Применение теории опционов
Общие понятия теории опционов. Типы и эффективность реальных опционов. Модели теории опционов при хеджировании инвестиционных портфелей. "Модель клюшки" и биномиальная модель ценообразования на опционы. Статическое и динамическое хеджирование опционами.
| Рубрика | Экономика и экономическая теория |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.10.2010 |
| Размер файла | 122,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Сходные возможности и сходная модель присущи хеджированию инвестиций приобретением опционов на покупку инвестиционных активов.
Наконец, заметим, что описанный способ моделирования управления инвестиционным риском применим не только для анализа в масштабе всего рынка капитала (фондового рынка), но и для хеджирования опционами на продажу или на покупку вложения средств в любые другие по масштабу и представительности инвестиционные портфели, а также для хеджирования приобретения отдельно взятых инвестиционных активов.
Паритет между опционами на продажу и покупку на совершенных рынках
Если на рынке инвестиционных активов наблюдается такая высокая степень конкуренции (рынок должен быть информационно прозрачен, издержки трансакций на нем должны стремиться к нулю), что на этом рынке не наблюдается спекуляций («арбитражных операций»), то применительно к подобному рынку теоретически должно выполняться ниже приводимое условие паритета между опционами на продажу и покупку одного и того же инвестиционного актива.
На рынке совершенной конкуренции справедливо следующее.
1. В силу предельной насыщенности рынка конкурирующими участниками ни один из них, приобретя опционы на покупку или продажу соответствующих активов, не может добиться от этого дополнительной прибыли большей, чем та, что у него была бы при простом и доступном любому участнику рынка безрисковом ссужении по ставке R на время, равное сроку опциона Т, так как будущая стоимость (future value) цены исполнения опциона X стремится к будущей цене st хеджируемой опционом акции, т.е.
X(1+K)Т=ST.
Отсюда получаем:
ST-X(1+R)Т=0.
2. Вследствие указанного выше первого момента на рассматриваемых рынках одновременное приобретение по одному и тому же хеджируемому инвестиционному активу опциона на его покупку и опциона на продажу напоминает «игру с нулевой суммой» (термин из теории игр, означающий, что для игрока равновероятны одинаковые проигрыш и выигрыш), так как валовой доход от приобретения опциона на покупку окажется равен валовому доходу с опциона на продажу:
Dc = max [(ST - X), 0] = DP = max [(X- ST), 0].
Их цены как стоимости прав на одинаковый доход тогда тоже должны быть равны: CT = PT. Отсюда следует, что CT -РT = 0.
Значит, равные нулю выражения из двух рассмотренных моментов тоже должны быть равны:
СT - РT = ST -X(1+K)T.
Это и выступает условием паритета между опционами на продажу и покупку одного и того же инвестиционного актива.
Данное условие можно использовать для грубой прикидки целесообразности приобретать опционы для, например, «игры на повышение» хеджируемых ими инвестиционных активов. Это стоит делать, если выполняется следующее.
по опциону на покупку: ST ? CT ? max [О, ST - Х(1+R)T];
по опциону на продажу: X ? P T? max [0, X/(1+R)T - ST].
Биномиальная модель статического хеджирования акций (инвестиционных активов) опционами1
Модели ценообразования на опционы нацелены на то, чтобы определять так называемую обоснованную (точнее, внутренне присущую, внутреннюю) цену на опционы, которая по финансовой сути должна зависеть от параметров Т и X, а также от средней ожидаемой через время Т будущей рыночной стоимости хеджируемого актива ST и от риска, связанного с этой средней и характеризуемого, например, показателем а.
В самом деле, чем меньше срок исполнения опциона, тем более определенной становится величина ST и тем меньше следовало бы платить за хеджирование ее неопределенности. Чем больше ожидаемая величина ST, тем опцион на покупку хеджируемого актива при фиксированной цене его исполнения X больше может дать дополнительной прибыли и тем больше должен стоить.
В опционах на покупку актива чем меньше цена его исполнения при некоторых имеющихся ожиданиях в отношении показателя ST , тем тоже больше должен стоить опцион, потому что его использование тогда способно обеспечить более высокую дополнительную прибыль.
На реальных рынках, однако, цены на опционы складываются в том числе на основе реальных спроса и предложения, ожиданий участников рынка, которые могут быть основаны на неполной или ложной их информированности.
Поэтому вполне возможно, что наблюдаемые цены на опционы могут быть как ниже их «внутренней» (обоснованной) цены, так и выше. Следовательно, появляется возможность, приобретая опционы, не столько хеджировать инвестиционный риск, сколько на этом дополнительно зарабатывать прибыли большие, чем те, которые можно было получить, если бы направленные на опционы средства были использованы для приобретения самих хеджируемых активов.
В то же время появляется опасность неэффективного хеджирования инвестиционного портфеля, которое слишком снизит его среднюю ожидаемую доходность.
Для инвестора, диверсифицирующего инвестиционный портфель опционами, тогда встает задача постоянно сравнивать наблюдаемую рыночную цену того или иного опциона с его «обоснованной» (внутренней) ценой, чтобы принимать разумные инвестиционные решения по поводу того, приобретать опцион (если его обоснованная или «внутренняя» цена выше рыночной) или не приобретать (если его обоснованная или «внутренняя» цена ниже рыночной).
Существенным, таким образом, становится, проверять следующие неравенства:
СТнабл > < СТ
РТнабл > < РТ
где СТнабл и РТнабл -- наблюдаемые на рынке цены по опционам на покупку и продажу акций;
СТ и РТ -- специально рассчитываемые обоснованные («внутренние») цены на эти опционы.
Грамотные инвестиционные решения по поводу приобретения опционов потребовали создания моделей, с помощью которых можно было бы приблизительно рассчитывать обоснованные («внутренние») цены опционов.
3.2 Биномиальная модель ценообразования на опционы
Была разработана Джоном Коксом Стивеном Россом и Марком Рубинштейном на основе так называемой непрерывной модели ценообразования на опционы.
Кратко содержание этой модели излагается ниже.
Пусть есть акции некоторой компании, приобретение которых хеджируется опционом на покупку этих акций. Предположим сначала, что срок истечения опциона равняется одному периоду: Т = 1. Цена акции на текущий момент равна S0. Пусть, далее, существуют только два сценария изменения этой цены через период: цена может подняться в и раз (в долях единицы, т.е. цена акции через период станет 100u процентов от S0) либо опуститься в d раз (в долях единицы, т.е. цена акции через период станет lOOd процентов от S0). Вероятности этих двух исходов в сумме составляют единицу. Цена исполнения опциона равна X. Рынок, на котором совершаются сделки, совершенен и на нем невозможны спекуляции.
В момент исполнения опциона через один период цена опциона как в случае повышения цены акции (обозначим для этого случая будущую цену опциона как C1U), так и в случае ее понижения (для данного случая обозначение будущей цены опциона -- C1d) сравнивается с прибылью, которую в этот же момент спосо
С1u = max[uS0 - X, 0]; C1d = max[dS0 - X, 0].
Теперь предположим, что мы создаем портфель из h акций, хеджируемых опционом на покупку этих h акций, финансируя (полностью либо частично) приобретение данного портфеля взятием взаймы по ставке R суммы В. Стоимость портфеля акций на начальный момент, следовательно, равна (h * S0 -- В), т.е. их рыночной стоимости за минусом стоимости появившегося долга.
К моменту истечения срока опциона (здесь -- спустя один период) опцион на покупку всего портфеля акций должен стоить, как только что доказано выше, ровно столько, сколько на этот момент будет стоить сам хеджируемый портфель. Цена опциона -- на этот раз на покупку h акций -- для случаев повышения и понижения цены акций должна, следовательно, составить:
C1u = uhS0 -- B(1+R) -- для случая повышения цены акций;
C1d = dhS0 -- B(1+R) -- для случая понижения цены акций,
где В(1+R) -- будущая стоимость (future value) взятого долга -- сумма за него, которую придется отдавать через период.
Если теперь исходить из того, что в начальный момент опцион на покупку включаемых в портфель акций должен стоить какую-то одну цену, которая должна быть эквивалентной цене опциона спустя период независимо от того, какой из двух вероятных сценариев изменения цены акций будет иметь место, то естественно задаться вопросом: при каких значениях показателей h* и B* будущие стоимости рассматриваемого опциона для любого сценария изменения рыночной стоимости акций оказываются равными и эквивалентными одной (обоснованной, «внутренней») цене опциона на начальный момент?
Эти величины находятся из решения относительно h и В системы уравнений для С1и и С1d.
h* = (C1u - Cld) / (и - d)S0,
B*=(uC1d - dC1u)/(d -u)(l+R).
Чтобы предотвратить возможные спекуляции между стоимостью портфеля и ценой хеджирующего его опциона (поскольку рассматривается совершенный рынок), портфель, содержащий h* акций (или -- в расчете на одну акцию -- h* долей одной акции), профинансированный взятием взаймы суммы B*, должен иметь такую же начальную стоимость, что и начальная стоимость опциона на его покупку. Иначе говоря:
С1 = h* · S0 - B*.
Данное уравнение и выражает обоснованную («внутреннюю») цену опциона на текущий момент.
Подставляя в это уравнение выражения для найденных показателей h* и B*, его можно также представить и в следующей форме:
C1= (С1u - С1d) /(u - d) + (иС1d - dC1u ) / (и - d) (1+R)
Или то же самое:
C1=[qC1u+(1-q)C1d] / (1+R),
где
q=[(1+R)-d] / (u-d).
Число h* в этой модели называется числом хеджирования или коэффициентом хеджирования. Смысл именовать его коэффициентом хеджирования заключается в том, что это число можно понимать как количество акций, которое можно эффективно хеджировать приобретением опциона на покупку (здесь) одной акции.
Биномиальная модель ценообразования на опционы была обобщена применительно к ситуации, когда в каждом единичном периоде два возможных сценария изменения рыночной стоимости хеджируемых акций имеют место в рамках любого числа периодов, а не только одного периода, как рассматривалось выше. Это было сделано Ф. Влеком и М. Сколсом.
Рассмотрим, как будет меняться начальная рыночная стоимость S0 акции в течение Т периодов, если в каждом из них она может увеличиваться в и раз либо уменьшаться в d раз. Соответствующее «дерево сценариев» показано на рис. 4,
Рис. 4. «Дерево сценариев» биномиальной модели ценообразования на опционы
Как легко видеть, за время Т до истечения срока опциона рыночная стоимость акции может изменяться по нескольким сценариям, показанным на рисунке разными путями, исходящими из начала «дерева сценариев». При этом в зависимости от того, какой из путей в этом дереве будет соответствовать действительности, рыночная стоимость акции способна измениться спустя один единичный период (год, месяц) в и или d раз, спустя два единичных периода -- в u2, du или d2- раз, спустя три единичных периода -- в u3, d2u, du2, или d3 раз, спустя четыре единичных периода -- в u4, du3, d2и2, d3и или d4 раз и т.д.
В начальный момент времени, когда до истечения срока остается Т единичных периодов, общая формула для расчета обоснованной («внутренней») цены опциона на покупку акции, чья рыночная стоимость может изменяться таким образом, выглядит так (формула Блека -- Сколса):
CT=S0N(v) - X[e(-RT)]N(q),
Где v=
q= v - уy
[e(-RT)] = 1/(1+R)T - эквивалентное выражение для фактора текущей стоимости будущего единичного дохода при ставке R
N -- кумулятивная функция нормального распределения вероятностей.
Функция N может принимать значения от нуля до единицы, причем, будучи примененной к аргументу, равному нулю, она дает значение 0,5:
О ? N ? 1; N(-?) = О, N (0) = 0,5, N (+?) = 1,0.
Вид кумулятивной функции нормального распределения вытекает из вида базовой для нее обычной функции нормального распределения. Графически это показано на рис. 5.
Подбор нужной функции на практике облегчается тем, что выполняется равенство:
N(q) = dC/dS = (Сu - Cd)/(Su - Sd)= Д.
При этом показатель Д («дельта») может быть взят из наблюдений за уже имевшей место зависимостью цены на опцион на покупку акции от изменения ее рыночной цены.
Показатель у в приведенных выше формулах -- это доходность акции на момент принятия инвестиционного решения.
Рис. 5. Обычная и кумулятивная функции нормального распределения вероятности некоторого аргумента х
Показатель уy представляет собой знакомую нам величину среднеквадратического отклонения доходности хеджируемой акции от средней ее доходности в прошлом (она же переносится и на будущее), т.е. служит параметром риска дохода с акции.
4. Статическое и динамическое хеджирование опционами
Принятие решений о приобретении хеджирующих основной инвестиционный актив опционов может происходить единовременно. Тогда хеджирование считается статическим. Именно о нем шла выше речь, когда задавались вопросом о том, какой должна быть обоснованная («внутренняя») цена на опцион в некоторый начальный момент, от которого до срока истечения опциона остается время Т.
Динамическим хеджирование опционами становится тогда, когда решение о приобретении хеджирующего опциона принимается (и изменяется) в любой момент в течение этого срока. Причем данное решение должно естественным образом зависеть от ряда наблюдаемых на рынке параметров, которые показывают, как наблюдаемая на рынке цена опциона изменяется в ответ на изменения определяющих ее факторов -- доходности актива (акции), остающегося до истечения срока опциона времени, колеблемости фактического дохода с актива (его фактической доходности). Эти параметры именуются греческими буквами «дельта», «гамма», «тета», «омега», «ро» и поэтому на профессиональном жаргоне их часто называются греками.
Для опциона на покупку акции упомянутые факторные (определяющие цену опциона) параметры имеют следующие выражения (характеристика «дельты» уже использована выше):
г = д2C/дS2 -- вторая производная цены С по S, характеризует скорость изменения цены опциона в ответ на изменение цены акции;
и = дС/дТ -- первая производная цены С по Т или просто изменение цены опциона к изменению срока до исполнения опциона; отражает то, как изменяется цена опциона при уменьшении срока до его исполнения;
щ = дС/ду(у) -- изменение цены опциона к изменению в колеблемости дохода с акции (изменению среднеквадратического отклонения ее доходности относительно средней доходности в прошлом); описывает влияние изменения риска вложений в хеджируемый актив на цену хеджирующего его опциона;
с= дС/ду -- изменение цены опциона в ответ на изменение доходности акции (на которую влияет не только текущая цена акции, но и выплачиваемые по ней дивиденды).
Ф. Блек и М. Сколе совместно с Робертом Мертоном разработали специально для динамического хеджирования опционами так называемую непрерывную модель ценообразования на опционы (за что в 1997 г. получили Нобелевскую премию по экономике).
В этой модели выводятся особые функции для расчета перечисленных параметров. В ней же показано, по каким формулам на основе этих параметров рассчитываются меняющиеся во времени обоснованные (внутренние) цены на хеджирующие опционы. В отличие от биноминальной модели ценообразования на опционы непрерывная модель Блека -- Сколса -- Мертона не предполагает, что рыночная стоимость хеджируемого актива может, изменяясь, принимать только два альтернативных значения. Эта стоимость может в данной модели меняться как угодно.
Непрерывная модель ценообразования на опционы выходит за рамки рассмотрения настоящего пособия.
Задача
Предприятие способно через 1 год в результате разработанного бизнес-плана повысить годовую прибыль до 1 млн. рублей. Чистые материальные активы составляют 2,5 млн. рублей. Коэффициент съема прибыли с чистых активов в отрасли = 0,35. Коэффициент капитализации, учитывающий риски бизнеса = 0,25. Рассчитать вероятное повышение рыночной стоимости предприятия методом избыточной прибыли.
Решение:
Ожидаемый по предприятию уровень прибыли = 2,5*0,35 = 0,875 млн. руб.
Избыток прибыли = 1- 0,875 = 0,125 млн. руб.
Стоимость гудвилла = 0,125/0,25 = 0,5 млн. руб.
Стоимость предприятия = 2,5+0,5 = 3 млн. руб.
Ответ: Стоимость предприятия через год составит 3 млн. руб. Соответственно вероятное повышение цены на это предприятие составит 0,5 млн. руб.
Библиография
1. Валдайцев С.В. Оценка бизнеса и управление стоимостью предприятия. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 720 с.
2. Григорьев В.В., Федотова М.А. Оценка предприятия: теория и практика. - М.: ИНФРА-М, 1997. - 320 с.
3. Мильяни Ф., Миллер М. Сколько стоит фирма? Теорема ММ: Пер. с англ. - М.: Дело, 1999. - 272 с.
4. Сычева Г.И., Колбачев Е.Б., Сычев В.А. Оценка стоимости предприятия (бизнеса). - Ростов - на - Дону: «Феникс», 2003. - 384 с.
5. Оценка стоимости предприятия (бизнеса)/Под ред. Абдуллаева Н.А., Колайко А.М. - М.: Издательство «ЭКОМОС», 2000. - 352 с.
Подобные документы
Определение опционов и их классификация. Понятие хеджирования, виды хеджей и их роль в страховании портфельных рисков. Особенности простейших способов хеджирования с использованием опционов. Теория и практика составления комбинированных стратегий.
курсовая работа [704,6 K], добавлен 10.10.2013Решение уравнения Дынкина методом Фурье, представление общего решения в виде разложения в ряд по базисным функциям. Теоретические значения стоимости валютных опционов на основе и формулы Блэка-Шоулза. Сравнение полученных оценок и анализ результатов.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 28.04.2015В основе фьючерсов и опционов лежит понятие отложенной (будущей) поставки товара. Оба этих финансовых инструмента позволяют, хотя и несколькими отличающимися способами согласиться сегодня с ценой, по которой вы купите или продадите товар в будущем.
курсовая работа [27,9 K], добавлен 19.06.2008Общая характеристика и анализ финансового состояния ОАО "Челябинский трубопрокатный завод". Оценка стоимости предприятия с помощью методов доходного подхода, дисконтирования денежных потоков и реальных опционов. Источники информации для оценки.
курсовая работа [410,4 K], добавлен 15.01.2012Олигополия-ситуация, когда несколько крупных фирм доминируют в отрасли. Модель чистой монополи. Модель олигополии в контексте теории игр. Равновесие Нэша. Модель тайного соглашения в ценах (картель). Модель олигополии Курно. Конкурентное окружение.
реферат [1,3 M], добавлен 05.06.2008Роль идей экономистов и политических мыслителей в управлении миром. Модели человека в экономической теории как унифицированное представление о человеке, действующем в определенной системе социально-экономических координат. Предмет экономической теории.
презентация [1,4 M], добавлен 09.11.2013Экономическая теория как наука: развитие, функции, методология. Общие и частные методы. Модели экономической теории: смешанная экономика, шведская, американская, германская, японская и китайская модели. Закономерности и факторы экономического роста.
курсовая работа [41,0 K], добавлен 12.03.2009Анализ теории экономического роста. Неоклассические модели экономического роста (модель Солоу). Влияние технического и технологического прогресса на экономический рост. Истоки успешности и устойчивости экономической модели Швейцарии, опыт развития.
курсовая работа [70,0 K], добавлен 14.11.2010Изучение основных моделей ценообразования в условиях кооперированной и некооперированной олигополии. Модель картеля, ценового лидерства. Модель дуополии и модель Штакельберга, ломаной кривой спроса. Эффективность и примеры олигополии в современной РФ.
курсовая работа [320,9 K], добавлен 08.05.2015Теории и проблемы безработицы. Последствия безработицы. Упрощенная модель равновесия Кейнса. Разрывы в экономике. Парадокс бережливости. Валютная политика. Денежная масса. Падение объема производства и его последствия. Темп роста экономики. Модель Ми
контрольная работа [112,6 K], добавлен 05.11.2008
