Основы эконометрии

Вариант 4.

Задача 1.

Исходя, из совокупности наблюдений для выпуска продукции, объемов трудовых ресурсов X₁ и производственных фондов Х₂ необходимо для производственной функции

1.1 Найти оценки параметров данной функции

1.2 Рассчитать коэффициент детерминации, множественный коэффициент корреляции.

1.3 Найти ковариационную матрицу cov A.

1.4 Определить дисперсии и стандартные ошибки оценок параметров а_j производственной функции.

1.5 Проверить на значимость оценки параметров производственной функции.

1.6 Найти доверительные интервалы «настоящей» средней и прогнозного индивидуального значения.

1.7 Сравните влияние трудовых ресурсов и производственных фондов на выпуск продукции, используя - коэффициенты.

1.8 Определить все показатели, которые характеризуют эффективность использования двух видов ресурсов.

Решение

1. Обозначим через х, у следующие матрицы:

; ; - матрица оценок А

Транспонированная матрица х^Т имеет вид:

Определим матрицу оценок:

;

Система нормальных уравнений выглядит так:

В матричном виде решение записывается так:

Определим обратную матрицу В^-1:

Находим решение системы:

Следовательно, производственная функция равна:

2. Расчет коэффициента детерминации

Определим среднее значение у:

;

Произведение матриц равно:

;

;

;

Рассчитаем коэффициент детерминации:

;

Этот коэффициент показывает, что 93,38% вариации у вызваны вариациями признаков - факторов х₁ и х₂.

Определим множественный коэффициент корреляции:

;

который показывает, что связь между у признаками х₁ и х₂ сильная.

Рассчитываем среднее значения для расчета коэффициентов мерной корреляции:

;

;

;

;

;

;

;

;

Средние квадратические отклонения равны:

;

;

.

Вычислим коэффициенты парной корреляции:

;

;

.

Коэффициенты частичной детерминации равны:

;

где ;

тогда .

;

где ;

тогда ;

Анализ d₁² и d₂² свидетельствует о том, что за счет вариации x₁ объясняется 26,93% вариации y, за счет вариации х₂ объясняется 66,53% вариации у.

3. Рассчитаем коэффициенты частичной корреляции:

;

;

Вывод: следовательно, наиболее сильная связь существует между у и х₂ между признаками у и х₂ связь слабее.

4. Найдем ковариационную матрицу:

;

где G²_е - неизвестная дисперсия остатков.

Для оценки дисперсии остатков используем выборочную дисперсию остатков:

, где n=12, m = 2.

Вычислим Q:

;

;

;

;

.

Запишем ковариационную матрицу:

5. Рассчитаем дисперсии оценок параметров регрессии.

Они равны диагональным элементам ковариационной матрицы, т.е. имеем:

; ;

Стандартные ошибки оценок параметров равны:

; ;

6. Проверка на значимость оценки параметров.

а) проверим значимость параметра a₁

Выдвинем основную гипотезу Н_о: а₁ =0

альтернативная гипотеза H₁: а₁ ? 0

Имеем: , ;

Определим расчетное значение критерия:

;

По таблице находим критическое значение критерия при б = 0,05; к = 9

tкр = 2,26

Сравниваем: tнабл <t кр значит, гипотеза Н₀ верна. Параметр a₁ незначим.

б проверим значимость параметра a₁

Выдвинем основную гипотезу Н_о: а₂ =0

альтернативная гипотеза H₁: а₂ ? 0

Имеем: , ;

Определим расчетное значение критерия:

;

По таблице находим критическое значение критерия при б = 0,05; к = 9

tкр = 2,26

Сравниваем: tнабл <t кр значит, гипотеза Н₀ верна. Параметр a₂ незначим.

7. Составим прогноз для выпуска продукции при х₁ = 9, х₂ = 10.

Из уравнения регрессии имеем точный прогноз:

Значит, прогнозируемый средний объем продукции 15,243 млн. при х₁ = 9, х₂ = 10.

Построим доверительный интервал для оценки настоящей средней, используя формулу:

;

; ; t=9;

По таблице находим t₂ = t (0,05; 9) = 2,26

Найдем - среднее квадратическое отношение средней

;

Имеем: ;

;

Отсюда равно: .

Построим доверительный интервал:

;

.

Значит при при х₁ = 9, х₂ = 10 средний объем выпуска продукции находится в пределах от 12,795 млн. до 17,69 млн.

Дадим прогноз на индивидуальное значение у:

;

где .

Получим доверительный интервал:

;

.

Значит, объем выпуска продукции прогнозируется в пределах от 12,754 млн. до 17,73 млн.

8. Сравним влияние трудовых ресурсов х₁ и производственных фондов х₂ на выпуск конечной продукции у.

По уравнению регрессии видно, что при увеличении х₁ на 1 ед. в среднем у увеличивается на 0,285 ед; при увеличении х₂ на 1 ед в среднем у увеличивается на 0,615 ед.

9. Рассчитаем экономические показатели, характеризующие эффективность использования двух видов ресурсов.

Произведем расчет у по модели:

x1	x2	yi
3	6	11,073
3	6,5	11,381
3,5	7	11,83
4	7	11,973
4	8	12,588
4,5	8	12,73
5	8,5	13,18
5	9,5	13,796
5,5	9	13,631
6	10	14,388
7	11	15,288
8	11,5	15,881
итого		157,793

Средняя величина выпуска продукции по модели равно:

Определим для х₁ =4,5; х₂ =8 показатели:

а) средняя эффективность фактора

для х₁: ;

для х₂: .

Следовательно, средняя продуктивность труда равна 2,921 млн.; средняя продуктивность производственных фондов равна 1,643 млн.

б) предельная эффективность фактора

для х₁: ;

для х₂: .

Следовательно на одну дополнительную единицу х₁ приходится 0,285 млн. дополнительной продукции у; на одну дополнительную единицу х₂ приходится 0,615 млн. дополнительной продукции у.

в) эластичность выпуска продукции:

для х₁: ;

для х₂: .

Значит, если х₁ вырастет на 1%, то у увеличится на 0,097%; если х₂ вырастет на 1 % то у увеличится на 0,37%.

г) меры эффективности использования ресурсов

для х₁: ;

для х₂: .

Делаем вывод, что предельный прирост продукции на 1 ед х₁ равен 0,063 ед; для производственных фондов на 1 ед х₂ имеем прирост продукции на 0,076 ед.

д) предельная норма замещения первого фактора вторым:

.

Данный показатель указывает количество затрат производственных фондов которые потребуются для замены 1 ед. трудоемкости при сохранении рентабельности.

Если одновременно увеличивать х₁ и х₂ на 1% выпуск продукции увеличится на 0,467%. Следовательно имеет место падающая эффективность факторов производства.

Задача 2.

Для построения экономической модели затраты обращения отобраны такие факторы: грузооборот, запасы, фондоемкость. Требуется исследовать эти факторы на наличие мультиколлинарности на основании алгоритма Феррара-Глобера.

№ п/п	затраты	грузооборот	запасы	фондоемкость
	y	x1	x2	x3
1	3,0	13	48	96
2	2,7	17	45	73
3	2,7	16	36	75
4	2,6	16	49	75
5	2,8	18	41	74
6	2,5	12	44	67
7	3,0	18	43	102
8	2,5	18	44	121
9	2,5	16	43	78
10	2,6	17	39	78

Решение

Первой шаг - нормализация переменных. По формуле проведем стандартизацию x₁, x₂, x₃

, где n = 10

;

;

.

Определим дисперсию по формуле:

;

Расчеты записываем в таблицу:

№ п/п
1	-3,1	4,8	12,1	9,61	23,04	146,41	-0,497	0,412	0,238
2	0,9	1,8	-10,9	0,81	3,24	118,81	0,144	0,154	-0,214
3	-0,1	-7,2	-8,9	0,01	51,84	79,21	-0,016	-0,618	-0,175
4	-0,1	5,8	-8,9	0,01	33,64	79,21	-0,016	0,498	-0,175
5	1,9	-2,2	-9,9	3,61	4,84	98,01	0,304	-0,189	-0,194
6	-4,1	0,8	-16,9	16,81	0,64	285,61	-0,657	0,068	-0,332
7	1,9	-0,2	18,1	3,61	0,04	327,61	0,304	-0,017	0,356
8	1,9	0,8	37,1	3,61	0,64	1376,41	0,304	0,068	0,73
9	-0,1	-0,2	-5,9	0,01	0,04	34,81	-0,016	-0,017	-0,116
10	0,9	-4,2	-5,9	0,81	17,64	34,81	0,144	-0,36	-0,116
У				38,9	135,6	2580,9

Дисперсии равны:

; ; ;

Найдем корни:

; ; .

Матрица стандартизированных переменных имеет вид:

Далее определяем корреляционную матрицу:

, где - транспонированная матрица

Каждый элемент этой матрицы характеризует тесноту связи одной переменной с другой.

Выпишем коэффициенты парной корреляции:

; ; .

На основании этих коэффициентов делаем вывод, что между x₂ и x₃ связь незначительная. Более тесная связь между x₁ и x₂, x₁ и x₃

Для выяснения, связаны ли зависимости между признаками x₁, x₂, x₃ с мультиколлинеарностью, применим метод Феррара-Глобера.

Вычислим определитель матрицы К:

.

Выдвигаем гипотезу Н_о: между признаками x₁, x₂, x₃ отсутствует мультиколлинеарность и гипотезу H₁: имеется мультиколлинеарность признаков. Для проверки гипотезы Н_о вычислим критерий:

Критическое значение критерия при б =0,01 и f = 3 по таблице равно: .

Сравниваем

Следовательно, нет оснований отвергать гипотезу Н_о. Значит нет оснований считать, что признаки x₁, x₂, x₃ мультиколлинеарны.

Определим матрицу, обратную к К.

Проверим F - критерий, используя диагональные элементы матрицы С.

;

;

.

Критическое значение критерия при б = 0,05, равно F_кp = 4,74

Во всех грех случаях F < F_кp, значит, что ни одной из переменных x₁, x₂, x₃ не присуща коллинеарность.

Вычислим частные коэффициенты корреляции:

;

;

.

Определим t - критерии:

;

;

.

Критическое значение критерия при б = 0,01 равно: tкp = 3,4995

Сравниваем: , , . Следовательно, между парами признаков x₁, x₂, x₃ отсутствует мультиколлинеарность.

Вывод: в данной модели грузооборот, запасы и фондоемкость как независимые переменные не мультиколлинеарны.

Задача 3.

По данным таблицы 3.5.6 необходимо:

1. построить эконометрическую модель;

2. исследовать остатки установления автокорреляции;

3. сформулировать матрицу ковариации остатков;

4. оценить параметры модели на основе метода Эйтнена.

Решение:

Общий вид эконометрической модели:

где а₀, а₁ - оценки параметров модели;

х_t- независимая переменная;

U_t - остатки

Рассчитаем а₀ и а₁ по МНК, полагая, что остатки U_t некеррелированы.

Используем формулу: .

Имеем: ;

; .

.

Обратная матрица равна:

Определим матрицу оценок:

.

Эконометрическая модель имеет вид:

.

Найдем расчетные значения и сравним их с фактическими . Используя эконометрическую модель. Вычислим остатки

Составим таблицу:

t	xt	yt		Ut	U2t	Ut - Ut-1	(Ut - Ut-1)2	Ut Ut-1
1	1,5	22	38,041	-16,041	257,33	-	-	-
2	1,6	33	39,969	-6,969	48,564	9,072	82,301	111,79
3	1,9	50	45,751	4,249	18,057	11,218	125,843	-29,611
4	1,8	67	43,823	23,177	537,155	18,928	358,27	98,48
5	3,4	47	74,66	-27,66	765,087	-50,837	2584,4	-641,075
6	3,6	66	78,515	-12,515	156,62	15,145	229,371	346,165
7	3,4	81	74,66	6,34	40,193	18,855	355,511	-79,345
8	3,5	106	76,588	29,412	865,095	23,072	532,317	186,472
У		472		0	2688,101		4267,013	-7,142

Рассчитаем критерий Дарбина - Уотсона:

.

Т.к. D_W <2, то можно предположить наличие положительной автокорреляции. Далее применим критерий Фон - Неймана:

.

В таблице критических точек нет значения Q при n = 8. Поэтому дальнейшее исследование проведем при помощи циклического коэффициента:

;

.

Определяем критическое значение циклического коэффициента автокорреляции при n = 8, б = 0,05

r_кр= 0,371

Сравниваем |r₀| < r_кр, значит необходимо принять гипотезу о том что в данной эконометрической модели отсутствует автокорреляция остатков.

Запишем матрицу ковариации остатков, учитывая, что при отсутствии автокорреляции она имеет вид:

;

где Е -единичная матрица;

- дисперсия остатков.

Определим выборочную дисперсию остатков:

.

Запишем матрицу ковариации:

Получаем оценки на основе метода Эйтнена по формуле:

Т.к. матрица V диагональная, то оценки по уточненной схеме Эйтнена совпадают с найденными ранее по МНК.

Определим коэффициент детерминации:

;

;

;

Рассчитаем коэффициент детерминации:

;

Значит, 47% вариаций общих затрат в семье зависят от среднего размера семьи.

Задача 4

Построить эконометрическую модель на основании одновременных структурных уравнений:

регрессия у₁ относительно х₁ и х₂: у₁ = -72,2 + 0,606х₁ - 0,567х₂;

регрессия у₂ относительно х₁ и х₂: у₂ = 80,9 + 0,084х₁ + 1,927х₂,

средние значения переменных:

;

;

х₁ = 155;

х₂ = 61.

Решение.

Система одновременных уравнений спроса и предложений выглядит так:

Функция спроса:

.

Функция предложения:

.

Условие рыночного равновесия: .

Известна исходная эконометрическая модель, описываемая системой одновременных структурных уравнений:

у_1t = -72,2 + 0,606х₁ - 0,567х₂; (1)

у_2t = 80,9 + 0,084х₁ + 1,927х₂, (2)

Дня перехода оценок приведенной формы к оценкам структурной формы, необходимо исключить из уравнения (1) сначала x₂, а затем х₁. Это преобразование осуществим методом Жордана-Гаусса.

Последовательность преобразований приведем в таблице:

Уравнение	ai1	ai2	ai0	bi1	bi2
Уравнение 1	1	0	-72,2	0,606	-0,567
Уравнение 2	0	1	80,9	0,084	1,927
Уравнение спроса yd	1	0,294	-48,415	0,63	0
-	0	1	80,9	0,084	1,927
Уравнение предложения yй	1	-7,214	-655,835	0	-14,469
-	0	1	80,9	0,084	1,927

Получаем оценки для уравнения спроса:

y_d = у_1t = -48,415 - 0,294 у_2t + 0,63x_1t; (3)

для уравнения предложения:

y_й = у_1t = -655,835 + 7,214y_2t - 14,469x_2t (4)

С помощью уравнения (3) найдем эластичность спроса в зависимости от цены.

; ;

.

Из уравнения (4) вычислим эластичность предложения в зависимости от цены:

.

Следовательно, если цена продукта возрастает на 1%, то спрос уменьшается на 0,114%, а предложение увеличивается на 2,808%.