Математические методы в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача №1

Предприятие предполагает выпускать два вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида а1, а2, а3 кг соответственно, а для единицы изделия В - b1, b2, b3 кг. Производство обеспечено сырьем P1, P2, P3 cсоответственно. Прибыль от реализации единицы изделия А составляет с1 д.ед., а единица изделия B - c2 д.ед.

Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль предприятия от реализации готовой продукции. Необходимо:

а) решить задачу симплексным методом;

б) сформулировать двойственную задачу и найти ее решение;

в) определить интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению сырья каждого вида в отдельности;

г) оценить стоимость готовой продукции, если запасы сырья каждого вида на производстве изменились на величину Дp1, Дp2, Дp3 кг, соответственно. Найти новый оптимальный план производства изделий;

д) решить исходную задачу геометрически.

Данные задачи
а1 = 2 а2 = 3 а3 = 5	b1 = 7 b2 = 3 b3 = 1	P1 = 560 P2 = 300 P3 =332	Дp1 = 0 Дp2 = 60 Дp3 = 68	с1 = 55 c2 = 35

Решение.

Представим исходные данные в виде таблицы:

Вид сырья	Продукция	Запасы сырья
	А	В
1	2	7	560
2	3	3	300
3	5	1	332
Прибыль от реализации	55	35

Составим математическую модель задачи. Искомое плановое количество изготовления продукции А обозначим через х1, продукции В - х2. Переменные х1, х2 должны удовлетворять следующей системе неравенств:

(1)

Максимально возможная прибыль, при условии реализации изделий в количествах х1, х2 составляет F (х1 , х2 ) = 55х1+35х2 > max (2)

По своему экономическому содержанию х1, х2 могут принимать только лишь не отрицательные значения : х1, х2 ?0 (3)

Таким образом, экономико-математическая модель задачи состоит в следующем: необходимо найти максимум функции (2) при условии выполнения неравенств (1) и граничных значений (3).

а) Решение задачи симплекс-методом.

Приведем данную задачу к каноническому виду. Во все неравенства добавим дополнительные неотрицательные переменные. После указанных преобразований расширенная система имеет вид:

Заполняем I симплексную таблицу, переменные основные.

	свободный член	переменные	оценочное отношение
		х1	х2	х3	х4	х5
базис	х3	560	2	7	1	0	0	280
	х4	300	3	3	0	1	0	100
	х5	332	(5)	1	0	0	1	332/5
	f	0	-55	-35	0	0	0

Так как в данной таблице отсутствуют отрицательные свободные члены, то опорное решение достигается в данном базисе.

Переходим ко второму шагу. Критерием оптимальности является наличие положительных элементов при свободных переменных в строке f. В связи с этим разрешающим выберем столбец х1 (максимальный по модулю отрицательный коэффициент).

Для определения разрешающей строки найдем отношения свободных членов к соответствующим элементам столбца х1 одинакового знака:

Минимальное отношение для строки х5 - данная строка разрешающая, а элемент (5) - разрешающий элемент. Таким образом, в базис вводится переменная х1 вместо х5.

Перейдем к новому базису, произведя перерасчет симплекс-таблицы.

Заполняем II симплексную таблицу, переменные основные.

	свободный член	переменные	оценочное отношение
		х1	х2	х3	х4	х5
базис	х3	2136/5	0	33/5	1	0	-2/5	712/11
	х4	504/5	0	(12/5)	0	1	-3/5	42
	х1	332/5	1	1/5	0	0	1/5	332
	f	3652	0	-24	0	0	11

Критерий оптимальности не выполнен. Разрешающий столбец х2 (единственный по модулю отрицательный коэффициент).

Минимальное отношение для строки х4 - данная строка разрешающая, а элемент (12/5) - разрешающий элемент. Таким образом, в базис вводится переменная х2 вместо х4.

Перейдем к новому базису, произведя перерасчет симплекс-таблицы.

Заполняем III симплексную таблицу, переменные основные.

симплексный метод прибыль инвестиции

	свободный член	переменные	оценочное отношение
		х1	х2	х3	х4	х5
базис	х3	150	0	0	1	-11/4	5/4
	х2	42	0	1	0	5/12	-1/4
	х1	58	1	0	0	-1/12	1/4
	f	4660	0	0	0	10	5

Критерий оптимальности выполнен, следовательно, оптимальное решение найдено.

Ответ: Для получения максимальной прибыли от реализации, равной 4660 д.ед., необходимо запланировать производство 58 ед. продукции вида А и 42 единиц продукции вида В. При этом, сырье второго и третьего видов будет полностью использовано, а сырья первого вида останется неиспользованным в количестве 150 кг.

б) Двойственная задача и ее решение.

Составим расширенную матрицу системы:

Найдем матрицу АТ, транспонированную к А:

Сформулируем двойственную задачу:

Между оптимальными решениями прямой и двойственной задачи элементами индексных строк симплекс-таблиц, соответствующих этим решениям, существует следующая взаимосвязь:

,

где n - количество переменных прямой задачи; m - количество ее ограничений.

х1 х2 х3 х4 х5

у4 у5 у1 у2 у3

соответствующие элементы индексной строки прямой и двойственной задач соответственно. При этом, если n+i, где 1? i ?m больше числа векторов - столбцов матрицы ограничений расширенной формы соответствующей задачи, то элементы находятся путем циклической перестановки элементов индексной строки, начиная с элемента Учитывая, что n=2, m=3, имеем:

(у4 и у5 по правилу циклической перестановки)

Решая прямую задачу получили: f = 4660 - 10х4 - 5х5 , при оптимальном базисном решении (компоненты оптимального решения исходной задачи): Х* = (58; 42; 150; 0; 0) эти коэффициенты равны коэффициентам при соответствующих переменных линейной функции Z, которую можно представить в виде: Z = 4660 + 150у1 + 58у4 + 42у5

На основании первой теоремы двойственности: fmах=Zmin= 4660

На основании второй теоремы двойственности: Оптимальное решение двойственной задачи: Y*(0; 10; 5; 0; 0), у1*=у4*=у5*=0 (из-за отсутствия соответствующих переменных х3, х1, х2 в выражении f(x) (их коэффициенты равны 0)

Ответ: Zmin= 4660, при Y*(0; 10; 5; 0; 0)

в) Определение интервалов устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению сырья каждого вида в отдельности.

1). Статус ресурсов прямой задачи:

Определим с помощью вспомогательных переменных прямой задачи.

х3 = 150 (ресурс 1 недефицитный)

х4 = 0 (ресурс 2 дефицитный)

х5 = 0 (ресурс 3 дефицитный).

2). Интервалы устойчивости двойственных оценок согласно изменения запасов дефицитных ресурсов.

а) Изменение запаса ресурса Р2 обозначим через Др2, тогда новый оптимальный план:

Х* = {58-1/12• Др2; 42+5/12• Др2; 150-11/4• Др2; 0; 0}

Требование к новому плану:



Итак, -100,8 ? Др2 ? 54,6 означает, что если запас второго дефицитного ресурса Р2 увеличить на 54,6 или уменьшить на 100,8 кг, то оптимальной двойственной оценкой ресурса Р2 останется у2 = 10. Таким образом, запас ресурса Р2 может изменять в интервале [199,2;354,6]. Максимальная прибыль предприятия при этом находится в пределах.

4660 - 100,8•10 ? Zmax ? 4660 + 54,6•10, т.е. 3652 ? Zmax ? 5206

Оптимальный план производства продукции:

{66,4; 0; 427,2; 0; 0} ? Х*? {53,45; 64,75; 0; 0; 0}

Проверка: [66,4•55+0•35 ? Zmax ? 53,45•55+64,75•35], т.е. [3652 ? Zmax ? 5206]

б) Изменение запаса ресурса Р3 обозначим через Др3, тогда новый оптимальный план:

Х* = {58+1/4• Др3; 42-1/4• Др3; 150+5/4• Др3; 0; 0}

Требование к новому плану:

Итак, -120 ? Др3 ? 168 означает, что если запас третьего дефицитного ресурса Р3 увеличить на 168 или уменьшить на 120 кг, то оптимальной двойственной оценкой ресурса Р3 останется у3 = 5. Таким образом, запас ресурса Р3 может изменять в интервале [212;500]. Максимальная прибыль предприятия при этом находится в пределах.

4660 - 120•5 ? Zmax ? 4660 + 168•5, т.е. 4060 ? Zmax ? 5500

Оптимальный план производства продукции:

{28; 72; 0; 0; 0} ? Х*? {100; 0; 360; 0; 0; 0}

Проверка: [28•55+72•35 ? Zmax ? 100•55+0•35],

т.е. [4060 ? Zmax ? 5500]

г) Новый оптимальный план производства изделий при изменении запасов сырья каждого вида на величины Др1 = 0; Др2 = 60; Др3 = 68

Для определения компонентов нового оптимального плана воспользуемся одним из главных соотношений вычислительной процедуры симплекс-метода Х*=Д-1•В. Из последней симплекс-таблицы можно записать обратную матрицу Д-1:

Измененные запасы ресурсов образуют вектор

Тогда новый оптимальный план производства продукции при одновременном соответственном изменении запасов всех трех ресурсов:

Все хj ? 0, поэтому оптимальным планом двойственной задачи остается: Y* = {0; 10; 5}.

Общий максимальный доход производства изменится на

Zmax = Др1•y1+ Др2•y2+Др3•y3 = 0•0 + 60•10 + 68•5 = 940 и составит

maxZ = 4660 + 940 = 5600 у.е.

Проверка: Zmax = 70•55 + 35•50 = 5600 усл.ед.

Ответ: новый оптимальный план производства изделий при изменении запасов сырья Х* = {70;50;70;0;0}, стоимость готовой продукции вырастет на 940 усл.ед. и составит 5600 усл.ед.

д) Геометрическое решение исходной задачи.

Решение задачи линейного программирования находится в вершине симплекса - выпуклого многогранника (многоугольника). Нужно определить вершину симплекса. Используем из системы ограничений только уравнения. Задача была записана в стандартном виде, представим систему ограничений в каноническом виде, т.е. со знаками равно:

Используем декартовую прямоугольную систему координат. Каждому из ограничений соответствует прямая линия.

Найдем вершину симплекса: для этого построим нормальный вектор = (55;35) линию уровня передвигать параллельно самой себе в направлении нормали (максимум) до пересечения с крайней угловой вершиной симплекса.

Максимум функции находится в точке D - вершина, образованная пересечением прямых II и III.

Ответ: fmах = 86 при х1 = 13; х2 = 8; fmin = 36 при х1 = 5; х2 = 6.



Задача №2

Задание 1. Записать исходные данные задачи в виде транспортной таблицы, определить, открытой или закрытой является транспортная задача.

Задача 2. Сформулировать экономико-математическую модель исходной транспортной задачи.

Задача 3. Найти оптимальный план перевозок, отметив при этом единственность или не единственность оптимального плана.

Фирма имеет три магазина розничной торговли, расположенных в разных районах города (А, В, С). Поставки продукции в эти магазины осуществляются с двух складов D и E, площади которых вмещают 30 и 25 т продукции соответственно. В связи с возросшим покупательским спросом фирма планирует расширить площади магазинов, поэтому их потребности в продукции с торговых складов составят 20, 35 и 15 т в день. Чтобы удовлетворить спрос на продукцию, предполагается строительство третьего склада, площадь которого позволяет хранить в нем 15 т продукции ежедневно. Руководство фирмы рассматривает два варианта его размещения. В таблице даны транспортные издержки, соответствующие перевозке продукции с двух существующих складов, и два варианта размещения нового склада.

Оценить две транспортные модели и принять решение, какой вариант размещения нового склада выгоднее. Предполагается, что остальные издержки сохраняют существующие значения.

Торговый склад	Транспортные издержки, ден. ед.
	А	В	С
D	3	5	1
E	4	2	3
Вариант 1	4	5	4
Вариант 2	1	3	5



Решение.

Задание 1. Запишем исходные данные задачи в виде транспортной таблицы.

Покупатели bj Поставщики ai	20	35	15
30	3	5	1
25	4	2	3
15	4/1	5/3	4/5

Проверяем, является ли транспортная задача открытой или закрытой:

Модель закрытая, баланс не нарушен.

Задача 2. Экономико-математическая модель транспортной задачи.

Экономико-математическая модель оптимального закрепления содержит целевую функцию, систему ограничений (определенные условия) и условия неотрицательности переменных Хij. Общие транспортные расходы (целевая функция) Z определяется следующим выражением:

Система ограничений в транспортной задаче представлена следующими выражениями:



Целевая функция (3) определяет совокупные затраты на транспортировку всех партий грузов из всех пунктов отправления во все пункты назначения. Система ограничений (4) отражает требование, согласно которому весь груз из каждого пункта отправления должен быть вывезен.

Система ограничений (5) отражает требование, согласно которому потребность в грузе в каждом пункте назначения должна быть удовлетворена.

Соотношения (1)-(5) с использованием численных значений 1 варианта задания.

Обозначим через Хij количество продукции, которая от i-го склада перевозится к j-му магазину. Тогда система уравнений:

характеризует количество продукции, вывозимого от каждого склада, а система уравнений:

определяет количество продукции, получаемое каждым магазином.

Математическая постановка задачи: Найти неотрицательное решение системы линейных уравнений (3*) при выполнении ограничений (2*) так, чтобы линейная функция Z (1*) принимала наименьшее значение (минимизировалась).

Задача 3

Нахождение оптимального плана перевозок варианта 1.

Этап 1. Первоначальное закрепление потребителей за поставщиками. Распределение поставок (m+n-1)=6 - число заполненных клеток. Первоначальное распределение осуществляем по методу “Северо-западного угла”, то есть начинаем с левого верхнего угла и выбираем минимум среди a и b, если ступенька обрывается, то пишем 0-ую поставку.

	20	35	15
30	3 20	5- 10	1+	0
25	4	2+ 25	3- 0	3
15	4	5	4 15	2
	3	5	6	ui vj

Этап 2. Проверка оптимальности полученного плана. Выясним оптимально ли первоначальное распределение «Методом потенциалов».

Введем специальные показатели ui для каждой строки матрицы и vj для каждого столбца. Задав u1 =0 и используя формулу: По заполненным клеткам проставляем потенциалы. Чтобы оценить оптимальности распределения, для всех клеток матрицы определяются их оценки, которые обозначаются dij и определяются по формуле: Оценки клеток представляем в виде матрицы оценок, при этом оценки заполненных клеток равны нулю.

Наличие отрицательных оценок свободных клеток свидетельствует о том, что данный план не оптимальный.

Этап 3. Улучшение неоптимального плана (циклы перераспределения).

Выбирается клетка матрицы перевозок с наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценкой. В нашем случае такая клетка (1.3). Для выбранной клетки строим замкнутый цикл перераспределения (начиная движение от выбранной клетки со знаком «+», проставляя поочередно знаки «-» и «+»), вершины цикла могут быть только заполненные клетки, отрезки цикла могут быть только горизонтальными и вертикальными. Величина перераспределения определяется как наименьшая из величин в вершинах контура со знаком «-». На эту величину увеличиваются заполненные клетки в вершинах со знаком «+» и уменьшаются со знаком «-». MIN{10;0}=0. Результат указанных операций представлен в следующей таблице:

3 20	5- 10	1+ 0	0
4	2 25	3	3
4	5+	4- 15	-3
3	5	1	ui vj

Матрица оценок клеток для этого плана:

Данный план не оптимальный. Клетка матрицы с наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценкой - клетка (3.2). MIN{10;15}=10. Строим замкнутый цикл перераспределения:

3- 20	5	1+ 10	0
4	2 25	3	0
4+	5 10	4- 5	-3
3	2	1	ui vj

Матрица оценок клеток для этого плана:

Данный план не оптимальный. Клетка матрицы с наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценкой - клетка (3.1). MIN{20;5}=5. Строим замкнутый цикл перераспределения:

3 15	5	1 15	0
4	2 25	3	2
4 5	5 10	4	-1
3	4	1	ui vj

Матрица оценок клеток для этого плана:

Матрица оценок клеток этого распределения не содержит отрицательных значений, следовательно, данный план является оптимальным.

Стоимость перевозок по этому плану равна:

f = 3•15 + 1•15 + 2•25 + 4•5 + 5•10 = 180.

Отсутствие нулевых оценок незанятых клеток свидетельствует о том, что оптимальный план является единственным.

Задача 3. Нахождение оптимального плана перевозок варианта 2.

Этап 1. Первоначальное закрепление потребителей за поставщиками. Распределение поставок (m+n-1)=6 - число заполненных клеток. Первоначальное распределение осуществляем по методу “Северо-западного угла”.



	20	35	15
30	3 20	5- 10	1+	0
25	4	2+ 25	3- 0	3
15	1	3	5 15	1
	3	5	6	ui vj

Этап 2. Проверка оптимальности полученного плана «Методом потенциалов».

Матрица оценок клеток.

Наличие отрицательных оценок свободных клеток свидетельствует о том, что данный план не оптимальный.

Этап 3. Улучшение неоптимального плана (циклы перераспределения). MIN{10;0}=0. Результат указанных операций представлен в следующей таблице:

3- 20	5 10	1+ 0	0
4	2 25	3	3
1+	3	5- 15	-4
3	5	1	ui vj

Матрица оценок клеток для этого плана:

Данный план не оптимальный. Клетка матрицы с наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценкой - клетка (3.1). MIN{20;15}=15. Строим замкнутый цикл перераспределения:

3 5	5 10	1 15	0
4	2 25	3	3
1 15	3	5	2
3	5	1	ui vj

Матрица оценок клеток для этого плана:

Матрица оценок клеток этого распределения не содержит отрицательных значений, следовательно, данный план является оптимальным.

Стоимость перевозок по этому плану равна:

f = 3•5 + 5•10 + 1•15 + 2•25 + 1•15 = 145.

Наличие нулевых оценок незанятых клеток (3.2) свидетельствует о том, что оптимальный план не является единственным.

Ответ: поскольку стоимость перевозок по второму плану меньше, следовательно, второй вариант размещения нового склада выгоднее.

Задача №4

Совет директоров фирмы рассматривает предложения по наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на четырех предприятиях, принадлежащих фирме.

Для модернизации предприятий совет директоров инвестирует средства в объеме 250 млн. р. с дискретностью 50 млн. р. Прирост выпуска продукции зависит от выделенной суммы, его назначения представлены предприятиями и содержаться в таблице. Найти распределение инвестиций между предприятиями, обеспечивающее фирме максимальный прирост выпуска продукции, причем на одно предприятие можно осуществить только одну инвестицию



Инвестиции, млн.р.	Прирост выпуска продукции, млн. р.
	Предприятие 1	Предприятие 2	Предприятие 3	Предприятие 4
50	11	12	10	11
100	16	15	17	14
150	23	24	22	25
200	32	31	32	30
250	38	39	40	38

Решение.

1). Математическая модель задачи распределения инвестиций. Задача с n переменными представляется как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Указано n предприятий, где требуется построить или реконструировать основные производственные фонды, для чего выделено b рублей. Обозначим через fi(xi) прирост мощности или прибыли на j-м предприятии, если оно получит xi рублей капитальных вложений. Требуется найти такое распределение (x1,x2, ... , xn) капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли

z = f1(x1) + f2(х2) + ... + fn(xn)

при ограничении по общей сумме капитальных вложений

x1 + x2 + ... + xn = b

причем, считается, что все переменные xj принимают только целые неотрицательные значения

xj = 0, или 1, или 2, или 3, ...

Функции fj(xj) заданы.

2). Решение. Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Введем параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состояния Fk() определим как максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получают рублей. Параметр может изменяться от 0 до b. Если из рублей k-е предприятие получит xk рублей, то каково бы ни было это значение, остальные - xk рублей естественно распределить между предприятиями от первого до (К-1)-го так, чтобы была получена максимальная прибыль Fk-1( - xk). Тогда прибыль k предприятий будет равна fk(xk) + Fk-1( - xk). Надо выбрать такое значение xk между 0 и , чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению

Fk()=max{fk(xk) + Fk-1(-xk)}

0 xk

для k = 2, 3, 4, ... , n . Если же k=1, то

F1() = f1()

Представим решение в виде таблицы:

Sk-1	xk	Sk	k=3	k=2	k=1
			f3(x3)+Z4(s3)	Z3 s2	x3 s2	f2(x2)+Z3(s2)	Z2 s1	x2 s1	f1(x1)+Z2(s1)	Z1 s0	x1 s0
50	0	50	0+11=11	11	0	0+10=10	12	50	0+12=12	12	0
	50	0	10+0=10			12+0=12			11+0=11
100	0	100	0+14=14	21	50	0+17=17	22	50	0+15=15	23	50
	50	50	10+11=21			12+10=22			11+12=23
	100	0	17+0=17			15+0=15			16+0=16
150	0	150	0+25=25	28	100	0+22=22	29	50	0+24=24	28	100
	50	100	10+14=24			12+17=29			11+15=26
	100	50	17+11=28			15+10=25			16+12=28
	150	0	22+0=22			24+0=24			23+0=23
200	0	200	0+30=30	35	50	0+32=32	34	50 150	0+31=31	35	50 150
	50	150	10+25=35			12+22=34			11+24=35
	100	100	17+14=31			15+17=32			16+15=31
	150	50	22+11=33			24+10=34			23+12=35
	200	0	32+0=32			31+0=31			32+0=32
250	0	250	0+38=38	44	200	0+40=40	44	50	0+39=39	44	200
	50	200	10+30=40			12+32=44			11+31=42
	100	150	17+25=42			15+22=37			16+24=40
	150	100	22+14=36			24+17=41			23+15=38
	200	50	32+11=44			31+10=41			32+12=44
	250	0	40+0=40			39+0=39			38+0=38

Получаем: Z1*(250) = 44 тыс.ден.ед. = Zmax при x1* = x1*(250) = 200.

s1*= 250 - 200 = 50; x2*= x2*(50) = 50;

s2*= 50 - 50 = 0; x3*= x3*(0) = 0.

s3* = 0 - 0 = 0; x4* = x4*(0) = 0.

То есть Х* = (200; 50; 0; 0).

Ответ: Максимум суммарной прибыли равен 44 тыс.ден.ед. при условии, что первому предприятию выделяется 200; второму - 50; третьему - 0 и четвертому - 0 тыс.ден.ед.

Задача № 4

Дана упорядоченная структурно-временная таблица перечня работ. Требуется:

а) построить сетевой график;

б) определить критический путь;

в) критические работы;

г) резервы времени;

д) коэффициент напряженности работ.

Содержание работы	Обозначение	Предыдущая работа	Продолжительность, дн.
Исходные данные на изделие	а1		36
Заказ комплектующих деталей	а2	а1	8
Выпуск документации	а3	а1	18
Изготовление деталей	а4	а3	32
Поставка комплектующих деталей	а5	а2	21
Сборка изделия	а6	а4, а5	10
Выпуск документации на испытание	а7	а3	9
Испытание и приемка изделия	а8	а6, а7	13

Решение.

Составим таблицу:

Работа	События	Продолжительность
	0-1	36
	1-2	8
	1-3	18
	3-4	32
	2-4	21
	4-5	10
	3-5	9
	5-6	13

Выпишем все пути и определим их длительность:

L1 : 0-1-2-4-5-6, Т1 = 88

L2 : 0-1-3-4-5-6, Т2 = 109

L3 : 0-1-3-5-6, Т3 = 76

Таким образом, 109, следовательно, L2 - критический путь. На графике отметим его толстыми стрелками.

Построим теперь сетевой график с учетом времени выполнения работ: добавим новые события 4*, 5*:

Рассчитаем ранние сроки наступления событий:

tp(0) = 0;

tp (1) = tp(0) + t(0,1) = 0 + 36 = 36 дн;

tp (2) = tp(1) + t(1,2) = 36 + 8 = 44 дн;

tp (3) = tp(1) + t(1,3) = 36 + 18 = 54 дн;

tp (4) = max дн;

tp (5) = max час

tp (6) = tp(5) + t(5,6) = 96 + 13 = 109 дн.

Следовательно, критическое время выполнения работ по организации выставки .

Рассчитаем поздние сроки наступления событий:

tп (6) = 109 дн;

tп (5) = tп (6) - t(5,6) = 109 - 13 = 96 дн;

tп (4) = tп (5) - t(4,5) = 96 - 10 = 86 дн;

tп (3) = min дн;

tп (2) = tп (4) - t(2,4) = 86 - 21 = 65 дн;

tп (1) = min дн.

tп (0) = tп (1) - t(0,1) = 36 - 36 = 0 дн.

Для событий на критическом пути самое раннее и самое позднее времена их наступления будут совпадать.

Критический путь длиною 109 дней, следовательно, соответственно критические работы: а1, а3, а4, а6, а8.

Определим четыре вида резерва времени:

1. Полный резерв времени .

2. Частный резерв времени .

3. Свободный резерв времени .

4. Независимый резерв времени .

Расчет резервов времени удобно представить таблицей 2:

Таблица 2. Резервы времени

Работа	События i-j	Продолжительность,	Начало работы	Конец работы	Резервы
			tp(i)	tп(i)	tp(j)	tп(j)	RП	RЧ	RС	RН
	0-1	36	0	0	36	36	0	0	0	0
	1-2	8	36	36	44	65	21	21	0	0
	1-3	18	36	36	54	54	0	0	0	0
	2-4	21	44	65	86	86	21	0	21	0
	3-4	32	54	54	86	86	0	0	0	0
	3-5	9	54	54	96	96	33	33	33	33
	4-5	10	86	86	96	96	0	0	0	0
	5-6	13	96	96	109	109	0	0	0	0

У критических работ все резервы времени равны нулю.

Коэффициент напряженности работы вычисляется по формуле:



Коэффициент напряженности работ критического пути равен 1. Рассчитаем коэффициенты напряженности для работ а2, а5 и а7:

Данные работы являются промежуточными по степени напряженности сроков их выполнения, т.к. для них .

Задача № 5

Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продаж товаров на предстоящей ярмарке с учетом конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели дохода представлены в таблице.

1) Определить оптимальную стратегию фирмы в продаже товаров на ярмарке.

2) Если существует риск (вероятность реализации плана П1 - 30%, П2 - 45%, П3 - 25%), то какую стратегию фирме следует считать оптимальной?

План продажи	Величина дохода, ден. ед.
	Д1	Д2	Д3
П1	3	4	2
П2	1	2	4
П3	5	3	1

Решение.

1. Критерий Лапласа определяется:



,

т.е. если предположить все возможные состояния природы равновероятными: P(S1) = P(S2) = ... = P(Sn), то среди суммы элементов каждой строки платежной матрицы находится максимальное значение, которое делится на все возможные состояния природы.

2. Критерий Максимакса определяется:

,

т.е. среди элементов каждой строки платежной матрицы находится максимальное значение, и среди этих максимальных значений находится максимальное. Этот критерий выражает позицию крайнего оптимизма (азартного игрока). На практике он не используется, так как предполагает необоснованный риск.

2. Критерий Вальда определяется:

,

т.е. среди элементов каждой строки платежной матрицы находится минимальное значение, и среди этих минимальных значений находится максимальное.

4. Критерий Сэвиджа:

,



т.е. среди элементов каждой строки матрицы рисков находится максимальное значение, и среди этих максимальных значений находится минимальное. Риском игрока называется разность между выигрышем, который бы он получил, если бы знал заранее условия операции, и выигрышем, который он получит, применяя все-таки данную стратегию.

Для вычисления матрицы рисков в каждом столбце, найдем max значение, после чего из этого значения вычтем значения элементов:

5. Критерий Гурвица:

,

где Щ - коэффициент, пессимизма (Щ = 0,7).

Для каждой строки находим элементы и вычисляем , и среди этих значений выбираем максимальное.

Ответ:

L = П1, П3; Z = П3; W = П1; S = П1; H = П1

Таким образом, по четырем из пяти критериев оптимальной следует признать стратегию П1.

2) Если существует риск (вероятность реализации плана Д1 - 30%, Д2 - 45%, Д3 - 25%), то для определения оптимальной стратегии составим вспомогательную расчетную таблицу, в которой вычислим математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и рискованность стратегий:

сост	Д1	Д2	Д3	М	D	у	b
Р =	0,3	0,45	0,25
П1	3	4	2	3,2	1,00	1	0,31
П2	1	2	4	2,2	2,33	1,53	0,69
П3	5	3	1	3,1	4,00	2,00	0,65

Максимальную прибыль 2,85 имеет план П1, у которого так же минимальная степень риска.



Список использованной литературы.

1. Исследование операций в экономике: Учеб.пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко,И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2004. - 407 с.

2. КарасевА.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании. - М.: Экономика, 1987.

3. Красс М.С., Чупрынрв Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. - 4-е изд., испр. - М.: Дело, 2003.- 688 с.

4. Федосеев В.В. Экономико-математические модели и методы в маркетинге: Учебник. - М.: «Финстатинформ», 1996.

Размещено на Allbest.ru