Расчет статистических показателей

1. В состав финансовых активов включаются кассовая наличность, депозиты в банках, вклады, страховые полисы, обязательства других предприятий и организаций по выплате средств за поставленную продукцию (коммерческий кредит); портфельные вложения в акции иных предприятий. Отсюда, структура активов национального богатства будет иметь следующий вид (табл. 1).

Таблица 1

Из таблицы видно, что доля финансовых активов в общем объеме национального богатства составляет 22,4%, доля нефинансовых активов - 77,6%.

2. Определение структуры нефинансовых активов также проведем в таблице.

Таблица 2

Таким образом, структура нефинансовых активов выглядит следующим образом:

- 53,7% - доля произведенных активов, 46,3% - доля непроизведенных активов;

- 85,2% - доля материальных активов, 14,8% - доля нематериальных активов;

- в общем объеме материальных активов непроизводственные составляют 5200 млрд. руб., или 31,4%.

2. Задание 2

1. Для измерения размера вариации в статистике используется система абсолютных и относительных показателей.

1.1. К абсолютным показателям относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

А) Размах вариации - это разность между максимальным и минимальным значениями признака:

; R = 2,0 - 0,5 = 1,5.

Б) Среднее линейное отклонение - это средние показатели, полученные от отклонений индивидуальных значений признака от их среднего размера. Для вариационного ряда с равными интервалами формула среднего квадратического отклонения имеет вид:

где x - индивидуальное значение признака (затраты времени на дорогу, час.);

f - вес (частота) признака (количество студентов, %);

- среднее значение признака.

В) Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней величины. Определяем по формуле средней арифметической взвешенной, которая в общем виде записывается как:

Г) Среднее квадратическое отклонение - показатель степени однородности изучаемой совокупности, рассчитывается по формуле:

.

Для упрощения расчетов проведем их в табличном виде.

Таблица 4

а) Средняя арифметическая взвешенная затрат времени в дороге:

= 133,5 / 100 = 1,335 час.;

б) Среднее линейное отклонение:

= 90,485 / 100 = 0,90485 час.;

в) Дисперсия: = 24,989 / 100 = 0,2499;

г) Среднее квадратическое отклонение: часа.

Среднее линейное и среднеквадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности. Так, средняя величина колеблемости затрат времени на дорогу до института составляет: по среднему линейному отклонению 0,90485 час., по среднему квадратическому отклонению - 0,4999 часа.

1.2. Относительные показатели вариации, в которых базой для сравнения служит средняя арифметическая:

а) относительный размах вариации (коэффициент осцилляции):

б) относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации):

в) коэффициент вариации:

Расчеты показывают, что затраты времени у студентов на дорогу до института очень сильно колеблются, а исследуемая совокупность по своему характеру неоднородна.

2. Мода, медиана и квартили относятся к числу структурных средних.

2.1. Мода - это величина признака, которая наиболее часто встречается в данной совокупности. Для вариационного интервального ряда мода определяется по формуле:

где x - нижняя граница модального интервала;

f - частота модального интервала;

f - частота предмодального интервала;

f - частота интервала, следующего за модальным;

h - величина интервала.

Рассчитываем моду по следующим данным:

x= 1,5, f = 37, f = 32, f = 6, h = 0,5;

час.

2.2. Медиана в статистике - это в вариационном ряду величина признака, которая делит ряд пополам по сумме накопленных частот, и по данным интервального вариационного ряда определяется по формуле:

где М - медиана;

- нижняя граница медианного интервала;

- сумма накопленных частот;

- сумма накопленных часто, предшествующих медианному интервалу;

- частота медианного интервала;

h - величина медианного интервала.

Для расчета медианы построим таблицу, где рассчитаем сумму накопленных частот.

Таблица 5

2.3. Квартили делят ранжированную совокупность по сумме накопленных частот на четыре равные части. Квартиль нижний (Q) отделяет ј часть совокупности с наименьшими значениями признака, квартиль верхний (Q) отсекает ј часть с наибольшими значениями признака. Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:

где x - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

x - нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

h - величина интервалов;

S - сумма накопленных частот интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

S - то же для верхнего квартиля;

f - частота интервала, содержащего нижний квартиль;

f - то же для верхнего квартиля.

По данным табл. 5 вычислим:

Квартильное отклонение составило 0,622 часа.

3. Задание 3

Предельной ошибкой выборки называется ошибка, исчисленная с заданной степенью вероятности, за пределы которой не выйдет величина ошибки выборочного наблюдения. Обозначается знаком (дельта) и определяется по общей формуле как для количественных, так и для качественных признаков:

где (мю) - средняя ошибка выборочной средней, t - значение коэффициента доверия. Предельная ошибка выборки дает возможность выяснить, в каких пределах находится величина генеральной средней. Значения этого интеграла для различных значений коэффициента t вычислены и приводятся в специальных математических таблицах. Так, при:

t = 1 Ф(t) = 0,683; t = 1,5 Ф(t) = 0,866;

t = 2 Ф(t) = 0,954; t = 2,5 Ф(t) = 0,988;

t = 3 Ф(t) = 0,997; t = 3,5 Ф(t) = 0,999.

Это означает, что при уровне доверительной вероятности равной, например 0,997, можно говорить о том, что вероятность появления ошибки, равной или большей утроенной средней ошибки выборки крайне мала и равна 0,003 (1-0,997).

Отсюда, если вероятность, гарантирующую результат:

а) увеличить с 0,954 до 0,997, то предельная ошибка выборки уменьшится с 0,046 (1-0,954) до 0,003 (1-0,997), или на 4,3% ((0,003-0,046)*100%);

б) уменьшить с 0,954 до 0,683, тогда предельная ошибка выборки увеличится с 0,046 до 0,317, или на 27,1%;

в) увеличить с 0,683 до 0,954, тогда предельная ошибка выборки уменьшится с 0,317 до 0,046, или на 27,1%;

г) уменьшить с 0,997 до 0,954, - предельная ошибка выборки увеличится 0,003 до 0,046, или на 4,3%;

д) увеличить с 0,683 до 0,997, тогда предельная ошибка выборки уменьшится с 0,317 до 0,003, или на 31,4%.

Таким образом, чем меньше величина отклонения, или ошибки, тем точнее выборочная средняя воспроизводит среднюю генеральную, рассчитанную на отобранную совокупность единиц; и наоборот, чем больше предельная ошибка выборки, тем хуже конечный результат выборочного наблюдения.

4. Задание 4

Для более точного расчета среднемесячных остатков на вкладах, когда имеются данные на каждое первое число месяца, обычно используют формулу:

а) Среднемесячные остатки за I квартал составят:

(тыс. руб.);

б) Среднемесячные остатки за II квартал составят:

(тыс. руб.);

в) Абсолютный прирост среднего остатка вклада во втором квартале по сравнению с первым:

= 920,55 - 917,0 = + 3,55 (тыс. руб.).

Поскольку в течение месяца происходит постоянное движение денежных средств, данную задачу нельзя решать с применением формулы среднеарифметической простой, так как результат будет менее точным. Проверим на примере I квартала:

тыс. руб.

Как видим, разница составляет 1,7 тыс. руб. (917,0-915,3).

5. Задание 5

1. Сводный (агрегатный) индекс (I) - это отношение, числителем которого является сумма произведений индексируемой величины отчетного периода на вес, а знаменателем - сумма произведений индексируемой величины базового периода на вес. Отсюда,

а) сводный индекс товарооборота:

где р, р - цены в базовом и отчетном периодах соответственно;

q, q - физические объемы реализации в базовом и отчетном периодах соответственно.

Поскольку товарооборот - это произведение объема реализации на цену за 1 кг, то в числителе берем сумму объемов товарооборота по двум видам товара за август (отчетный), в знаменателе - то же самое, но за июль (базовый):

, или 116,3%.

Рост объема товарооборота в августе по сравнению с июлем составил 16,3% (116,3-100).

б) Сводный индекс цены:

Для расчета сводного индекса цен необходимо предварительно определить физические объемы реализации по каждому товару в базовом и отчетном периодах:

- июль: Яблоки - 143,5 / 8 = 17,9375 (тн);

Груши - 38,9 / 11 = 3,5364 (тн);

- август: Яблоки - 167,1 / 6 = 27,85 (тн);

Груши - 45,0 / 10 = 4,5 (тн).

или 77,9%.

Снижение объема товарооборота за счет снижения цен в августе составило 22,1% (100-77,9).

в) Сводный индекс физического объема реализации:

, или 149,3%.

Правильность расчетов проверим с помощью формулы взаимосвязи:

г) Абсолютная величина изменения объема товарооборота составила:

тыс. руб., в том числе за счет:

- изменения физических объемов:

тыс. руб.;

- снижения цены на товар:

тыс. руб.

Общее изменение: 89,9 - 60,2 = 29,7 тыс. руб.

Снижение объема товарооборота за счет снижения цены на 60,2 тыс. руб. показывает, что именно на такую сумму сэкономили покупатели в августе, благодаря понижению цен на фрукты.

6. Задание 6

Исходные данные:

Таблица 8

Объем перевозок грузов морским транспортом в условных единицах

В ХХХ1(6) году

А) Строим график на основании исходных данных и проводим визуальный анализ.

Рис. 1. Динамика грузовых перевозок морским транспортом

Линия графика показывает, что грузовые перевозки морским транспортом в течение года осуществляются неравномерно: от минимального объема 10,8 у.е. грузов в феврале до максимального - 15,3 у.е. в июне.

Б) На графике наглядно видно, что в зимние месяцы (январе-феврале) объемы грузоперевозок самые низкие, причем, в феврале, по сравнению с январем объемы уменьшились, очевидно, ввиду меньшей продолжительности месяца. К марту объем вырос и продолжает неуклонно возрастать. Пик грузоперевозок приходится на период летней навигации, когда наблюдается довольно ровная тенденция, а начиная с сентября динамика неуклонно понижается и к январю следующего года достигает объемов марта.

В) График отчетливо показывает наличие сезонных периодических колебаний (повышений и снижений объемов), возникающих под влиянием смены времени года. Но все же просматривается общая тенденция роста объемов грузоперевозок.

Для проверки ряда динамики на наличие сезонной компоненты построим вспомогательную таблицу на основании исходных данных.

Таблица 9

Сезонные колебания грузовых перевозок морским транспортом

за ХХХ6 год

Из таблицы видно, что сезонные колебания грузоперевозок характеризуются повышением объемов в мае вплоть до ноября (более 100%) и снижением в остальное время года (январь-март, ноябрь-декабрь).

Мерой сезонной колеблемости является среднее квадратическое отклонение, расчет которого произведен в табл. 9.

2 у.е;

Среднее квадратическое отклонение составит:

у.е;

Коэффициент сезонной колеблемости:

Характер сезонных колебаний показан на рис. 2.

Рис. 2. Сезонная волна грузовых перевозок морским транспортом

(в процентах к среднему уровню = 100)

Г) Для определения параметров уравнения тренда используем метод скользящих средних, который позволяет «погасить» случайные колебания, а основную тенденцию развития явления выразить в виде некоторой плавной линии. Расчет состоит в определении средних величин из трех уровней ряда. При вычислении каждой новой средней отбрасываем уровень ряда слева и присоединяем один уровень справа

По исходным данным получили десять средних для построения аддитивной связи. Далее рассчитываем центрированную скользящую среднюю как среднюю между двумя рядом стоящими скользящими средними :

· (11,2 + 12,1) / 2 = 11,7

· (12,1 + 13,7) / 2 = 12,9

· (13,7 + 14,6) / 2 = 14,2

· (14,6 + 15,2) / 2 = 14,9

· (15,2 + 15,2) / 2 = 15,2

· (15,2 + 14,9) / 2 = 15,1

· (14,9 + 14,5) / 2 = 14,7

· (14,5 + 13,9) / 2 = 14,2

· (13,9 + 13,2) / 2 = 13,5.

Рассчитаем оценку сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (табл. 10).

Таблица 10

Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

Средний индекс сезонности определим по формуле

Поскольку в аддитивной модели сезонные воздействия за период взаимопоглащаются, это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем месяцам должна быть равна нулю, у нас она получилась равной 1,9, следовательно, сезонные компоненты необходимо скорректировать.

Определяем корректирующий коэффициент:

k = 1,9 / 9 = 0,21.

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом.

0,9-0,21= 0,69; 0,6-0,21=0,39; 0,8-0,21= 0,59; 0,4-0,21=0,19; -0,1-0,21=-0,31;

0-0,21= -0,21; -0,2-0,21= -0,41; -0,1-0,21=-0,31; -0,4-0,21=-0,61.

Проверяем условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

0,69+0,39+0,59+0,19-0,21-0,31-0,41-0,31-0,61= 0.

Для нахождения значений T необходимо рассчитать уравнение тренда, воспользовавшись линейной функцией:

T = a + bt,

где а = 161,7 / 12 = 13,475;

b можно рассчитать с помощью вспомогательной табл. 13 (см. расчет на стр. 20):

b = , n = 12, отсюда b = 59,1 / 572 = 0,103.

Таблица 11

Вспомогательная таблица для расчета параметров тренда

Устраняем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Проводим аналитическое выравнивание ряда (табл. 14).

Таблица 12

Расчет выравненных значений тренда (T) и ошибок в аддитивной модели

Прибавляя к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев, получаем значения уровней ряда по аддитивной модели (табл. 14): 12,34+0=12,34; 12,55+0=12,55; 12,75+0,69=13,44 и т.д.

По данным последнего столбца таблицы 14 рассчитываем среднюю ошибку аппроксимации:

=.

Так как ошибка больше имеющегося значения а(0,103), то найденная модель

не соответствует фактическому грузообороту на морском транспорте в данном периоде, а значит прогнозировать объемы можно только на краткосрочный период.

Д) Определим вид связи между трендом и сезонными колебаниями с помощью мультипликативной модели.

Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней и найдем оценку сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Результаты расчетов проделаем в таблице 15.

Таблица 13

Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

Сумма значений сезонной компоненты равна:

1,077+1,047+1,056+1,027+1,0+0,993+0,986+0,993+0,97 = 9,149; превышает на 0,149 ед. число периодов, чего не должно быть.

Определяем корректирующий коэффициент:

(9-9,149) / 9 = -0,0163; или 1 - 0,0163 = 0,9837.

1,077 * 0,9837 = 1,059;

1,049 * 0,9837 = 1,03;

1,056 * 0,9837 = 1,039;

1,027 * 0,9837 = 1,01;

1,0 * 0,9837 = 0,984;

0,993 * 0,9837 = 0,977;

0,983 * 0,9837 = 0,97;

0,993 * 0,9837 = 0,977;

0,97 * 0,9837 = 0,954;

1,059+1,03+1,039+1,01+0,984+0,977+0,97+0,977+0,954 = 9.

Делим значение каждого уровня исходного временного ряда на соответствующие скорректированные значения сезонной компоненты. Проводим аналитическое выравнивание ряда (T*E) с помощью линейного тренда (табл. 16).

T = 13,475 + 0,9837 * t.

Таблица 14

Расчет выравненных значений T и ошибок в мультипликативной модели

По данным последнего столбца таблицы 16 рассчитываем среднюю ошибку аппроксимации:

=.

Ошибка в данной модели имеет еще большее отклонение от имеющегося значения а(0,103), как и в аддитивной модели, следовательно, можем прогнозировать не более чем на 2-3 месяца вперед.

В общем виде выведенная формула тренда читается следующим образом: среднемесячный объем грузовых перевозок составил 13,475 у.е., а среднемесячный его прирост - 0,103 у.е.

Рассчитаем показатели колеблемости уровней по выравненному ряду динамики:

· размах колеблемости:

R = (15,3 - 13,5) - (10,2 - 12,55) = 4,15;

· абсолютное отклонение:

· среднее квадратическое отклонение:

Для упрощения расчетов показателей колеблемости построим вспомогательную таблицу на основании данных табл. 14.

Таблица 15

Отсюда,

· коэффициент колеблемости:

Данные показатели используются при составлении прогноза на последующие периоды.

Рис. 3. Аддитивная модель связи

Рис. 4. Мультипликативная модель связи

Графическое отображение рассчитанной линии тренда показывает тенденцию плавного роста объемов грузоперевозок морским транспортом и в обеих моделях уровни практически не отличаются.

Д) Как показали расчеты, обе модели (аддитивная и мультипликативная) могут быть использованы при прогнозировании на краткосрочный период. Прогнозное значение уровня временного ряда есть произведение трендовой и сезонной компонент. Продолжив линию тренда за пределы анализируемого периода, можно получить прогнозные оценки. Прогноз на 3 месяца вперед имеет следующий вид:

Но вполне очевидно, что фактическое значение уровней может отклоняться от линии тренда. Поэтому необходимо оценить возможные пределы таких отклонений и построить доверительные интервалы прогнозной оценки. Для этого определяем среднюю ошибку линии тренда:

,

где - квадратическое отклонение колеблемости;

- дисперсия колеблемости;

- средний показатель времени, который определяют следующим образом:

Поскольку нам необходимо произвести прогнозный расчет не на последующие годы, а на месяцы, то общепринятая формула расчета должна быть преобразована. Отсюда,

t - прогнозируемый период (3 месяца); t = 15.

Средняя ошибка линии тренда составила

Доверительный интервал прогноза тренда на 3-й месяц составит 15,9 5,9 у.е. Таким образом, положение тренда на третий месяц будет в границах 10,0 - 21,8 у.е.

То есть, если предположить, что сохранится та же тенденция развития данного процесса формирования грузоперевозок морским транспортом, то будет наблюдаться некоторое увеличение показателей.

При этом, учитывая характеристику сезонной волны, следует ожидать некоторого падения объемов опять же в феврале, ввиду его небольшой продолжительности. Фактическое значение показателя за февраль к январю составляет около 95% (10,2/10,8*100%. Исходя из данного индекса прогнозируем перевозки в феврале в объеме:

14,8 * 95 / 100% = 14,06 у.е.

В действительности же на динамику грузовых перевозок могут оказывать различные факторы, которые нельзя предвидеть со всей определенностью. Поэтому прогнозы на практике постоянно следует корректировать.

Список использованной литературы: