Применение математических методов в макроэкономике

Реферат на тему:

«Применение математических методов в макроэкономике»

Выполнил: Арсеньев Д.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Применение математических методов в макроэкономике

1. Межотраслевой баланс

2. Коэффициенты прямых затрат

3. Коэффициенты полных затрат

1. Межотраслевой баланс

Широкие возможности применения количественных методов исследования при изучении межотраслевых связей основываются на том, что в процессе общественного производства между отраслями народного хозяйства складываются определенные количественные пропорции и взаимосвязи.

В условиях высокого уровня разделения труда каждая отрасль производства теснейшим образом связана с другими отраслями: с одной стороны, она получает от них сырье, материалы, топливо, оборудование и т.п., а с другой - снабжает их своей продукцией. Отрасли, производящие предметы потребления, обеспечивают своей продукцией потребности населения. Все эти взаимосвязи могут быть определены количественно. На производство единицы продукции при данных условиях производства требуется определенное количество соответствующих видов сырья, материалов, топлива, электроэнергии и конкретные виды оборудования. Количественное изменение объема производства одних отраслей вызывает необходимость соответствующего изменения объема производства отраслей, технологически связанных с производством данного продукта.

Взаимосвязи между отраслями народного хозяйства получают ясное и наглядное выражение в межотраслевом балансе (МОБ) общественного продукта (ВНП). Такой баланс позволяет получить подробную и взаимоувязанную количественную и качественную характеристику межотраслевых связей в производстве^*.

Принципиальная схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции, построенная на основе метода “затраты-выпуск”, может быть представлена в следующем виде (табл. 3).
В этой схеме межотраслевой баланс представлен четырьмя квадрантами. В первом квадранте - показатели материальных издержек на производство продукции. Во втором - показатели отражают конечную продукцию, используемую на личное потребление, накопление, государственные закупки и экспорт. В третьем показатели добавленной стоимости (заработная плата, прибыль, рента, процент) и импорта. В четвертом - показатели перераспределения чистого национального продукта (ЧНП). Таблица межотраслевых связей отражает по графам затраты, т.е. элементы, образующие стоимость продукции по каждой отрасли, а по строкам - структуру распределения продукции каждой отрасли национальной экономики.

Более детально межотраслевой баланс с математическим выражением межотраслевых связей (без учета импорта и экспорта) представлен в табл. 3.

По строкам и графам под номерами 1,2,3,… показаны производственные отрасли (угольная, электроэнергетика, черная металлургия и др.), причем одноименные как по строкам, так и по графам. Вся произведенная продукция по каждой отрасли обозначается через Y_i, где индекс i указывает номер отрасли. Затраты продукции одной отрасли на производство продукции другой обозначаются через x_ij , причем i указывает номер отрасли, продукция которой используется на производственное потребление, а j есть номер отрасли, в которой она потребляется.

Так, если угольной отрасли присвоен №1, электроэнергетике - №2, черной металлургии - №3 и т.д., то, например, x₁₂ обозначает расход угля на выработку электроэнергии, x₂₃ - расход электроэнергии на производство черных металлов, x₃₁ - расход черных металлов на добычу угля, x₂₁ - расход электроэнергии на добычу угля.



Рис. 2. Межотраслевой баланс

Примечания: 1. в I квадранте - а11, а12, а13 и.т.д. (удельные коэффициенты); 2. Во II квадранте - С (личное потребление); I (инвестиции); G (гос.закупки); X (экспорт); 3. В III квадранте - W (зарплата); P (прибыль, процент, рента); M (импорт).

В межотраслевом балансе количественное выражение экономических связей каждой отрасли производства с другими отраслями может быть представлено в виде системы линейных уравнений. Если рассматривать данные межотраслевого баланса по строкам, то система линейных уравнений примет следующий вид:

Для первой отрасли

Y₁=x₁₁+x₁₂+x₁₃+…+x_1j+…+x_1m+y₁.

Поскольку y₁=e₁+a₁, можно записать уравнение в следующем виде:

Y₁=x₁₁+x₁₂+x₁₃+…+x_1j+…+x_1m+e₁+a₁

Тогда сокращенная запись примет следующий вид:

Y₁=, или Y₁=,

где Y₁ - вся продукция первой отрасли;

j - номер отрасли производства по столбцам межотраслевого баланса;

m - число отраслей производства по столбцам межотраслевого баланса;

x_1j - продукция первой отрасли, израсходованная на производство продукции отрасли

j; y₁ - продукция первой отрасли, использованная на непроизводственное потребление(e₁) и накопление(a₁).

В нашем примере это означает, что весь объем производства угля(Y₁) равен сумме расхода угля на собственные нужды угольной промышленности(x₁₁), на производство электроэнергии(x₁₂), на производство черных металлов(x₁₃), на производство продукции других отраслей(x_1m) и расходу угля на непроизводственное потребление и накопление(y₁).

Для i-й отрасли система линейных уравнений примет следующий вид:

Y_i=x_i1+x_i2+x_i3+…+x_ij+…+x_im+y_i

или

Y_i=x_i1+x_i2+x_i3+…+x_ij+…+x_im+e_i+a_i;

в сокращенной записи

Y_i=,

или Y_i= при (i=1,2,3,…,n), (1)

где Y_i- вся продукция i-й отрасли;

i - номер отрасли производства по строкам межотраслевого баланса;

j - номер отрасли производства по столбцам межотраслевого баланса;

x_ij - продукция i-й отрасли, израсходованная на производство продукции отрасли j; y_i - продукция i-й отрасли, использованная на непроизводственное потребление(e_i) и накопление(a_i), поскольку

y_i=e_i+a_i

Если же рассматривать межотраслевой баланс по столбцам, то система линейных уравнений примет следующий вид:

Y_j=x_1j+x_2j+x_3j+…+x_ij+…+x_nj+Z_j

или

Y_j=x_1j+x_2j+x_3j+…+x_ij+…+x_nj+W_j+P_{j ;}

в сокращенной записи

Y_j= или Y_j=, при (j=1,2,3,…,m), (2)

где Y_j - вся продукция j-й отрасли;

x_ij - продукция i-й отрасли израсходованная на производство продукции отрасли j;

Z_j - добавленная стоимость j-й отрасли, имеющая вид

Z_j=W_j+P_j,

где W_j - оплата труда в j-й отрасли;

P_j - чистый доход в j-й отрасли.

Приведенные системы уравнений (1) и (2) являются математическим описанием двустороннего процесса воспроизводства, нашедшего отражение в межотраслевом балансе: процесса кругооборота валового внутреннего продукта (ВВП) по материально-вещественному составу (первая система уравнений) и по затратам (вторая система уравнений).

Поскольку в межотраслевом балансе итоги по одноименным отраслям, записанные по строкам и графам, одинаковы и равняются объему валовой продукции соответствующей отрасли, а в целом по всем строкам и графам - всему ВВП, то могут быть записаны следующие равенства:

а) для отдельных одноименных отраслей материального производства

при (k=1,2,…,n,m), (3)

где k - номер отрасли материального производства;

б) для всего ВВП

. (4)

При этом продукция, использованная на потребление и накопление (по строкам), равна добавленной стоимости (по графам) только в целом по итогу всех отраслей производства, где она выражает величину национального дохода (НД), а именно:

или

По каждой отрасли в отдельности эти итоги не равны, так как экономическое содержание их разное: y_i по каждой отрасли выражает процесс использования продукции данной отрасли на непроизводственное потребление и накопление, а W_j+P_j выражают добавленную стоимость по каждой отрасли.

2. Коэффициенты прямых затрат

Приведенные выше системы уравнений (1) и (2) отражают линейную зависимость между затратами на производство и выпуском продукции. Если увеличить производство продукции какой-либо отрасли, то соответственно (при прочих равных условиях) возрастут и затраты на производство продукции данной отрасли. Количественно эта связь выражается через коэффициенты затрат продукции одной отрасли на производство продукции другой отрасли. Коэффициенты эти принято обозначать через a_ij. Они показывают расход продукции i-й отрасли на производство единицы продукции
j-й отрасли и исчисляются по следующей формуле:

a_ij=,

откуда

x_ij=,

где a_ij - коэффициенты затрат продукции отрасли i напроизводство единицы продукции отрасли j;

x_ij - общий объем затрат продукции отрасли i на производство продукции отрасли j;

Y_j - общий объем производства продукции отрасли j.

При этом если x_ij и Y_j даны в ценностном выражении, то и a_ij является удельным расходом в рублях на 1 р. продукции. Если же x_ij и Y_j даны в натуральном выражении, то a_ij будет удельным расходом в натуральном выражении (единиц i-го продукта на единицу j-го продукта).

Коэффициенты затрат a_ij отражают прямые связи между отраслями. Например, расход угля непосредственно на выработку электроэнергии, расход металла непосредственно на производство станков и т.д. Поэтому их называют коэффициентами прямых затрат.

Если выразить общий объем затрат продукции одних отраслей на производство продукции других отраслей (x_ij) через произведение коэффициентов прямых затрат на весь выпуск потребляющей отрасли (a_ij Y_j), то система уравнений использования продукции в народном хозяйстве, по данным межотраслевого баланса в ценностном выражении, примет следующий вид:

Y₁=a₁₁Y₁+a₁₂Y₂+…+a_1jY_j+…+a_1mY_m+y₁;

Y₂=a₂₁Y₁+a₂₂Y₂+…+a_2jY_j+…+a_2mY_m+y₂;

…………………………………………………

Y_i=a_i1Y₁+a_i2Y₂+…+a_ijY_j+…+a_imY_m+y_i;

…………………………………………………

Y_n=a_n1Y₁+a_n2Y₂+…+a_njY_j+…+a_nmY_m+y_n;

или в сокращенной записи

Y_i= при (i=1,2,…,n). (6)

Если теперь выписать коэффициенты прямых затрат (a_ij) в отдельную таблицу, то они образуют матрицу коэффициентов прямых затрат, характеризующих производственные связи между отраслями. Матрица эта имеет следующий вид:

(7)

Приведенную выше систему уравнений (6) в матричной форме можно записать в виде:

Y=AY+y, (8)

где A - упомянутая матрица коэффициентов a_ij;

Y - вектор-столбец Y;

y - вектор-столбец y.

Эта же система уравнений (8) может быть представлена в виде:

(E-A)Y = y, (9)

где Е - единичная матрица (матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, остальные элементы матрицы равны 0).

В матричной форме это записывается в виде

. (10)

Такая символика, широко применяемая в линейной алгебре, очень удобна для пользования, так как освобождает от необходимости громоздких записей матриц в развернутом виде

3. Коэффициенты полных затрат

Для более глубокого изучения межотраслевых связей и совершенствования прогнозирования народного хозяйства, наряду с коэффициентами прямых затрат, большое научное и практическое значение приобретает исчисление так называемых коэффициентов полных затрат, т.е. затрат, связанных с производством того или иного продукта не только прямо, но и косвенно через другие продукты.

Как же исчисляются полные затраты? Рассмотрим процесс образования полных затрат на примере затрат угля на производство огнеупоров, воспользовавшись для этого данными межотраслевого баланса (табл.4). По данным баланса прямые затраты угля в расчете на 1000 р. продукции огнеупоров составляют 30,1 р., а полные затраты - 146,9 р., или в 4,9 раза больше. Это вызвано тем, что на производство огнеупоров идёт большое количество нерудного сырья, кокса, электроэнергии и других материалов, на изготовление которых расходуется уголь, равно как и на его собственную добычу.

Кроме того, осуществляются перевозки сырья и материалов для производства огнеупоров, а также перевозки последних к месту потребления.

Таблица 5

Прямые затраты в рублях на 1000 р. продукции огнеупоров

Наименования	Огнеупоры	Нерудное сырье	Уголь	Кокс	Электроэнергетика	Перевозки
Нерудное сырье	113,5	2,1	-	-	-	-
Уголь	30,1	24,7	52,0	716,6	222,8	74,1
Кокс	72,6	14,3	-	67,6	-	-
Электроэнергия	30,8	44,6	21,8	26,0	1,2	13,2
Перевозки	137,6	188,9	237,8	32,2	-	-

Косвенные затраты угля на производство материалов и топлива, а также на перевозки, связанные с производством огнеупоров, можно подсчитать следующим образом.

Косвенные затраты угля 1-го порядка

На производство нерудного сырья ……………….… р.

На производство угля…………………………..……… р.

На производство кокса…………………………… р.

На производство электроэнергии ……………...… р.

На перевозки………………………………………. р.

Итого косвенных затрат угля 1-го порядка …………………73,5 р.

Косвенные затраты угля 2-го порядка

На производство нерудного сырья

На производство угля

На производство кокса

На производство электроэнергии

На перевозки

Итого косвенных затрат угля 2-го порядка 12,91 р.

Затем подсчитываются косвенные затраты угля 3-го порядка,
4-го порядка и т.д.

Аналогичным образом исчисляются косвенные затраты по другим видам материалов, топлива и электроэнергии. Подсчитав сумму всех косвенных затрат данного продукта на производство другого продукта и прибавив сюда прямые затраты, мы получим полные затраты. Таким образом, полные затраты представляют собой сумму прямых и косвенных затрат одного продукта на производство единицы другого продукта по всей цепи технологической связи производства продуктов.

Однако, как видно из приведенного выше примера, исчисление полных затрат (даже при четырех элементах) представляет собой большие трудности и связано с огромными вычислениями. В настоящее время математические методы исчисления полных затрат разработаны подробно и производятся с помощью компьютеров.

Коэффициенты полных затрат тесно связаны с алгебраическим решением системы уравнений межотраслевого баланса. Решая эти уравнения относительно Y_i, после того как вместо а_ij поставлены конкретные числа, а y₁,y₂,…,y_n оставлены в алгебраической форме, получим для каждого Y_i выражение следующего вида

Y_i = b_i1y₁ + b_i2y₂ + … + b_ijy_j + … + b_imy_n ,

где b_ij - коэффициенты полных затрат.

Если теперь положить y_j = 1, а все остальные значения y равными нулю, то есть y₁ = y₂ =…= y_j-1 = y_j+1 =…= y_n = 0, то получим Y_i = b_ij.

Таким образом, b_1j, b_2j,… являются полными затратами 1-го,
2-го,… продуктов на единицу j-го продукта.

Получение коэффициентов полных затрат b_ij математически отвечает получению матрицы, обратной матрице E-A, т.е. матрицы (E-A).

Изменение в конечном спросе или в условиях производства в какой-либо отрасли изучается в межотраслевом балансе через прослеживание количественной реакции всех взаимосвязанных отраслей. Это означает, что любое изменение потребностей или технологии производства какого-либо товара изменит структуру равновесных цен и, тем самым, приведет к изменению и удельных коэффициентов. Например, воздействие в изменении конечного спроса на трактор, на производство металла прослеживается через коэффициент удельного расхода на металл, на производство одного трактора, воздействие этого на производство сырья - через коэффициент удельного расхода на выплавку одной тонны металла.

Таким образом, использование метода “затраты-выпуск” межотраслевого баланса (МОБ) позволяет не только изучить взаимозависимость между различными отраслями экономики, проявляющуюся во взаимовлиянии цен, объемов производства, капиталовложений и доходов, но и осуществить прогнозирование развития экономики страны, так как, задавшись ростом одного или группы продуктов, можно определить масштабы роста остальных отраслей экономики страны, а тем самым и темпы экономического роста, его отраслевую структуру.

Список используемой литературы

1. Кафедра “Экономическая теория” ХГАЭиП, (канд. экон. наук, зав. Кафедрой В.Ф. Коуров); канд. экон. наук, доцент кафедры “Экономическая теория” ХГАЭиП, Варлашкина Т.И.