Статистическая проверка гипотез
Статистическое распределение выборки. Выборочные средняя, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, их расчет и проверка вычислений. Нормальная кривая и теоретические частоты теоретической кривой. Гипотеза о нормальности. Доверительные интервалы.
| Рубрика | Экономика и экономическая теория |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.03.2009 |
| Размер файла | 40,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
2
Саратовский Государственный Технический Университет
Институт Бизнеса и Делового Администрирования
Кафедра ММЛ
Курсовая работа
По дисциплине: Статистика
На тему: «Статистическая проверка гипотез»
Выполнила: студентка 3 курса
группы МНЖ - 35
Проверил:
Землянухин А. И.
Саратов 2007 г.
Задание данной курсовой работы состоит в решении нижеследующей задачи.
Задача
Дано статистическое распределение выборки:
|
xi |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
|
|
ni |
5 |
13 |
20+(m+n) |
30-(m+n) |
19 |
10 |
3 |
где xi - результаты измерений, ni - частоты, с которыми встречаются значения xi, xi = 0,2·m+0,3·(i-1)·n.
1. Методом произведений найти выборочные: среднюю дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
2. Построить нормальную кривую.
3. Проверить гипотезу о нормальности Х при уровне значимости ?=0,05.
Решение
Таблица 1
|
А |
7 |
|
|
m |
2 |
Таблица 2
|
В |
7 |
|
|
n |
5 |
Нам известно по условию нашего варианта курсовой, что m=2 n=4. При помощи формул рассчитаем исходные данные и оформим их в таблицу.
n3=20+(2+5)=27
n4=30-(2+5)=23
Таблица 3
|
xi |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
|
|
ni |
5 |
13 |
27 |
23 |
19 |
10 |
3 |
xi=0,2*m+0,3*(i-1)*n
x1=0,2*2+0,3*(1-1)*5=0,4
x2=0,2*2+0,3*(2-1)*5=1,9
x3=0,2*2+0,3*(3-1)*5=3,4
x4=0,2*2+0,3*(4-1)*5=4,9
x5=0,2*2+0,3*(5-1)*5=6,4
x6=0,2*2+0,3*(6-1)*5=7,9
x7=0,2*2+0,3*(7-1)*5=9,4
Таблица 4
|
xi |
0,4 |
1,9 |
3,4 |
4,9 |
6,4 |
7,9 |
9,4 |
|
|
ni |
5 |
13 |
27 |
23 |
19 |
10 |
3 |
1. Найдём методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Воспользуемся методом произведений, для чего составляем табл. 5.
В качестве ложного нуля принимаем С = 3,4 (вариант с наибольшей частотой=27).
Шаг выборки h=xi+1-xi=x2-x1=1,9-0,4=1,5
Тогда условные варианты определяем по формуле:
xi-C xi-3,4
ui = ------ = ------ = (xi-3,4)/1,5
h 1,5
Подсчитаем условные варианты ui и заполним все столбцы.
u1=(0,4-3,4)/1,5=-2
u2=(1,9-3,4)/1,5=-1
u3=(3,4-3,4)/1,5=0
u4=(4,9-3,4)/1,5=1
u5=(6,4-3,4)/1,5 =2
u6=(7,9-3,4)/1,5=3
u7=(9,4-3,4)/1,5=4
n1 *(u1 + 1)2 = 5*(-2+1)2=5
n2 *(u2 + 1)2 = 13*(-1+1)2=0
n3 *(u3 + 1)2 = 27*(0+1)2=27
n4 *(u4 + 1)2 = 23*(1+1)2=92
n5 *(u5 + 1)2 = 19*(2+1)2=171
n6 *(u6 + 1)2 = 10*(3+1)2=160
n7 *(u7 + 1)2 = 3*(4+1)2=75
Таблица 5
|
xi |
ni |
ui |
ni* ui |
ni* ui2 |
ni (ui + 1)2 |
|
|
0,4 |
5 |
-2 |
-10 |
20 |
5 |
|
|
1,9 |
13 |
-1 |
-13 |
13 |
0 |
|
|
3,4 |
27 |
0 |
0 |
0 |
27 |
|
|
4,9 |
23 |
1 |
23 |
23 |
92 |
|
|
6,4 |
19 |
2 |
38 |
76 |
171 |
|
|
7,9 |
10 |
3 |
30 |
90 |
160 |
|
|
9,4 |
3 |
4 |
12 |
48 |
75 |
|
|
n =? ni =100 |
? ni* ui=80 |
? ni* ui2=270 |
? ni (ui + 1)2 =530 |
Выполним проверку.
? ni (ui + 1)2 =? ni* ui2 +2? ni* ui +n
530=270+2*80+100,
530=530.
Вычисления произведены верно. Найдем условные моменты.
Найдем выборочную среднюю.
xB = M1* * h+C = 0,8*1,5+3,4 = 4,6
Найдем выборочную дисперсию.
dB = [M2*-( M1*)2]*h2 = [2,7-(0,8)2]*1,52= 4,64.
Определим выборочное среднее квадратическое отклонение.
?в = v dв = v4,64=2,15
2. Построим нормальную кривую.
Для облегчения вычислений все расчёты сводим в табл. 6.
Таблица 6
|
xi |
ni |
xi-xB= =xi-4,6 |
xi - xв xi - 3,77 ui = -------- = -------- ?в 1,72 |
?(ui) |
ni?= 69,77· ?(ui) |
|
|
0,4 |
5 |
-4,2 |
-1,95 |
0,0596 |
4 |
|
|
1,9 |
13 |
-2,7 |
-1,26 |
0,1804 |
13 |
|
|
3,4 |
27 |
-1,2 |
-0,56 |
0,3410 |
24 |
|
|
4,9 |
23 |
0,3 |
0,14 |
0,3951 |
28 |
|
|
6,4 |
19 |
1,8 |
0,84 |
0,2803 |
20 |
|
|
7,9 |
10 |
3,3 |
1,53 |
0,1238 |
9 |
|
|
9,4 |
3 |
4,8 |
2,23 |
0,0332 |
2 |
|
|
100 |
100 |
Заполняем первые три столбца.
В четвёртом столбце записываем условные варианты по формуле, указанной в «шапке» таблицы. В пятом столбце находим значение функции
Функция ?(ui) чётная, т.е. ?(ui)= ?(-ui).
Значения функции ?(ui) в зависимости от аргумента ui находим из таблицы.
Теоретические частоты теоретической кривой находим по формуле
1 n h
ni? =n·pi =n · h·---- · ?(ui)= ---- ?(ui) =
?в ?в
100·1,5
= ------ · ?(ui)= 69,76· ?(ui)
2,15
и заполняем последний столбец. Отметим, что в последнем столбце частоты ni? округляются до целого числа и ? ni? =? ni =100.
В системе координат (xi; yi=ni?) строим нормальную кривую по выравнивающим частотам ni? (они отмечены кружками) и полигон наблюдаемых частот (они отмечены квадратами).
3. Проверяем гипотезу о нормальности Х при уровне значимости ?=0,05.
Вычислим ??набл, для чего составим расчётную таблицу 7.
Таблица 7
|
ni |
ni? |
ni- ni? |
(ni- ni?)? |
(ni- ni?)? ni? |
ni? |
ni? ---- ni? |
|
|
5 |
4 |
1 |
1 |
0,25 |
25 |
6,25 |
|
|
13 |
13 |
0 |
0 |
0 |
169 |
13 |
|
|
27 |
24 |
3 |
9 |
0,375 |
729 |
30,38 |
|
|
23 |
28 |
-5 |
25 |
0,892 |
529 |
18,89 |
|
|
19 |
20 |
-1 |
1 |
0,05 |
361 |
18,05 |
|
|
10 |
9 |
1 |
1 |
0,11 |
100 |
11,1 |
|
|
3 |
2 |
1 |
1 |
0,5 |
9 |
4,5 |
|
|
5 |
4 |
1 |
1 |
0,25 |
25 |
6,25 |
|
|
100 |
100 |
??набл =2,17 |
102,17 |
Суммируя числа пятого столбца, получаем ??набл =2,17.
Суммируя числа последнего столбца, получаем 102,17.
Контроль: ??набл =2,17.
ni?
? ---- - ? ni = 102,17-100=2,17.
ni?
Совпадение результатов подтверждает правильность вычислений.
Найдём число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки (число различных вариантов) 7, а число параметров, от которых зависит распределение, равно 2 (хв и ?).
? = s - r - 1; ? = 7 - 2 - 1 = 4.
По таблице критических точек распределения ??, по уровню значимости ?=0,05 и числу степеней свободы ? = 4 находим ??кр = 9,5.
Так как ??набл < ??кр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.
4. Найдём доверительный интервал для оценки неизвестного МО М(Х), полагая, что Х имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение ? = ?х = ?в = 1,72 и доверительная вероятность ? =0,95.
Известен объём выборки: n = 100, выборочная средняя хв = 4,6.
Из соотношения 2?(t) = ? получим ?(t) = 0,475. По таблице находим параметр t = 1,96.
Найдём точность оценки
t? 1,96 · 2,15
? = -- = -------- = 0,4214
vn v100
Доверительный интервал таков:
хв - ?< М(Х)< хв + ?
или 4,6- 0,4214< М(x)< 4,6+0,42144,1786< М(x)< 5,0214.
Надёжность ? =0,95 указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключён.
Подобные документы
Порядок проведения проверки статистических гипотез. Проверка однородности результатов эксперимента в целях исключения грубых ошибок. Расчет теоретических частот для нормального распределения. Уравнение линейной регрессии и метод наименьших квадратов.
курсовая работа [349,5 K], добавлен 09.01.2011Средняя фондоотдача на основании показателей о производственной деятельности. Средняя жилая площадь на члена домохозяйств: среднее линейное и квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Межгрупповая и средняя из групповых дисперсий задержки вылетов.
контрольная работа [70,9 K], добавлен 15.01.2011Средняя зарплата одного рабочего (способом "моментов"). Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Коэффициент вариации. Аналитические показатели динамического ряда. Средний годовой размер товарооборота. Среднегодовой абсолютный прирост.
контрольная работа [75,2 K], добавлен 11.04.2007Нахождение доверительных интервалов с помощью функции Лапласа и критериев распределения Стьюдента: сравнение средних выборок; корреляция случайных величин. Метод наименьших квадратов: построение модели; расчет доверительных интервалов для коэффициентов.
презентация [109,2 K], добавлен 30.07.2013Предельная ошибка выборки при установлении среднего значения. Цепные и базисные темпы роста. Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Частоты интервалов предшествующего и последующего модальному. Индекс себестоимости переменного состава.
контрольная работа [93,8 K], добавлен 02.12.2010Среднее арифметическое выборки, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Отбраковка по критерию Шовене. Правило "трех сигм". Оценка значимости различия средних значений двух выборок. Парный, множественные регрессионные анализы. Полный факторный анализ.
курсовая работа [267,9 K], добавлен 05.12.2012Технико-экономические показатели групп заводов; ряды распределения. Относительные величины интенсивности, цепные и базисные индексы товарооборота. Расчет средней величины, моды и медианы. Среднее квадратическое отклонение; дисперсия, коэффициент вариации.
контрольная работа [88,8 K], добавлен 06.10.2013Составление аналитической группировки с целью выявления зависимости уровня рождаемости от уровня доходов. Данные по региону о грузообороте транспорта, хозяйствах района. Размах вариации, среднее квадратическое отклонение, дисперсия. Темп роста и прироста.
контрольная работа [52,0 K], добавлен 02.11.2013Анализ этапов проверки статистических гипотез. Сравнение центров распределений. Концепция объектно-ориентированного программирования. Проверка неразличимости дисперсий с помощью критерия Кохрена. Определение границ существования математического ожидания.
курсовая работа [793,5 K], добавлен 16.05.2013Изучение свойств расположения статистических групп и понятие статистической совокупности. Определение состава показателей для измерения структуры совокупности, обобщающие индексы сравнения. Статистическая проверка гипотез и эмпирическое распределение.
лекция [290,8 K], добавлен 27.04.2013
