Моделирование переменного нагружения упругопластической пластинки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделирование переменного нагружения упругопластической пластинки

Федоров Михаил

Аннотация

рассматривается задача расчета пластинки прямоугольного плана при циклическом деформировании. Разрешающие уравнения записаны в смешанной форме. Физические соотношения базируются на теории малых упругопластических деформаций, обобщенном принципе Мазинга, теореме В.В. Москвитина об упругопластической разгрузке и гипотезах циклического деформирования материала. Предлагаемая модель расчета позволяет проводить анализ напряженно-деформированного состояния строительных конструкций, пластин при упругопластическом деформировании для случая простого нагружения.

Ключевые слова: простое нагружение пластин, переменная нагрузка, теория малых упругопластических деформаций, строительные конструкции, теорема В.В. Москвитина.

Abstract the problem is considered for calculating the plate rectangular plan under cyclic deformation. Resolving equations written in the mixed form. Physical relations are based on the theory of small elastic-plastic deformations, generalized principle Masing, Theorem VV Moskvitina of elastoplastic unloading and hypotheses cyclic deformation of the material. The proposed calculation model allows for the analysis of stress-strain state of the structures, plates under elastoplastic deformation in the case of simple loading.

Keywords: simple loading of plates, variable load, the theory of small elastic-plastic deformations, building construction, theorem V.V. Moskvitina.

При расчете часто необходимо знать историю деформирования строительных конструкций при переменной нагрузке. Моделируя поведение гибкой прямоугольной пластинки из упругопластического материала под действием поперечной равномерно распределенной импульсной нагрузки q, решим такую задачу.

Принимаем стандартное направление осей координат и поперечной равномерно распределенной нагрузки q. Перемещения вдоль осей x, y, z обозначим через u, v, w; размеры пластинки в плане равны a, b; толщина конструкции равна h. Принимаем гипотезу прямых нормалей, когда деформации малы, а углы поворота большие. Используем деформационную теорию пластичности А.А. Ильюшина и полагая материал несжимаемым, запишем физические соотношения в виде:

(1)

G - модуль сдвига, соответствующий характеру кривой деформирования материала. Связь между интенсивностью касательных напряжений:

(2)

и интенсивностью деформаций сдвига

(3)

имеет вид: (4)

а) степенная зависимость б) билинейная зависимость

Рис. 1. Аппроксимация диаграммы материала:

а) степенная зависимость, б) билинейная зависимость.

ГS - предел текучести. Для диаграммы с участками линейной аппроксимации на рис. 1, б имеем:

(5)

где G1 = tgб1, G2 = tgб2 - интенсивность деформаций равной пределу текучести. Усилия и изгибающие моменты записаны как функции напряжений. Подставив усилия и моменты, выраженные через перемещения u, v, w в уравнения, описывающие движение элемента пластинки, получим уравнения изгибных колебаний гибкой прямоугольной пластинки в перемещениях для случая активного упругопластического нагружения:

(6)

циклическое деформирование строительный упругопластический

где выражения правых частей уравнений Щ11 , Щ12 , Щ21 и Щ22 отвечают за кинетику пластических деформаций, .

Для интегрирования уравнений колебаний пластинки в перемещениях (6) необходимо учитывать граничные условия ряда типов опирания: жесткая заделка, скользящая заделка, шарнирно-подвижная опора.

Начальные условия: при t = 0 модель имеет нулевые значения для прогиба пластинки w = 0 и первой производной по времени dw/dt = 0.

Получены уравнения упругих колебаний пластинки при разгрузке.

(7)

Выражение щ21 для формулы (7) получим из щ11 заменой u на v и х на y и наоборот.

(8)

m* для уравнения колебаний в перемещениях для участка разгрузки - дополнительная нагрузка. Такое использование математической модели позволяет оценить колебания упруго - пластической пластинки на текущем шаге по времени. Рассмотрен случай диаграммы деформирования материала - с линейным упрочнением материала. Модель описывает упруго - пластическое деформирование материала пластинки при нестационарном нагружение.

Алгоритм реализован в виде программы. Анализ процесса деформирования во времени использует шаговый методе интегрирования. Напряженно-деформированное состояние пластинки рассчитывается для ряда последовательных шагов по времени , величина которых подбирается из условия устойчивости и сходимости вычислительного процесса. В данном случае условия динамического равновесия соблюдаются в отдельные моменты времени, соответствующие началу и концу шага. Нарушением условия динамического равновесия между этими моментами пренебрегаем. Жесткостные характеристики материала конструкции находятся в каждом из узлов конечно-разностной сетки по плану пластинки.

Рассматривается задача расчета пластинки на прямоугольном плане при циклическом деформировании. Получены разрешающие уравнения в смешанной форме, причем физические соотношения базируются на теории малых упругопластических деформаций, обобщенном принципе Мазинга, теореме В.В. Москвитина об упругопластической разгрузке и гипотезах циклического деформирования материала.

Предлагаемая модель расчета позволяет проводить анализ напряженно-деформированного состояния строительных конструкций, пластин при упругопластическом деформировании для случая простого нагружения. Расчетом определено распределение полей пластических деформаций по объему пластинки из упругопластического материала при ударном нагружении и последующих колебаниях конструкции . Соответствующие этим случаям объемные поля пластических деформаций в пластинке отражают заданный уровень нагрузки.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М. Наука, 1972.-432 с.

2. Федоров М.В., Снарский С.В., Муртазин М.Р. Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. Сб. науч. трудов. С.- Изд. САДИ, 2013.-С.58-62.

Размещено на Allbest.ru