Индексы цен и реального дохода

Индексы цен и реального дохода

Нас часто интересуют изменения в стоимости жизни в связи с изменениями доходов и (или) цен.

Допустим, что расходы потребителя равны его доходам и составляют в начальном (базисном) периоде:

I⁰ = ?q⁰p⁰

а в текущем:

I^t = ?q^tp^t

Здесь верхний индекс 0 соответствует показателям базисного, а индекс t - текущего периода; q и р - соответственно количества покупаемых товаров и их цены, индексы товаров опущены, поскольку знак ? подразумевает сумму расходов на приобретение всего множества товаров (потребительской корзины).

Для оценки изменения стоимости жизни в текущем периоде по сравнению с базисным следует определить индексы номинального дохода и цен.

Индекс номинального дохода определить легко, он составит:

M_I = I^t/I⁰ (1)

Индекс цен может быть определен двумя способами: как индекс Ласпейреса:

P_L = ?q⁰p^t/ ?q⁰p⁰ (2)

и как индекс Паше:

P_P = ?q^tp^t/ ?q^tp⁰ (3)

названные так по имени немецких статистиков Э. Ласпейреса (1834-1913) и Г. Пааше (1851-1925).

Индекс Ласпейреса предполагает взвешивание цен двух периодов по объемам потребления товаров в базисном, а индекс Пааше - по объемам их потребления в текущем периоде.

Однако ни тот ни другой индекс не дают верного представления об изменении цен, поскольку они не учитывают влияния этого изменения на структуру потребления.

Очевидно, что если (в обычной двухпродуктовой модели) цена товара X возрастает (P^t_X > P⁰_X), то покупки его снижаются (q^t_X < q⁰_X) и, наоборот, при снижении цены (p^t_X < p⁰_X) покупки увеличиваются (q^t_X > q⁰_X). Поэтому значение индекса Ласпейреса, использующего в качестве весов объемы q⁰, дает преувеличенное представление об изменении цен в случае их роста, но преуменьшенное в случае их снижения. Наоборот, значение индекса Пааше, где в качестве весов используются объемы q^t, дает преуменьшенное представление об изменении цен в случае их роста, но преувеличенное в случае их снижения. И в любом случае индекс Ласпейреса оказывается выше индекса Пааше (P_L > P_P).

Можно показать, что положение потребителя в текущем периоде будет лучше, чем в базисном, если индекс Ласпейреса окажется ниже индекса номинального дохода:

I^t/I⁰ > = P_L (4)

Можно показать также, что положение потребителя в текущем периоде будет хуже, чем в базисном, если индекс Пааше окажется выше индекса номинального дохода:

I^t/I⁰ < = P_P (5)

Рассмотрим сначала индекс Ласпейреса. Если ?q⁰p^t ? I^t, первоначальный набор товаров (вектор q⁰), очевидно, доступен потребителю и при текущих ценах (вектор p^t ) и доходе I^t.

Значит, и в изменившихся условиях потребитель мог бы по-прежнему покупать первоначальный набор q⁰.

Если же фактически в текущем периоде он покупает иной набор (вектор q^t ), то либо:

?q⁰p^t < ?q^tp^t, (6)

это означало бы, что набор q^t принадлежит более высокой кривой безразличия, т.е. сулит потребителю большее удовлетворение, чем набор q⁰, либо:

?q⁰p^t = ?q^tp^t, (7)

это означало бы, что наборы q⁰ и q^t имеют равную стоимость, т.е. принадлежат одной и той же бюджетной прямой, но потребитель явно предпочитает набор q^t, сулящий ему большее удовлетворение, т.е. принадлежит более высокой кривой безразличия.

Разделив обе части (7) на ?q⁰p⁰, имеем:

?q⁰p^t/ ?q⁰p⁰ = ?q^tp^t/ ?q⁰p⁰ (8)

Левая часть (8) представляет индекс цен Ласпейреса, правая - индекс номинального дохода. Следовательно: P_L < M_I.

Таким образом, утверждение (7) доказано. Его можно иллюстрировать графически.

На рис. 1 первоначальный доход и цены товаров представлены бюджетной прямой I⁰I⁰:

I⁰ = ?q⁰p⁰ = q⁰_Xp⁰_X + q⁰_Yq⁰_Y (9)

доход и цены текущего периода - бюджетной прямой I^tI^t:

I^t = ?q^tp^t = q^t_Xp^t_X + q^t_Yp^t_Y (10)

Первоначальному оптимуму потребителя соответствует точка А (q⁰_X, q⁰_Y), текущему - точка В (q^t_Xx,q^t_Y):

Новая бюджетная прямая I^tI^t, как и первоначальная I⁰I⁰, проходит через точку А, что свидетельствует о доступности для потребителя прежнего оптимального набора А в изменившихся условиях.

Однако при тех же самых расходах I^t потребитель может достигнуть более высокой кривой безразличия U₂U₂, перейдя из точки А в точку В. Таким образом, из двух равных по стоимости наборов он выбирает тот, который сулит ему большее удовлетворение.

И значит, при новом уровне дохода и цен (I^t, p^t) положение потребителя улучшается.

Теперь рассмотрим индекс Пааше. Если ?q⁰p⁰ > ?q^tp⁰, набор q^t, выбираемый в период t, был доступен потребителю и в период 0. И если тогда он предпочитал все же набор q⁰, то лишь потому, что последний сулил ему большее удовлетворение, принадлежал к более высокой кривой безразличия.

Разделив обе части неравенства на ?q^tp^t получим:

?q⁰p⁰/ ?q^tp^t > ?q^tp⁰/ ?q^tp^t (11)

или, иначе:

?q^tp^t/ ?q⁰p⁰ < ?q^tp^t/ ?q^tp⁰ (12)

Левая часть (12) представляет индекс номинального дохода, правая - индекс цен Пааше.

Следовательно: P_P &gr; M_I

Таким образом, утверждение (8) также доказано.

Этот вывод иллюстрирует рис. 2, подобный рис. 1.

Здесь оптимум потребителя при I⁰, p⁰, оказался в точке С (q⁰_X, q⁰_Y)-Хотя набор D (q^t_X, q^t_Y) лежит на той же бюджетной прямой I⁰I⁰, потребитель в начальный период предпочитал набор С, поскольку он лежит на более высокой кривой безразличия.

После изменения цен бюджетная прямая заняла положение I^tI^t:

I^t = ?(q^tp^t) = q^t_Xp^t_X + q^t_Yp^t_Y (12)

Она проходит ниже первоначального оптимума С, который теперь недоступен для потребителя. Следовательно, выбирая набор q^t, потребитель снижает свое удовлетворение по сравнению с начальным периодом.

Индекс реального дохода характеризует изменение покупательной способности номинального дохода. Если при расчете индекса цен цены товаров взвешиваются по объемам их приобретения в базисном или текущем периоде, то при расчете индекса реального дохода, наоборот, объемы потребления каждого периода взвешиваются по ценам базисного или текущего периода. Индекс реального дохода Ласпейреса имеет вид:

R_L = ?p⁰q^t/ ?p⁰q⁰ (13)

а индекс реального дохода Пааше соответственно:

P_P = ?p^tq^t/ ?p^tq⁰ (14)

Знаменатель (14) представляет номинальный доход в период 0, или бюджетное ограничение:

I⁰ = ?p⁰q⁰ (15)

числитель - доход, необходимый для приобретения в период t набора q^t при ценах базисного периода (p⁰). Числитель (14) представляет номинальный доход в период t, или бюджетное ограничение:

I^t = ?p^tq^t (16)

Использование индексов (14) и (15) приводит к одним и тем же результатам, если цены остаются неизменными (p^t = p⁰), а меняется лишь номинальный доход, либо если при неизменном номинальном доходе все цены меняются в одном направлении (растут или падают).

Если же изменяются цены, результаты расчетов по (12) и (13) могут оказаться различными.

Наконец, если объемы потребления разных товаров изменяются в разном направлении (потребление одних растет, других падает), может случиться так, что один индекс будет свидетельствовать о росте, а другой - о снижении реального дохода.

Рассмотрим сначала случай, когда оба индекса указывают на одинаковую направленность изменения реального дохода.

На рис. 3 линия I⁰I⁰ представляет бюджетное ограничение в период 0, когда потребитель выбирает набор А.

В период t цена товара X повышается и одновременно изменяется номинальный доход потребителя. Теперь он представлен бюджетной прямой I^tI^t, потребитель выбирает набор В.

Нанесем на график индексы Ласпейреса и Пааше. Мы знаем, что знаменатель индекса Ласпейреса уже представлен на нем бюджетной линией I⁰I⁰.

Его числитель - денежный доход, необходимый для покупки набора В при ценах базисного периода. Следовательно, мы можем представить его на графике вспомогательной бюджетной прямой q⁰₁q⁰₁, проходящей через точку В и параллельной линии q⁰q⁰.

Поскольку графическое отображение числителя индекса лежит выше отображения его знаменателя, мы можем заключить, что R_L > 1 и, значит, реальный доход потребителя вырос.

Числитель индекса Пааше отображен на графике бюджетной прямой I^tI^t.

Его знаменатель, как мы помним, представляет номинальный доход, необходимый для покупки набора А при ценах текущего периода. Следовательно, мы можем представить его на графике вспомогательной бюджетной прямой I^t₁I^t₁, проходящей через точку А и параллельной линии I^tI^t.

Поскольку графическое отображение числителя индекса лежит выше отображения знаменателя, можно заключить, что и R_P > 1 и, значит, реальный доход потребителя увеличился.

Таким образом, в ситуации, представленной на рис. 3, оба индекса свидетельствуют о том, что реальный доход потребителя вырос.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда индексы Ласпейреса и Пааше противоречат друг другу.

На рис. 4 потребитель выбирает набор А при бюджетном ограничении I⁰I⁰ в базисном периоде и набор В при бюджетном ограничении I^tI^t в текущем периоде.

Линии I⁰₁I⁰₁ и I^t₁I^t₁ представляют вспомогательные бюджетные прямые, графически отображающие числитель индекса Ласпейреса и соответственно знаменатель индекса Пааше.

Из взаимного расположения линий I⁰I⁰ и I⁰₁I⁰₁ и соответственно I^tI^t и I^t₁I^t₁ следует, что R_L > 0, но R_P < 0.

Иначе говоря, индекс Ласпейреса свидетельствует о росте реального дохода, а индекс Пааше - о его снижении.

Из рис. 4 ясно, что набор В был недоступен потребителю в базисном периоде (при бюджете I⁰I⁰), а набор А недоступен ему в текущем периоде (при бюджете I^tI^t).

Однако мы не можем сделать заключение о том, какую комбинацию товаров X и Y потребитель считает для себя предпочтительнее- А или В, если у нас нет информации о его карте безразличия.

Возможно, что кривая безразличия, касающаяся бюджетной прямой в точке В, лежит выше той, что касается другой бюджетной прямой в точке А. Но возможно и обратное.

Рассмотрим еще одну ситуацию. На рис. 5 представлен случай, когда индекс Ласпейреса указывает на снижение реального дохода в текущем периоде, а индекс Пааше - на его рост.

Такое соотношение индексов противоречит ранее сделанному заключению о том, что индекс Ласпейреса всегда больше индекса Пааше. Это можно объяснить тем, что, хотя в текущем периоде цена товара X относительно выросла, тем не менее объем покупок товара X также увеличился.

Это, однако, противоречит аксиомам рационального поведения и возможно лишь в том случае, если в период t вкусы и предпочтения потребителя изменились. Но тогда индекс реального дохода уже не характеризует действительного изменения реального дохода потребителя.

Исчисление индексов реального дохода теряет смысл и в том случае, если в одном (не обязательно в базисном) периоде значительная часть товаров распределяется по карточкам, талонам (или наблюдается их дефицит), а в другом (не обязательно текущем) - в порядке свободной торговли. Индексы дохода и цен связаны определенным соотношением. Разделив индекс номинального дохода на индекс цен Пааше, мы получим индекс дохода Ласпейреса:

M_I/P_P = ) ?p^tq^t/ ?p⁰q⁰) : ( ?p^tq^t/ ?p⁰q^t) = ?p⁰q^t/ ?p⁰q⁰ ? R_L (17)

Соответственно разделив индекс номинального дохода на индекс цен Ласпейреса, мы получим индекс реального дохода Пааше:

M_I/P_L = ) ?p^tq^t/ ?p⁰q⁰) : ( ?p^tq⁰/ ?p⁰q⁰) = ?p^tq^t/ ?p^tq⁰ ? R_P (18)