Определение фрактальной размерности как структурного параметра при анализе полимерных композитов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мордовский государственный университет

Определение фрактальной размерности как структурного параметра при анализе полимерных композитов

Селяев В.П., д-р техн. наук, профессор, чл.-корр. РААСН

Низина Т.А., канд. техн. наук, доцент

Ланкина Ю.А., Цыганов В.В, аспиранты

Важной задачей строительного материаловедения является разработка методов анализа структурной неоднородности реальных строительных композитов. Известно [1], что в открытых равновесных системах термодинамическое равновесие обеспечивается за счет нарушения упорядоченности. Возникающая внешне проявляемая упорядоченность в виде зерен, фаз и других структурных образований не является физическим признаком порядка из-за необеспеченности однородности химического состава и структуры композита на различных масштабных уровнях. Следствием этого является отсутствие необходимой стабильности физико-механических свойств композитов. Именно эта неоднородность является основным препятствием на пути уменьшения разброса физико-механических свойств композитов и не позволяет реализовать резервы прочности композиционных материалов.

Создание материалов со стабильными физико-механическими свойствами требует разработки новых технологий, базирующихся на подходах синергетики, являющейся теорией самоорганизующихся диссипативных структур, и теории фракталов, получившей в физике развитие в последние годы [1]. Фракталами называют самоподобные объекты, инвариантные относительно локальных дилатаций, т. е. объекты, которые при наблюдении при различных увеличениях повторяют один и тот же (самоподобный) рисунок. Понятие о фракталах как о самоподобных множествах ввел Б.Б. Мандельброт [2], определив фрактал как множество, для которого размерность Хаусдорфа-Безиковича всегда превышает топологическую размерность .

Фрактальные системы согласно своему определению, обладают фрактальной размерностью, не совпадающей с размерностью пространства, в котором они существуют.

Важным свойством фрактальных систем является их самоподобие. Это означает, что структура фрактала в одном масштабе подобна его структуре в другом, большем масштабе, т.е., увеличив в какое-то число раз, любой элемент фрактальной структуры, мы получим элемент структуры того же фрактала.

Однако, для реального природного фрактала существует некоторый минимальный масштаб длины , такой, что на расстояниях его основное свойство - самоподобие - пропадает. Кроме того, на достаточно больших масштабах длин , где - характерный геометрический размер объектов, это свойство самоподобия также нарушается. Поэтому свойства природных фракталов рассматриваются лишь на масштабах , удовлетворяющих соотношению .

Необходимо также отметить, что свойство точного самоподобия характерно лишь для регулярных фракталов. Если вместо детерминированного способа построения включить в алгоритм их создания некоторый элемент случайности (что характерно для реальных структур), то возникают так называемые случайные фракталы. Основное их отличие от регулярных фракталов состоит в том, что свойства самоподобия справедливы только после соответствующего усреднения по всем статистически независимым реализациям объекта. При этом увеличенная часть фрактала не точно идентична исходному фрагменту, однако их статистические характеристики совпадают.

Полимерные композиционные материалы являются типичными диссипативными системами, склонными к самоорганизации, что дает возможность производить их анализ, основываясь на теории фракталов. Однако до настоящего времени количественные оценки диссипативных структур с использованием фрактальной размерности были ограничены из-за экспериментальных трудностей.

Для количественного определения значений фрактальной размерности структуры полимерных материалов в работе использовались данные, полученные методом кинетической микротвердости на микротвердомере ПМТ-3. Фрактальность структуры эпоксидных композитов подтверждается при анализе поверхностей, показывающих распределение микротвердости по высоте поперечного сечения, построенных с различным шагом (0.5, 1 и 2 мм). Полученные кривые (рис. 1-3) позволяют убедиться, что структура данного композита обладает свойством скейлинга, т. е. она самоподобна на различных масштабных уровнях. В настоящее время для определения значений фрактальной размерности используется множество методик, в том числе метод покрытия квадратами, метод Херста (метод нормированного размаха), Фурье-анализ профилей, метод вертикальных сечений и т.д.

Наибольшее развитие получил метод покрытия квадратами. В общем случае при использовании данного метода требуется покрыть фрактальное множество - мерными блоками с длиной ребра , произвести подсчет их числа , построить график в двойных логарифмических координатах - и определить по углу наклона величину фрактальной размерности:

. (1)

Однако, данный метод обладает тем недостатком, что приходится эмпирическим путем подбирать величину , так как, с одной стороны, она должна быть не настолько мала, чтобы стал невозможным подсчет числа элементов, а с другой, не настолько велика, чтобы выйти за область применимости. Кроме того, использование геометрического метода определения фрактальной размерности непосредственно к поверхности является сложной задачей, поэтому обычно рассматриваются профили поверхности в различных сечениях [3].

Рис. 1. Изменение микротвердости по поверхности эпоксидного композита, шаг сетки 2 мм (состав 1)

Рис. 2. Изменение микротвердости по поверхности эпоксидного композита, шаг сетки 1 мм (состав 1)

Рис. 3. Изменение микротвердости по поверхности эпоксидного композита, шаг сетки 0,5 мм (состав 1)

Учитывая, что в ходе экспериментальных исследований получены числовые значения распределения микротвердости по высоте поперечного сечения, фрактальную размерность можно определить и иначе, непосредственно вычисляя длину ломаной, аппроксимирующей рассматриваемый профиль поверхности, при различных значениях размера звена:

. (2)

Поскольку в нашем случае форма поверхности задается в виде отдельных точек, то аппроксимировать профили ломаными линиями с одинаковыми звеньями достаточно неудобно. С другой стороны точки поверхности снимаются с определенным шагом (по оси и по оси ). Этот шаг можно принять за характерный размер (аналогичный размеру звена или ячейки в клеточном методе) и находить длину профиля в зависимости от него. Такая модификация метода определения фрактальной размерности позволяет значительно облегчить расчеты. Параметр при этом будет являться такой же характеристикой профиля, как и клеточная размерность. Обычно ее называют фрактальной размерностью, определяемой по длине профиля.

Аналогично размерности по длине профиля можно определить и фрактальную размерность всей поверхности. При этом площадь поверхности будет связана с размером соотношением

, (3)

где - фрактальная размерность поверхности. Площадь четырехугольников, из которых складывается поверхность, определяется по длинам сторон с помощью следующих формул [3]:

, (4)

где ;

- стороны четырехугольника, рассчитываемые по координатам точек поверхности. В остальном, алгоритм нахождения аналогичен предыдущему случаю для профилей поверхности. Данный модифицированный метод определения фрактальной размерности является значительно легче реализуемым и более удобным по сравнению с определением размерности по числу элементарных кубиков, необходимых для покрытия поверхности.

Фрактальная размерность, определяемая по длине профиля, и фрактальная размерность поверхности должны, соответственно, находится в интервалах 1…2 и 2…3.

Для расчета фрактальных размерностей использовались результаты экспериментальных исследований эпоксидных композитов со степенью наполнения маршалитом 0, 20, 40, 60 и 80%. Для каждого состава параллельно анализировалось по 10 поверхностей. Пример определения величины фрактальной размерности по длине профиля приведен на рис. 4.

Рис. 4. Определение фрактальной размерности по длине профиля (состав 2, 20% маршалита)

Полученные значения фрактальной данной размерности приведены в таблице 1.

Таблица 1

Анализ результатов показал, что значения фрактальной размерности, определяемые по площади поверхности, являются наиболее общей характеристикой структуры композиционных материалов, т. к. в этом случае учитываются все анализируемые профили. В данной работе анализ структуры выполняется по кривым распределения микротвердости, поэтому в данном случае величина фрактальной размерности является количественной характеристикой неравномерности распределения упруго-прочностных свойств эпоксидных композитов по высоте поперечного сечения.

Дробная размерность структуры полимерных композитов не только характеризует их геометрический образ, но и отражает процессы их образования и эволюции, а также определяет свойства материала. Это позволяет дать компактный способ описания объектов и процессов, решить проблемы оптимизации и прогнозирования свойства полимерных композитов.

Список литературы

фрактальный строительный композит

1. Иванова В.С. Синергетика: Прочность и разрушение металлических материалов. М.: Наука, 1992. 160 с.

2. Мandelbrot B.B. The fractal geometry of nature. N.Y.: Freeman, 1983. 480 p.

3. Нестеров С.Б., Зилова О.С. Определение фрактальной размерности поверхностей сорбентов // http://rvs.org.ru/article/sart.html.

Размещено на Allbest.ru