Статистическое изучение взаимосвязей производственных показателей (на примере объема выпуска продукции и затрат на ее производство)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионально образования

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ ФИЛИАЛ В Г. БАРНАУЛЕ

Факультет Учетно-статистический

Курсовая работа по статистике на тему:

Статистическое изучение взаимосвязей производственных показателей (на примере объема выпуска продукции и затрат на ее производство)

Выполнила

Колышкина Людмила Вячеславовна

Специальность

Бухучет, анализ и аудит

№ личного дела 05УББ02167

Группа 3 Бп-2

Преподаватель

Щетинин Евгений Николаевич,

к.э.н., старший преподаватель

региональной кафедры бухгалтерского учета, аудита

Дата регистрации

Барнаул 2008

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ЧАСТЬ 1. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

1.1 Понятие о функциональной, статистической и корреляционной связях

1.2 Статистические методы выявления наличия корреляционной связи между двумя признаками

ЧАСТЬ 2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ. ЗАДАНИЕ

Задание 1

Задание 2

ВВЕДЕНИЕ

Для большинства статистических исследований финансового сектора экономики важно выявить существующие взаимосвязи между протекающими явлениями и процессами. И действительно, почти все наблюдаемые явления экономической жизни общества, какими бы независимыми они ни казались на первый взгляд, -- как правило, следствие действия определенных факторов. Например, объем выпуска продукции на предприятии, связан со множеством показателей: численностью работников, затратами на ее производство и т.п. Все статистические методы прогнозирования базируются на факте существования таких зависимостей, которые используются для построения эконометрических моделей.

ЧАСТЬ 1. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

1.1. Понятие о функциональной, статистической и корреляционной связях

Между общественными и экономическими явлениями имеется два основных типа связи -- функциональная и статистическая (называемая также стохастической, или вероятностной). Кроме того, выделяют корреляционную связь, которая, по существу, является лишь частным случаем статистической связи.

Вариация каждого изучаемого признака находится в тесной связи и взаимодействии с вариацией других признаков, характеризующих исследуемую совокупность единиц. Вариация объема выпуска продукции на предприятии зависит от применяемого оборудования, технологии, организации производства, затрат на ее производство и других самых различных факторов.

При изучении конкретных зависимостей одни признаки выступают в качестве факторов, обусловливающих изменение других признаков - это факторные признаки. Другие признаки, которые являются результатом влияния этих факторов, называются результативными. Например, при изучении зависимости между объемом выпуска продукции и затратами на ее производство, затраты являются факторным признаком, а объем выпуска - результативным признаком.

При функциональной связи изменение независимых переменных приводит к получению точно определенных значений зависимой переменной. Например, если обозначить через X независимую переменную, а через Y -- зависимую, связь Y = X³ + 5 будет функциональной, так как каждому значению X соответствует точно определенное значение Y (при Х= О значение Y = 5, при X= 3 значение Y =14 и т.д.), причем это значение не обязательно должно быть единственным. Так, функциональная зависимость вида Y= + 5 позволит получить не одно, а два значения Y (например, при Х= 1 значения Y = 4 и 6).

Наиболее часто функциональные связи проявляются при изучении физических явлений, например в механике функциональной является зависимость расстояния, пройденного объектом, от скорости его движения и т.п.

В сфере финансов и экономики функциональные зависимости также наблюдаются довольно часто - это плата за кредит, начисляемая на основе установленной процентной ставки; показатель доходности ценной бумаги, рассчитываемой по математической формуле, а следовательно, находящейся в функциональной зависимости от курса ценной бумаги; показатели рентабельности; фондоемкости и фондоотдачи, функционально зависящие от объема продукции и стоимости основных фондов, и т.д. Но гораздо чаще в экономике и финансовой сфере имеют дело с другим видом связи - статистической, которая, собственно говоря, и представляет интерес для статистического изучения [Салин, с.171].

При статистической связи каждому значению независимой переменной X соответствует множество значений зависимой переменной Y, причем неизвестно заранее, какое именно. Например, мы знаем, что объем выпуска продукции определенным образом связан с затратами на нее (этот факт, как говорится, не подлежит сомнению). Тем не менее, нельзя вычислить точную величину объема выпуска при заданном значении последнего показателя, так как он зависит еще и от множества других факторов, среди которых имеются и случайные. Их действие и приводит именно к статистической, а не функциональной зависимости. В нашем случае, скорее всего, мы определим лишь среднее значение объема продукции, которое будет получено в целом по совокупности предприятий со сходным объемом затрат на нее. Таким образом, статистическая связь отличается от функциональной наличием действия на зависимую переменную большого числа факторов, как выявленных с целью описания зависимости в математической форме (это факторные или независимые переменные), так и случайных, действие которых трудно учесть при построении модели или же учитывать нецелесообразно ввиду их слабого влияния на зависимую переменную.

Заметим, что статистическая связь проявляется лишь «в общем и среднем» при неограниченном увеличении числа наблюдений заявлением. Так, интуитивно мы можем предполагать, что существует зависимость между объемом основных фондов предприятия и получаемой им прибылью, а именно: с увеличением первого размер прибыли возрастает. Но на это можно возразить и привести пример предприятия, обладающего достаточным количеством современного производственного оборудования, и тем не менее терпящего убытки. В данном случае мы имеем наглядный пример статистической связи, которая проявляется лишь в больших совокупностях, содержащих десятки и сотни единиц в отличие от функциональной, подтверждающейся для каждого наблюдения.

В математических терминах статистическую связь можно определить как зависимость переменной Y от переменной X, при которой изменение независимой величины X приводит к изменению закона распределения зависимой величины Y.

Изучение законов распределения Y при различных значениях X -- достаточно сложный и трудоемкий процесс, требующий обработки огромного числа наблюдений. Поэтому на практике в целях моделирования ограничиваются рассмотрением наиболее простого случая статистической связи -- корреляционной.

Корреляционной является статистическая связь между признаками, при которой изменение значений независимой переменной X приводит к закономерному изменению математического ожидания случайной величины Y.

Поясним сказанное. Предположим, что независимая переменная X приняла значение х₁, тогда зависимая переменная Y примет множество значений {у₁₁, у₁₂, у₁₃…} с условным математическим ожиданием M (Y|X^:= x₁):

При Х = х₁ =>Y₁ {y₁₁,y_l2,y₁₃...} >M (Y|X=x_l).

Х = х₂ получим Y₂ { y₂₁,y₂₂,y₂₃...} >M (Y|X=x₂);

Х = х₃ => Y₃ { y₃₁,y₃₂,y₃₃...} >M (Y|X=x₃) и т.д.

Если имеются закономерности в изменении условных математических ожиданий при изменении значений X, рассматриваемая связь между Х и Y будет корреляционной.

Пример 1.1

Пусть X-- затраты на производство продукции в одной из отраслей промышленности, Y -- объем выпуска продукции. Ясно, что зависимость Y от Х не функциональная, а статистическая: на объем выпуска продукции помимо затрат на производство влияет множество других факторов, в том числе и случайных. Зафиксируем значение X затрат на производство, тогда Х = х₁ соответствует некоторое множество значений Y -- объем выпуска продукции, а именно: Y ₁ {y₁₁,y_l2,y₁₃...}, при X = х₂ это множество будет другим - Y₂ {у₂₁, у₂₂, у₂₃, ...} и т.д. Тогда условное математическое ожидание первого множества -- М (Y/X = х₁), второго -- M(Y/X = x₂) и т.д. Закономерное изменение условных математических ожиданий укажет нам на корреляционную связь между объемом выпуска продукции и затратами на ее производство. Исходя из того, что оценкой математического ожидания является среднее значение признака, по данным наблюдений для каждого множества будет достаточно вычислить средние значения ... и проследить за их изменением. Если же меняется не среднее значение, а какая-либо другая статистическая характеристика переменной Y, например, коэффициент асимметрии или эксцесса, связь останется статистической, но уже не будет корреляционной.

Корреляционная связь, как и функциональная, может быть прямой (положительной) или обратной (отрицательной) [Салин, с. 173]

Необходимо отметить, что экономической теории принадлежит решающее слово в обосновании связей между теми или иными признаками. При этом теоретический анализ должен показать, какие факторы влияют на исследуемый признак или же влияние каких факторов должно быть проверено. Статистическое выражение связи между явлениями может показать, что изменения одного из сопоставляемых признаков сопровождаются изменениями другого. Следовательно, нужно искать объяснение этим изменениям в их содержательном анализе. С помощью статистических методов изучения зависимостей можно установить, как проявляется теоретически возможная связь в данных конкретных условиях. Статистика не только отвечает на вопрос о реальном существовании намеченной теоретическим анализом связи, но и дает количественную характеристику этой зависимости. Зная характер зависимости одного явления от других, можно объяснить причины и размер изменений в явлении, а также планировать необходимые мероприятия для дальнейшего его изменения.

При исследовании корреляционных зависимостей между признаками решению подлежит широкий круг вопросов, к которым следует отнести: 1)предварительный анализ свойств моделирующей совокупности единиц; 2)установление факта наличия связи, определение ее направления и формы; 3) измерение степени тесноты связи между признаками; 4) построение регрессионной модели, т.е. нахождение аналитического выражения связи; 5) оценка адекватности модели, ее экономическая интерпретация и практическое использование.

Для того чтобы результаты корреляционного анализа нашли практическое применение и дали желаемый результат, должны применяться определенные требования в отношении отбора объекта исследования и признаков-факторов. Одним из важнейших требований правильного применения методов корреляционного анализа является требование однородности тех единиц, которые подвергаются изучению методами корреляционного анализа. Например, при корреляционном анализе зависимостей тех или иных технико-экономических показателей работы предприятий от определенных факторов должны быть отобраны предприятия, выпускающие однотипную продукцию, имеющие одинаковый характер технологического процесса и тип используемого оборудования, для предприятий добывающей промышленности определенную роль играет и географическое размещение предприятий.

При выполнении указанных общих требований далее необходима количественная оценка однородности исследуемой совокупности по комплексу признаков. Одним из возможных вариантов такой оценки является расчет относительных показателей вариации. Традиционно широкое распространение для этих целей получил коэффициент вариации. Несколько реже применяется отношение размаха вариации к среднеквадратическому отклонению. Вывод о неоднородности исследуемой совокупности по тому или иному признаку требует проверки гипотезы о принадлежности «выделяющихся» (аномальных) значений признака исследуемой генеральной совокупности. Другим важным требованием, обеспечивающим надежность выводов корреляционного анализа, является требование достаточного числа наблюдений. Как уже указывалось, влияние существенных причин может быть затушевано действием случайных факторов, «взаимопогашение» влияния которых на результативный показатель в известной мере происходит при выведении средней результативного показателя для массы случаев.

Определенные требования существуют и в отношении факторов, вводимых в исследование. Все множество факторов, оказывающих влияние на величину результативного показателя, в действительности не может быть введено в рассмотрение, да практически в этом и нет необходимости, так как их роль и значение в формировании величины результативного показателя могут иметь существенные различия. Поэтому при ограничении числа факторов, включаемых в изучение, наряду с качественным анализом целесообразно использовать и определенные количественные оценки, позволяющие конкретно охарактеризовать влияние факторов на результативный показатель (к оценкам можно отнести парные коэффициенты корреляции, ранговые коэффициенты при экспертной оценке влияния факторов и др.). Включаемые в исследование факторы должны быть независимыми друг от друга, так как наличие тесной связи между ними свидетельствует о том, что они характеризуют одни и те же стороны, изучаемого явления и в значительной мере дублируют друг друга. Все основные положения теории корреляции разрабатывались применительно к предположению о нормальном характере распределения исследуемых признаков. В этой связи целесообразным является изучение формы распределения, дающее возможность в известной мере обосновать правомерность применения методов корреляционного анализа. Проверку нормальности распределения зависимой переменной можно проводить при каждом фиксированном значении факторного признака или внутри каждого отдельного интервала группирования, на которые разбит диапазон изменения факторного признака, пользуясь различными критериями согласия. Для проверки исходной предпосылки нормальности распределения необходимо в каждой группе иметь достаточно большое количество наблюдений, что в практических исследованиях встречается довольно редко. Следует отметить, что на практике часто сталкиваются с теми или иными отклонениями от исходных предпосылок. Однако это не означает, что мы должны отказываться от применения методов корреляционно-регрессионного анализа. И наконец, при построении корреляционных моделей факторы должны иметь количественное выражение, иначе составить модель корреляционной зависимости не представляется возможным.

1.2. Статистические методы выявления наличия корреляционной связи между двумя признаками

Для ответа на вопрос о наличии или отсутствии корреляционной связи используется ряд специфических методов: так называемые элементарные приемы (параллельное сопоставление рядов значений результативного и факторного признаков, графическое изображение фактических данных с помощью поля корреляции, построение групповой и корреляционной таблиц), а такие дисперсионный анализ. Простейшим приемом обнаружения связи является сопоставление двух параллельных рядов - ряда значений факторного признака и соответствующих ему значений результативного признака. Значения факторного признака располагают в возрастающем порядке и затем прослеживают направление изменения величины результативного признака. Результативный признак (функцию) в дальнейшем будем обозначать через у, а факторный признак - через х.

Например, по 20 промышленным предприятиям были установлены затраты на производство продукции (факторный признак) и объем выпуска продукции (результативный признак). В табл. 1.2. предприятия ранжированы, по величине затрат на производство.

Таблица 1.2.1.(данные в примере условные)

№ предприятия	Затраты на производство, млн. руб.	Выпуск продукции, млн. руб.	№ предприятия	Затраты на производство, млн. руб.	Выпуск продукции, млн. руб.
1	15,0	20,1	11	17,0	23,6
2	15,0	20,9	12	17,0	22,3
3	15,0	20,7	13	17,0	23,9
4	15,0	20,8	14	18,0	24,2
5	16,0	21,5	15	18,0	24,1
6	16,0	22,0	16	18,0	24,3
7	16,0	21,7	17	18,0	24,5
8	16,0	22,8	18	19,0	25,3
9	17,0	22,9	19	19,0	25,2
10	17,0	23,2	20	19,0	25,1

Можно видеть, что в целом для всей совокупности предприятий увеличение затрат на производство продукции приводит к увеличению объемов выпуска, хотя в отдельных случаях наличие такой зависимости может и не усматриваться. Например, сопоставим данные по предприятиям с порядковыми номерами 8 и 12. Здесь мы видим даже обратное соотношение: у предприятия 12 выпуск продукции меньше, чем у предприятия 8 и составляет 22,8 млн. руб., хотя затраты на производство выше, чем у предприятия 8 на 1,0 млн. руб. В каждом отдельном случае объем выпуска продукции, будет зависеть не только от затрат на ее производство, но и от того, как сложатся прочие факторы, определяющие величину результативного признака.

В тех случаях, когда возрастание величины факторного признака влечет за собой возрастание и величины результативного признака, говорят о возможном наличии прямой корреляционной связи. Если же с увеличением факторного признака, величина результативного признака имеет тенденцию к уменьшению, то можно предполагать обратную связь между признаками.

Однако наличие большого числа различных значений результативного признака, соответствующих одному и тому же значению признака-фактора, затрудняет восприятие таких параллельных рядов особенно при большом числе единиц, составляющих изучаемую совокупность. В таких случаях целесообразнее воспользоваться для установления факта наличия связи статистическими таблицами - корреляционными или групповыми.

Построение корреляционной таблицы начинают с группировки значений факторного и результативного признаков. Так как в приводимом примере факторный признак представлен всего пятью вариантами повторяющихся значений, достаточно в первом столбце табл. 1.2. выписать эти результаты.

Для результативного признака необходимо определить величину интервала (i). Для этого воспользуемся формулой Стэрджесса:

i = = = 1,04 млн. руб.

В корреляционной таблице факторный признак x, как правило, располагают в строках, а результативный признак y - в столбцах (графах) таблицы. Числа, расположенные на пересечении строк и столбцов таблицы, означают частоту повторения данного сочетания значения х и у (см. табл. 1.2.2.).

Таблица 1.2.2.

Затраты на производство продукции	Выпуск продукции	Итого
	20,1 -21,14	21,14-22,18	22,18 -23,22	23,22-24,26	24,26 - 25,3
15	4					4
16		3	1			4
17			3	2		5
18				2	2	4
19					3	3
Итого	4	3	4	4	5	20

Данная корреляционная таблица уже при общем знакомстве дает возможность выдвинуть предположение о наличии или отсутствии связи, а также выяснить ее направление. Если частоты в корреляционной таблице расположены на диагонали из левого верхнего угла в правый нижний угол (т.е. большим значениям фактора соответствуют большие значения функции), то можно предположить наличие прямой корреляционной зависимости между признаками. Если же частоты расположены по диагонали справа налево, то предполагают наличие обратной связи между признаками.

Уместно подчеркнуть, что при рассмотрении корреляционной таблицы важно установить расположение основной части частот. Возможны варианты, когда все клетки корреляционной таблицы окажутся заполненными. Однако это обстоятельство еще не означает, что корреляционная связь между признаками отсутствует. Нужно установить, как расположена в таблице основная масса частот.

Корреляционная таблица позволяет сжато, компактно изложить материал, поэтому все последующие расчеты (показателей тесноты связи и параметров уравнения регрессии) можно вести по корреляционной таблице.

Другим возможным приемом обнаружения связи является построение групповой таблицы. Все наблюдения разбиваются на группы в зависимости от величины признака-фактора, и по каждой группе вычисляются средние значения результативного признака (см. табл. 1.2.3).

Таблица 1.2.3

Группы предприятий по затратам на пр-во млн. руб.	Количество предприятий в группе	Средний объем выпуска продукции, млн. руб.
15	4	20,6
16	4	22,0
17	5	23,2
18	4	24,3
19	3	25,2
Итого	20

Сравнив средние значения результативного признака по группам, можно сделать вывод, что рост затрат на производство влечет за собой увеличение объемов выпуска продукции, т.е. в рассматриваемом примере можно предположить наличие прямой корреляционной зависимости между признаками.

Корреляционная зависимость отчетливо обнаруживается только при рассмотрении средних значений результативного признака, соответствующих определенным значениям факторного признака, так как при достаточно большом числе наблюдений в каждой группе влияние прочих случайных факторов при расчете групповой средней будет взаимопогашаться и четко наступит зависимость результативного признака от фактора, положенного в основу группировки. Иными словами, предполагается, что все прочие причины, если они носят случайный характер, при определении средней по группам взаимопогашаются, т.е. дают в каждой группе один и тот же результат. Следовательно, различия в величине средних будут связаны только с различиями в величине данного факторного признака. Если бы связи между факторным и результативным признаком не было, то все групповые средние были бы приблизительно одинаковыми по величине.

Для предварительного выявления наличия связи и раскрытия ее характера, а в известной мере и для выбора формы связи применяют графический метод. Используя данные об индивидуальных значениях признака-фактора и соответствующих ему значениях результативного признака, можно построить в прямоугольных координатах точечный график, который называют «полем корреляции». Для нашего примера «поле корреляции» имеет следующий вид (см. рис. 1.2.1.)

Рис. 1.2.1. Зависимость объемов выпуска продукции (y) от затрат на производство (x)

Положение каждой точки на графике определяется величиной двух признаков - уровнем объемов выпуска продукции и соответствующей величиной затрат на ее производство по каждому предприятию. Точки корреляционного поля не лежат на одной линии, они вытянуты определенной полосой слева направо. Имеющийся в нашем распоряжении статистический материал был сгруппирован и по каждому значению затрат на производство определены значения средней величины объема выпуска (табл. 1.2.3) Нанеся эти средние на график и соединяя последовательно отрезками прямых соответствующие им точки, получим так называемую эмпирическую линию связи.

Если эмпирическая линия связи по своему виду приближается к прямой линии, то можно предположить наличие прямолинейной корреляционной связи между признаками. Если же имеется тенденция неравномерного изменения значений результативного признака, и эмпирическая линия связи будет приближаться к какой-либо кривой, то это может быть связано с наличием криволинейной корреляционной связи.

Например, по 20 промышленным предприятиям были установлены выпуск продукции (факторный признак) и затраты на ее производство (результативный признак). В табл. 1.2. предприятия ранжированы, по величине объема выпуска.

Таблица 1.2.1.(данные в примере условные)

№ предпри- ятия	Выпуск продукции, млн. руб.	Затраты на производство, млн. руб.	№ предприятия	Выпуск продукции, млн. руб.	Затраты на производство, млн. руб.
1	21,0	15,1	11	23,0	18,3
2	21,0	15,9	12	23,0	19,7
3	21,0	15,7	13	23,0	20,0
4	22,0	15,8	14	24,0	21,2
5	22,0	16,5	15	24,0	21,6
6	22,0	16,0	16	24,0	20,9
7	22,0	17,4	17	24,0	22,5
8	22,0	20,1	18	25,0	23,3
9	23,0	18,3	19	25,0	23,2
10	23,0	20,5	20	25,0	23,1

Можно видеть, что в целом для всей совокупности предприятий увеличение выпуска продукции приводит к увеличению затрат на ее производство, хотя в отдельных случаях наличие такой зависимости может и не усматриваться. Например, сопоставим данные по предприятиям с порядковыми номерами 8 и 12. Здесь мы видим даже обратное соотношение: у предприятия 12 затраты на производство меньше, чем у предприятия 8 и составляет 19,7 млн. руб., хотя объем выпуска продукции больше, чем у предприятия 8 на 1,0 млн. руб. В каждом отдельном случае затраты на производство продукции на предприятии, будет зависеть не только от объема выпуска продукции, но и от того, как сложатся прочие факторы, определяющие величину результативного признака.

В тех случаях, когда возрастание величины факторного признака влечет за собой возрастание и величины результативного признака, говорят о возможном наличии прямой корреляционной связи. Если же с увеличением факторного признака, величина результативного признака имеет тенденцию к уменьшению, то можно предполагать обратную связь между признаками.

Однако наличие большого числа различных значений результативного признака, соответствующих одному и тому же значению признака-фактора, затрудняет восприятие таких параллельных рядов особенно при большом числе единиц, составляющих изучаемую совокупность. В таких случаях целесообразнее воспользоваться для установления факта наличия связи статистическими таблицами - корреляционными или групповыми.

Построение корреляционной таблицы начинают с группировки значений факторного и результативного признаков. Так как в приводимом примере факторный признак представлен всего пятью вариантами повторяющихся значений, достаточно в первом столбце табл. 1.2. выписать эти результаты.

Для результативного признака необходимо определить величину интервала (i). Для этого воспользуемся формулой Стэрджесса:

i = = = 1,64 млн. руб.

В корреляционной таблице факторный признак x, как правило, располагают в строках, а результативный признак y - в столбцах (графах) таблицы. Числа, расположенные на пересечении строк и столбцов таблицы, означают частоту повторения данного сочетания значения х и у (см. табл. 1.2.2.).

Таблица 1.2.2.

Выпуск продукции	Затраты на производство продукции	Итого
	15,1 -16,74	16,74 - 8,38	18,38 -20,02	20,02 - 1,66	21,66 - 23,3
21	3					3
22		4	1			5
23			4	1		5
24				3	1	4
25					3	3
Итого	3	4	5	4	4	20

Данная корреляционная таблица уже при общем знакомстве дает возможность выдвинуть предположение о наличии или отсутствии связи, а также выяснить ее направление. Если частоты в корреляционной таблице расположены на диагонали из левого верхнего угла в правый нижний угол (т.е. большим значениям фактора соответствуют большие значения функции), то можно предположить наличие прямой корреляционной зависимости между признаками. Если же частоты расположены по диагонали справа налево, то предполагают наличие обратной связи между признаками.

Уместно подчеркнуть, что при рассмотрении корреляционной таблицы важно установить расположение основной части частот. Возможны варианты, когда все клетки корреляционной таблицы окажутся заполненными. Однако это обстоятельство еще не означает, что корреляционная связь между признаками отсутствует. Нужно установить, как расположена в таблице основная масса частот.

Корреляционная таблица позволяет сжато, компактно изложить материал, поэтому все последующие расчеты (показателей тесноты связи и параметров уравнения регрессии) можно вести по корреляционной таблице.

Другим возможным приемом обнаружения связи является построение групповой таблицы. Все наблюдения разбиваются на группы в зависимости от величины признака-фактора, и по каждой группе вычисляются средние значения результативного признака (см. табл. 1.2.3).

Таблица 1.2.3

Группы предприятий по выпуску продукции, млн. руб.	Количество предприятий в группе	Средние затраты на производство продукции, млн. руб.
21	3	15,6
22	5	17,2
23	5	19,4
24	4	21,6
25	3	23,2
Итого	20

Сравнив средние значения результативного признака по группам, можно сделать вывод, что рост объемов выпуска продукции влечет за собой увеличение затрат на ее производство, т.е. в рассматриваемом примере можно предположить наличие прямой корреляционной зависимости между признаками.

Корреляционная зависимость отчетливо обнаруживается только при рассмотрении средних значений результативного признака, соответствующих определенным значениям факторного признака, так как при достаточно большом числе наблюдений в каждой группе влияние прочих случайных факторов при расчете групповой средней будет взаимопогашаться и четко наступит зависимость результативного признака от фактора, положенного в основу группировки. Иными словами, предполагается, что все прочие причины, если они носят случайный характер, при определении средней по группам взаимопогашаются, т.е. дают в каждой группе один и тот же результат. Следовательно, различия в величине средних будут связаны только с различиями в величине данного факторного признака. Если бы связи между факторным и результативным признаком не было, то все групповые средние были бы приблизительно одинаковыми по величине.

Для предварительного выявления наличия связи и раскрытия ее характера, а в известной мере и для выбора формы связи применяют графический метод. Используя данные об индивидуальных значениях признака-фактора и соответствующих ему значениях результативного признака, можно построить в прямоугольных координатах точечный график, который называют «полем корреляции». Для нашего примера «поле корреляции» имеет следующий вид (см. рис. 1.2.1.)

Рис. 1.2.1. Зависимость затрат на производство продукции (y) от объемов выпуска (x)

Положение каждой точки на графике определяется величиной двух признаков - уровнем объемов выпуска продукции и соответствующей величиной затрат на ее производство по каждому предприятию. Точки корреляционного поля не лежат на одной линии, они вытянуты определенной полосой слева направо. Имеющийся в нашем распоряжении статистический материал был сгруппирован и по каждому значению выпуска продукции на предприятии определены значения средней величины затрат в группе (табл. 1.2.3) Нанеся эти средние на график и соединяя последовательно отрезками прямых соответствующие им точки, получим так называемую эмпирическую линию связи.

Если эмпирическая линия связи по своему виду приближается к прямой линии, то можно предположить наличие прямолинейной корреляционной связи между признаками. Если же имеется тенденция неравномерного изменения значений результативного признака, и эмпирическая линия связи будет приближаться к какой-либо кривой, то это может быть связано с наличием криволинейной корреляционной связи.

ЧАСТЬ 2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из отраслей промышленности региона в отчетном году (выборка 20%-ная механическая), млн. руб.:

Задание 1

По исходным данным:

1. Постройте статистический ряд распределения по признаку - выпуск продукции, образовав пять групп с равными интервалами.

2. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, моду и медиану.

Сделайте выводы по результатам выполнения задания.

Задание 2

По исходным данным:

1. Установите наличие и характер связи между признаками - выпуск продукции и затраты на производство продукции методом аналитической группировки, образовав пять групп с равными интервалами по факторному признаку.

2. Измерьте тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициентов детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Сделайте выводы по результатам выполнения задания.

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:

1. Ошибку выборки среднего выпуска продукции и границы, в которых будет находиться средний выпуск продукции в генеральной совокупности.

2. Ошибку выборки доли организаций с выпуском продукции 53,28 млн. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Задание 4

Имеются следующие данные о выпуске и себестоимости продукции по организации:

Определите:

1. Затраты на производство каждого вида и в целом по двум видам продукции в отчетном и базисном периодах.

2. Абсолютное и относительное измерения затрат на производство в отчетном периоде по сравнения с базисным вследствие измерения производства продукции, себестоимости единицы продукции и двух факторов вместе:

• по каждому виду продукции;

• по двум видам продукции вместе.

Результаты расчетов представьте в таблице.

Сделайте выводы.

Решение:

Задание 1:

1.1. По колонке выпуск продукции построю интервальный вариационный ряд (табл. 1). Величина интервала равна:

i= (x_max - x_min)/n,

где x_max и x_min - максимальное и минимальное значение признака,

i - число групп.

i = (79,2 - 14,4)/ 5 = 12,96

Таблица 2.1.

Вывод:

Наиболее представительными являются предприятия с выпуском продукции в пределах от 27,36 до 40,32 млн. руб., т.к. эти предприятия занимают 30% от общей совокупности предприятий, следовательно, это наиболее чаще встречающиеся размеры выпуска продукции.

1.2. Рассчитаю среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, моду и медиану (табл. 2, табл. 3).

Средняя арифметическая взвешенная:

= ?xf / ?f, где х - значение признака,f - веса средней или частота.

Среднее квадратическое отклонение взвешенное: у = (?(x-)²/?f )

Коэффициент вариации используется для определения типичности средней величины: V = у /

Таблица 2.2.

Вывод: Средняя величина выпуска продукции составляет 44,64 млн.руб., среднее квадратическое отклонение показывает, что значение признаков в совокупности отклоняется от средней величины на 15,365.

Коэффициент вариации отражает свойства совокупности, т.к. его значение (0,34) меньше, чем 0,4.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

В этой задаче наибольшее число предприятий (9) имеет выпуск продукции от 27,36 до 40,32 млн. руб.. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем следующие обозначения:

=27,36, =12,96, =9, =4, =8.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:

где -- начальное значение интервала, содержащего медиану;

-- величина медианного интервала;

-- сумма частот ряда;

-- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

-- частота медианного интервала.

Таблица 2.3.

Распределение предприятий по выпуску продукции

В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (21), соответствует интервалу 40,32 - 53,28 млн. руб. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что:

Следовательно, .

Вывод: В данной совокупности наиболее распространенная величина выпуска продукции 38,16 млн. руб.

50% предприятий имеет величину выпуска продукции меньше 43,56 млн. руб., а 50% - имеют больше 43,56 млн. руб.

Задание 2:

2.1. Методом аналитической группировки образованы пять групп с равными интервалами по факторному признаку (см. табл. 1).

Определим интервал и границы пяти групп по результативному признаку (затраты на производство продукции) по формуле:

i= (x_max - x_min)/n,

где x_max и x_min - максимальное и минимальное значение признака,

i - число групп.

i = (60,984 - 12,528)/ 5 = 9,691

Построим корреляционную таблицу связи между признаками - выпуск продукции и затраты на производство продукции (табл.4).

Таблица 2.4.

Вывод: Характер концентрации частот по диагонали корреляционной таблицы свидетельствует о наличии прямой тесной корреляционной связи между изучаемыми признаками.

2.2. Измерим тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициентов детерминации и эмпирического корреляционного отношения. Для этого составим таблицу 5 и таблицу 6.

Таблица 2.5.

Таблица 2.6.

Вычислим общую дисперсию по формуле:

где-- общая средняя для всей изучаемой совокупности.

у_о²= 3873,771/30=129,126.

Вычислим межгрупповую дисперсию по формуле:

где -- средняя по отдельным группам; -- средняя общая; -- численность отдельных групп.

д² = ((17,784-35,654)²*4+(29,224-35,654)²*9+(36,443-35,654)²*8(45,733-35,654)²*6+(56,509-35,654)²*3)/30 = 118,958

Выявить зависимость результатов от определяющих факторов позволяет коэффициент детерминации:

з² = 118,958/129,126 = 0,921

Эмпирическое корреляционное отношение показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками:

з = ?0,921 = 0,96.

Вывод:

Аналитическая группировка показывает, что с ростом величины выпуска продукции растут затраты на ее производство. Между исследуемыми признаками существует сильная связь.

Задание 3:

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:

1. Ошибку выборки среднего выпуска продукции и границы, в которых будет находиться средний выпуск продукции в генеральной совокупности.

2. Ошибку выборки доли организаций с выпуском продукции 53,28 млн. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

3.1.Для бесповторной выборки расчетные формулы средней ошибки выборки примут такой вид:

1) для средней количественного признака

м_х = v S²/n(1-n/N),

2)для доли (альтернативного признака)

м_w = vw (1-w)/n • (1-n/N)

где S² - выборочная дисперсия;

N - объем генеральной совокупности;

n - объем выборки;

w - выборочная доля.

Так как выборка 20%-ная механическая n/N = 0,2, (n=30).

S^{2 ?} у² ? (15,365)² = 236,079

м_х = v 236,079/30(1-0,2) = v7,869 • 0,8 = v 6,295 = 2,509 млн. руб.

м_w =v0,3 (1-0,3)/30 •(1-0,2) = 0,075 млн. руб.

Предельную ошибку выборки для средней (?_х) при бесповторном отборе можно рассчитать по формуле:

?_х = t•м_x

?_w = t •м_w, где t - нормированное отклонение - “коэффициент доверия”, зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки, а так как в нашем случае t = 1, то ?_х = 2,509 млн. руб., ?_w = 0,075 млн. руб.

Предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы :

для средней хґ = х ± ?_х х - ?_х ? хґ = х +?_х

для доли p = w ±?_w w - ?_w ? p ? w + ?_w

Границы, в которых находится фондоотдача во всей совокупности:

1,09 - 0,051? хґ = 1,09 + 0,051 1,039 ? хґ = 1,141

3.2. Границы, в которых находится доля предприятий с фондоотдачей 1,14 руб. и выше во всей совокупности

0,3 - 0,075 ? p ? 0,3 + 0,075 0,225 ? p ? 0,375

22,5%? p ? 37,5%

Таким образом, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что средний уровень фондоотдачи на предприятиях колеблется от 1,039 до 1,141, а доля организаций с уровнем фондоотдачи 1,14 и более - в границах от 22,5 % до 37,5%.