Порядок построения рядов динамики

План

1. Понятие и классификация рядов динамики

2. Статистические показатели в рядах динамики

3. Средние показатели в рядах динамики

4. Методы анализа основной тенденции в рядах динамики

5. Изучение сезонных колебаний

6. Методика изучения и показатели колеблемости

7. Изучение устойчивости в рядах динамики

Литература

1. Понятие и классификация рядов динамики

Главное в изучении динамики - выявление основной тенденции в рядах динамики.

Изучение динамики того или иного объекта, явления начинается с построения ряда динамики, или временного ряда.

Ряд динамики - ряд статистических величин, характеризующих измерение явлений во времени. Процесс измерения явлений во времени называется динамикой.

Динамический ряд - это таблица, в которой представлены значения показателя за последовательные периоды или на моменты времени.

Характеристики динамического ряда:

- уровень динамического ряда (у)

- показатель времени (t).

Уровень динамического ряда - числовые характеристики того или иного статистического показателя. В качестве показателя времени могут выступать данные моменты времени и отдельные периоды.

Различают виды динамических рядов:

В зависимости от способа выражения уровней

1) абсолютных величин

2) относительных величин

3) средних величин

По показателю времени

1) моментные

2) интервальные

В моментных рядах уровней ряда характеризуют явления на конкретный момент времени. В интервальных рядах характеризуют итог развития за определенный период.

Суммировать можно только интервальные ряды, моментные нельзя, так как включают повторный счет.

По полноте времени:

1) с равностоящими уровнями (полные);

2) с неравностоящими уровнями (неполные).

В зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса:

1) стационарные

2) нестационарные.

Если математическое ожидание значения признака и дисперсия постоянны, то есть не зависят от времени, то процесс называется стационарным, а ряды - стационарными. И, наоборот, для нестационарных.

При построении рядов необходимо учитывать сопоставимость уровней:

1) за счет изменения круга охватываемых объектов;

2) за счет изменения территорий;

3) за счет изменения методологии расчета статистических показателей;

4) за различные продолжительности времени.

2. Статистические показатели в рядах динамика

Абсолютные и относительные показатели динамики:

1) абсолютный прирост;

2) темп роста;

3) темп прироста;

4) абсолютное значение одного процента прироста.

Абсолютный прирост характеризует размер увеличения или уменьшения уровня ряда за определенный промежуток времени.

Базисная - . Цепная - . Темп роста показывает во сколько раз изменяется уровень динамического ряда относительно базисного. Выражается в коэффициентах, в процентах.

; (1)

Темп прироста показывает, на сколько изменится уровень по отношению к базисному

(2)

(3)

Абсолютное значение одного процента прироста представляет собой 0,01 часть базисного уровня и в то же время отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу прироста.

(4)

3. Средние показатели в рядах динамики

Средние величины позволяют дать обобщающую характеристику изучаемого явления во времени:

- средний уровень;

- средний абсолютный прирост;

- средний темп роста;

- средний темп прироста.

Средний уровень характеризует типичную величину абсолютных уровней. Методы расчета зависят от вида динамического ряда.

в полных интервальных рядах, n- число уровней динамического ряда

В моментных рядах рассчитываются по средней хронологической

(5)

В неполных рядах - по средней арифметической взвешенной, где ti-расстояние между уровнями.

(6)

Пример: Среднее число построенных квартир

=(тыс.)

Товарные запасы на 1 число каждого месяца 2009 г. составили, тыс.руб.

Найти средние месячные товарные запасы за первое полугодие

= (тыс. руб.)

Численность рабочих в цехе в апреле

С 1 по 20 - 190 человек

С 21 по 30 - 196 человек

Определить средне дневную среднесписочную численность в апреле.

= 192 (чел.)

Средний абсолютный прирост - характеризует, на сколько, в среднем изменится уровень

Рассчитывается на основе цепных абсолютных приростов

; (7)

где m - число периодов.

Средний темп роста

На основе цепных темпов роста

(8)

показатели выражены коэффициентами , где числитель - конечное значение, знаменатель - базисное значение, m - число периодов.

(9)

Таблица 1 - Динамика валовой прибыли ОАО «Хладокомбинат» с 1 кв.2006г. по 1 кв.2009 г.

Период	Валовая прибыль, тыс.руб.	Абсолютный прирост, тыс.руб.	Темп роста, %	Темп прироста, %	Абсолютное значение 1% прироста, тыс.руб.
		Цепной	Базис-ный	Цепной	Базисн-ый	Цепной	Базис-ный
1 кв.2006	7978	-	-	-	100	-	-	-
2 кв 2006	9129	1151	1151	114,4	114,4	14,4	14,4	79,8
3 кв.2006	18163	9034	10185	199,0	227,7	99,0	127,7	91,3
4 кв.2006	19692	1529	11714	108,4	246,8	8,4	146,8	181,6
1 кв.2007	39748	20056	31770	201,8	498,2	101,8	398,2	196,9
2 кв.2007	19157	-20591	11179	48,2	240,1	-51,8	140,1	397,5
3 кв.2007	38690	19533	30712	202,0	485,0	102,0	385,0	191,6
4 кв.2007	59062	20372	51084	152,7	740,3	52,7	640,3	386,9
1 кв.2008	88922	29860	80944	150,6	1114,6	50,6	1014,6	590,6
2 кв.2008	31628	-57294	23650	35,6	396,4	-64,4	296,4	889,2
3 кв.2008	23540	-8088	15562	74,4	295,1	-25,6	195,1	316,3
		Цепной	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной	Базисный
4 кв.2008	21532	-2008	13554	91,5	269,9	-8,5	169,9	235,4
1 кв.2009	45320	23788	37342	210,5	568,1	110,5	468,1	215,3

4. Методы анализа основной тенденции в рядах динамики

- Метод скользящей средней

Суть метода состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими за определенные периоды. Расчет средних ведется способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего.

Пример: На основе данных о производстве стиральных машин фирмой за 15 месяцев 2008-2009 гг. нужно произвести сглаживание ряда методом трехчленной и четырехчленной скользящей средней.

Взяв данные за первые три месяца, исчисляем трехчленные суммы, а затем среднюю:

Интервал скольжения можно также брать четный (четыре, шесть и т.д.) Нахождение скользящей средней по четному числу членов осложняется тем, что средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами. Чтобы ликвидировать этот сдвиг, применяется центрирование, т.е. нахождение средней из средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании также необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние по этим суммам и средние из средних.

Таблица 2- Динамика производства стиральных машин и расчет скользящих средних

Месяц	Стиральные машины, тыс.шт.	Трехлетние скользящие суммы	Трехлетние скользящие средние	4-летние скользящие суммы	Четырехлетние скользящие средние (нецентрированные)	4-летние скользящие средние (центрированные)
1	155	-	-	-	-	-
2	163	-	161,7	-	154,0	-
3	167	485	153,7	-	154,8	154,4
4	131	461	152,0	616	150,8	152,8
5	158	456	145,3	619	141,5	146,2
6	147	436	145,0	603	145,0	143,3
7	130	435	140,7	566	137,5	141,3
8	145	422	134,3	580	135,8	136,7
9	128	403	137,7	550	143,0	139,4
10	140	413	142,3	543	146,8	144,9
11	159	427	153,0	572	151,5	149,2
12	160	459	155,3	587	154,0	152,8
13	147	466	152,3	606	155,5	154,8
14	150	457	154,0	616	-	-
15	165	462	-	622	-	-

Таблица 3 - Динамика валовой прибыли ОАО «Хладокомбинат» с 1 кв.2006г. по 1 кв.2009 г.

Период	Валовая прибыль, тыс.руб.	Скользящие трехлетние средние	Трехлетние скользящие средние
1 кв.2006	7978	-	-
2 кв 2006	9129	--	-
3 кв.2006	18163	35270	11756,67
4 кв.2006	19692	46984	15661,33
1 кв.2007	39748	77603	25867,67
2 кв.2007	19157	78597	26199,00
3 кв.2007	38690	97595	32531,67
4 кв.2007	59062	116909	38969,67
1 кв.2008	88922	186674	62224,67
2 кв.2008	31628	179612	59870,67
3 кв.2008	23540	144090	48030,00
4 кв.2008	21532	76700	25566,67
1 кв.2009	45320	90392	30130,67

Графически динамика валовой прибыли по фактическим данным за весь исследуемый период и выравненные значения валовой прибыли методов трехлетней скользящей средней представлены на рисунке 1.

Рисунок 1 - Динамика валовой прибыли ОАО «Хладокомбинат»

- Метод аналитического выравнивания

Аналитическое выравнивание может быть осуществлено по любому рациональному многочлену. Выбор функции производится на основе анализа характера закономерностей динамики данного явления. Для выравнивания ряда динамики по прямой используется уравнение:

(10)

Для нахождения параметров и необходимо решить систему нормальных уравнений:

?уt= а0?t + а1?t2 (11)

Параметры и можно исчислить с помощью определителей по формулам:

(12)

(13)

Приведенные формулы показывают, что для нахождения параметров и необходимо получить следующие значения: , , , . Обозначив годы (t) порядковыми номерами, расчет параметров и производится по форме таблицы.

Далее осуществляется прогнозирование социально-экономического явления с помощью метода экстраполяции. Элементарными методами экстраполяции являются средний абсолютный прирост, средний темп роста, экстраполяция на основе выравнивания ряда по какой-либо аналитической формуле. В курсовой работе необходимо применить все три метода экстраполяции, результаты расчетов необходимо представить по форме таблицы.

Пример: Для нахождения параметров уравнения a0 ,a1 методом наименьших квадратов необходимо решить систему нормальных уравнений из формулы, а, следовательно, необходимо получить следующие значения: ., ,и. Обозначив период порядковыми номерами и проведя для удобства вычисления сдвига факторов времени, осуществим расчет параметров уравнения с помощью таблицы .

Таблица 4 - Расчет параметров линейного уравнения

Период	Валовая прибыль, тыс.руб.	t	t2	yt
1 кв.2006	7978	-6	36	-47868	15840,41
2 кв 2006	9129	-5	25	-45645	18439,8
3 кв.2006	18163	-4	16	-72652	21039,19
4 кв.2006	19692	-3	9	-59076	23638,58
1 кв.2007	39748	-2	4	-79496	26237,97
2 кв.2007	19157	-1	1	-19157	28837,36
3 кв.2007	38690	1	1	38690	34036,14
4 кв.2007	59062	2	4	118124	36635,53
1 кв.2008	88922	3	9	266766	39234,92
2 кв.2008	31628	4	16	126512	41834,31
3 кв.2008	23540	5	25	117700	44433,7
4 кв.2008	21532	6	36	129192	47033,09
ИТОГО	377241	0	182	473090	377241

,

.

Таким образом, получим уравнение:

, для t=-6,-5,-4…,6,5,4.

Выровненные теоретические значения :

,

,

,

…

.

Итак, параметры уравнения можно интерпретировать следующим образом: a0 = 31436,75 - это исходный уровень валовой прибыли ОАО «Хладокомбинат», a1 = 2599,39 - это показатель вилы связи, т.е. на ОАО «Хладокомбинат» за период с 1 квартала 2006 по 4 квартал 2008 года происходило повышение валовой прибыли ежеквартально. Графически выравненная валовая прибыль представлена на рисунке 2.

Рисунок 2 - Динамика валовой прибыли ОАО «Хладокомбинат» , выровненная методом аналитического выравнивания

После построения основной тенденции (тренда) возможно определить колеблемость уровней около тренда, что позволит описать меру воздействия остаточных факторов, данную меру возможно определить по формуле среднего квадратического отклонения:

(14)

и коэффициента вариации:

 (15)

Пример: Осуществим прогнозирование величины валовой прибыли с помощью метода экстраполяции, на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста, а также на основе выравнивания ряда по аналитической формуле: (для t= 7,8,9,10).

Прогноз с использованием метода экстраполяции за весь 2009 год представлен в таблице , а также изображен графически на рисунке 3.

Таблица 5 - Прогноз величины валовой прибыли ОАО «Хладокомбинат»

Период	Прогноз на основе
	Среднего абсолютного прироста ()	Среднего темпа роста	Аналитического выравнивания
			t
1 квартал 2009	31975,58	24885,75	7	49632,48
2 квартал 2009	42419,17	28867,47	8	52231,87
3 квартал 2009	52862,75	33486,26	9	54831,26
4 квартал 2009	63306,33	38844,06	10	57430,65

Рисунок 3 - Прогноз величины валовой прибыли ОАО «Хладокомбинат» поквартально на 2009 год

5. Изучение сезонных колебаний

Этим колебаниям свойственны более или менее устойчивые изменения уровней ряда по внутригодовым периодам: месяцам, кварталам. Для выявления сезонных колебаний обычно анализируются месячные и квартальные уровни ряда динамики за год или за несколько лет. При изучении сезонных колебаний используются специальные показатели - индексы сезонности (IS). Способы определения индексов сезонности различны; они зависят от характера основной сезонности ряда динамики. Для ряда внутригодовой динамики, в которой основная тенденция роста незначительна, изучение сезонности основано на методе постоянной средней, являющейся средней из всех рассматриваемых уровней. Самый простой способ: для каждого года рассчитывается средний уровень , а затем с ним сопоставляется (в процентах) уровень каждого месяца. Это отношение обычно именуется индексом сезонности:

(16)

Таблица 6 - Численность рабочих фирмы по месяцам 2009 г.

Месяцы	Численность рабочих, чел.	Индекс сезонности, %
Январь	620	76,8
Февраль	640	79,3
Март	710	87,9
Апрель	730	90,4
Май	880	109,0
Июнь	920	114,0
Июль	990	122,7
Август	980	121,4
Сентябрь	970	120,9
Октябрь	870	107,8
Ноябрь	740	91,7
Декабрь	630	78,1
ИТОГО	9680	-

Средний уровень ряда составляет:

чел.

Индекс сезонности составляет для января

Для февраля и т.д.

На практике для выявления закономерности колебаний пользуются помесячными данными за ряд лет (в основном не менее 3 лет). Тогда для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня за три года, затем среднемесячный уровень для всего ряда и в заключении определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, т.е.

(17)

Таблица 7 - Внутригодовая динамика числа расторгнутых браков населением города по месяцам за 2007-2009 гг.

Месяц	Число расторгнутых браков	Индекс сезонности, %
	2007	2008	2009	в среднем за 3 года
Январь	195	158	144	165,7	122,4
Февраль	164	141	136	147,0	108,6
Март	153	153	146	150,7	11,3
Апрель	136	140	132	136,0	100,4
Май	136	136	136	136,0	100,4
Июнь	123	129	125	125,7	92,8
Июль	126	128	124	126,0	93,1
Август	121	122	119	120,7	89,1
Сентябрь	118	118	118	118,0	87,2
Октябрь	126	130	128	128,0	94,5
Ноябрь	129	131	135	131,7	97,3
Декабрь	138	141	139	139,3	102,9
Средний уровень ряда	138,7	135,6	131,8	135,4	100,0

Для получения значения по способу средней простой (невзвешенной) произведем осреднение уровней одноименных периодов:

Январь

Февраль

Декабрь

Определим осредненные значения уровней ряда для каждого месяца годового цикла:

Январь

Февраль

Далее по исчисленным месячным средним уровням определяем общий средний уровень () :

Значение общего среднего уровня можно вычислить также и по итоговым данным за отдельные годы:

m - сумма лет; - сумма среднегодовых уровней ряда динамики.

По месяцам индекс сезонности составит:

Январь

Совокупность исчисленных для каждого месяца годового чикла индексов сезонности характеризует сезонную волну развития числа расторгнутых браков в городе во внутригодовой динамике.

6. Методика изучения и показатели колеблемости

Колеблемость - это отклонения уровней динамического ряда от тренда.

Типы колебаний статистических показателей весьма разнообразны, выделяют три основных:

1) пилообразную, или маятниковую

Пилообразная или маятниковая состоит в попеременных отклонениях уровней от тренда в одну и в другую сторону.

2) циклическая или долгопериодическая (10-11-летние циклы)

3) случайно распределенная во времени

Для определения типа колебаний применяют графическое изображение, метод «поворотных точек» М.Кендэла, вычисление коэффициентов автокорреляции отклонений от тренда.

Система показателей колеблемости:

1) Группа показателей силы колебаний уровней: амплитуда отклонений уровней отдельных периодов или моментов от тренда ( по модулю), среднее абсолютное отклонение уровней от тренда (по модулю), среднее квадратическое отклонение уровней от тренда.

2) Относительные меры колеблемости: относительное линейное отклонение от тренда и коэффициент колеблемости - аналоги коэффициента вариации.

Абсолютные показатели колеблемости вычисляются по формулам:

(18)

(19)

где n - число уровней;

yi - фактический уровень

yi - выравненный уровень, тренд;

p - число параметров тренда.

Пример:

Тренд по результатам многократного скользящего выравнивания, рассчитанный по данным нижеследующей таблицы представлен в виде: t = 0 в 1987 г.

1. Амплитуда колебаний составила от -14,0 в 1986 г. до +15,2 в 1984 году, т.е. 29,2 пункта.

2. Среднее линейное отклонение по модулю найдем, сложим модули (их сумма равна 132.3) и разделив на (n-p):

пункта.

3. Среднее квадратическое отклонение уровней от тренда составило:

пункта.

4. Коэффициент колеблемости: или 9,04%.

Колеблемость умеренная, несильная.

Таблица 8 - Многократное скользящее выравнивание по прямой

Год	Уровни уi	I база	II база	III база	IV	V	VI	VII	Тренд	Колебания
		ti	tiyi	ti	tiyi	ti	tiyi	ti	tiyi	ti	tiyi	ti	tiyi	ti	tiyi
1993	105	-5	-525													116	-11
1994	111	-4	-444	-5	-555											114,6	-3,6
1995	110	-3	-330	-4	-440	-5	-550									113,1	-3,1
1996	106	-2	-212	-3	-318	-4	-424	-5	-530							111,7	-5,7
1997	118	-1	-118	-2	-236	-3	-354	-4	-472	-5	-590					110,3	+7,7
1998	124	0	0	-1	-124	-2	-248	-3	-372	-4	-496	-5	-620			108,8	-15,2
1999	113	1	113	0	0	-1	-113	-2	-226	-3	-339	-4	-452	-5	-565	107,4	-5,6
2000	92	2	184	1	92	0	0	-1	-92	-2	-184	-3	-276	-4	-368	106	-14,0
2001	91	3	273	2	182	1	91	0	0	-1	-91	-2	-182	-3	-273	104,5	-13,5
2002	109	4	436	3	327	2	218	1	109	0	0	-1	-109	-2	-218	103,1	+5,9
2003	113	5	565	4	452	3	339	2	226	1	113	0	0	-1	-113	101,7	+11,3
2004	100			5	500	4	400	3	300	2	200	1	100	0	0	100,2	-0,2
2005	94					5	470	4	376	3	282	2	188	1	94	98,8	-4,8
2006	91							5	455	4	364	3	273	2	182	97,4	-6,4
2007	92									5	460	4	368	3	276	95,9	-3,9
2008	102											5	510	4	408	94,5	+7,5
2009	106													5	530	93,1	+12,9
У	1777		-58		-120		-171		-226		-281		-200	-	-47	1777,1	-

7. Изучение устойчивости в рядах динамики

По отношению к статистическому изучению динамики рассматриваются следующие определения:

1) устойчивость как категория, противоположная колеблемости;

2) устойчивость направленности изменений, т.е. устойчивость тенденции.

В первом понимании устойчивость находится как разность между 1 и показателем колеблемости. По предыдущему примеру показатель устойчивости составил: 1-0,0904=0,9096 или 100%-9,04%=90,96%.

Из определения понятия устойчивости тенденции вытекает и метод определения ее показателя. В качестве показателя устойчивости можно использовать коэффициент корреляции рангов Ч. Спирмена:

(20)

- разность рангов уровней и номеров периодов времени.

При полном совпадении рангов уровней, начиная с наименьшего, и номеров периодов (моментов) времени по их хронологическому порядку коэффициент корреляции рангов равен +1. Это значение соответствует случаю полной устойчивости рангов уровней рангам лет . При полной противоположности коэффициент корреляции рангов Спирмена равен -1, что означает полную устойчивость процесса сокращения уровней. При хаотическом чередовании рангов уровней коэффициент близок к нулю, это означает неустойчивость какой-либо тенденции.

Таблица 9 - Расчет коэффициента корреляции рангов Спирмена

Год	Уровни	Ранг лет Px	Ранг уровней Ру	РХ-РУ	(РХ-РУ)2
1993	105	1	8	7	49
1994	111	2	13	11	121
1995	110	3	12	9	81
1996	106	4	9,5	5,5	30,25
1997	118	5	16	11	121
1998	124	6	17	11	121
1999	113	7	14,5	7,5	56,25
2000	92	8	3,5	4,5	20,25
2001	91	9	1,5	7,5	56,25
2002	109	10	11	1	1
2003	113	11	14,5	3,5	12,25
2004	100	12	6	6	36
2005	94	13	5	8	64
2006	91	14	1,5	12,5	156,25
2007	92	15	3,5	11,5	132,25
2008	102	16	7	9	81
2009	106	17	9,5	7,5	56,25
У	1777	-	-	-	1141

Используем следующую формулу, т.к. есть «связные» ранги:

.

Отрицательное значение указывает на наличие тенденции снижения уровней, причем устойчивость этой тенденции ниже средней.

Литература

1. Статистика: Учебник / Под ред. проф. Хатнюк В.С. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 560 с.

2. Теория статистики: Учеб. Пособие/ Под ред.
Хатнюк И.С. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 416 с.

3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: ИНФРА-М.2002. - 387 с.

4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. - М.:ИНФРА-М,2001. - 346 с.

5. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности /Под ред. О. Э. Башиной, А. А Спирина. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 298 с.

6. Экономическая статистика: Учебник/ Под ред. Ю. Н. Иванова. - М.: ИНФРА-М, 2007. - 480 с.

7. Гусаров В.М. Статистика: Учеб. Пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 463 с.