатила б (в одиницях виміру критерію х) за те, щоб не брати участі у цій лотереї (уникнути її).

На рис. 1 показано, як графічно можна зобразити ставлення особи до ризику. Крива, що задає рівень корисності (на осі ординат), котрий може бути досягнутий за відповідним рівнем доходу (відкладеного в графіку на осі абсцис). Ця крива ілюструє несхильність особи до ризику.

Рис. 1. Функція корисності особи, що несхильна до ризику

На основі функції корисності в декартовій системі координат можна представити криву байдужості. Розглянемо її економічну сутність. Чим більше середньоквадратичне відхилення - тим гірше (за інших однакових умов). У свою чергу, чим більший сподіваний прибуток - тим краще. Припустимо, що середньоквадратичне відхилення доходу певного проекту збільшується. У цьому разі його корисність зменшується. Для того, щоб зберегти корисність на попередньому рівні, необхідно збільшити сподіваний прибуток. Таким чином, сподіваний прибуток може компенсувати величину ризику. Таким чином, криві байдужості - це комбінація сподіваних доходностей і відповідних їм ризиків, які мають однакову корисність для інвестора, це лінія, що об'єднує еквівалентні, з точки зору певної особи, комбінації: "сподіваний прибуток - ступінь ризику".

Характерний вигляд таких поверхонь байдужості зображений

Будемо позначати сподіваний прибуток через U, а середньоквадратичне відхилення доходу (ступінь ризику) через а.

Звернемо увагу на точку А. В області 1 містяться заздалегідь кращі комбінації "сподіваний прибуток - ступінь ризику", оскільки в цій області сподіваний прибуток більший, а ступінь ризику менший. Аналогічно область 3 містить заздалегідь гірші комбінації, оскільки сподіваний дохід тут менший, а ступінь ризику - більший. Отже, поверхня байдужості, яка містить еквівалентні сполуки, повинна проходити через об-ласті 2 та 4. Користуючись цими міркуваннями, можна з'ясувати, що поверхня байдужості U3 містить сполуки з більшою корисністю, ніж U2 та U1, а U2 - з більшою, ніж U1.

Для сподіваного доходу та оцінки ризику (за допомогою середньоквадратичного відхилення) можна запровадити поняття граничної норми заміни. Граничною нормою заміни ступеня ризику сподіваним доходом (MRSум) будемо називати величину сподіваного доходу, що еквівалентна одиниці зміни ступеня ризику.

Геометрично гранична норма заміни ступеня ризику сподіваним доходом є тангенсом кута нахилу до поверхні байдужості "сподіваний доход - ступінь ризику" (Рис. 2). На ньому тангенс кута а є граничною нормою заміни ступеня ризику сподіваним доходом.

2. Рівновага споживача

Споживач максимізує корисність при наявності певних бюджетних обмежень, тому завданням моделі поведінки споживача є пояснення того, як на його вибір впливають уподобання, доход і ціни на товари. Для наочної демонстрації процесу вибору сумістимо на одному графіку карту кривих байдужості та лінію бюджетних обмежень якогось споживача (рис. 3). як бачимо, лінія бюджетних обмежень перетинає криву байдужості, що відповідає корисності Z7j в точках . Це означає, що доход споживача при максимальному використанні дає змогу придбати які перший, так і другий набір.

Чи буде це означати, що в точках А1 і А2 споживач отримає максимальну корисність, яка доступна йому при існуючих бюджетних обмеженнях? Очевидно, що ні. Адже будь-яка точка, що лежить на відрізку  буде доступна споживачеві і матиме корисність більшу, ніж  оскільки більш віддалена від початку координат. Максимальна корисність, яка доступна при заданому бюджеті, досягається тоді, коли споживається комбінація товарів, що відповідає точці, де бюджетна лінія дотикається до найвіддаленішої від початку координат кривої байдужості.

Рис. 3. Рівновага споживача

Рівновага споживача відповідає такій комбінації придбаних товарів, яка максимізує корисність при заданому бюджетному обмеженні. Як тільки споживач отримує такий набір, у нього зникають стимули замінювати його на інший.

Рівновазі споживача можна дати геометричне лумачення. Якщо рівновага досягається у точці дотику лінії бюджетних обмежень до кривої байдужості , то це означає, що у точці нахил цих двох ліній збігається (довідково: нахил кривої у будь-якій точці відповідає нахилу дотичної, проведеної до неї у цій точці). Тоді

або

Споживач, який максимізує свою корисність, купуватиме два види товару таким чином, щоб їх граничні корисності у розрахунку на грошову одиницю піни були рівні. Цей підхід називається еквімаржикальним принципом.

Рівновага споживача, при якій він придбає обидва товари, називається внутрішньою. Однак може статися, що споживач буде максимізувати свою корисність, зупинившись на придбанні лише одного товару. Така рівновага називається кутовою. Наприклад, хтось із студентів вирішив обмежити споживання борошняних виробів, тоді кут нахилу кривої байдужості значно зросте, і в жодному місці лінія бюджетних обмежень не зможе бути дотичною. Рівновага буде досягатися в точці, яка відповідає максимально можливій кількості котлет, що може придбати студент залежно від його бюджета (рис. 3).

Рис. 4. Кутова рівновага споживача

У наведеному прикладі кутова рівновага може перетворитися у внутрішню, коли ціни значно знизяться на пиріжки чи значно зростуть на котлети. Якщо споживач взагалі не бажатиме відмовлятися від котлет заради пиріжків, то крива байдужості матиме вигляд вертикальної прямої, і перехід від кутової рівноваги до внутрішньої буде взагалі неможливий.

Виключно кутовою рівновага споживача буде і тоді, коли один з товарів є антиблагом, тобто таким, що має від'ємне значення корисності для споживача. У цьому разі зміниться сам характер кривої байдужості: замість спадної вона стане зростаючою. Наприклад, через якесь захворювання споживач взагалі не може вживати м'ясо, тоді його приваблюватиме той набір, де менше котлет, а рівновага (максимізація корисності) досягатиметься у точці, що відповідає максимальній кількості пиріжків, яку він може придбати, виходячи з бюджету. Адже споживач ніколи добровільно не придбає антиблаго. Зауважимо, що практично кожен товар може перетворитися на антиблаго, коли він доступний у такій кількості, що повністю задовольняє потреби споживача.

Точка, в якій споживач перестає розглядати додаткове споживання як таке, що приносить йому користь, називається точкою насичення. Треба звернути особливу увагу на споживання товарів, що ідеально доповнюють один одного, тобто, коли ефективне споживання одного товару без певної кількості іншого взагалі неможливе (автомобілі та номерні знаки, черевики та шнурки до них тощо). У цьому випадку ні зміна співвідношення цін, ні доход споживача не впливатимуть на співвідношення цих товарів у наборі, який обирає споживач (рис. 5).

Теорія споживацького вибору має широке практичне застосування. Найпоширенішою сферою її використання є маркетингові дослідження. Прогнозування поведінки споживача, розуміння механізму прийняття ним рішення про вибір того чи іншого набору товарів дають змогу опрацьовувати ефективнішу стратегію фірми та приймати більш обгрунтовані економічні рішення.

У наведеному прикладі кутова рівновага може перетворитися у внутрішню, коли ціни значно знизяться на пиріжки чи значно зростуть на котлети. Якщо споживач взагалі не бажатиме відмовлятися від котлет заради пиріжків, то крива байдужості матиме вигляд вертикальної прямої, і перехід від кутової рівноваги до внутрішньої буде взагалі неможливий.

Виключно кутовою рівновага споживача буде і тоді, коли один з товарів є антиблагом, тобто таким, що має від'ємне значення корисності для споживача. У цьому разі зміниться сам характер кривої байдужості: замість спадної вона стане зростаючою. Наприклад, через якесь захворювання споживач взагалі не може вживати м'ясо, тоді його приваблюватиме той набір, де менше котлет, а рівновага (максимізація корисності) досягатиметься у точці, що відповідає максимальній кількості пиріжків, яку він може придбати, виходячи з бюджету. Адже споживач ніколи добровільно не придбає антиблаго. Зауважимо, що практично кожен товар може перетворитися на антиблаго, коли він доступний у такій кількості, що повністю задовольняє потреби споживача. Точка, в якій споживач перестає розглядати додаткове споживання як таке, що приносить йому користь, називається точкою насичення. Треба звернути особливу увагу на споживання товарів, що ідеально доповнюють один одного, тобто, коли ефективне споживання одного товару без певної кількості іншого взагалі неможливе (автомобілі та номерні знаки, черевики та шнурки до них тощо). У цьому випадку ні зміна співвідношення цін, ні доход споживача не впливатимуть на співвідношення цих товарів у наборі, який обирає споживач (рис. 5).

Теорія споживацького вибору має широке практичне застосування. Найпоширенішою сферою її використання є маркетингові дослідження. Прогнозування поведінки споживача, розуміння механізму прийняття ним рішення про вибір того чи іншого набору товарів дають змогу опрацьовувати ефективнішу стратегію фірми та приймати більш обгрунтовані економічні рішення.

Рис. 5. Рівновага споживача для ідеально комплементарних благ

Список використаних джерел

корисність споживач рівновага

1. Гребенников П. И., Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Микроэкономика / Общая редакция Л.С. Тарасевича. - Санкт-Петербург: СПбГУЭФ, 1996.

2. Долан Э. Дж., Линдсей Д.Е. Микроэкономика : Учебное пособие. - Санкт-Петербург: Литера-Плюс, 1994.

3. Економічна теорія. Посібник вищої школи (Воробйов Є.М., Грищенко А.А., Лісовицький В.М., Соболєв В.М.) / Під загальною редакцією Воробйова Є.М. - Харків - Київ, 2001.

4. Економічна теорія: У 2-х кн. Кн. 2. Мікроекономіка: Навч. посібник / За ред. З.Г. Ватаманюка та С.М. Панчишина. - Київ: “Заповіт”, 1997.

5. Задоя А.О. Мікроекономіка: Курс лекцій: Навч. посібник. - Київ: Т-во “Знання”, КОО, 2000.

6. Мікроекономіка і макроекономіка : Підруч. для студентів екон. спец. закл. освіти: у 2 ч. / С. Будаговська, О. Кілієвич, І. Луніна та ін. За заг. ред. С. Будаговської. - Київ: Видавництво Соломії Павличко “Основи”, 2001.

7. Семюелсон П., Нордгауз В. Мікроекономіка. - Київ: Основи, 1998.

Размещено на Allbest.ru