28

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

ГОУ ВПО «Самарский государственный университет»

Факультет Экономики и управления

Кафедра менеджмента

Специальность менеджмент организации

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ

Контрольная работа

Вариант №12

Выполнил студент

2 курса _____ группы

Рожков Александр Владимирович

«____» ______________ 2005г.

Научный руководитель

Прокопенко А.С.

«____» ______________ 2005г.

оценка ______________

Самара 2005Содержание

Содержание2

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Задача №4

Задача №5

Задача №6

Задача №7

Список использованных источников

Задача №1

Найти: Рассчитать средний процент брака, дисперсию, среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации.

Дано:

Таблица 1. Размер брака за месяц.

Вид продукции	Процент брака	Стоимость бракованной продукции (тыс.руб.)
2121	2,6	510
2108	3,2	360
2110	4,8	310
2106	1,9	140

Решение:

Средний процент брака находится по формуле:

[1.1]

где W_i - стоимость i-ой бракованной продукции,

X _i - процент брака i-ой продукции.

В результате вычислений получаем, что средний процент брака по производимым видам продукции составляет:

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонения индивидуальных значений признака от их средней величины и вычисляется по формуле:

[1.2]

где X _i - процент брака i-ой продукции,

n - количество видов продукции.

В результате вычислений получаем, что дисперсия равна:

Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. В данном случае варианты признака выражены в первой степени, значит, и мера их вариации также должна быть взята в первой степени. Для этого достаточно извлечь из дисперсии корень второй степени, получится среднее квадратическое отклонение. Значит, среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

[1.3]

В результате вычислений, получаем, что среднее квадратическое отклонение равно:

Коэффициент вариации вычисляется как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднеквадратического отклонения к средней арифметической или медиане:

[1.4]

В результате вычислений, получаем, что коэффициент вариации равен:

Если коэффициент вариации не более 33%, то рассматриваемая статистическая совокупность считается однородной, в нашем случае совокупность неоднородна.

Задача №2

Найти: 1. Цепные и базисные показатели абсолютного прироста, темпов роста и темпов прироста. 2. Средний уровень ряда, среднегодовой темп роста и прироста, среднегодовой абсолютный прирост. 3. Абсолютное значение 1% прироста. Результаты вычислений представить в таблице.

Дано:

Таблица 2. Объем продукции /млн.руб./ в 2000-2004г.

Годы	2000	2001	2002	2003	2004
Объем	56	59,8	67,2	72,8	81

Решение:

Абсолютный прирост характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста:

[2.1]

где i = 1,2,3,4,5.

Если k = 1, то уровень y_i-1 является предыдущим для данного ряда, а абсолютные приросты изменения уровня будут цепными. Если же k постоянно для данного ряда, то абсолютные приросты будут базисными.

Исходя из результатов, записанных в таблицу 2.1., следует, что абсолютный прирост характеризуется увеличением объема продукции, причем как цепной, так и базисный.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени. В качестве базисного уровня в зависимости от цели исследования может приниматься какой-то постоянный для всех уровень, либо для каждого последующего предшествующий ему:

[2.2]

или

[2.3]

Темп прироста характеризует относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени. Темп прироста показывает, на какую долю (или процент) уровень данного периода или момента времени больше (или меньше) базисного уровня. Темп прироста есть отношение абсолютного прироста к уровню ряда, принятого за базу:

[2.4]

Темпы прироста характеризуются наличием положительной тенденции роста.

Абсолютное значение одного процента прироста представляет собой одну сотую часть базисного уровня и в то же время - отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу прироста:

[2.5]

Абсолютное значение одного процента прироста служит косвенной мерой базисного уровня и вместе с темпом прироста позволяет рассчитать абсолютный прирост уровня за рассмотренный период. Значение данного показателя возрастает на протяжении рассматриваемого периода.

Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны. Для интервальных рядов с равноотстоящими уровнями средний уровень находится по формуле средней арифметической простой:



[2.6]

где y_i - уровень ряда динамики;

n - число уровней;

t_i - длительность интервала времени между уровнями.

Обобщающим показателем скорости изменения явления во времени является средний абсолютный прирост. Этот показатель дает возможность установить, насколько в среднем за единицу времени должен увеличиваться уровень ряда, чтобы, отправляясь от начального уровня за данное число периодов, достигнуть конечного уровня. Для его определения воспользуемся формулой средней арифметической простой:

[2.7]

Данный показатель говорит о том, что за единицу времени уровень ряда должен увеличиться на 6,3 , чтобы отправляясь от начального уровня за данное число периодов, достигнуть конечного уровня.

Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний темп роста, показывающий, во сколько раз в среднем за единицу времени изменился уровень динамического ряда.

[2.8]

В результате средний темп роста составляет 1,1 или 110%.

Средний темп прироста не может быть определен непосредственно на основании последовательных темпов прироста или показателей среднего абсолютного прироста. Для его вычисления необходимо вначале найти средний темп роста, а затем уменьшить его на единицу, или 100%:

= [2.9]

В результате средний темп прироста составляет 0,1 или 10%.

Год	Млн. руб	Абсолютный прирост, млн. руб.	Темп роста, %	Темп прироста, %	Абсолют-ное значение одного процента прироста, млн. руб.	Сред-ний уровень ряда	Сре-днего-довой темп роста	Сре-днего-довой темп при-роста	Сре-днего-довой абсо-лют-ный при-рост
		по сравнению с предыду-щим годом	по сравне-нию с 2000г.	по сравнению с предыду-щим годом	по сравне-нию с 2000г.	по сравнению с предыду-щим годом	по сравне-нию с 2000г.
2000	56	-	-	-	100	-	-	-	67,4	1,1	0,1	6,3
2001	59,8	3,8	3,8	106,8	106,8	6,8	6,8	0,6
2002	67,2	7,4	11,2	112,4	120,0	12,4	20,0	0,6
2003	72,8	5,6	16,8	108,3	130,0	8,3	30,0	0,7
2004	81	8,2	25	111,3	144,6	11,3	44,6	0,7

Таблица 2.1. Результаты вычислений.

Задача №3

Найти: По приведенным данным, стаж работы 25 рабочих, построить интервальный ряд распределения, выделив 5 закрытых интервалов. Рассчитать коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, коэффициент вариации. Определить модальный и медианный стаж работы.

Дано:

Таблица 3.1. Данные для расчетов.

Рабочий	Лет
9	1
16	1
3	2,2
10	3
22	3
23	3
7	3,2
8	4
5	4,1
14	5
2	4,64
11	6
21	6
1	7
13	7
12	9
18	10
15	11
25	13
24	15
4	17
6	20
17	21
19	25
20	26

Решение:

Для анализа и статистического исследования информация формируется в массивы, поэтому дальнейшим этапом является группировка значений признаков по выбранному направлению исследования. Размах вариации рассчитывают как разность между наибольшим и наименьшим значениями варьирующего признака:

[3.1]

Шаг статистической вероятности определяется по формуле:

[3.2]

Таблица 3.2. Интервальный ряд распределения.

Nnm	Интервал	Колич. Работников	d,%
1	1-6	13	52
2	6-11	5	20
3	11-16	2	8
4	16-21	3	12
5	21-26	2	8

Средний процент работников интервала находится по формуле:

[3.3]

где W_i - число работников i-ого интервала,

X _i - процент работников i-ого интервала от общего числа.

В результате вычислений получаем, что средний процент работников:

То есть данная величина показывает средний процент распределения работников по интервалам.

Коэффициент осцилляции равен отношению амплитуды к среднему проценту работников интервала:

[3.4]

Среднее линейное отклонение вычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант по следующей формуле:

[3.5]

При большом отклонении d от x совокупность считается неоднородной.

Линейный коэффициент вариации вычисляется как отношение среднего линейного отклонения средней арифметической:

[3.6]

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонения индивидуальных значений признака от их средней величины и вычисляется по формуле:

[3.7]

где X _i - процент работников i-ого интервала от общего числа,

n - количество групп.

В результате вычислений получаем, что дисперсия равна:

Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. В данном случае варианты признака выражены в первой степени, значит, и мера их вариации также должна быть взята в первой степени. Для этого достаточно извлечь из дисперсии корень второй степени, получится среднее квадратическое отклонение. Значит, среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

[3.8]

В результате вычислений, получаем, что среднее квадратическое отклонение равно:

[3.9]

По данной формуле д=0,16 и близко к нормальному, что свидетельствует о том, что выводы по совокупности делаются более уверенней.

Коэффициент вариации вычисляется как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднеквадратического отклонения к средней арифметической или медиане:

[4.0]

В результате вычислений, получаем, что коэффициент вариации равен:

Если коэффициент вариации не более 33%, то рассматриваемая статистическая совокупность считается однородной, в нашем случае совокупность неоднородна.

Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Модальный стаж составляет 6 лет.

Медианный стаж составляет 3 года.

Задача №4

Найти: Рассчитать 1. Индивидуальные индексы количества продаж, товарооборота и цен. 2. Общие индексы товарооборота, физического объема продаж и цен. 3. Изменение товарооборота по отдельным товарам и по всем товарам. 4. Изменение товарооборота за счет влияния факторов - количество продаж и цены.

Дано:

Таблица 4.1. Товарооборот магазина за 2 месяца - март и май.

Товары	Цена 1 кг руб.	Товарооборот, тыс руб
	март	май	март	май
Сыр	120	125	139,4	153,2
Колбаса	150	160	175,6	184,4

Решение:

Индивидуальные индексы получают в результате сравнения однотоварных явлений. Представляют собой относительные величины динамики, выполнения плана, сравнения, и их расчет не требует знания специальных правил.

Индивидуальный индекс количества продаж показывает во сколько возросло (уменьшилось) количество продаж:

[4.1]

Количество продаж по товару «сыр» возросло в 1,055 раза в текущем периоде по сравнению с базисным.

Количество продаж по товару «колбаса» уменьшилось в 0,984 раза в текущем периоде по сравнению с базисным.

Индивидуальный индекс товарооборота продукции отражает, во сколько раз изменился товарооборот какого-либо товара в текущем периоде по сравнению с базисным:

[4.2]

Товарооборот по товару «сыр» возрос в 1,099 раза в текущем периоде по сравнению с базисным.

Товарооборот по товару «колбаса» возрос в 1,050 раза в текущем периоде по сравнению с базисным.

Индивидуальный индекс цен представляет собой изменение цен продукции в текущем периоде по сравнению с базисным:

[4.3]

Цены по товару «сыр» возросли в 1,042 раза в текущем периоде по сравнению с базисным.

Цены по товару «сыр» возросли в 1,067 раза в текущем периоде по сравнению с базисным.

Общий индекс товарооборота представляет собой отношение товарооборота продукции текущего периода к товарообороту продукции в базисном периоде и определяется по формуле:

[4.4]

В результате вычислений получаем, что товарооборот в текущем периоде возрос в 1,072 по сравнению с базисным.

Общий индекс физического объема продаж показывает отношение условной стоимости произведенных в текущем периоде товаров в ценах базисного периода, к фактической стоимости товаров, произведенных в базисном периоде:

[4.5]

Показывает, что стоимость продукции возросла в 1,016 раз из-за увеличения объема производства сыра и уменьшения объема производства колбасы.

Индекс цен - это индекс качественного показателя. Индексируемой величиной будет цена товара, так как этот индекс характеризует изменение цен. Весом будет выступать количество произведенных товаров.

Индекс цен определяется по формуле:

[4.6]

где в числителе дроби - фактическая стоимость продукции текущего периода, а в знаменателе - условная стоимость тех же товаров в ценах базисного периода.

Индекс показывает, что стоимость продукции возросла в 1,055 раза из-за изменения цен.

Изменение товарооборота по отдельным товарам находится из разницы товарооборота текущего периода и товарооборота базисного периода:

[4.7]

Изменение товарооборота по сыру составляет 13,8 тыс.руб.

Изменение товарооборота по колбасе составляет 8,8 тыс.руб.

Изменение товарооборота по всем товарам находится как среднее арифметическое от изменения товарооборота по отдельным товарам:

[4.7]

Изменение товарооборота по всем товарам составляет 11,3 тыс.руб.

Товарооборот можно представить как произведение количества товара на его цену. Точно такая же связь существует и между индексами стоимости, физического объема и цен, т.е.:

[4.7]

Разность числителя и знаменателя каждого индекса-сомножителя выражает размер изменения общей абсолютной величины под слиянием изменения одного фактора:

[4.8]

Изменение товарооборота за счет влияния факторов количество продаж и цены составляет 11,3 тыс.руб.

Задача №5

Найти: Рассчитать сводные индексы цен, физического объема реализации и товарооборота, а также величину перерасхода (экономии) покупателей от изменения цен.

Дано:

Таблица 5. Товарооборот магазина за 2 месяца.

Продукты	Цена в январе, руб.	Цена в феврале, руб.	Продано в январе	Продано в феврале
Чай, пачка	17,4	17,2	2620	2660
Кофе, пачка	23,6	26	1560	1760
Сыр, кг	86	88	560	660
Колбаса, кг	96	101	920	996

Решение:

Сводный индекс цен определяется по следующей формуле:

[5.1]

где в числителе дроби - фактическая стоимость продукции текущего периода, а в знаменателе - условная стоимость тех же товаров в ценах базисного периода.

Индекс показывает, что стоимость продукции возросла в 1,042 раза в результате изменения цен в феврале по сравнению с январем.

Сводный индекс объема реализации - индекс количественного показателя, то весами будут цены базисного периода. Тогда формула индекса примет следующий вид:



[5.2]

где в числителе дроби - условная стоимость произведенных в текущем периоде товаров в ценах базисного периода, а в знаменателе - фактическая стоимость товаров, произведенных в базисном периоде

Индекс показывает, что стоимость продукции возросла в 1,097 раза из-за роста объема ее производства в феврале, по сравнению с январем.

Сводный индекс товарооборота представляет собой отношение стоимости продукции текущего периода к стоимости продукции в базисном периоде и определяется по формуле:

[5.3]

Индекс показывает, что товарооборот возрос в 1,143 раза в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Величина перерасхода покупателей в расчете на единицу продукции может быть найдена как разница в ценах продуктов в феврале и январе, т.е.

?p=p1-p0 [5.4]

Таблица 5.1. Величина перерасхода

Продукты	Величина перерасхода
Чай, пачка	-0,2
Кофе, пачка	2,4
Сыр, кг	2
Колбаса, кг	5

По результатам, представленным в таблице можно судить, что по всем продуктам, кроме чая наметилось повышение уровня цен, и следовательно величина перерасхода положительная.

Задача №6

Найти: Произвести сглаживание уровня ряда динамики с помощью аналитического выражения. Выразить тенденцию развития производства соответствующим математическим уравнением. Определить выравненные (теоретические) уровни ряда динамики и нанести их на график с фактическими данными. Рассчитать прогноз на 2003-2007 годы. Сделать выводы.

Дано:

Таблица 6. Объем производства продукции предприятия.

Годы	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
Тысяч. Штук	31	31,8	35	39,2	34,8	33,8	39	42,2	45,2

Решение:

Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем - средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д.

m=3, где m - интервал сглаживания.

p=(m-1)/2=1.

[6.1]

В результате вычислений получается следующий ряд, по которому строим график рис. 6.2:

Таблица 6.1. Сглаженный ряд.

1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
32,600	35,333	36,333	35,933	35,867	38,333	42,133

Рис. 6.2. Графическое изображение сглаженного ряда.

Тенденцию развития производства выразим линейным и квадратным уравнением:

[6.2]

В результате предстоит решить систему уравнений путем подстановки:

а0+а1*1=31
а0+а1*9=45,2

В результате получаем а0=29,225 и а1=1,775 и уравнение принимает следующий вид:

[6.3]

Квадратное уравнение имеет следующий вид:

[6.4]

В результате необходимо решить следующую систему уравнений, любым известным способом, например методом Гаусса:

a0+a1+a2=31
a0+a1*5+a2*25=34,8
a0+a1*9+a2*81=45,2

Составляем матрицу из коэффициентов и последовательно преобразуем до тех пор когда ниже главной диагонали у нас будут располагаться нули:

Начальный вид: 1 1 2 31 1 5 25 34,8 1 9 81 45,2	Конечный вид: 1 1 2 31 0 4 23 3,8 0 0 33 6,6

a0=31
a1=-0,2
a2=0,2

В результате получаем:

И квадратное уравнение принимает следующий вид:

[6.5]

Рис. 6.3. Выравненные уровни ряда динамики.

Наиболее распространенным методом прогнозирования считают аналитическое выражение тренда. По данным линейного и квадратного уравнения можно сделать прогноз на 2003-2007 года, результаты прогноза представлены в таблице:

Таблица 6.2. Прогноз на 2003-2007 года.

	2003	2004	2005	2006	2007
Линейное уравнение	48,75	50,525	52,3	54,075	55,85
Квадратное уравнение	53	57,4	62,2	67,4	73

Полученный прогноз говорит о увеличении уровня объема производства продукции, но как мы знаем любой статистический прогноз носит приблизительный характер.

Задача №7

Найти:

Определить вид корреляционной зависимости, построить уравнение регрессии, рассчитать параметры уравнения вычислить тесноту связи.

Дано:

Таблица 7. Статистические данные объема производства и размера прибыли 10 предприятий /млн.руб/.

Номер предприятия	Объем производства	Размер прибыли
1	357,4	36
2	372,6	37
3	381,6	38
4	387,4	39
5	412,4	41
6	417,4	42
7	422,4	43
8	501,2	50
9	557,4	55
10	512,4	51

Решение:

Рассмотрев данный динамический ряд мы замечаем, что размер прибыли возрастает линейно относительно объема производства, следовательно корреляционная зависимость имеет линейный вид.

[7.1]

Требуется решить следующую систему уравнений:

36=а0+а1*357,4
51=а0+а1*512,4

а0=1,413

а1=0,096

Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемые признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.

[7.2]

В результате вычислений r=0,999.

Линейный коэффициент корреляции имеет большое значение при исследовании социально-экономических явлений и процессов, распределение которых близко к нормальному. Оценка линейного коэффициента корреляции дает нам информацию о том, что при 0<r<1, характер связи прямая, интерпретация связи - с увеличением Х увеличивается У. То есть при увеличении объема производства, соответственно увеличивается и размер прибыли.

Список использованных источников

1. Шмойлова Р.А. Теория статистики. - М.: Финансы и статистика, 2002.

2. Шмойлова Р.А. Практикум по теории статистики. - М.: Финансы и статистика, 2000.

3. Гусаров В.М. Теория статистики. - М.: Финансы и статистика, 1998.