Корреляционно-регрессионный анализ

Вывод

Первый этап в указанном статистическом анализе касается выявления так называемой корреляции, или корреляционной зависимости. Корреляция рассматривается как признак, указывающий на взаимосвязь ряда числовых последовательностей. Иначе говоря, корреляция характеризует силу взаимосвязи в данных. Если это касается взаимосвязи двух числовых массивов xi и yi, то такую корреляцию называют парной.

Таким образом, корреляционный анализ позволяет сделать вывод о силе взаимосвязи между парами данных х и у, а регрессионный анализ используется для прогнозирования одной переменной (у) на основании другой (х).

Иными словами, в этом случае пытаются выявить причинно-следственную связь между анализируемыми совокупностями.

Зная коэффициент корреляции, можно дать качественно количественную оценку тесноты связи. Используются, например, специальные табличные соотношения

Качественная оценка тесноты связи

Величина коэффициента парной корреляции

Характеристика силы связи

До 0,3 Практически отсутствует

0,3?0,5 Слабая

0,5?0,7 Заметная

0,7?0,9 Сильная

0,9?0,99 Очень сильная

В моем СРС видно, что коэффициент корреляции составил 0,375 и связь является Слабой.

В качестве статистического показателя может быть использован также коэффициент (индекс) детерминации (причинности) R2, который равен квадрату коэффициента корреляции (r2). Он показывает, в какой мере изменчивость у (результативного признака) объясняется поведением х (факторного признака), или иначе: какая часть общей изменчивости у вызвана собственно влиянием х. Этот показатель вычисляется путём простого возведения в квадрат коэффициента корреляции. Тем самым доля изменчивости у, определяемая выражением 1? R2, оказывается необъясненной.

Для количественной проверки гипотезы об адекватности можно использовать так называемый F ? критерий (критерий Фишера):

Чтобы определить, велика или мала ошибка в предсказании эмпирических результатов, ее нужно сопоставить с некоторой статистической величиной (эталоном), принимаемой в качестве критической. Вот почему используется расчетный F-критерий, который затем сравнивают с Fкрит.

Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи имеет вид:

y = a0 + a1x ,

где y - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

a0 , a1 - коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Поскольку a0 является средним значением у в точке х=0, экономическая интерпретация часто затруднена или вообще невозможна.

Коэффициент парной линейной регрессии a1 имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией результативного признака у. Вышеприведенное уравнение показывает среднее значение изменения результативного признака у при изменении факторного признака х на одну единицу его измерения, то есть вариацию у, приходящуюся на единицу вариации х. Знак a1 указывает направление этого изменения.

Параметры уравнения a0 , a1 находят методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), то есть в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных yi от выровненных y :

(yi - y)2 = (yi - a0 - a1xi)2 min

Для нахождения минимума данной функции приравняем к нулю ее частные производные и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:

, или

Параметры уравнения парной линейной регрессии удобно исчислять по следующим формулам, дающим тот же результат:

Теперь я рассчитаю t-критерий Стьюдента для моей модели регрессии и Расчетные значения t-критерия Стьюдента:

Значимость коэффициентов простой линейной регрессии (применительно к совокупностям, у которых n<30) осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента. При этом вычисляют расчетные (фактические) значения t-критерия

для параметра a0 :

для параметра a1 :

, где n - объём выборки;

- среднее квадратическое отклонение результативного признака от выровненных значений y ;

или

Теоретическое корреляционное отношение применительно к моему анализу я рассчитаю двумя способами:

Полученное значение теоретического корреляционного отношения свидетельствует о возможном наличии среднестатистической связи между рассматриваемыми признаками. Коэффициент детерминации равен 0,4.