Математическое моделирование межвидовых взаимоотношений двух видов типа "конкуренция"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮГОУ ВПО

ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА

Кафедра «Охрана окружающей среды и РИПР»

Курсовая работа по курсу

«Экологическое моделирование»

Тема: «Математическое моделирование межвидовых взаимоотношений двух видов типа конкуренция»

Выполнила: ст.гр. Бзд-31

Халисова А.И.

Уфа - 2010

Содержание

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1 Типы взаимодействия между двумя видами

1.2 Конкуренция и сосуществование видов

Глава 2. Постановка задачи, ее аналитическое решение

2.1 Описание конкуренции двух видов системой уравнений

2.2 Исследование особых точек на устойчивость

2.3 Построение фазового портрета

2.4 Численное решение уравнения

2.5 Результаты численного решения

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Моделирование - это разработка, исследование модели и распространение модельной информации на оригинал (Лиепа, 1982). В экологии наиболее широкое применение нашло математическое моделирование.

Модели экосистемного уровня представляют собой системы уравнений, в число аргументов которых включены как внутренние переменные состояния, так и внешние факторы воздействия, и целостные свойства экосистем. Они учитывают и роль обратных связей в функционировании систем.

Так, в данной курсовой работе рассматривается моделирование межвидовых взаимоотношений на примере конкуренции. Дается предварительное объяснение и предсказание поведения двух видов популяций. Когда оба вида воздействуют друг на друга отрицательно.

Курсовая работа состоит из 2 глав. Первый включает общие сведения о типах межвидовых взаимодействий, а также подробно рассматривается явление конкуренции. Вся теоретическая часть сопровождается примерами биотических отношений между организмами различных видов. Во втором разделе приведены аналитические и численные исследования задач.

Глава 1. Обзор литературы

1.1 Типы взаимодействия между двумя видами

Живые организмы не могут существовать сами по себе. Они связаны воедино разнообразными отношениями, вся полнота которых выявляется лишь при анализе экосистемы как целого. Живые существа зависимы от своего окружения, поскольку им надо питаться, расселяться, защищаться от хищников и т. д. Виды по-разному влияют друг на друга: конкурируют с соседями за пищу и выделяют ядовитые вещества, оказываются полезными друг для друга или "эксплуатируют" другие виды. Сущность межвидовой конкуренции заключается в том, что у особей одного вида уменьшается плодовитость, выживаемость или скорость роста в результате использования ресурса или интерференции со стороны особей другого вида. Однако за этой простой формулировкой кроется большое количество самых разнообразных нюансов. Влияние межвидовой конкуренции на динамику численности популяции конкурирующих видов многолико. Динамика в свою очередь может оказывать влияние на распределение видов и их эволюцию.

Конкуренция возникает тогда, когда два или большее число организмов получают ресурс из источника, который для всех явно недостаточен. Иными словами, конкуренция возникает только в том случае, если ресурс ограничен. Если же ресурс имеется в избытке, то два вида даже с очень сходными потребностями конкурировать не будут. Это может наблюдаться, например, при регулировании численности видов хищниками или паразитами.

Взаимодействия популяций двух видов теоретически можно выразить в виде следующих комбинаций символов: 00, - -,+ +, + 0, - 0 и + -. Три из них (++, - - и + -) в свою очередь обычно подразделяются, и в результате мы получаем девять основных типов взаимодействий: 1) нейтрализм, при котором ассоциация двух популяции не сказывается ни на одной из них; 2) взаимное конкурентное подавление, при котором обе популяции активно подавляют друг друга; 3) конкуренция за общий ресурс, при которой каждая популяция косвенно отрицательно воздействует на другую в борьбе за дефицитный ресурс; 4) аменсализм, при котором одна популяция подавляет другую, но caма не испытывает отрицательного влияния; 5) паразитизм и 6) хищничество, при которых одна популяция неблагоприятно воздействует на другую, нападая непосредственно на нее, но тем не менее сама зависит от объекта своего нападения; 7) комменсализм, при котором одна популяция извлекает пользу из объединения, а для другой это объединение безразлично; 8) протокооперация, при которой обе популяции получают от ассоциации выгоду, но эти отношения не обязательны, и 9) мутуализм, при котором связь популяций благоприятна для роста и выживания обеих, причем в естественных условиях ни одна из них не может существовать без другой. Все эти типы взаимодействий приведены в таблице 1.

Таблица 1 Анализ взаимодействий популяций двух видов

Типы взаимодействий	Виды	Общий характер взаимодействия
	1	2
1. Нейтрализм	0	0	Ни одна популяция не влияет на другую
2. Конкуренция, непосредственное взаимодействие	-	-	Прямое взаимное подавление обоих видов
3. Конкуренция, взаимодействия из-за ресурсов	-	-	Непрямое подавление при дефиците общего ресурса
4. Аменсализм	-	0	Популяция 2 подавляет популяцию 1, но сама не испытывает отрицательного воздействия
5. Паразитизм	+	-	Популяция паразита (1) состоит из меньших по величине особей, чем популяция хозяина
6. Хищничество(и поедание растений)	+	-	Особи хищников (1) обычно крупнее, чем особи жертвы (2)
7. Коменсализм	+	0	Популяция 1, комменсал, получает пользу от объедения; популяции 2 это объедение безразлично
8. Протокооперация	+	+	Взаимодействие благоприятно для обоих видов, но не обязательно
9. Мутуализм	+	+	Взаимодействие благоприятно для обоих видов и обязательно

1. 0 означает отсутствие значимых взаимодействий; + означает улучшение роста, выживания и другие выгоды для популяции ( к уравнению роста прибавляется положительный член); - означает замедление роста и ухудшение других характеристик (к уравнению роста добавляется отрицательный член).

2. Типы 2-4 можно считать «отрицательными взаимоотношениями», типы 7-9 - «положительными взаимоотношениями», а типы 5 и 6 можно относить к обеим этим группам.

Следует подчеркнуть три принципа, основанные на этих категориях:

1. Негативные взаимодействия проявляются на начальных стадиях развития сообщества или в нарушенных природных условиях, где высокая смертность нейтрализуется r-отбором.

2. В процессе эволюции и развития экосистем обнаруживается тенденция к уменьшению роли отрицательных взаимодействий за счет положительных, повышающих выживание взаимодействующих видов,

3. В недавно сформировавшихся или новых ассоциациях вероятность возникновения сильных отрицательных взаимодействий больше, чем в старых ассоциациях.

Одна популяция часто влияет на скорость роста или смертность другой. Так, члены одной популяции могут поедать членов другой популяции, конкурировать с ними за пищу, выделять вредные вещества или взаимодействовать с ними другим способом. Точно так же популяции могут быть полезными друг для друга, причем польза в одних случаях оказывается обоюдной, а в других - односторонней. Как было показано в таблице 1, взаимодействия такого рода подразделяются на несколько категорий.

Все эти популяционные взаимодействия можно изучать на примере некоего среднего сообщества. Тип взаимодействий конкретной пары видов может изменяться в различных условиях или в зависимости от стадии жизненных циклов. Так, в одно время у двух видов может быть выявлен паразитизм, в другое время -- комменсализм, а в какой-то третий период жизни они могут быть полностью нейтральны друг к другу. Упрощенные сообщества и лабораторные эксперименты позволяют экологам получать всего один из многих типов взаимодействий и изучать его количественно. Дедуктивные математические модели, построенные на основе таких исследований, дают возможность анализировать факторы, которые обычно трудно отдифференцировать один от другого.

Для выяснения действий различных факторов в сложных природных ситуациях, а также для более точного определения понятий и большей четкости рассуждении полезно пользоваться «моделями» в форме уравнений. Если рост одной популяции можно описать с помощью уравнения, то влияние другой популяции можно выразить членом, который изменяет рост первой популяции. В зависимости от типа взаимодействия в уравнение можно подставлять разные члены. Например, при наличии конкуренции скорость роста каждой популяции равна скорости нелимитируемого роста минус влияние собственной численности (которое растет с ростом численности популяции) и минус величина, характеризующая отрицательное влияние другого вида, N2 (которая также растет по мере роста численностей обоих видов N1 и N2).

Когда виды двух взаимодействующих популяций оказывают друг на друга благоприятное, а не повреждающее влияние, в уравнение вводят положительный член. В таких случаях обе популяции растут и процветают, достигая равновесных уровней, что благоприятно для обоих видов. Если для роста и выживания каждой из популяций необходимо их взаимное влияние друг на друга, то такие взаимоотношения называются мутуализмом. Если же, с другой стороны, эти благоприятные влияния лишь вызывают увеличение размеров популяции или скорости ее роста, но не являются необходимыми для ее роста и выживания, то такое взаимодействие соответствует кооперации или протокооперации. (Поскольку такая кооперация не есть следствие сознательной или «разумной» деятельности, предпочтительнее пользоваться последним термином.) И мутуализм, и протокооперация приводят к сходному результату: рост популяции в отсутствие другой либо замедлен, либо равен нулю. По достижения равновесия обе популяции продолжают сосуществовать, обычно сохраняя определенной соотношение.

Рассмотрение популяционных взаимодействий так, как это сделано в таблице 1 или на основе уравнений роста, позволяет избежать противоречий, нередко возникающих при обсуждении терминов или определений как таковых. Например, термин «симбиоз» иногда употребляют в том же смысле, что и мутуализм, а иногда его понимают более широко, включая в него также комменсализм и паразитизм. Поскольку слово симбиоз буквально означает «Жить вместе», его следует применять в широком смысле, безотносительно к природе взаимосвязи. Термин «паразит» многие используют применительно к любому мелкому организму, живущему на поверхности или внутри другого организма, независимо от того, положительно, отрицательно или безразлично его влияние. В таком же смысле трактуется и предмет науки паразитология. Для одного и того же типа взаимодействий предлагались разные термины, что только увеличивало путаницу. Однако, когда отношения представлены в виде схемы, обычно не остается сомнений, к какому типу относить рассматриваемое взаимодействие; слово или «ярлык» оказывается в таком случае вторичным относительно механизма и его результата.

Следует обратить внимание на то, что слово «вредоносный» не использовалось в описании отрицательных взаимодействий. Конкуренция и хищничество снижают скорость роста популяций, испытывающих эти влияния, но этот эффект не обязательно вреден, если рассматривать его с точки зрения выживания популяции на протяжении длительного времени или с точки зрения ее эволюции. Отрицательные взаимодействия фактически могут ускорять естественный отбор, приводя к возникновению новых адаптации. Хищники и паразиты часто полезны для популяций, не имеющих механизмов саморегуляции для предотвращения перенаселения, следствием которого могло бы быть самоуничтожение таких популяций.

1.2 Конкуренции и сосуществование видов

В самом широком смысле конкуренция - это взаимодействие двух организмов, стремящихся получить один и тот же ресурс. Межвидовая конкуренция - это любое взаимодействие между популяциями двух или более видов, которое неблагоприятно сказывается на их росте и выживании. Как показано в таблице 1, она может проявляться в двух формах. Тенденция к экологическому разделению, наблюдаемая при конкуренции близкородственных или сходных в иных отношениях видов, известна как принцип конкурентного исключения. Вместе с тем конкуренции способствует возникновению в процессе отбора многих адаптации, что приводит к увеличению разнообразия видов, сосуществующих в данном пространстве или сообществе.

Конкурентное взаимодействие может касаться пространства, пищи или биогенных элементов, света, неиспользованных веществ, зависимости от хищников, подверженности болезням и т. д. и многих других типов взаимодействий. Результаты конкуренции представляют огромный интерес; они были многократно исследованы как один из механизмов естественного отбора. Межвидовая конкуренция, независимо от того, что лежит в ее основе, может привести либо к установлению равновесия между двумя видами, либо, при более жестокой конкуренции, к замене популяции одного вида популяцией другого, либо к тому, что один вид вытеснит другой в иное место или же заставит его перейти на использование иной пищи. Неоднократно отмечалось, что близкородственные организмы, ведущие сходный образ жизни и обладающие сходной морфологией, не обитают в одних и тех же местах. Если же они живут в одном месте, то часто используют разные ресурсы или активны в разное время.

Объяснение экологического разделения близкородственных (или сходных в иных отношениях) видов получило известность как принцип Гаузе по имени русского биолога, который в 1932 г. впервые подтвердил его существование экспериментально или как принцип конкурентного исключения (Harden, 1940).

Чтобы понять причины конкуренции, необходимо рассматривать не только особенности популяций и условия, определяющие конкурентное исключение, но также ситуации, в которых сосуществуют сходные виды, поскольку в открытых природных системах большое число видов фактически пользуется общими ресурсами. В таблице 2 и на рисунке 1 показана ситуация, которую можно было бы назвать моделью Tribolium--Trifolium; эта модель наглядно демонстрирует конкурентное исключение в паре видов жуков (Tribolium) и сосуществование двух видов клевера (Trifolium.).

Одно из наиболее тщательных и длительных экспериментальных исследований межвидовой конкуренции было проведено в лаборатории доктора Томаса Парка в Чикагском университете. Парк, его студенты и сотрудники работали с мучным хрущаком, в частности с видами рода Tribolium. Эти мелкие жуки могут завершить весь свой жизненный цикл в очень простой и однородной среде - в банке с мукой или пшеничными отрубями. В этом случае среда служит одновременно и пищей, и местообитанием личинок и имаго. Если регулярно добавлять свежую среду, то популяция жуков может поддерживаться долгое время. С точки зрения представлений о потоке энергии такую экспериментальную систему можно описать как стабилизированную гетеротрофную экосистему, в которой импорт энергии пищи уравновешивается затратами на дыхание.

Таблица 2. Случай конкурентного исключения в популяциях мучного хрущака (Tribolium), (По Park, 1954).

«Климат»	Температура, ОС	Относительная влажность, %	Исход межвидовой конкуренции, %
			Побеждает Т.castaneum	Побеждает Т.confusum
Жаркий влажный	34	70	100	0
Жаркий сухой	34	30	10	90
Теплый влажный	29	70	86	14
Теплый сухой	29	30	13	87
Холодный влажный	24	70	31	69
Холодный сухой	24	30	0	100

Каждый из 6 вариантов опытов проведен в 20--30 повторностях. В чистой культуре каждый вид выживает при любых сочетаниях условий, однако при совместном культивировании двух видов выживает только один. В процентах выражено относительное число повторностей, в которых сохранялся только один вид, а другой элиминировался.

Оказалось, что если в этот однородный мирок поместить два разных вида Tribolium, то раньше или позже один из видов неизбежно будет элиминирован, тогда как другой будет успешно размножаться. Один вид всегда «побеждает», или, иными словами, два вида Tribolium не могут выжить в этом специфическом «мирке». Относительное число особей каждого вида, первоначально внесенных в культуру (т. е. исходное соотношение особей) не влияет на окончательный результат, однако «климат» экосистемы существенно сказывается на исходе борьбы. Как показано в таблице 2, один из видов (Т. castaneum) всегда побеждает в условиях высокой температуры и влажности, тогда как другой (Т.confusum) всегда побеждает и прохладном и сухом «климате», хотя и тот и другой при любом из испытанных сочетаний условий может неопределенно долго существовать в чистой культуре. В промежуточных условиях для каждого вида имеется определенная вероятность оказаться победителем (например, для Т. castaneum эта вероятность в теплой и влажной среде составляет 0,86). Понять некоторые результаты конкурентного взаимодействия помогает анализ свойств популяции каждого вида в чистой культуре. Например, было обнаружено, что победителем обычно оказывается вид, обладающий в изучаемых условиях намного большей скоростью роста (r), чем другой. Если же величины r для обоих видов различаются не слишком сильно, то вид с более высоким показателем не всегда окажется победителем. Вирусное заболевание в одной из популяций легко может решить исход дела. Финер (Feener, 1981) описал случай, когда конкурентное равновесие между двумя видами муравьев было нарушено паразитическим двукрылым. Кроме того, конкурентоспособность может в значительной степени различаться у различных генетических линий.

Пользуясь данными, полученными в модельных экспериментах на Tribolium, легко создать условия, в которых виды не исключали бы друг друга, а сосуществовали. Если культуры попеременно помещать то в жаркие и влажные, то в сухие и холодные условия (для имитации сезонных изменений погоды), преимущество одного вида перед другим будет недостаточно длительным для уничтожения другого. Если бы система культивирования была «открытой» и особей доминирующего вида вынуждали эмигрировать (или их бы удаляли, как это делает хищник) достаточно быстро, то конкуренция оказалась бы настолько слабой, что оба вида могли бы сосуществовать. Существованию могли бы благоприятствовать и многие другие условия.

Интересные эксперименты по конкуренции у растений провел Дж. Л. Харпер и его коллеги из Университетского колледжа Северного Уэльса (см. Harper, 1961; Harper и Clalworthy, 1963; Clatworthy, Harper, 1962). Результаты одного из этих исследований представлены на рис. 1. Вследствие различий в характере роста два вида клевера могут сосуществовать в одной и той же среде (при одинаковых условиях освещенности, температуры, на одной и той же почве и т. д.). Из этих двух видов Trifolium repens растет быстрее и скорее достигает максимальной облиственности. Однако Т. fragiferum имеет более длинные черешки и выше посаженные листья, поэтому он может перейти в верхний ярус раньше, чем быстро растущий вид (особенно после того, как скорость роста Т. repens пошла на убыль), и таким образом избежать затенения. В смешанных травостоях из-за этих особенностей каждый вид ингибирует развитие другого, но оба они оказываются в состоянии завершить жизненный цикл и дать семена, хотя плотность каждого вида понижена (впрочем, общая плотность в смешанных травостоях двух видов была примерно равна плотности в чистых травостоях). В этом случае оба вида, несмотря на сильную конкуренцию за свет, могут сосуществовать, и это сосуществование обусловлено особенностями морфологии и различиями во времени максимального роста. Харпер (Нагрег, 1961) пришел к заключению, что два вида растений могут длительно сосуществовать, если их популяции независимо регулируются посредством одного или нескольких из следующих механизмов: 1) различия потребностей в питании (например, бобовые и небобовые); 2) различия причин смертности (например, разная чувствительность к выеданию скотом); 3) чувствительности к различным токсинам и 4) чувствительности к одному и тому же регулирующему фактору (свет, вода и т. д.) в разное время (как в случае только что описанного примера с клевером).

При изучении литературы, посвященной конкуренции, складывается общее впечатление, что в системах, где отсутствуют или понижены иммиграция и эмиграция, происходит более жестокая конкуренция и более вероятно конкурентное исключение. К числу таких систем следует отнести лабораторные культуры, острова или другие природные ситуации с трудно преодолимыми преградами для входа и выхода. В обычных природных открытых системах вероятность сосуществования выше.

Глава 2. Постановка задачи, ее аналитическое решение

2.1 Конкуренция двух видов описывается системой уравнений

dx₁/dt = c₁x₁ - a₁₁x₁² - a₁₂x₁x₂ = P (x₁,x₂)

dx₂/dt = c₂x₂ - a₂₂x₂² - a₂₁x₁x₂ = Q (x₁x₂) (1),

где x₁, x₂ - плотность популяции (биомасса);

с₁, c₂ - коэффициенты естественного роста;

a₁₁x₁², a₂₂x₂² - внутривидовая конкуренция;

a₁₂x₁x₂, a₂₁x₁x₂ - межвидовое взаимодействие.

Исследуем систему уравнений на основе качественной теории дифференциальных уравнений Ляпунова-Пуанкаре.

Определяем особые точки уравнения (точки покоя, стационарные точки) - такие значения х = х, при которых dx/dt= 0.

c₁x₁ - a₁₁x₁² - a₁₂x₁x₂= 0,

c₂x₂ - a₂₂x₂² - a₂₁x₁x₂= 0 (2).

Система, состоящая из двух алгебраических уравнений II порядка имеет 4 корня.

1 особая точка: x₁⁽¹⁾ = 0, x₂⁽¹⁾ = 0;

2 особая точка: x₁⁽²⁾ = 0, x₂⁽²⁾ = c₂/a₂₂;

3 особая точка: x₁⁽³⁾ = c₁/a₁₁, x₂⁽³⁾ = 0;

4 особая точка: x₁⁽⁴⁾ = (c₁a₂₂ - c₂a₁₂)/ (a₁₁a₂₂- a₁₂a₂₁), x₂⁽⁴⁾ = (c₂a₁₁ - c₁a₂₁)/ (a₁₁a₂₂- a₁₂a₂₁).

2.2 Исследуем особые точки на устойчивость

Для этого производится линиализация системы (2) в малой окрестности каждой особой точки:

dо/dt= aо+ bз,

dз/dt= cо + dз (3),

где о,з - малые отклонения численности видов от равновесного состояния

о з<<1.

Решение системы уравнений (3) имеет вид:

о (t) = c₁e^л1t

з (t) = c₂e^л2t.

Устойчивость особых точек определяется корнями характеристического уравнения:

л² + (a + d)л + (ad +bc) = 0

л_1,2= (a +d)/2±v(a+d)²/4 + bc - ad.

В системе 3 коэффициенты определяются из формул:

a= ?P/?x₁ b= ?P/?x₂

c= ?Q/?x₁ d=?Q/?x₂

Находим производное, затем, чтобы найти коэффициенты, подставляем равновесные значения x.

a= c₁ - 2a₁₁x₁ - a₁₂x₂

b= -a₁₂x₁

c= -a₂₁x₂

d= c₂ - 2a₂₂x₂ - a₂₁x₁.

Для каждой особой точки находим корни характеристического уравнения.

1 особая точка:

л₁= с₁, л₂= с₂.

2 особая точка:

л₁= с₁ - a₁₂(c₂/a₂₂), л₂= -с₂.

3 особая точка:

л₁= -с₁, л₂= с₂ - a₂₁(c₁/a₁₁).

4 особая точка определяет существование двух видов ненулевой численности и представляет собой устойчивый узел, если выполняется условие :

c₂ (a₁₂/a₂₂)<c₁<c₂ (a₁₁/a₂₁).

2.3 Построение фазового портрета

Определяем изоклины горизонтальных и вертикальных касательных. Правые части уравнений приравняем к нулю:

c₁x₁ - a₁₁x₁² - a₁₂x₁x₂= 0,

c₂x₂ - a₂₂x₂² - a₂₁x₁x₂= 0.

Из I уравнения находим изоклины вертикальных касательных .

х₂=(с₁/a₁₂) - (a₁₁/a₁₂)х₁.

Из II- изоклины горизонтальных касательных.

х₂=с₂/a₂₂-(a₂₁/a₂₂)х_1.

Точки х изоклин вертикальных и горизонтальных касательных представляют собой найденные выше особые точки, то есть изоклины пересекаются в особых точках.

2.4 Численное решение уравнения

Решим численную систему уравнений (2) методом Рунге- Кутта:

Р(х₁,х₂) =с₁х₁-а₁₁х₁²-а₁₂х₁х₂

Q(х₁,х₂) =с₂х₂-а₂₂х₂₂²-а₂₁х₁х₂.

При с₁=0,8 с₂=2

а₁₁=0,2 а₁₂=0,1 а₂₁=1,2 а₂₂=1,6

х₁⁽¹⁾=0,0 ,х₂⁽¹⁾=0,0

х₁⁽²⁾=0,0, х₂⁽²⁾=1,25

х₁⁽³⁾=4, х₂⁽³⁾=0,0

х₁⁽⁴⁾=5,4, х₂⁽⁴⁾=-2,8.

1особая точка: а= 0,8, b= 0, c= 0, d= 2

л₁= 0,8, л₂= 2

Корни уравнения действительны и положительны - такая особая точка называется неустойчивый узел.

2 особая точка:

a= 0,67, b= 0, c= -1,5, d= -2

л₁= 0,67, л₂= -2

Корни уравнения действительны и имеют разные знаки - такая точка называется седло (две интегральные кривые проходят через эту точку, остальные представляют собой гиперболы ).Характеристика седла: изображающая точка, двигаясь по интегральным кривым , удаляется от особой точки, то есть одной из экспоненциальных решений со временем увеличивается, а другой падает.

3 особая точка:

a= -0,8, b= -0,4, c= 0, d= -2,8

л₁= -0,8, л₂= -2,8

Корни характеристического уравнения действительны и имеют отрицательные знаки - такая точка называется устойчивый узел.

4 особая точка:

Условие c₂ (a₁₂/a₂₂)<c₁<c₂ (a₁₁/a₂₁) выполняется , то есть 0,125<0,8< 0,3.

Такая точка представляет собой устойчивый узел.

Определяем изоклины вертикальных и горизонтальных касательных.

Изоклины вертикальных касательных:

x₂= 8 - 2x₁

Изоклины горизонтальных касательных:

x₂= 1,25 - 0,75x₁.

2.5 Результаты численного решения

№ 1 Модель конкуренции двух видов

№ 2 Модель конкуренции двух видов

№ 3 Модель конкуренции двух видов

№ 4 Модель конкуренции двух видов

№ 5 Модель конкуренции двух видов

1) В первом случае численность первого вида монотонно убывает, затем совсем исчезает. Численность второго вида монотонно убывает, затем достигнув определенного значения остается постоянным.

2) Во втором случае численность первого вида монотонно возрастает, затем принимает постоянное значение. Численность второго вида вначале резко уменьшается, затем монотонно убывает, достигнув определенного значения становится постоянной.

3) В третьем случае численность первого вида монотонно возрастает, достигнув определенного значения становится постоянным. Численность второго вида резко уменьшается, затем совсем исчезает.

4) В четвертом случае численность первого вида немного уменьшается, затем принимает постоянное значение. Численность второго вида резко уменьшается, затем становится постоянным.

5) В пятом случае численность первого вида монотонно возрастает, затем принимает постоянное значение. Численность второго вида монотонно убывает, затем принимает постоянное значение.

Заключение

вид популяция конкурентное отношение

В данной курсовой работе мы исследовали один из основных типов взаимодействия между двумя видами - конкуренция.

Для этого мы нашли четыре особые точки данной системы, исследовали их на устойчивость, а также определили вид этих особых точек.

Это было необходимо для построения фазовой траектории, то есть для того, чтобы показать, как меняется с изменением численности скорость роста.

Также для построения фазового портрета мы определили вертикальную и горизонтальную изоклину, которые представляют собой прямые на фазовой плоскости. Точка пересечения изоклин совпадает с особой точкой.

В природе любая популяция видов организмов вступает в ряд взаимосвязей с другими видами. Конкурентные отношения между популяциями разных видов возникают, когда они остро нуждаются в одном ресурсе, который находится в недостаточном количестве. Протекать конкуренция может по типу эксплуатации, т.е. простого использования дефицитного ресурса, или по типу интерференции - особи одного вида создают помехи особям другого в использовании общих ресурсов.

Список использованной литературы

В.В. Алексеев, И.И. Крышев, Т.Г. Сазыкина. Физическое математическое моделирование экосистем. - С. - Петербург: Гидрометеоиздат, 1992.

А.А. Горелов. Экология - наука - моделирование. - М., 1986.

Г.И. Марчук. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. - М.: Наука, 1986.

Природа мыслей и модели природы. / Под ред. Д.М. Гвишиани, И.Б. Новика, С.А. Пегова. М.: Мысль, 1986.

И.А. Шилов. Экология: учебник для биол. и мед спец. вузов. - М.: ВШ, 2000.

В.А. Радкевич. Экология. - Минск. В.Ш., 1997.

Размещено на Allbest