Економічні ігри які зводяться до матричних ігор
Обґрунтування рішень в умовах невизначеності. Теоретико-ігрові методи. Критерії теорії статистичних рішень. Теорія ігор у задачах маркетингу. Ігрові задачі: гра у "старі" та "нові" товари, побудова портфеля активів, формування "валютного кошика" та ін.
| Рубрика | Экономика и экономическая теория |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 14.05.2010 |
| Размер файла | 918,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
24
Національний Авіаційний Університет
Інститут інформаційно-діагностичних систем
Кафедра засобів захисту інформації
Курсова робота
з дисципліни «Безпека економічної діяльності підприємства»
на тему «Економічні ігри які зводяться до матричних ігор»
Зміст
1. Обґрунтування рішень в умовах невизначеності. Теоретико-ігрові методи
- 2. Теорія ігор
- 3. Теорія ігор у задачах маркетингу
- 4. Зведення економічних колізій до ігрових задач
- 4.1 Дилема ув'язненого та олігопольні ринки
- 4.2 Гра у “старі” та “нові” товари
- 4.3 Планування структури посівних площ
- 4.4 Інвестування капіталу
- 4.5 Ігрова модель задачі побудови портфеля активів
- 4.6 Формування портфеля інвестиційних проектів
- 4.7 Формування «валютного кошика»
- Висновки
- Список використаної літератури
1. Обґрунтування рішень в умовах невизначеності.
Теоретико-ігрові методи
В більшості випадків для прийняття управлінських рішень використовується неповна і неточна інформація, яка і утворює ситуацію невизначеності. Для обґрунтування рішень в умовах невизначеності використовують:
1) методи теорії статистичних рішень (ігри з природою);
2) методи теорії ігор.
Модель задачі теорії статистичних рішень можна описати так:
якщо існує S = (S1, S2, . . . SN) - сукупність можливих станів природи, а X = (X1, X2 , . . XM) - сукупність можливих стратегій, складемо матрицю, кожний елемент якої Rij - є результатом і-ої стратегії за j-ого стану природи.
В процесі прийняття рішення необхідно на основі наявних відомостей вибрати таку стратегію, яка забезпечить максимальний виграш за будь-яких станів природи.
Отже, в задачах теорії статистичних рішень вже існує оцінка реалізації кожної стратегії для кожного стану природи. Проте зовсім невідомо, який із станів природи реально виникатиме. Для розв'язання таких задач використовуються наступні критерії:
1. Критерій песимізму (критерій Уолда). Згідно критерію песимізму для кожної стратегії існує найгірший з можливих результатів. Вибирається при цьому така стратегія, яка забезпечує найкращий з найгірших результатів, тобто забезпечує максимальний з можливих мінімальних результатів. Критерій песимізму у математично формалізованому виді можна представити так:
2. Критерій оптимізму. У відповідності до цього критерію, для кожної стратегії є найкращий з можливих результатів. За допомогою критерію оптимізму вибирається стратегія, яка забезпечує максимальний результат з числа максимально можливих:
3. Критерій коефіцієнта оптимізму (критерій Гурвіца). В реальності, особа яка приймає рішення, не є абсолютним песимістом або абсолютним оптимістом. Звичайно вона знаходиться десь між цими крайніми позиціями. У відповідності до таких передбачень і використовується критерій коефіцієнта оптимізму. Для математичної формалізації коефіцієнта оптимізму до його формули вводиться коефіцієнт л, який характеризує (у долях одиниці) ступінь відчуття особою, яка приймає рішення, що вона є оптимістом. Вибирається при цьому стратегія, яка забезпечує максимальний ефект:
4. Критерій Лапласса. За допомогою трьох попередніх критеріїв стратегія вибиралася, виходячи з оцінки результатів станів природи, і практично не враховувалися ймовірності виникнення таких станів. Критерій Лапласа передбачає розрахунки очікуваних ефектів від реалізації кожної стратегії, тобто суми можливих результатів виникнення кожного стану природи, зважених на ймовірності появи кожного з них. Вибирається при цьому стратегія, яка забезпечує максимальний очікуваний ефект:
де Pj - імовірність виникнення j-го стану природи (у долях одиниці).
5. Критерій жалю (критерій Севіджа). Використання цього критерію передбачає, що особа, яка приймає рішення, має мінімізувати свої втрати при виборі стратегії. Іншими словами, вона мінімізує свою потенційну помилку при виборі неправильного рішення. Використання критерію жалю передбачає:
- побудову матриці втрат. Втрати (bij) при цьому розраховуються окремо для кожної стратегії за формулою:
- вибір кращої стратегії за формулою:
Узагальнена характеристика критеріїв теорії статистичних рішень наведена у табл.:
Критерії теорії статистичних рішень
2. Теорія ігор
Організації звичайно мають цілі, які суперечать цілям інших організацій-конкурентів. Тому робота менеджерів часто полягає у виборі рішення з урахуванням дій конкурентів. Для вирішення таких проблем призначені методи теорії ігор.
Теорія ігор - це розділ прикладної математики, який вивчає моделі і методи прийняття оптимальних рішень в умовах конфлікту.
Під конфліктом розуміється така ситуація, в якій зіштовхуються інтереси двох або більше сторін, що переслідують різні (найчастіше суперечливі) цілі. При цьому кожне рішення має прийматися в розрахунку на розумного суперника, який намагається зашкодити іншому учаснику гри досягти успіху.
З метою дослідження конфліктної ситуації будують її формалізовану спрощену модель. Для побудови такої моделі необхідно чітко описати конфлікт, тобто:
1. уточнити кількість учасників (учасники або сторони конфлікту називаються гравцями);
2. вказати на всі можливі способи (правила) дій гравців, які називаються стратегіями гравців;
3. розрахувати, якими будуть результати гри, якщо кожний гравець вибере певну стратегію (тобто з'ясувати виграші або програші гравців).
Основну задачу теорії ігор можна сформулювати так: визначити, яку стратегію має застосувати розумний гравець у конфлікті з розумним суперником, щоб гарантувати кожному з них виграш, при чому відхилення будь-якого з гравців від оптимальної стратегії може тільки зменшити його виграш.
Центральне місце в теорії ігор займають парні ігри з нульовою сумою, тобто ігри, в яких:
* приймають участь тільки дві сторони;
* одна сторона виграє рівно стільки, скільки програє інша.
Такий рівноважний виграш, на який мають право розраховувати обидві сторони, якщо вони будуть додержуватися своїх оптимальних стратегій, називається ціною гри. Розв'язати парну гру з нульовою сумою означає знайти пару оптимальних стратегій (одну для першого гравця, а другу - для другого) і ціну гри.
Дві компанії Y і Z з метою збільшення обсягів продажу продукції розробили наступні альтернативні стратегії:
Компанія Y :
- Y1 (зменшення ціни продукції);
- Y2 (підвищення якості продукції);
- Y3 (пропозиція вигідніших умов продажу).
Компанія Z :
- Z1 (збільшення витрат на рекламу);
- Z2 (відкриття нових дистриб'юторських центрів);
- Z3 (збільшення кількості торгових агентів).
Вибір пари стратегій Yi i Zj визначає результат гри, який позначимо як Aij і вважатимемо його виграшем компанії Y. Тепер результати гри для кожної пари стратегій Y i Z можна записати у вигляді матриці, у якій m рядків та n стовпців. Рядки відповідають стратегіям компанії Y, а стовпці - стратегіям компанії Z:
Така таблиця називається платіжною матрицею гри. Якщо гра записана у такому вигляді, це означає, що вона приведена до нормальної форми.
Для розв'язання гри розрахуємо верхню і нижню ціну гри та обчислимо сідлову точку. Нижню і верхню ціну гри знаходимо, керуючись принципом обережності, згідно якого у грі потрібно поводитись так, щоб за найгірших для себе діях суперника отримати найкращий результат (вже відомий нам критерій песимізму). Нижня ціна гри (яку прийнято позначати б) розраховується шляхом визначення мінімального значення Aij по кожному рядку платіжної матриці (стратегії гравця Y) і вибору з-поміж них максимального значення, тобто:
Верхня ціна гри (яку прийнято позначати в) розраховується шляхом визначення максимального значення Aij по кожному стовпцю платіжної матриці гри (стратегії гравця Z) і вибору з-поміж них мінімального значення, тобто:
Якщо нижня ціна гри дорівнює верхній (б = в), то така гра має сідлову точку і вирішується в чистих стратегіях.
Сідлова точка - це такий елемент в платіжній матриці гри, який є мінімальним у своєму рядку і одночасно максимальним у своєму стовпці.
Чисті стратегії - це пара стратегій (одна - для першого гравця, а друга - для іншого), які перехрещуються в сідловій точці. Сідлова точка в цьому випадку і визначає ціну гри.
Ігри, які не мають сідлової точки, на практиці зустрічаються частіше. Доведено, що і у цьому випадку рішення завжди є, але воно обраховується в межах змішаних стратегій. Знайти рішення гри без сідлової точки означає визначення такої стратегії, яка передбачає використання кількох чистих стратегій.
В іграх із сідловою точкою відхилення одного гравця від своєї оптимальної стратегії зменшує його виграш (в найкращому випадку виграш залишається незмінним).
В іграх, які не мають сідлової точки, ситуація інша. Відхиляючись від своєї оптимальної стратегії, гравець має можливість отримати виграш більший за нижню ціну гри. Але така спроба пов'язана з ризиком: якщо другий гравець вгадає, яку стратегію застосував перший, тоді він також може відступити від своєї оптимальної стратегії. В результаті виграш першого гравця може бути меншим за нижню ціну гри. Єдина можливість завадити противнику вгадати, яка стратегія використовується - це застосувати декілька чистих стратегій. Звідси з'являється поняття "змішана стратегія".
3. Теорія ігор у задачах маркетингу
При розв'язанні економічних задач, у тому числі й маркетингових, часто доводиться аналізувати ситуації, за яких стикаються інтереси двох або більше конкуруючих сторін, переслідуючих різні цілі, особливо це характерне для ринкової економіки. Такого роду ситуації називаються конфліктними. Математичною теорією розв'язання конфліктних ситуацій є теорія ігор. У грі можуть стикатися інтереси двох (гра парна) або декількох (гра множинна) супротивників; існує гра з нескінченною множиною гравців. Якщо у множинній грі гравці утворять коаліції, то гра називається коаліційною; якщо таких коаліцій дві, то гра зводиться до парної.
На промислових підприємствах теорія ігор може використовуватися для вибору оптимальних рішень, наприклад, при створенні раціональних запасів сировини, матеріалів, напівфабрикатів, коли протидіють дві тенденції: збільшення запасів, що гарантують безперебійну роботу виробництва, і скорочення запасів з метою мінімізації витрат на зберігання їх. Розв'язання подібних задач вимагає повної визначеності в формулюванні їх умов (правил гри): встановлення кількості гравців, можливих виграшів (програші розуміють як від'ємний виграш). Важливим елементом в умовах ігрових задач є стратегія, тобто сукупність правил, які залежно від ситуації у грі визначають однозначний вибір дій одного конкретного гравця. Якщо в процесі гри гравець застосовує декілька стратегій по черзі, то таку стратегію називають змішаною, а її елементи -- чистими стратегіями. Кількість стратегій у кожного гравця може бути скінченною і нескінченною, залежно від цього ігри поділяють на скінченні та нескінченні.
Важливими поняттями є поняття оптимальної стратегії, ціни гри, середнього виграшу. Ціна гри V дорівнює математичному сподіванню M виграшу першого гравця, якщо обидва гравці виберуть оптимальні для себе стратегії P* і Q*:
V = M (P*, Q*).
Одним з основних видів ігор є матричні ігри, які називаються парними іграми з нульовою сумою (тобто один гравець виграє стільки, скільки програє другий), за умови, що кожний гравець має скінченну кількість стратегій. У цьому випадку парна гра формально задається матрицею A = (aij), елементи якої aij визначають виграш першого гравця (і, відповідно, програш другого), якщо перший гравець обере і-ту стратегію (і = 1,…, m), а другий обере j-ту стратегію (j = 1,…, n). Матриця А називається матрицею гри, або платіжною матрицею.
Існує багато методів вирішення матричних ігор, серед яких і методи наближеного рішення, наприклад, метод Брауна. У багатьох ігрових задачах у сфері економіки, а також у сфері маркетингу, невизначеність випливає не через свідому протидію супротивника, а через недостатню обізнаність щодо умов, в яких діють сторони, тобто коли невідомі стратегії сторін. Тоді до розгляду додається ще матриця ризиків. Для розв'язання таких задач використовуються критерії Лапласа, Вальда, Гурвіца та ін.
На основі методів рішення статистичних ігор можна сформулювати підходи до рішення різноманітних прикладних економічних задач.
4. Зведення економічних колізій до ігрових задач
Перші два етапи творчої складової процесу прийняття рішення утворюють основу ігрової моделі. Відомо багато прикладів успішного застосування ігрової моделі як у сфері виробничої діяльності, так і на макроекономічному рівні. У прикладах, що наводитимуться далі, обмежимося постановкою та інтерпретацією розв'язків ігрових задач. Наведемо деякі приклади ігрового моделювання в економіці, а також покажемо розширені можливості зведення економічних ситуацій до задач теорії ігор.
4.1 Дилема ув'язненого та олігопольні ринки
Два ув'язнених очікують рішення суду за спільно вчинене злодіяння. Запобігши можливості змови, їм висунули умови: якщо зізнаються обидва, то кожен отримає по п'ять років тюрми; якщо зізнається один, то він отримає лише один рік, а другий -- 10 років; якщо ж обидва не зізнаються, то кожен отримає по два роки ув'язнення.
Побудову ігрової моделі почнемо з формулювання множин рішень для кожного з ув'язнених. Обидва вони мають для вибору дві взаємовиключні чисті стратегії: перша -- зізнатися (s1 чи ?1), друга Ї не зізнатися (s2 чи ?2). Ефективність кожної з чистих стратегій для кожного з гравців відобразимо відповідно у вигляді функціоналів оцінювання:
Числовими еквівалентами платежів є терміни ув'язнення гравців, що беруться з протилежним знаком. У цьому випадку матриці платежів мають позитивний інгредієнт:
Отримана гра не є антагоністичною. З точки зору економічної теорії дилема ув'язненого пояснює, чому продавці на олігопольному ринку намагаються досягти домовленості замість конкуренції, оскільки остання була би вигіднішою для покупців. У випадку, коли на ринку функціонує невелика кількість фірм-продавців однорідної продукції, ціни характеризуються жорсткістю: жодна з фірм не може ні довіряти іншим, ні очікувати, що її конкурент призначить нижчу ціну.
Ситуація, коли на ринку функціонує невелика кількість фірм, носить назву конкуренції серед не багатьох: випадок, коли є декілька продавців продукції, носить назву олігополії, а коли декілька покупців певного виду витрат -- назву олігопсонії. Визначальною властивістю конкуренції серед не багатьох є те, що всі конкуруючі фірми можуть впливати на ціни продукції або витрати і при цьому прибуток кожної фірми залежить від стратегії всіх конкуруючих фірм. Слід відмітити важливу спільну рису між конкуренцією серед не багатьох і теорією ігор. В обох випадках результат (прибуток чи виграш) для одного учасника (фірми чи гравця) залежить від діяльності (витрат чи стратегій) решти учасників.
4.2 Гра у “старі” та “нові” товари
Нехай у нашому розпорядженні є три види “старих” товарів s1, s2, s3, які надходять на ринок уже давно і попит на які добре відомий. З певного моменту в торговельну мережу починають надходити “нові” товари и1, и2, и3, які можуть замінити “старі”. Тобто “нові” товари зменшують попит на “старі” товари. З попередніх обстежень попиту відомі ймовірності продажу “старих” товарів у разі появи в торговельній мережі “нових” товарів. Для гри у “старі” та “нові” товари платіжна матриця разом зі значеннями бk (k = 1, 2, 3) та вj (j = 1, 2, 3) запишеться у вигляді табл. 1.1. Оскільки б = в = 0,7, то гра має сідлову точку, створювану мінімаксними стратегіями sko = s2 та ?jo = ?2. Ці стратегії є стійкими у тому розумінні, що відхилення від них невигідне для обох гравців.
4.3 Планування структури посівних площ
Нехай аграрне підприємство (перший гравець) може посіяти одну з трьох культур. Його стратегії позначимо через s1, s2, s3. Необхідно визначити, яку з культур сіяти, якщо за інших рівних умов урожаї цих культур залежать, головним чином, від погоди (?), а план посіву має забезпечити найбільший дохід. Уважатимемо, що сільськогосподарське підприємство має надійний спосіб прогнозування погоди. Визначаємо для другого гравця (“погода”) такі стани (стратегії): ?1 -- рік посушливий; ?2 -- рік нормальний; ?3 -- рік дощовий.
Нехай на основі досвіду відомо, що за сухої погоди з 1 га можна зняти hk1 центнерів культури sk за нормальної -- hk2, за дощової -- hk3 (k = 1, 2, 3,). Нехай також відомі ціни: ck -- ціна 1ц культури sk (k = 1, 2, 3,) в умовних грошових одиницях (УГО). Приймемо, що:
Якщо знехтувати вартістю насіння і витратами на обробіток ґрунту, отримуємо функціонал оцінювання
тобто матрицю валових доходів підприємства від реалізації своєї продукції з 1 га за всіх можливих ситуацій. Нехай гра не має сідлової точки і перший гравець (аграрне підприємство) має хоча б одну оптимальну змішану стратеію sp*, що визначається вектором.
Якщо V* -- ціна гри, то для змішаної стратегії P* виконується нерівність:
Очевидно, що ціна гри V* (число, яке знаходиться у лівій частині нерівності є величиною очікуваного валового доходу з 1 га за j-го стану погоди, якщо підприємство p1*-ту частку 1 га засіє культурою s1, p2*-ту частку 1 га -- культурою s2, а p3*-ту частку 1 га -- культурою s3.
Отже, засіявши поле культурами s1, s2, s3 у пропорції p1*, p2*, p3*, аграрне підприємство отримає за всіх погодних умов очікуваний валовий дохід, не менший числа V*. Зауважимо, що очікуваний валовий дохід з 1 га за j-го стану погоди буде принципово відмінним від фактичного, який є реалізацію випадкової величини А саме, за умови реалізації j-го стану погоди, підприємство, реалізувавши змішану стратегію sp*, одержить з імовірністю p1* фактичний валовий дохід fij; з імовірністю p2* -- f2j; з імовірністю p3* -- f3j. Проте відповідно до закону великих чисел фактичний валовий дохід за кілька років з великою ймовірністю дорівнюватиме очікуваному валового доходу V*.
Викладений тут результат легко узагальнити на випадок, коли висіваються т культур, а стани погоди деталізовано. Крім того, аналогічні моделі можна побудувати для випадку, коли підприємство має можливість змінювати не лише культури, які воно висіває, а й способи (технології) обробки поля.
Розв'яжемо числовий приклад для даних, наведених у табл. 1.2.
Отже, функціонал оцінювання (матриця виграшу першого гравця) має вигляд:
Оскільки б+ < в-, то гра не має сідлової точки, а тому оптимальна стратегія першого гравця змішана. Для знаходження такої стратегії треба розв'язати задачу лінійного програмування:
Тобто, за решти рівних умов, засіявши 49% поля першою культурою, 40% -- другою, 11% -- третьою культурою, аграрне підприємство отримає в середньому за низку років за різних погодних умов очікуваний максимальний валовий дохід не менший 31,5 ум. од. за рік.
4.4 Інвестування капіталу
Інвестор взяв у борг гроші під 1,5% з метою інвестування цих засобів в акції різних компаній. Наявні два види акцій, норми прибутку яких є випадковими величинами і залежать від станів економічного середовища (випадкових обставин). На ринку можуть мати місце тільки дві ситуації: перша (?1) з імовірністю q = 0,2 і друга (?2)-- з імовірністю q = 0,8.
Акції реагують на ці ситуації (стани економічного середовища) по-різному: курс акцій першого виду (s1) у першій ситуації зростає на 5%, а в другій -- на 1,25%; курс акцій другого виду (s2) у першій ситуації падає на 1%, а в другій -- зростає на 2,75%.
Необхідно найкращим чином розподілити наявний капітал між цими активами. Попередньо проаналізуємо ці акції з позиції таких їх характеристик, як сподівана норма прибутку (математичне сподівання норми прибутку) та величина ризику (дисперсія норми прибутку). Обчислимо ці характеристики:
Хоча значення сподіваних норм прибутку і ризиків збіглися (m1 = m2 = 2; у21 = у22 = 2,25), у випадку інвестування всього капіталу в акції одного виду перевагу слід віддати акціям другого виду. На користь такого вибору свідчать такі міркування. У випадку придбання акцій тільки першого виду банкрутство інвестора може відбутися за настання другої ситуації (1,25 < 1,5), тобто з імовірністю q2 = 0,8. Якщо ж придбати акції тільки другого виду, то банкрутство інвестора відбудеться вже у випадку настання першої ситуації (-1 < 1,5,) тобто з імовірністю q1 = 0,2. Оскільки q1 = 0,2 < 0,8 = q2, то ризик банкрутства в разі інвестування лише в акції другого виду менший за ризик банкрутства в разі інвестування лише в акції першого виду. Але, як бачимо, повністю уникнути банкрутства при інвестуванні всього капіталу в акції другого виду неможливо.
Дослідимо ефект диверсифікації, тобто ефект від розподілу грошових ресурсів між обома активами в найбільш вигідних і безпечних пропорціях. Нехай x1 -- частка капіталу, інвестованого в акції першого виду, тоді x2 = 1 - x1 -- частка капіталу, інвестованого в акції другого виду, вектор X = (x1; x2) -- структура портфеля акцій. Знайдемо характеристики портфеля. Його сподівана норма прибутку
З урахуванням того, що у1 = у2 = 1,5; p12 = -1 (тобто має місце абсолютно від'ємна кореляція), отримуємо, що величина ризику портфеля, як функція від частки x1, обчислюється формулою
уП2 = 9х12 - 9х1 + 2,25.
У даному випадку найкращим портфелем слід уважати портфель з найменшою величиною ризику. Позначимо його структуру через X = (x1; x2). При x1 функція досягає свого мінімального значення. Згідно з необхідною умовою екстремуму функції для знаходження x1 слід скористатися рівнянням
Отриманий результат вказує на те, що розподіл капіталу на рівні частки (по 50%) між акціями обох видів дає змогу, в певному сенсі, позбутися ризику (уП2 = 0). Окрім того, за такого розподілу грошей інвестору не загрожує банкрутство, оскільки для будь-якого стану економічного середовища норма прибутку портфеля, що має структуру X = (0,5; 0,5), становить 2% > 1,5% (переконайтесь у цьому самостійно).
Із задачею побудови оптимального портфеля цінних паперів у даному випадку мають безпосередній зв'язок дві матриці:
Розглянемо парну гру з нульовою сумою, що визначається матрицею С. Легко переконатись у тому, що ця гра не має сідлової точки, а її розв'язком є пара оптимальних змішаних стратегій sp та qQ, яким відповідають вектори P = Q = (0,5; 0,5) = X.
При цьому ціна гри V = 0 = (уП)2.
Парна гра з нульовою сумою, що визначається матрицею F, також не має сідлової точки і при цьому оптимальній змішаній стратегії першого гравця (інвестора) відповідає вектор P = (0,5; 0,5) = X. Ціна цієї гри V = 2.
Збіг оптимальних змішаних стратегій, що є розв'язком обох розглянутих ігор, не випадковий.
4.5 Ігрова модель задачі побудови портфеля активів
Лауреат Нобелівської премії Г.Марковіц у своїх дослідженнях вивчав імовірнісну модель ринку активів. У його моделі норма прибутку кожного активу розглядається як випадкова величина
де C k0 -- ціна активу на початок даного періоду Ck- ціна активу (випадкова величина) на кінець даного періоду; Дk- дивіденди (теж випадкова величина), нараховані протягом даного періоду. Конкретне значення норми прибутку k-го активу залежить від стану економічного середовища, тобто визначається ситуацією, що склалася на ринку. Розмірність множини И станів економічного середовища може бути довільною, але ми вважатимемо її скінченною і рівною n, тобто И = (?1;...; ?n). Кожному стану ринку ?j поставимо у відповідність імовірність настання його qi. Всі ці ймовірності згрупуємо у вектор Q = (q1;...; qn). Очевидно, що компоненти вектора Q мають задовольняти співвідношенням.
Уважається, що можливі значення норми прибутку k-го активу (k = 1,... m) для всіх можливих станів ринку ?j = (1,…n) є відомими і відображаються випадковою величиною Rk = (rk1;…; rkn), тобто актив k-го виду приносить rk1 одиниць прибутку з розрахунку на кожну одиницю вкладень, якщо економічне середовище знаходитиметься в своєму j-му стані. СПР має можливість інвестувати свої ресурси більш як в один актив, утворити портфель, тобто розподілити свої ресурси між різними активами в найвигіднішій і безпечній пропорції. А тому інвестор (СПР) хоче оптимізувати структуру портфеля X = (x1;…;xm) шляхом визначення оптимальних розмірів часток xk (k = 1,…m), які відповідають вартості активів кожного виду в загальному обсязі інвестованих у портфель ресурсів.
У своїй моделі Марковіц відштовхується від того, що інвестор для прийняття інвестиційних рішень в якості критеріїв оптимальності використовує лише дві характеристики активів та їх портфелів: сподівану норму прибутку (у формі математичного сподівання) та величину ризику (у формі дисперсії).
Вибір цих кількісних характеристик у якості критеріїв оптимальності дає можливість розглядати задачу побудови портфеля як двокритеріальну. До речі, інвестор схильний вкласти весь свій капітал лише в актив одного виду, якщо цей актив, порівняно з будь-яким портфелем, буде найкращим за обома цими критеріями одночасно, тобто матиме найбільшу сподівану норму прибутку та найменшу величину ризику.
Ураховуючи зроблені раніше викладки, можна стверджувати, що задача оптимізації структури портфеля пов'язана з декількома матрицями, кожну з яких можна вибрати в якості функціонала оцінювання статистичної гри. Розглянемо функціонал оцінювання
у k-му рядку якого розміщено можливі значення норми прибутку Rk активу k-го виду, а в j-му стовпчику -- величини норм прибутків активів усіх видів, що відповідають j-му стану ринку (k = 1,…, m; j = 1,…, n). Змішану стратегію першого гравця, якій відповідає вектор P = (p1;…; pm) у грі, що визначається матрицею R, можна тепер інтерпретувати як портфель, а ймовірність pk -- як частку капіталу, інвестованого в актив k-го виду (k = 1,…, m). Розв'язок гри в чистих стратегіях відповідатиме «однорідному» портфелю, тобто портфелю, складеному тільки з активів одного виду. А вибір розв'язку гри у змішаних стратегіях вказує на факт формування портфеля з різних активів. За виконання певних умов оптимальна змішана стратегія з вектором P = (p1;…; pm) відповідає ефективному портфелю.
Аналогічна відповідність має місце між оптимальними змішаними стратегіями гравців у парній грі з нульовою сумою, що визначається, з одного боку, коваріаційною матрицею C = (уkj: k = 1,… m; j = 1,… m), з іншого -- ефективним портфелем.
Оптимізація структури портфеля відіграє особливу роль у сучасній економічній теорії та практиці. Можна стверджувати, що будь-яка економічна проблема зводиться до задачі найкращого розподілу ресурсів (матеріальних, фінансових, трудових тощо), наявних у розпорядженні СПР (інвестора) між активами різних видів.
4.6 Формування портфеля інвестиційних проектів
СПР вивчає m інвестиційних проектів (їх пронумеровано від 1 до m) щодо вибору серед них найнадійніших з подальшим включенням їх в інвестиційний портфель, враховуючи при цьому свої реальні можливості.
Вибрані найбільш надійні інвестиційні проекти утворюють деяку підмножину множини наявних m проектів. Цю підмножину інтерпретуватимемо як нечітку підмножину всіх інвестиційних проектів. Згідно з означенням нечіткої на елементах множини всіх інвестиційних проектів необхідно визначити функцію належності нечіткій множині, а з її допомогою кожному проекту поставити у відповідність певне значення з проміжку [0;1]. Це значення називається ступенем належності проекту до нечіткої підмножини найбільш надійних інвестиційних проектів. У прикладному аспекті ступінь належності проекту до вказаної нечіткої множини може відображати суб'єктивну міру того, наскільки цей проект відповідає поняттю найбільш надійного (з позиції СПР).
Припустимо, що відомі величини мkj Ї значення функцій належності k-го проекту (k = 1,…, m) до нечіткої підмножини найбільш надійних інвестиційних проектів в умовах j-го стану економічного середовища (j = 1,…, n). У розгорнутому вигляді ситуація прийняття інвестиційного рішення характеризується матрицею (функціоналом оцінювання):
Нехай парна гра з нульовою сумою, що визначається матрицею платежів M = (мkj), не має сідлової точки. Тоді розв'язком цієї гри є оптимальна змішана стратегія першого гравця, що їй відповідає вектор P* = (p1*;…; p), компонента pk* якого є питомою вагою k-го проекту в структурі портфеля.
4.7 Формування «валютного кошика»
Використовуватимо наступні позначення: Rk -- норма прибутку валюти k-го виду ((k = 1,…, m); m -- кількість різних валют, що складають кошик; X = (x1;…; xm) -- структура «валютного кошика»; xk -- частка капіталу, інвестованого у валюту k-го виду; RП-- норма прибутку «валютного кошика», тобто:
Вважатимемо, що множина станів ринку іноземних валют (станів економічного середовища) дискретна зі скінченною кількістю елементів. Нехай т -- кількість станів економічного середовища; rkj -- значення, що приймає норма прибутку валюти k-го виду (k = 1,…, m) в умовах j-го стану економічного середовища (j = 1,…, n), при цьому значення rkj відомі. Тоді ситуацію прийняття рішення щодо створення «валютного кошика» можна охарактеризувати функціоналом оцінювання R+ = (rkj+ : k = 1,…, m; j = 1,…, n).
Аналогічно теорії Марковіца: сподівана норма прибутку валюти k-го виду -- це математичне сподівання відповідної дискретної випадкової величини Rk:
Математична модель задачі обрання оптимальної (раціональної) структури X = (x1;…; xm) «валютного кошика» має вигляд моделі задачі вибору оптимальної структури портфеля у полі відповідної інформаційної ситуації.
Існує низка добре відпра-цьованих методів розв'язування цих задач. Якщо матриця R = (rkj : k = 1,…, m; j = 1,…, n) не має сідлового елемента, то задачу вибору оптимальної структури «валютного кошика» можна звести до відшукання оптимальної раціональної змішаної стратегії відповідної гри двох осіб з нульовою сумою.
Це означає, що «валютний кошик» зі структурою P* = (p1*;…; pm*) є безризиковим, оскільки для будь-якого розподілу ймовірності щодо станів валютного ринку його дисперсія дорівнює нулю: уp*2 = D(Rp*) = 0. Таким чином, за цих умов ігровий підхід на базі платіжної матриці R = (rkj : k = 1,…, m; j = 1,… n) дозволяє знайти безризиковий «валютний кошик», причому в полі будь-якої інформаційної ситуації. Більш того, у ситуації I5, коли економічне середовище активно протидіє досягненню найбільшої ефективності рішень, формування суб'єктом ризику «валютного кошика» можливе лише на базі теоретико-ігрових методів.
Зазначимо, що у полі першої інформаційної ситуації (I1) формування «валютного кошика» з мінімальною дисперсією може ґрунтуватись також на розв'язанні парної гри з нульовою сумою, коли в якості платіжної матриці використовується коваріаційна матриця C = (уkj : k = 1,… m; j = 1,… n).
Висновки
Ігри матричні -- антагоністичні ігри, в яких обидва учасника мають скінчену кількість чистих стратегій. Якщо перший гравець має m стратегій, а другий гравець -- n стратегій, то матрична гра може бути задана m?n-матрицею A = ||aij||, де aij -- виграш першого гравця, якщо він обрав свою стратегію i (i = 1, 2, ..., m), а другий гравець обрав свою стратегію j (j = 1, 2, ..., n).
Матричні ігри моделюють широке коло антагоністичних конфліктних ситуацій з двома учасниками і скінченими множинами можливих дій у кожного з них. Із цим пов'язане застосування матричних ігор при виборі військово-тактичних рішень. Іноді, під одним із гравців уявляється «природа», тобто, вся сукупність обставин, невідомих другому гравцю, який приймає рішення. Такі ігри (їх часто називають іграми проти природи) виникають, наприклад, при необхідності врахування природних та інших, неконтрольованих факторів, які не знаходяться у розпорядженні будь якої конкретної особи. При цьому, природі призначається роль свідомого противника, антагоніста.
Відомо багато прикладів успішного застосування ігрової моделі як у сфері виробничої діяльності, так і на макроекономічному рівні. При розв'язанні економічних задач, у тому числі й маркетингових, часто доводиться аналізувати ситуації, за яких стикаються інтереси двох або більше конкуруючих сторін, переслідуючих різні цілі, особливо це характерне для ринкової економіки. Такого роду ситуації називаються конфліктними. Математичною теорією розв'язання конфліктних ситуацій є теорія ігор.
Ситуацію невизначеності утворює неповна і неточна інформація яка використовується в більшості випадків для прийняття управлінських рішень. Для обґрунтування рішень в умовах невизначеності використовують методи теорії ігор. На промислових підприємствах теорія ігор може використовуватися для вибору оптимальних рішень, наприклад, при створенні раціональних запасів сировини, матеріалів, напівфабрикатів, коли протидіють дві тенденції: збільшення запасів, що гарантують безперебійну роботу виробництва, і скорочення запасів з метою мінімізації витрат на зберігання їх.
Список використаної літератури
1. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-ігрові моделі прийняття рішень в еколого-економічних системах. - М.: Радіо і зв'язок, 1982
2. Верченко П.І., Сігал А.В., Наконечний Я.С. «Економічний ризик: ігрові моделі», 2002.
3. Ивченко И.Ю., Економічні ризики: - 2004, 304 стр.
4. Кабак А.Ф. Економіко-математичні методи і моделі: Навч. посіб. --
5. К., 1996.
6. Лесик, А.И., Чистяков, Ю.Е. Теоретико-ігрові моделі взаємодії економічних суб'єктів виробничої системи. - М. : Раней, 1998.
7. Платов В.Я. Ділові ігри: розробка, організація, проведення. - М.: Профиздат, 1991.
8. Сисоєв, В.В. Теоретико-ігрові моделі прийняття рішень багатоцільового керування в задачах вибору і розподілу ресурсів / Воронеж : Воронеж. гос. технол. акад., 2000.
Подобные документы
Основні методи розробки рішень господарської діяльності на прикладі ТОВ "Актіо". Обґрунтування, прогнозування та аналіз господарських рішень. Організаційно-економічна діяльність. Графічний метод обґрунтування господарського рішення на підприємстві.
курсовая работа [138,0 K], добавлен 13.05.2015Процеси прийняття рішень у різних сферах діяльності. Обчислення індексів узгодженості та пошук векторів локальних пріоритетів. Локальні та глобальні пріоритети. Синтез пріоритетів по всій ієрархії та по окремих гілках. Прийняття рішень в умовах ризику.
курсовая работа [774,0 K], добавлен 04.05.2011Господарське рішення як результат економічного обґрунтування. Ознаки господарських рішень. Основні методи та принципи аналізу господарських рішень. Сутнісно-змістова характеристика економічного ризику. Розрахунок глобальних або загальних пріоритетів.
контрольная работа [100,5 K], добавлен 06.05.2011Постановка задачі планування виробництва та побудова оптимальної моделі. Вибір методу розв'язання поставленої задачі. Умови оптимального виробництва методом Гоморі та з використанням Excel. Аналіз допустимих планів та обмежуючих чинників виробництва.
контрольная работа [749,0 K], добавлен 15.01.2014Олігополія, рівновага на олігополістичному ринку, рівновага за Нешем. Модель Курно. Перевага ініціатора - модель Стакелберга. Цінова конкуренція - модель Бертрана. Теорія ігор та конкуруючої стратегії.
контрольная работа [151,4 K], добавлен 07.01.2003Сутність теорії раціональних сподівань та вплив нової ринкової ситуації. Прийняття рішень економічними агентами та значення невірної оцінки ситуації. Необхідність участі держави в економічних процесах. Р.Лукас - фундатор теорії раціональних сподівань.
курсовая работа [21,6 K], добавлен 24.01.2009Поняття макроекономіки як наукової дисципліни, її основні цілі та задачі, предмет та методи вивчення. Сутність класичної і кейнсианської теорія макроекономічної рівноваги. Інвестиційна діяльність та підхід до її формування. Моделі економічного зростання.
шпаргалка [332,7 K], добавлен 27.12.2009Історія розвитку інституційної теорії. Особливості інституціональної структури в умовах перехідної економіки. Проблеми формування ефективних ринкових інститутів. Становлення громадянського суспільства як фактор підвищення інституціональних перетворень.
дипломная работа [107,7 K], добавлен 25.08.2010Класична школа економічної науки. Провідні представники неокласичного напряму. Економічні ідеї марксизму. Синтетична теорія А. Маршалла. Актуальні проблеми сучасної економіки. Методи вивчення і теоретичні джерела у формуванні сучасної економічної теорії.
реферат [58,3 K], добавлен 06.07.2015Методи дослідження і розвитку продуктивних сил. Територіальна організація і розміщення виробництва. Придніпровський економічний район. Економічні методи обґрунтування розміщення продуктивних сил. Метод оброблення й аналізу статистичних даних підприємства.
контрольная работа [29,0 K], добавлен 21.02.2009
