Характеристики варіацій

8

Зміст

1. Характеристики варіацій

2. Рангова кореляція

3. Статистичне спостереження. Предмет, метод та основні завдання

4. Розрахункова робота

Список літератури

1. Характеристики варіації

Варіація ознаки є властивістю статистичної сукупності і зумовлена дією безлічі взаємопов'язаних причин, серед яких є основні і другорядні. Основні формують центр розподілу, другорядні - варіацію ознак, сукупна їх дія - форму розподілу. Чим менша варіація, тим більш надійними, типовішими є характеристики центру, насамперед середня.

Для характеристики варіації застосовують систему таких оцінок.

Розмах варіації - це різниця між найбільшим і найменшим значенням ознаки

R = x_max -x_min.

В інтервальному ряді розподілу R визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу і нижньою межею першого або ж різницю між середніми значеннями цих інтервалів. Як міра варіації R не завжди може бути надійним, оскільки залежить від двох крайніх значень, які часто не є типовими для сукупності, або мають випадковий характер. Вони отримали назву «викиди». В практиці статистичних досліджень крайні значення підлягають обробці або, принаймні, уважному розгляданню. Як правило, це помилки кодування або реєстрації, іноді вони мають випадковий характер. Тому їх часто просто викидають, звужуючи тим самим розмах і роблячи сукупність більш однорідною. Також зменшує вплив випадкових причин так званий квартитьний розмах, обчислений за формулою

R_q = Q₃ - Q₁

В усякому разі, відкидаючи крайні значення, слід пам'ятати, що інколи з ними може бути пов'язане щось цікаве або навіть феноменальне. Замість простого відкидання пропонують процедури обчислення оцінок розподілу, які не чутливі до структури даних і отримали назву робастних. Робастними оцінками називають також оцінки розподілу, які отримують при застосуванні цих методів.

Програми статистичних пакетів часто передбачають обчислення оцінок Хампеля, Ендрюса та Т'юки.

Наприклад, Т'юки (Tukey) запропонував один з видів робастичних оцінок, а саме вінзорізовані оцінки. Суть в тому, що крайні значення не відкидаються, а замінюються. Якщо маємо упорядкований ряд, значень x₁, x₂, …, x_n, то x₁ надається значення x₂, а x_n - значення x_n-1.

Якщо така операція не дає бажаних наслідків, тобто сукупність ще не стає досить однорідною, то процедуру повторюють (наприклад, за допомогою пакета статистичних програм BMDP до 5 разів). Так, при двократній вінзорізації x₁, та x₂ присвоюється величина варіанти x₃, а двом останнім у ряді - величина x_n-2.

Важливо підкреслити, що статистичний аналіз відноситься до таких робіт, де від ретельності підготовки матеріалу може залежати успіх всієї справи. Щодо всіляких процедур «чистки» або попередньої обробки даних, то тут окрім професійного боку справи існує ще й етичний. Дослідник повинен прагнути до об'єктивного, науково обґрунтованого результату, а він може виявитись, і не таким, як хотілось би.

Середнє відхилення обчислюється так:

1) середнє лінійне відхилення:

а) незважене: б) зважене:

2) середнє квадратичне відхилення:

а) незважене: б) зважене:

Характеристика варіації у² має назву дисперсії:

а) незважене: б) зважене:

На практиці застосовують більш просту формулу розрахунку дисперсії:

Чим менше середнє відхилення, тим типовіша середня, тим більш однорідна сукупність. у завжди більша за d. В Симетричних та помірковано асиметричних розподілах у = 1,25d. Характеристики R, d та у - іменовані величини, які мають одиниці виміру варіюючої ознаки. При порівнюванні степеня варіації однієї і тієї ж ознаки в різних сукупностях використовують коефіцієнт варіації або лінійний коефіцієнт варіації.

З його допомогою можна оцінити також однорідність сукупності. Однорідною прийнято вважати сукупність, для якої V_у<33%, що приймають до уваги при попередній обробці даних. Розглянемо особливості обчислення деяких характеристик для альтернативної ознаки. Позначимо наявність ознаки через l, її відсутність - через 0. Частку одиниць, які мають дану ознаку позначимо через р, які не мають - через q.

Тоді

уІ = p · q, або уІ = р · (1-р)

Очевидно, при відсутності варіації у² = 0; максимальне значення дисперсії становить 0,25 при p = q = 0,5. Якщо номінальна ознака приймає більше двох значень, оцінка її варіації дорівнює добутку часток:

уІ = W₁·W₂·…·W_n.

2. Рангова кореляція

Вимірювання тісноти зв'язку за допомогою кореляційного і дисперсійного аналізу супроводжується певними складностями і вимагає громіздких обчислень. До них потрібно віднести: коефіцієнт кореляції знаків Фехнера, коефіцієнт кореляції рангів Спірмена і Кендала.

Коефіцієнт кореляції знаків коливається в межах від -1 до +1. Чим ближче до 1, тим сильніший зв'язок. Знак + або - вказує напрям зв'язку. Якщо u=н, то і=0 і зв'язку немає.

Розглянемо ще один метод оцінки тісноти зв'язку на основі розрахунку коефіцієнта кореляції рангів. Його основна відмінність полягає в тому, що він обчислюється не на основі первинних даних, а на основі рангів, які присвоюються всім значенням досліджуваних ознак, що розміщені у порядку зростання. Якщо значення співпадають, то ранг визначається шляхом ділення суми рангів на число значень.

Коефіцієнт кореляції рангів Спірмена також коливається від -1 до +1. Чим ближче до 1, тим тісніший зв'язок. Знак + або - вказує напрям зв'язку. Якщо ранги за обома ознаками співпадають, то зв'язок прямий. Якщо с = 0, то зв'язок між ознаками відсутній.

Ранговий коефіцієнт кореляції більш точний порівняно з коефіцієнтом кореляції знаків, тому що він враховує не тільки знаки відхилень, а й місце величини ознаки в даному ряду.

Окрім вище згаданих коефіцієнтів, на практиці для визначення рейтингу і оцінки тісноти зв'язку використовують коефіцієнт кореляції рангів Кендала.

Суть даного методу полягає в підрахунку числа балів для кожної одиниці сукупності. Для цього ранг першої одиниці сукупності за ознакою у в упорядкованому по х ряду порівнюємо з усіма іншими одиницями сукупності, які розміщені нижче в списку. Якщо він менше першої одиниці сукупності, присвоюємо йому +1 бал, якщо більше - присвоюємо -1.

3. Статистичне спостереження. Предмет, метод та основні завдання

Статистичне спостереження - науково організований збір масових даних про явища та процеси, які відбуваються у суспільстві.

План спостереження передбачає мету, об'єкт та одиницю спостереження, джерела та засоби одержання даних, час (момент) спостереження та ін. Слід відрізняти одиницю статистичного спостереження від елементу сукупності.

Одиниця - носій інформації, елемент - носій ознак. Так, під час перепису устаткування одиницею спостереження е окреме підприємство, а елементом - окремий верстат чи механізм.

Застосовують дві організаційні форми спостереження - звітність і спеціально організовані спостереження. До останньої належать переписи, одноразові обліки, вибіркові обстеження.

За охопленням одиниць сукупності спостереження поділяють на суцільне і несу цільне. Останнє буває кількох видів: спостереження основного масиву, вибіркове, монографічне і анкетне.

При суцільному обстеженні реєстрації підлягають усі без винятку елементи сукупності.

Спостереження основного масиву охоплює переважну частину елементів сукупності.

При вибірковому спостереженні вивчається лише частина сукупності, відібрана спеціальним методом, який:

а) забезпечує рівний шанс для кожної одиниці сукупності потрапити у вибірку;

б) визначає достатню кількість відібраних одиниць.

Виконання цих двох умов робить вибірку репрезентативною, представницькою.

Це дає можливість приписати, розповсюдити характеристики, які визначені для вибіркової сукупності (наприклад, середнє значення), на всю сукупність, яка має назву генеральної.

Монографічне спостереження передбачає детальний опис невеликої кількості або окремих одиниць сукупності, які можуть вважатися типовими. Анкетні спостереження застосовуються, наприклад, при соціологічних дослідженнях.

Існують три способи одержання статистичних даних: безпосередній облік фактів, документальний облік і опитування респондентів.

Розбіжності між даними спостережень та реальними даними називають помилками спостереження.

Розрізняють два види таких помилок. Помилки реєстрації, які виникають внаслідок неправильного встановлення фактів або їх реєстрації. Помилки репрезентативності властиві тільки вибірковому спостереженню і виникають в результаті некоректного формування вибіркові сукупності.

Розрахункова робота

Розрахунок характеристик варіаційного ряду (за ознакою х - обсяг реалізації продукції, тис. грн.).

Зведення статистичних даних в таблицю і побудова інтервального ряду розподілу за формулою Стерджеса.

Визначення характеристик інтервального розподілу:

Ш частоти;

Ш відносної частоти;

Ш нагромадженої частоти.

Побудова кривих розподілу.

Розрахунок показників центру розподілу:

Ш середньої арифметичної;

Ш моди;

Ш медіани.

Аналіз та оцінка отриманих результатів.

Таблиця 1.1 Вихідні дані для розрахункової роботи

Витрати на 1 грн. реалізованої продукції, коп. (у)	Тип підприємства: с - дрібно гуртове; м - гуртове	Обсяг реалізації продукції, тис. грн. (х)
66	м	146
83	с	54
82	с	40
91	с	36
86	с	46
72,6	м	128
81	с	56
93	с	60
87	с	65
68,6	м	136
91	с	59
80	с	56
79,4	с	82
87	с	76
74	м	130
86	с	65
88	с	36
78	м	110
83	с	34
79	м	90
66	м	136
87	с	52
95	с	49
70	м	126
81	м	100
83	с	38
67	м	156
84	с	62
89	с	19
78,4	с	79

Розрахунок характеристик варіаційного ряду за ознакою х - обсяг реалізації продукції.

Основні розрахункові формули.

 - довжина інтервалу

k = 1+ 3,3221lgn - кількість груп, де п - чисельність сукупності виважене середнє значення х=74,9.

- мода;

M_O = 50,8.

 - медіана.

М_е = 60,8.

k =1+3,322lg = 1+3,322*1,477 = 6 - кількість груп.

Визначимо довжину інтервалу: h = 156-19/6 = 137/6=22,8~23.

Таблиця 1.2

Обсяг реалізації продук - ції, тис. грн.	Частота	Відносна частота, %	Нагромаджена частота	Нагромаджена відносна частота, %	Центральне (серединне) значення інтервалу
	f	d f	S f	S d f	x i
19 - 42	6	20	6	20	30,5
42 - 65	11	37	17	57	53,5
65 - 88	3	10	20	67	76,5
88 - 111	3	10	23	77	99,5
111 - 134	3	10	26	87	122,5
134 - 156	4	13	30	100	145

?=30 ?=100

За формулою Стерджеса знаходимо кількість груп, які необхідно утворити (n - обсяг статистичної сукупності, у нашому випадку він дорівнює - 30). Для визначення довжини інтервалу x_max = 156, а x_min = 19; дані розрахунків наведені у таблиці 1.2. Визначено моду, медіану і середнє арифметичне. Для перевірки, вони повинні перебувати в такій залежності

X > M_e >M_o, 77,4>60,8>50,8.

Це характерно при правосторонній астиляції.

Побудова кривих розподілу.

Аналіз результатів. Інтервал 42-65, якому відповідає М_о, яка дорівнює 50,8, вказує на те, що в даній сукупності є найбільш поширеними підприємства з обсягами реалізації продукції 40-64, при чому найбільш поширеними є підприємства з обсягом реалізації 50,8. А середнім значенням для даної сукупності є обсяг реалізації 60,8 (що відповідає медіані). У помірно асиметричних рядах розподілу мода, медіана і середнє арифметичне співвідносяться наступним чином

3 (хсер - Ме) ? хсер - Мо,

3 (77,4 - 60,8) ? 22,6

49,8 26,6.

Отже, даний ряд динаміки не є помірно асиметричним.

Аналіз варіаційного ряду (за ознакою у - витрати на 1 грн. реалізованої продукції).

Визначення абсолютних показників варіації в цілому для сукупності:

· розмаху;

· середньоарифметичного відхилення;

· середньоквадратичного відхилення.

Розрахунок відносних показників варіації в цілому для сукупності

· відносного лінійного відхилення;

· коефіцієнта осциляції;

· коефіцієнта варіації;

· тощо.

Розрахунок внутрішньогрупової та міжгрупової варіації, оцінка щільності зв'язку між витратами та типом підприємства.

Аналіз та оцінка результатів.

Основні розрахункові формули:

- довжина інтервалу;

h = 4,8.

- розмах варіації;

R = 29.

- середня виважена;

 y =81,23.

- зважене середнє лінійне відхилення;

d = 6,8.

- зважене середнє квадратичне відхилення;

у ? 7,5.

- відносний розмах варіації;

k₀ = 35,8%.

- лінійний коефіцієнт варіації;

k_d = 7,8%.

- коефіцієнт варіації;

v = 9,3%.

Аналіз результатів. Середнє лінійне відхилення становить d=6,32, а середнє квадратичне у ?7,5. Квадратичний коефіцієнт варіації н ? 9,3%, що є меншим від 33%, це вказує на те, що досліджена нами сукупність є однорідною. Розмах варіації становить R=29 (тобто значення мінімуму варіації < на 29 від значення максимуму). У симетричному близькому до нормального розподілу

у = 1,25d

R=6у =х ± 3у.

Список літератури

1. Захожай В.Б., Федорченко В.С. Методичні рекомендації щодо написання контрольних робіт з дисципліни «Статистика» (для бакалаврів). - К.: МАУП, 2006. - 24 с.

2. Захожай В.Б., Попов І.І., Коваленко О.В. Практикум з основ статистики. - К.: МАУП, 2001.

3. Єріна А.М., Пальян З.О. Теорія статистики. Практикум. - К.: Знання, 2001.

4. Ковтун Н.В., Столяров Г.С. Загальна теорія статистики: Курс лекцій. - К: Четверта хвиля, 1999. - 144 с.

5. Чекотовський Е.В. Графічний метод у статистиці на основі програми EXCEL: навчальний посібник. - Київ: Знання, 2000. - 518 с.