Парная и множественная линейная регрессия и корреляция в экономических исследованиях

НАЦИОНАЛЬНЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЮФ «КРЫМСКИЙ АГРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» НАУ

КАФЕДРА БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА И АУДИТА

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

по эконометрии

«Парная и множественная линейная регрессия и корреляция в экономических исследованиях»

Выполнила: студентка II курса

учетно-финансового факультета

группа Б - 22

Торшина

Наталья Викторовна

Проверил: Соцкий Иван Иванович

Симферополь 2007

Задание 1

По группе сельскохозяйственных предприятий имеются данные об урожайности зерновых культур, ц/га (y), уровень специализации, % (x₁) и среднемесячная оплата труда, грн (x₂).

Исходные данные для проведения корреляционного анализа представлены в Таблице 1.1.

Таблица 1.1.- Урожайность зерновых культур, среднемесячная оплата труда и уровень специализации по группе сельскохозяйственных предприятий региона.

№ п/п	Уровень специализации, %	Среднемесячная оплата труда, грн	Урожайность зерновых культур, ц/га
	x1	X2	Y
1	0,60	213	39,4
2	0,38	150	23,2
3	0,56	191	37,2
4	0,57	188	35,1
5	0,30	146	20,0
6	0,59	201	37,9
7	0,35	148	20,1
8	0,39	159	23,4
9	0,25	145	13,4
10	0,42	165	24,8
11	0,55	178	32,2
12	0,45	177	30,2
13	0,20	141	10,3
14	0,40	166	23,7
15	0,54	180	31,3
Итого:	6,55	2548	402,2
В среднем:	0,4367	168,8667	26,8133

По исходным данным Таблицы 1.1. построим корреляционное поле зависимости урожайности зерновых культур от уровня специализации.

Рисунок 1.1 - Корреляционное поле зависимости урожайности зерновых культур от уровня специализации

1.2. Из расположения точек на графиках видно, что с увеличением уровня специализации, урожайность зерновых культур возрастает, то есть связь прямая положительная. Эту связь можно выразить уравнением прямой линии

1.3 Уравнение прямолинейной однофакторной регрессионной связи имеет неизвестные параметры и . Значения этих параметров определим методом наименьших квадратов, путем решения системы нормальных уравнений:

1.4.Для определения параметров и рассчитаем таблицу 1.2. (См.стр.5)

Пользуясь приведенными в таблице 1.2 расчетами, подставим в нормальные уравнения соответствующие значения и определим параметры и в зависимости урожайности зерновых культур от уровня специализации:

402,2 =15b₀+6,55b₁

191,325=6,55b₀+3,0911b₁

26,8133 =b₀+0,4367b₁

29,2099 =b₀+0,4719b₁

b₁=67,9749

b₀=-2,8690

или:

b₀=-2,8690 математическое начало отчета, экономического смысла не имеет.

b₁ =67,9749 коэффициент регрессии, показывает, что при повышении уровня специализации на 1% урожайность зерновых увеличивается на 67,9749 ц/га.

Таблица 1.2 - Исходные и расчетные данные для определения параметров уравнений зависимости урожайности

№ п/п	Урожайность зерновых, ц/га (у)	Уровень специализации, % (х1)	Среднемесячная оплата труда,грн (х2)	Расчётные величины	Теоретические уровни
						УХ1	УХ2	У2	Х1Х2
1	39,4	0,6	213	0,36	45369	23,64	8392,2	1552,36	127,8	37,9159	43,2595	39,5383
2	23,2	0,38	150	0,1444	22500	8,816	3480	538,24	57	22,9614	19,2384	21,9219
3	37,2	0,56	191	0,3136	36481	20,832	7105,2	1383,84	106,96	35,1969	34,8712	35,31
4	35,1	0,57	188	0,3249	35344	20,007	6598,8	1232,01	107,16	35,8767	33,7273	35,5406
5	20	0,3	146	0,09	21316	6	2920	400	43,8	17,5234	17,7133	17,3545
6	37,9	0,59	201	0,3481	40401	22,361	7617,9	1436,41	118,59	37,2361	38,6841	37,8492
7	20,1	0,35	148	0,1225	21904	7,035	2974,8	404,01	51,8	20,9222	18,4759	20,1605
8	23,4	0,39	159	0,1521	25281	9,126	3720,6	547,56	62,01	23,6412	22,6700	23,3193
9	13,4	0,25	145	0,0625	21025	3,35	1943	179,56	36,25	14,1247	17,332	14,6457
10	24,8	0,42	165	0,1764	27225	10,416	4092	615,04	69,3	25,6804	24,9577	25,4696
11	32,2	0,55	178	0,3025	31684	17,71	5731,6	1036,84	97,9	34,5172	29,9145	33,5236
12	30,2	0,45	177	0,2025	31329	13,59	5345,4	912,04	79,65	27,7197	29,5332	28,2033
13	10,3	0,2	141	0,04	19881	2,06	1452,3	106,09	28,2	10,7259	15,8069	11,6453
14	23,7	0,4	166	0,16	27556	9,48	3934,2	561,69	66,4	24,3209	25,3390	24,5222
15	31,3	0,54	180	0,2916	32400	16,902	5634	979,69	97,2	33,8374	30,6770	33,1958
Итого	402,2	6,55	2548	3,0911	439696	191,325	70942	11885,38	1150,02	402,2	402,2	402,2
В среднем	26,8133	0,4367	169,8667	0,2061	29313,0667	12,755	4729,467	792,3587	76,6680	26,8133	26,8133	50,275

2. Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции, средние ошибки аппроксимации и коэффициенты эластичности

2.1 Тесноту связи изучаемой зависимости, то есть урожайности зерновых от уровня специализации оценит линейный коэффициент парной корреляции

Для дальнейших расчетов составим таблицу 1.3.

Таблица 1.3 - Матрица для оценок статистической значимости зависимости урожайности зерновых от уровня специализации, его параметров, коэффициентов тесноты связи

№ п/п	Урожай-ность зерновых культур, ц/га у	Уровень специализации, % Х1	Теоретические уровни Уtx1
1	39,4	0,6	37,9159	0,1633	0,0267	12,5867	158,4242	11,1026	123,2669	1,4841	2,2026	3,7668	2,0558	1,0757
2	23,2	0,38	22,9614	-0,0567	0,0032	-3,6133	13,0562	-3,8519	14,8372	0,2386	0,0569	1,0283	0,2048	1,1250
3	37,2	0,56	35,1969	0,1233	0,0152	10,3867	107,8828	8,3836	70,2842	2,0031	4,0124	5,3847	1,2810	1,0815
4	35,1	0,57	35,8767	0,1333	0,0178	8,2867	68,6688	9,0633	82,1437	-0,7767	0,6032	2,2127	1,1049	1,0800
5	20	0,3	17,5234	-0,1367	0,0187	-6,8133	46,4215	-9,2899	86,3023	2,4766	6,1334	12,3828	0,9312	1,1637
6	37,9	0,59	37,2361	0,1533	0,0235	11,0867	122,9142	10,4228	108,6351	0,6639	0,4407	1,7516	1,7000	1,0770
7	20,1	0,35	20,9222	-0,0867	0,0075	-6,7133	45,0688	-5,8912	34,7057	-0,8222	0,6760	4,0904	0,5818	1,1371
8	23,4	0,39	23,6412	-0,0467	0,0022	-3,4133	11,6508	-3,1722	10,0626	-0,2412	0,0582	1,0306	0,1593	1,1214
9	13,4	0,25	14,1247	-0,1867	0,0348	-13,4133	179,9175	-12,6886	161,0017	-0,7247	0,5252	5,4081	2,5038	1,2031
10	24,8	0,42	25,6804	-0,0167	0,0003	-2,0133	4,0535	-1,1329	1,2835	-0,8804	0,7751	3,5501	0,0336	1,1117
11	32,2	0,55	34,5172	0,1133	0,0128	5,3867	29,0162	7,7038	59,3488	-2,3172	5,3692	7,1961	0,6105	1,0831
12	30,2	0,45	27,7197	0,0133	0,0002	3,3867	11,4695	0,9063	0,8214	2,4803	6,1521	8,2130	0,0452	1,1035
13	10,3	0,2	10,7259	-0,2367	0,0560	-16,5133	272,6902	-16,0874	258,8041	-0,4259	0,1814	4,1354	3,9082	1,2675
14	23,7	0,4	24,3209	-0,0367	0,0013	-3,1133	9,6928	-2,4924	6,2121	-0,6209	0,3855	2,6199	0,1142	1,1180
15	31,3	0,54	33,8374	0,1033	0,0107	4,4867	20,1302	7,0241	49,3376	-2,5374	6,4384	8,1067	0,4636	1,0848
итого	402,2	6,55	402,2000	х	0,2309	х	1101,0573	х	1067,0471	х	34,0103	70,8773	15,6977	16,8331
средн	26,81333	0,43667	26,8133	х	0,0154	х	73,4038	х	71,1365	х	2,2674	4,7252	1,0465	1,1222

2.3 Определим средний коэффициент эластичности, показывающий, насколько процентов в среднем по совокупности изменится результат (урожайность зерновых культур) от своей средней величины при изменении фактора на 1 % от своего среднего значения

Средняя ошибка аппроксимации - это среднее отклонение расчетных значений от фактических значений:

Допустимый предел ошибки аппроксимации 8-10%.

Коэффициент детерминации:

Индекс корреляции:

0,9844

Таким образом, вариация урожайности зерновых объясняется вариацией уровня специализации и на 2% - других факторов.

Для качественной оценки тесноты связи воспользуемся таблицей Четдоко

Значение коэффициента тесноты связи	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Характеристика тесноты связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	очень высокая

Таким образом, теснота связи между урожайностью зерновых культур и уровнем специализации очень высокая. Качество построенных моделей между урожайностью зерновых культур и уровнем специализации оценивается как заметная, поскольку средняя ошибка аппроксимации ниже 0,4-5% (0,4% и 3,6%). Средний коэффициент эластичности показывает, что увеличение уровня специализации на 1% приведет к увеличению урожайности зерновых культур на 1,1% .

Таким образом, в связях урожайности зерновых культур иуровнем специализации наблюдается прямолинейная связь, так как разность между индексами корреляции и парными коэффициентами тесноты связи в нашей эконометрической модели равна нулю.

3.Оценим значимость параметров регрессии и коэффициентов тесноты связи

3.1 С помощью регрессионно -корреляционного анализа мы получаем оценки параметров парной линейной регрессии. Следующим этапом является проверка качества надежности, существенности и значимости как уровня в целом, так и отдельных его параметров

3.2 Адекватность простой линейной регрессионной модели проверим с помощью коэффициентов детерминации, которые являются характеристиками прогностической силы анализируемой регрессионной модели, то есть, суммарной мерой общего качества уровня регрессии. В эконометрике имеются три равноценных определения коэффициентов детерминации

1. Коэффициент детерминации равен квадрату эмпирического коэффициента корреляции между двумя рядами наблюдений. Определяется по формуле:

2. Коэффициент детерминации равен частному отделению суммы квадратов отклонений регрессанта, вычисляемого с помощью регрессии от его средней арифметической:

3. Определяется как единица - частное отделение суммы квадратов ошибок и суммы квадратов отклонения выборки от средней:

3.3 Оценка значимости уравнений регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера, который показывает, в какой мере регрессия лучше оценивает значение зависимой переменной по сравнению с ее средней

F-тест оценивания качества уравнения регрессии состоит в проверке нулевой гипотезы H₀ по статистической незначительности уровня регрессии. Для этого выполняется сравнение F-факторного и критического F-табличного значений критерия Фишера. F-критерий факторный определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсии, которые рассчитываются на одну степень свободы.

Поскольку 4,67 и как при 5%-м так и 1%-м уровнях значимости, то нулевая гипотеза говорит о незначительности отклонений и зависимость урожайности зерновых культур от уровня специализации в целом признается статистически значимой. Этот уровень является достаточным для обеспечения достоверности эконометрический расчетов и прогнозирования урожайности парной линейной зависимости.

3.4. В парной линейной регрессии обычно оценивают значимость не только уровня в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его ошибка, которая рассчитывается по формуле:

§ для зависимости урожайности зерновых культур от уровня специализации.

3.5 Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем Т-критерий Стьюдента и доверительные интервалы для параметров и . Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью Т-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки

§ для зависимости урожайности зерновых культур от уровня специализации

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров и в зависимости урожайности зерновых культур от уровня специализации. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Расчет доверительных интервалов имеет вид

Критическое значение при уровнях значимости для числа степеней свободы равного 12 , а при . Фактическое значение Т-критерия Стьюдента превосходит табличные значения

За исключением t_b0 нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной при выбранном уровне значимости, то есть t_{b1 ,} не случайно отличается от нуля и подтверждает их статистическую значимость.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов зависимости урожайности зерновых культур от уровня специализации приводит к выводу о том, что с вероятностью 0,95 параметр находится в границах от -21,6473 до 15,9092, а параметр находится в пределах от 63,2617 до 72,6880. Тогда нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной при выбранном уровне значимости , то есть является статистически незначимой и отличной от нуля. И только в 5-ти случаях из 100 значение урожайности может выйти за границы интервала.

4. Выполним прогноз результативного показателя (урожайности зерновых культур) при прогнозных значениях

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительные интервалы для предсказания его среднего и индивидуального значений зависимой переменной (урожайности зерновых культур) по исходным данным таблицы

5.1 В прогнозных расчетах по уровню регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогноз при , то есть путем подстановки соответствующего уровня значений . Однако, точечный прогноз явно нереален, поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки и соответственно интервальной оценки прогнозируемого значения

Одной из центральных задач эконометрического моделирования является прогнозирование значений зависимой переменной при определенных значениях переменной.

5.1.1 Предсказание среднего значения

рассчитаем стандартную среднюю ошибку прогноза условного математического ожидания имеющего следующий вид

Рассчитаем прогнозные значения урожайности зерновых культур в зависимости от уровня специализации:

-стандартная ошибка для прогноза первой строки. Определим предельную ошибку прогноза, которая в 95% случаев не будет превышать и составит:

Прогноз линии регрессии в интервале составит

При , который представляет собой точечный прогноз, прогноз линии регрессии в интервале составит .

Следовательно, прогнозное значение урожайности зерновых культур зависимой от уровня специализации с вероятностью будет находиться в пределах от 25,9113 до 27,7154 и не примет нулевых значений. То есть является статистически значимым и существенным и только в 5-ти случаях из 100 прогнозное значение выйдет за рамки интервала и будет статистически несущественным.

Прогноз линии в интервале составит



При , который представляет собой точечный прогноз, прогноз линии регрессии в интервале составит .

Следовательно, прогнозное значение урожайности зерновых культур зависимой от уровня специализации с вероятностью будет находиться в пределах от 26,8118 до 32,7514 и не примет нулевых значений. То есть является статистически значимым и существенным и только в 5-ти случаях из 100 прогнозное значение выйдет за рамки интервала и будет статистически несущественным.

Прогноз линии в интервале составит

При , который представляет собой точечный прогноз, прогноз линии регрессии в интервале составит .

Следовательно, прогнозное значение урожайности зерновых культур зависимой от уровня специализации с вероятностью будет находиться в пределах от 32,9364 до 38,6477 и не примет нулевых значений. То есть является статистически значимым и существенным и только в 5-ти случаях из 100 прогнозное значение выйдет за рамки интервала и будет статистически несущественным.

5.2. Предсказание индивидуальных значений зависимой переменной и построение доверительных интервалов.

Для расчетов будем использовать формулу:

Рассчитаем индивидуальные прогнозные значения урожайности зерновых культур в зависимости от уровня специализации:

Интервал, в котором будет находиться, по крайней мере, 95% индивидуальных значений урожайности при находится в пределах . Выполненный прогноз урожайности с вероятностью 0,95 оказался надежным, но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составил 1,3 раз.

Интервал, в котором будет находиться, по крайней мере, 95% индивидуальных значений урожайности при находится в пределах . Выполненный прогноз урожайности с вероятностью 0,95 оказался надежным, но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составил 1,3 раз.

Интервал, в котором будет находиться, по крайней мере, 95% индивидуальных значений урожайности при находится в пределах . Выполненный прогноз урожайности с вероятностью 0,95 оказался надежным, но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составил 1,3 раз.

Множественная линейная регрессионно - корреляционная эконометрическая модель.

Линейное уравнение множественной регрессии y от x₁ и x₂ имеет вид:

Для расчета его параметров используем МНК. Для этого составим и решим систему нормальных уравнений относительно b₀, b₁ и b₂.

Все промежуточные расчеты для решения системы, а также определения показателей приведены в таблицах 2.2, 2.3, 2.4:

Подставляем данные из таблиц 2.2,2.3,2.4 в систему «нормальных» уравнений необходимые суммы и определяем параметры b_0, b₁, b₂:

b₀=-12,5107

b₁=52,2307

b₂=0,0972

Или:

= 52,2307

= 0,0972

b₀=-b₁-b₂= 402,2 - 52,2307*6,55 - 0,0972*2548 = -12,5107

Полученное уравнение с параметрами b₀= -12,5107,b₁=52,2307,b₂=0,0972 имеет следующий вид

b₀ = -12,5107 математическое начало отчета, экономического смысла не имеет.

b₁=52,2307 коэффициент регрессии, показывающий как изменилась урожайность зерновых культур при увеличении уровня специализации на 1 единицу своего измерения, при условии, что среднемесячная оплата труда , забирая долю своего влияния, остается на неизменном уровне.

b₂=0,0972 коэффициент регрессии, показывающий, как изменилась урожайность зерновых культур при увеличении среднемесячной оплаты труда на 1 единицу своего измерения, при условии, что уровень специализации, забирая долю своего влияния, остается на неизменном уровне.

Таблица 2.2 - Исходные и расчетные данные для регрессионно - корреляционного анализа зависимости урожайности зерновых культур от двух факторов х1 и х2.

№ п/п	Урожайность зерновых культур, ц/га (У)	факторные признаки	расчётные величины	теоретические уровни
		Уровень специали-зации, %,Х1	Среднемесячнаоплата труда грн, Х2	Ух1	Ух2	Х1х2	Х12	х22	y2	?х1	?х2	?х1х2
1	39,4	0,6	213	23,64	8392,2	127,8	0,36	45369	1552,36	37,9159	43,2595	39,5383	0,3511
2	23,2	0,38	150	8,816	3480	57	0,1444	22500	538,24	22,9614	19,2384	21,9219	5,5090
3	37,2	0,56	191	20,832	7105,2	106,96	0,3136	36481	1383,84	35,1969	34,8712	35,3100	5,0807
4	35,1	0,57	188	20,007	6598,8	107,16	0,3249	35344	1232,01	35,8767	33,7273	35,5406	1,2552
5	20	0,3	146	6	2920	43,8	0,09	21316	400	17,5234	17,7133	17,3545	13,2274
6	37,9	0,59	201	22,361	7617,9	118,59	0,3481	40401	1436,41	37,2361	38,6841	37,8492	0,1340
7	20,1	0,35	148	7,035	2974,8	51,8	0,1225	21904	404,01	20,9222	18,4759	20,1605	0,3011
8	23,4	0,39	159	9,126	3720,6	62,01	0,1521	25281	547,56	23,6412	22,6700	23,3193	0,3449
9	13,4	0,25	145	3,35	1943	36,25	0,0625	21025	179,56	14,1247	17,3320	14,6457	9,2966
10	24,8	0,42	165	10,416	4092	69,3	0,1764	27225	615,04	25,6804	24,9577	25,4696	2,7001
11	32,2	0,55	178	17,71	5731,6	97,9	0,3025	31684	1036,84	34,5172	29,9145	33,5236	4,1107
12	30,2	0,45	177	13,59	5345,4	79,65	0,2025	31329	912,04	27,7197	29,5332	28,2033	6,6115
13	10,3	0,2	141	2,06	1452,3	28,2	0,04	19881	106,09	10,7259	15,8069	11,6453	13,0610
14	23,7	0,4	166	9,48	3934,2	66,4	0,16	27556	561,69	24,3209	25,3390	24,5222	3,4694
15	31,3	0,54	180	16,902	5634	97,2	0,2916	32400	979,69	33,8374	30,6770	33,1958	6,0569
Сумма	402,2	6,55	2548	191,325	70942	1150,02	3,0911	439696	11885,38	402,200	402,200	402,200	71,5095
В среднем	26,8133	0,4367	169,8667	12,755	4729,467	76,668	0,206073	29313,7	792,3587	26,8133	26,8133	26,8133	4,7673

Таблица 2.3.Матрица для оценок качества множественного линейного уравнения регрессии его параметров, коэффициентов тесноты связи и детерминации и построение доверительных интервалов

№ п/п	Урожайность зерновых культур, ц/га (У)	факторные признаки	расчётные величины
		Уровень специализации, %,х1	Среднемесячная оплата труда, Грн, х2							()* ()	()* ()	()* ()
1	39,4	0,6	213	0,1633	0,0267	43,1333	1860,4844	12,5867	158,4242	2,0558	542,9049	7,0451
2	23,2	0,38	150	-0,0567	0,0032	-19,8667	394,6844	-3,6133	13,0562	0,2048	71,7849	1,1258
3	37,2	0,56	191	0,1233	0,0152	21,1333	446,6178	10,3867	107,8828	1,2810	219,5049	2,6064
4	35,1	0,57	188	0,1333	0,0178	18,1333	328,8178	8,2867	68,6688	1,1049	150,2649	2,4178
5	20	0,3	146	-0,1367	0,0187	-23,8667	569,6178	-6,8133	46,4215	0,9312	162,6116	3,2618
6	37,9	0,59	201	0,1533	0,0235	31,1333	969,2844	11,0867	122,9142	1,7000	345,1649	4,7738
7	20,1	0,35	148	-0,0867	0,0075	-21,8667	478,1511	-6,7133	45,0688	0,5818	146,7982	1,8951
8	23,4	0,39	159	-0,0467	0,0022	-10,8667	118,0844	-3,4133	11,6508	0,1593	37,0916	0,5071
9	13,4	0,25	145	-0,1867	0,0348	-24,8667	618,3511	-13,4133	179,9175	2,5038	333,5449	4,6418
10	24,8	0,42	165	-0,0167	0,0003	-4,8667	23,6844	-2,0133	4,0535	0,0336	9,7982	0,0811
11	32,2	0,55	178	0,1133	0,0128	8,1333	66,1511	5,3867	29,0162	0,6105	43,8116	0,9218
12	30,2	0,45	177	0,0133	0,0002	7,1333	50,8844	3,3867	11,4695	0,0452	24,1582	0,0951
13	10,3	0,2	141	-0,2367	0,0560	-28,8667	833,2844	-16,5133	272,6902	3,9082	476,6849	6,8318
14	23,7	0,4	166	-0,0367	0,0013	-3,8667	14,9511	-3,1133	9,6928	0,1142	12,0382	0,1418
15	31,3	0,54	180	0,1033	0,0107	10,1333	102,6844	4,4867	20,1302	0,4636	45,4649	1,0471
Сумма	402,2	6,55	2548	Х	0,2309	Х	6875,7333	Х	1101,0573	15,6977	2621,6267	37,3933
В среднем	26,8133	0,4367	169,8667	Х	0,0154	Х	458,3822	Х	73,4038	1,0465	174,7751	2,4929

Таблица 2.4.- Матрица для расчета дисперсии и стандартных ошибок коэффициентов регрессии и корреляции, статистики DW Дарвина -Уотсона, прогнозирования и построения доверительных интервалов

№ п/п	Урожайность зерновых культур ц/га,(У)	теоретические уровни урожайности зерновых культур, ц/га	е=у-?х1х2	е2=(у-?х1х2)2	ei - e i-1	(ei - e i-1)2	(?х1х2-)2
1	39,4	39,5383	-0,1383	0,0191	-0,1383	0,0191	131523,491
2	23,2	21,9219	1,2781	1,6335	1,4164	2,0063	144611,433
3	37,2	35,3100	1,8900	3,5722	0,6119	0,3745	134608,292
4	35,1	35,5406	-0,4406	0,1941	-2,3306	5,4317	134439,13
5	20	17,3545	2,6455	6,9986	3,0861	9,5238	148106,047
6	37,9	37,8492	0,0508	0,0026	-2,5947	6,7325	132751,49
7	20,1	20,1605	-0,0605	0,0037	-0,1113	0,0124	145954,168
8	23,4	23,3193	0,0807	0,0065	0,1412	0,0199	143550,582
9	13,4	14,6457	-1,2457	1,5519	-1,3264	1,7595	150198,297
10	24,8	25,4696	-0,6696	0,4484	0,5761	0,3319	141925,778
11	32,2	33,5236	-1,3236	1,7520	-0,6540	0,4277	135922,261
12	30,2	28,2033	1,9967	3,9867	3,3203	11,0244	139873,504
13	10,3	11,6453	-1,3453	1,8098	-3,3419	11,1686	152532,986
14	23,7	24,5222	-0,8222	0,6761	0,5230	0,2736	142640,489
15	31,3	33,1958	-1,8958	3,5940	-1,0736	1,1525	136164,102
Сумма	402,2	402,2000	Х	26,2492	-1,8958	50,2584	161764,84
В среднем	26,81333	26,8133	Х	1,7499	-0,1264	3,3506	140986,803

2. Определим парные коэффициенты корреляции r_?x1, r_?x2, r_x1x2, линейный коэффициент множественной корреляции R_?x1x2, коэффициенты эластичности, в - коэффициент и среднюю ошибку аппроксимации.

Применительно к двухфакторной модели линейный коэффициент множественной корреляции, выраженный через коэффициенты парной корреляции будет следующим:

=0,9880

Совокупный индекс корреляции:

= 0,9759

= 1,7499

= 73,4038

Рассчитаем коэффициент эластичности для двухфакторной модели:

Э₁= b₁* x₁/? = 0,8506 %

Э₂= b₂* x₂/? = 0,6160 %

Анализ частных коэффициентов эластичности показывает, что на урожайность зерновых культур оказывает наибольшее влияние уровень специализации: увеличение уровня специализации на 1 % дает прирост урожайности зерновых культур на 0,8506%

Для расчета в - коэффициентов вначале необходимо вычислить среднее квадратическое отклонение по следующим формулам:

x₁² = Уx₁²/n = 0,2061

x₂² = Уx₂²/n = 29313,0667

y² = Уy²/n = 792,3587

x₁² = (Уx₁/n) = 0,1907

x₂² = (Уx₂/n) = 28854,6844

y² = (Уy/n) = 718,9548

= 0,1241

= 21,4099

= 8,5676

в₁ =b_{1 *} G_x1/G_y = 0,7564 %

в₂ =b_{2 *} G_x2/G_y = 0,2430 %

Анализ в - коэффициентов показывает, что на урожайность зерновых культур наибольшее влияние из двух исследуемых факторов с учетом уровня их колеблемости способен оказать первый фактор- уровень специализации, так как ему соответствует наибольший в - коэффициент.

Среднюю ошибку аппроксимации определим по формуле:

4,7673

3. Коэффициенты частной корреляции.

Коэффициенты частной корреляции показывают тесноту связи результативного признака с исследуемым факторным признаком в условиях элиминирования влияния других учтенных, то есть включенных в модель факторов.

Влияние факторов, не включенных в модель, продолжает отражаться в коэффициенте частной корреляции совместно с влиянием исследуемого фактора.

Коэффициенты частной корреляции, как и парной, принимают значение от -1 до+1.

Порядок исчисления коэффициента частной корреляции состоит в том, что последовательно устраняется влияние каждого фактора.

Формула коэффициента частной корреляции результативного признака У с факторным признаком Х₁ при исключении влияния факторного признака Х₂ будет такова:

= 0,8610

Тоже - зависимости У от Х₂ при исключении влияния Х₁

= 0,4777

Можно рассчитать взаимосвязь факторных признаков при устранении влияния результативного признака:

 = 0,2738

Частный коэффициент корреляции уровня специализации при среднемесячной оплате труда, находящейся на фиксированном уровне, равен 0,8610.

Частный коэффициент корреляции среднемесячной оплаты труда при уровне специализации, находящемся на фиксированном уровне, равен 0,4777.

4. Вычислить коэффициент детерминации и оценить его статистическую значимость.

Коэффициент детерминации зависимости У от Х₁ и Х₂ определяется по формуле:

= 0,9762

5. Определить статистику DW -Дарбина - Уотсона и оценить наличие автокорреляции.

Статистическая значимость коэффициента регрессии и близкое к единице значение коэффициента детерминации К не гарантирует высокое качество уравнения регрессии, т.е. при хороших значениях t -статистик и F -статистик уравнение не может признано удовлетворительным.

На практике для анализа коррелированности вместо коэффициента корреляции используют тесно с ними связанную статистику Дарбина - Уотсона по формуле:

= 1,9147

где .

Для проверки статистической значимости DW используют таблицу критических точек Дарбина - Уотсона.

При уровне значимости б =0,05, числе наблюдений и m =2, d₁ = 0.946;

d_и = 1,543,

где d_и - верхнее табличное значение показателя d;

d₁- его нижнее табличное значение.

олучили следующие промежутки внутри интервала [0;4] (рис. 2.1.)

0 d₁=0.946 d_и = 1,543 4- d_и= 2,457 4- d₁= 3,054 4

Рис. 2.1. Промежутки внутри интервалов [0;4].

При d_и<DW<4- d_и гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина - Уотсона.

Во - первых, он не применим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, то есть моделям авторегрессии. Для тестирования на автокорреляцию остатков моделей авторегрессии используется критерий h Дарбина.

Во - вторых, методика расчета и использования критерия Дарбина - Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы.

В третьих, критерий Дарбина - Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.

Литература

1. Бородич С.А. Эконометрика: Учебн. Пособие/С.А. Бородич. - Мн.: Новое знание, 2001.-480 с.

2. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования: Учеб. Пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ - ДАНА,2003. - 206 с.

3. Дубров А.М., Мхиторян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 352 с. Ил.

4. Колкот Э. проверка значимости: Пер. с анг. И.Ш. Амирова. - М.:Статистика,1978. - 127 с.

5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов ''/Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2000.-311 с.

6. Лук'яненко Г.Г., Краснікова Г.Г. Єконометрика: Підруник. - К.: Товариство „Знання”, КОО, 1998.- 494 с.

7. Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Єконометрія. - Вид. 2-е, допов. та перероб. К.: КНЕУ, 2000.- 296 с.

8. Суслов И.И. Общая теория статистики. Учебн. пособие. Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.:Статистика, 1978. -392 с.

9. Эконометрика: Учебник./Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 334 с.