Випадки подія. Дії над подіями

6

Міністерство освіти і науки України

Приватний вищий навчальний заклад Європейський університет

Запорізька філія

Реферат

з дисципліни: Теорія ймовірностей та математична статистика

Випадки подія. Дії над подіями

Запоріжжя 2007р.

Випадки подія. Дії над подіями

Розглянемо деякий дослід, у результаті якого може з'явитись або не з'явитись подія А. Прикладами такого досліду можуть бути;

а)дослід - виготовлення певного виробу, подія А - стандартність цього виробу;

б)дослід - кидання монети, подія А - випав герб;

в)дослід - стрільба п'ятьма пострілами у мішень, подія А - вибито 30 очок;

г)дослід - введення програми у комп'ютер, подія А безпомилковий ввід.

Загальним для усіх дослідів є те, що кожен із них може реалізуватись у певних умовах скільки завгодно раз і такі досліди називають випробуваннями.

Події бувають достовірні, випадкові та неможливі.

Достовірною називають таку подію, яка при розглянутих умовах обов'язково трапиться.

Неможливою називають таку подію, яка при розглянутих умовах не може трапитись.

Випадковою називають таку подію, яка при умовах, що розглядаються, може трапитися, а може й не трапитися.

Наприклад, якщо в урні є лише білі кулі, то добування білої кулі з урни - достовірна подія, а добування з цієї урни кулі іншого кольору - неможлива подія.

Якщо кинути монету на площину, то поява герба буде випадковою подією, тому що замість герба може з'явитися надпис.

Випадкові події позначають великими літерами, наприклад

A,B,C,D,X,Y,A₁,A₂,. ,А_n

Кожна випадкова подія є наслідком багатьох випадкових або невідомих нам причин, які впливають на подію. Тому неможливо завбачити наслідок одночинного випробування.

Але якщо розглядати випадкову подію багато разів при однакових умовах, то можна виявити певну закономірність її появи або непояви. Таку закономірність називають імовірною закономірністю масових однорідних випадкових подій.

У теорії імовірностей під масовими однорідними випадковими подіями розуміють такі події, які здійснюються багатократно при однакових умовах або багато однакових подій.

Наприклад, кинути одну монету 1000 разів або 1000 однакових монет кинути один раз в теорії імовірностей вважають однаковими подіями.

Спочатку ознайомимось із різновидами випадкових подій.

Означення 1. Події називають несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншіх подій в одному і тому ж випробуванні.

Приклад 1. Серед однорідних деталей у ящику є стандартні та нестандартні. Навмання беруть із ящика одну деталь.

Події

А - взята стандартна деталь,

В - взята нестандартна деталь несумісні тому, що взята лише одна деталь, яка не може бути одночасно стандартною та нестандартною.

Означення 2. Події називають сумісними, якщо поява однієї з них не виключає можливості появи інших (не обов'язково одночасно).

Приклад 2. Два стрільця стріляють у мішень. Події А_і - перший стрілок влучив у мішень, А₂ - другий стрілок влучив у мішень будуть сумісними випадковими подіями.

Означення 3. Випадкові події А₁-А_2,......А_п утворюють повну групу подій, якщо внаслідок випробування хоча б одна з них з'явиться обов'язково.

Приклад 3. Кидають шестигранний кубик. Позначимо події так

Л₁ - випала грань 1; А₂ - випала грань 2; Аз - випала грань 3;

А₄ - випала грань 4; А₅ - випала грань 5; А₆ - випала грань 6. Події А₁, А_2,. А₆ утворюють повну групу.

У Прикладі 2 події А₁ та А₂ не утворюють повної групи. Але якщо позначити A₀ подію, що ніхто із стрільців не влучив у мішень, тоді події A₀, A₁ та А₂ утворюють повну групу.

Означення 4. Події називають рівноможливими, якщо немає причин стверджувати, що будь-яка з них можливіша за інші.

Приклад 4. Події - поява 1,2,3,4,5 або 6 очок при киданні шестигранного кубика - рівноможливі при умові, що центр його ваги не зміщений.

Означення 5. Дві несумісні події, які утворюють повну групу, називають протилежними.

Подія, протилежна події А, позначається А.

Приклад 5. Якщо позначити через А подію, що при стрільбі по мішені вибито 8 очок, то подія А - при стрільбі по мішені вибито будь-яке інше число очок.

Тепер розглянемо важливе поняття простору елементарних наслідків..

Нехай виконується деякий експеримент, який має елементи випадковості. Кожне випробування може мати різні наслідки.

Так, при киданні монети можуть бути два можливих наслідки: герб або надпис.

При киданні грального кубика можуть бути шість можливих наслідків.

У випробуванні "постріл у мішень" можна розглядати такі наслідки, як влучення у мішень, або кількість вибитих очок, або координати точки влучення.

Отже, що приймати за наслідок випробування, залежить від умови задачі.

Означення 6. Елементарними наслідками називають такі події, які неможливо розділити на більш прості.

Множину усіх можливих елементарних наслідків називають простором елементарних наслідків.

Простір елементарних наслідків може містити скінчену, злічену або незлічену множину елементів.

У ролі елементарних наслідків можна розглядати точки п-вимірного простору, відрізок деякої лінії, точки поверхні S або об'єму V трьохвимірного простору, функцію однієї або багатьох змінних.

У більшості випадків що розглядаються, припускають, що елементарні наслідки рівноможливі.

Приклад 6.

а)При двократному киданні монети простір елементарних наслідків містить 4 точки

{(Г,Г), (Г,Н), (Н,Г), (Н,Н),} де Г - означає появу герба, Н - появу надпису.

б)Нехай по мішені стріляють одиночними пострілами до першого влучення. Можливі такі елементарні події

w₁ {влучення при першому пострілі},

w₂ {влучення при другому пострілі},

w_з {влучення при третьому пострілі} іт.д.

У цьому випадку простір елементарних наслідків може мати нескінченну кількість точок, які можна шляхом нумерації перелічити. Тому простір елементарних наслідків буде зліченим.

в)При виробництві кінескопів виникають неоднакові умови технологічного процесі, тому час роботи кінескопа відрізняється від його номінального значення, тобто буде випадковою подією.

Простір елементарних наслідків у цьому випадку буде нескінченною незліченою множиною, елементи якого неможливо пронумерувати

Означення 7. Об'єднанням (сумою) випадкових подій А₁ U А₂ U ... U А_п називають таку випадкову подію, яка полягає в появі хоча б однієї з цих подій.

Якщо події попарно несумісні, то їх сума полягає в тому, що повинна з'явитися подія А₁ або А₂ ... або А_п. Нескінченну суму випадкових подій позначають

Приклад 7. Стрілок робить один постріл у мішень, поділену на три області. Позначимо

подія А₁ - влучення в першу область;

подія А₂ - влучення у другу область;

подія А₃ - влучення в третю область;

подія А₄ - немає влучення у мішень;

подія В - влучення в першу або другу області;

подія D - влучення хоч би в одну область мішені.

Тоді маємо В = А₁ U А₂; D = А₁ U A₂ U Л₃.

Відмітимо, що події А₁,А₂, А_з та А₄ - несумісні.

Означення 8. Різницею В -- А (або В\А) двох випадкових подій В, А називають усі наслідки, які полягають у тому, що подія А не з'являється.

Добутком (перетином) (або А * В) випадкових подій А, В називають таку випадкову подію, яка полягає у появі подій А та В одночасно.

Якщо А та В - несумісні, то добуток є множина, яка не має жодного елемента. Така множина називається пустою (порожньою) і позначається 0.

Таким чином, у разі несумісності подій А,В маємо=

Означення 9. Добутком (перетином) скінченої кількості випадкових подій Аі, Аг, *.., А_п називають таку випадкову подію, яка полягає у сумісній появі усіх цих подій одночасно.

Подія означає, що розглядаються усі події Ak (k -- 1,2,..., п) одночасно.

Вказані співвідношення між подіями є звичайними співвідношеннями між множинами, які можна представити графічно

Приклад 8. Стрілець стріляє двічі по мішені. Описати простір елементарних наслідків. Записати подію, яка полягає в тому, що: а) стрілець влучив у мішень принаймні один раз (подія С); б) стрілець влучив рівно один раз (подія D); в) стрілець не влучив у мішень (подія F).

Розв'язання.

Позначимо

подія А - влучення при першому пострілі,

подія В - влучення при другому пострілі. Простір елементарних наслідків складається з чотирьох подій {АВ,АВ,АВ,АВ}.

а)Якщо стілець влучив у мішень принаймні один раз, то це означає, що він влучив або при першому пострілі АВ, або при другому пострілі АВ, або при обох АВ.

Тобто, С = АВ U АВ U АВ.

б)Рівно одне влучення може бути тільки тоді, коли стрілець при першому пострілі влучив, а при другому - ні, або при першому пострілі не влучив, а при другому - влучив.

Тому, D = ABU АВ.

в)Якщо стілець не влучив у мішень, то це означає, що він не влучив при обох пострілах, тобто, F = АВ.

Список використаноі літератури

1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. теорія ймовірностей та математична статистика. - К.: ЦУЛ, 2002. - 448с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1980.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1975.

4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: наука, 1988.

5. Леоненко М.М., Мішура Ю.С. та ін. Теоретико-ймовірностні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. - К.: Інформтехніка, 1995.

6. Гончаров. А. Microsoft Excel 97 в примерах. - Санкт-Петербург: Питер, 1997. - 336с.