Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агенство железнодорожного транспорта

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего образования

петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I

Кафедра «Экономика и менеджмент в строительстве»

Курсовая работа

по дисциплине «Эконометрика»

Тема работы: «Эконометрические исследования математической модели расходов на железнодорожные перевозки от длины дороги»

Д.Р. Хайруллина

Санкт-Петербург

2016

ЗАДАНИЕ на КУРСОВУЮ РАБОТУ

Цель работы

Целью курсовой работы является освоение и отработка навыков использования основных экономико-математических моделей и стандартных компьютерных процедур их анализа в процессе решения прикладной задачи статистического анализа расходов на железнодорожные перевозки от длины дороги. железнодорожная перевозка дорога

Этапы и требования к выполнению разделов работы

1. Подготовительный - подбор и ознакомление с литературой, обоснование актуальности исследования, изучение подходов к решению поставленной задачи.

2. Моделирования - обоснование применения методов математического моделирования решения задачи; осмысливаются все понятия и зависимости, на которых базируется модель, преимущества выбранного метода по сравнению с другими и производится описание метода.

3. Алгоритмизации и программирования - изучение алгоритмов и программ расчетов на ПЭВМ. При выборе программного обеспечения можно остановиться на прикладных пакетах программ или создать собственный программный продукт.

4. Расчетный - применение алгоритма и программы для вычислений статистических параметров и коэффициентов функций регрессии.

5. Анализ - оценка погрешности вычислений и раскрытие сущности полученных результатов, их взаимосвязи с исходными данными. Для проведения анализа рекомендуется использовать различные виды наглядности: схемы, графики, диаграммы, таблицы и т. п.

6. Заключительный - оформление расчетно-пояснительной записки и подготовка к защите.

Основные задачи

Рассчитать методом наименьших квадратов параметры уравнений линейной и нелинейной парной регрессии.

Оценить тесноту связи расходов на железнодорожные перевозки и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации.

Выполнить дисперсионный анализ линейной регрессии.

Провести сравнительную оценку силы связи фактора (длины дороги) с результатом (расходов на железнодорожные перевозки) с помощью среднего коэффициента эластичности.

Оценить с помощью ошибки аппроксимации качество уравнения регрессии средний доход от международных перевозок и длины дороги.

Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов линейного регрессионного моделирования.

Рассчитать прогнозное значение расходов на железнодорожные перевозки в предположении увеличения значения длины дороги на 10% от ее среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

Исходные данные

Для разработки математической модели используются опытные данные, представленные в табл.1.1.

Исходные данные
Наименование дороги	Место управления дороги	Длина, км	Расход на перевозки, млрд.руб
1.Октябрьская	Санкт-Петербург	10147	9280
2.Московская	Москва	9177	9172
3.Свердловская	Екатеринбург	7167	6900
4.Северо-Кавказская	Ростов-на-Дону	6499	4690
5.Западно-Сибирская	Новосибирск	6061	7392
6.Дальневосточная	Хабаровск	6031	6170
7.Северная	Ярославль	6004	5194
8.Горьковская	Нижний Новгород	5474	4960
9.Куйбышевская	Самара	4846	4742
10.Южно-Уральская	Челябинск	4807	4832
11.Юго-Восточная	Воронеж	4308	4231
12.Приволжская	Саратов	4203	3142
13.Восточно-Сибирская	Иркутск	3824	4553
14.Забайкальская	Чита	3407	5131
15.Красноярская	Красноярск	3161	2994
16.Сахалинская	Южно-Сахалинск	957	372
17.Калининградская	Калининград	662	334

Представить

Пояснительную записку, которая должна содержать: титульный лист, оглавление и введение; краткие теоретические сведения по моделированию; необходимые аналитические зависимости и расчетные формулы; схемы алгоритмов и программы решения задач; результаты расчетов, оформленные в виде таблиц, диаграмм и графиков; анализ полученных результатов; список литературы.

Список рекомендуемой литературы

1. Герасименко П.В. Специальные разделы высшей математики для экономических специальностей, ч.1: Учебное пособие - СПб.: Петербургский государственный университет, 2005. - 40 с.

2. Герасименко П.В. Специальные разделы высшей математики для экономических специальностей, ч.2: Учебное пособие - СПб.: Петербургский государственный университет, 2006. - 48 с.

3. Герасименко П.В. Специальные разделы высшей математики для экономических специальностей, ч.3: Учебное пособие - СПб.: Петербургский государственный университет, 2005. - 43 с.

4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. - М.: МГУ, 2001. - 368 с.

5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 311 с.

6. Эконометрика: Учебник /Под ред. И. И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.

Содержание

• Введение
• 1. Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии
• 1.1 Расчет параметров линейной парной регрессии
• 1.2 Расчет параметров степенной парной регрессии
• 1.3 Расчет параметров показательной парной регрессии
• 2. Дисперсионный анализ линейной функции регрессии
• 3. Оценка тесноты связи расходов на железнодорожные перевозки и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации
• 4. Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии
• 5. Сравнительная оценка силы связи длины дороги с расходами железнодорожных перевозок с помощью среднего коэффициента эластичности
• 6. Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделирования
• 7. Расчет прогнозного значения расходов на железнодорожные перевозки по линейной модели при увеличении длины дороги
• 8. Реализация решенных задач на компьютере
• 8.1 Реализация процедуры «ЛИНЕЙН»
• 8.2 Реализация процедуры «Анализ данных»
• 8.3 Реализация процедуры «ТРЕНД»

Выводы

Введение

В настоящее время для решения большого числа практических задач разработаны и широко применяются экономико-математические модели, в основу которых положены уравнения регрессии.

Методы и модели регрессионного анализа занимают центральное место в математическом аппарате эконометрики.

Задачами регрессионного анализа являются установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.

В настоящей курсовой работе стоит задача обосновать математическую модель расхода на железнодорожные перевозки в зависимости от длины дороги. Исходными данными для ее расчета являются реальные значения длины дороги и расходов на железнодорожные перевозки (всего 17 железных дорог). Для обоснования модели в курсовой работе рассматриваются линейные и нелинейные парные функции регрессии. В работе на основе полученных функций регрессии выполнен выбор математической модели, позволяющей прогнозировать расходы на железнодорожные перевозки в зависимости от изменения длины дороги.

1. Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии

1.1 Расчет параметров линейной парной регрессии.

Парная линейная регрессия имеет вид:

y_x = a + b · x,

где y_x - результативный признак, характеризующий расходы на железнодорожные перевозки; x - фактор (длина железной дороги);

a, b - параметры, подлежащие определению.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признак y от теоретических y_x будет минимальной. В этом случае для определения параметров a и b линейной регрессии необходимо решить следующую систему уравнений:

На основании исходных данных выполнены расчеты, которые при = 17 представлены в табл. 1.1

Таблица 1.1

С учетом обозначений при n = 17

= (y₁ +y₂ +…+ y₁₇)/17;= (x₁ +x₂ +…+x₁₇)/17;

= (y₁x₁ +y₂x₂ + … +y₁₇x₁₇)/17;

= (x₁²+x₂²+ …+x₁₇)/17;S_x² = ².

Значения параметров линейной регрессии вычисляются по формулам:

b = ()/(²) = (30658322,1765-4946,4118*5102,0588) / (5751047,4671)=0,9427;

a = - b =4946,4118-0,9427*5102,0588=136,7666.

Тогда уравнение регрессии, являющееся линейной моделью расходы на железнодорожные перевозки в зависимости от длины дороги, примет вид:

y_x =136,7666+ 0,9427*x.



Рис. 1 «График линейной парной регрессии»

1.2 Расчет параметров степенной парной регрессии.

Степенная парная регрессия относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам. Однако она считается внутренне линейной, так как логарифмирование ее приводит к линейному виду. Таким образом, построению степенной модели

предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация позволяет использовать для определения параметров функции регрессии метод наименьших квадратов. При этом оценки параметров будут вычислены по алгоритму, изложенному в 2.1.1.

для этой цели проведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lgy = lga + blgx.

Обозначим через Y = lgy; X = lgx; A = lga . Тогда уравнение примет вид:

Y = A + bX.

Как отмечалось, для расчета параметров А и b используются соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными.

Весь предварительный расчет параметров степенной функции регрессии аналогично линейной сведен в табл. 1.2.

Таблица1.2

Тогда В = (-)/S_x² =(13,1373-3,6329*3,5843)/(0,0898) =1,2934;

A = - b · =3,5843-12934*3,6329= -1,1146.

Таким образом, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:

Y = -1,1146 +1,2934 ·X.

Выполнив его потенцирование, получим:

y_x = 0,0765*x^1,2934.

Подставляя в последнее уравнение фактические значения x, получаем теоретическое значение y_x. Эти значения приведены в табл. 1.2

На рис. 2 выполнено построение степенной функции регрессии.

Рис. 2 «График степенной парной регрессии»

1.3 Расчет параметров показательной парной регрессии.

Поскольку показательная функция относится к классу нелинейных по оцениваемым параметрам, то построению функции парной показательной регрессии

y_x= a·b^x

предшествует, как и в случае степенной функции регрессии, процедура линеаризации переменных с помощью логарифмирования обеих частей функции регрессии. После логарифмирования получим следующее выражение:

lgy_х =lga + xlgb.

Введя обозначения переменных и констант

Y = lgy_х,A = lga, B = lgb,

получим линейное уравнение регрессии в новых переменных:

Y = A + Bx.

Для определения параметров все вычисления сведены в табл. 1.3

Таблица1.3

C учетом табличных данных значения параметров линейной регрессии составят:

B= / S_x² = (19084,2867-3,543*5102,0558)/(5751047,4671) = 0,00014;

A = - B =3,5843- 0,00014*5102,0558=2,8772.

Таким образом, получено уравнение

Y = 2,8772 + 0,0001*x,

или после потенцирования

y_x = 753,7026* (1,0003) ^x.

На рис. 3 выполнено построение показательной функции регрессии.

Рис. 3 «График показательной парной регрессии»



Рис. 4 «График линейной, степенной и показательной парной регрессии»

2. Дисперсионный анализ линейной и степенной регрессий.

Центральное место в дисперсионном анализе занимает разложение общей суммы квадратов отклонения результирующего показателя y от его среднего значения на две части, а именно на объясненную (факторную) и остаточную:

, (*)

где - общая сумма квадратов отклонений;

- объясненная (факторная) сумма квадратов отклонений;

- остаточная сумма квадратов отклонений.

Результаты расчетов сведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

На основании выполненных расчетов имеем:

98080324,1176= 86882242,5975+ 11198081,5201

следовательно, равенство (*) выполняется.

Если коэффициент b изменить в 1,1 раза, то измененное уравнение линейной регрессии будет иметь вид: y_x = 136,7666 + 1,0369*x - и приведенное выше соотношение (*) выполняться не будет, что следует из расчетов (табл. 2.5).

Таблица 2.5

Из таблицы следует:

11198081,5201<15993774,6913

98080324,1176? 109044091,7743+15993774,6913

т.е..

3. Оценка тесноты связи расхода на железнодорожные перевозки и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r_xy. Существуют различные формы записи линейного коэффициента корреляции. Наиболее часто встречаются следующие:

r_xy= b(S_x/ S_y) = M_xy/(S_x / S_y) = ( - )/ S_xS_y.

Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах-1 ? r_xy? 1. Если коэффициент регрессииb> 0, то 0 ? r_xy? 1, и наоборот, приb< 0-1 ? r_xy? 0.

Используя первое выражение дляr_xy,рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_xy=b(S_x/S_y) = 0,9427* (2398,1342/2401,9640) = 0,9412.

Значение коэффициента корреляции r_xy= 0,9412, свидетельствует о наличии корреляционной связи, связь прямая, то есть с увеличением длины дороги расходы на железнодорожные перевозки увеличиваются.

Для оценки качества подбора линейной функции необходимо определить квадрат линейного коэффициента r_xy², который называется коэффициентом детерминации линейной функции регрессии. Он характеризует долю дисперсии (разброса) грузооборота y_x, объясняемую зависимостью от длины дороги x, в общей дисперсии, возникающей за счет влияния других факторов.

Соответственно величина 1-r_xy² характеризует долю дисперсии грузооборота y, вызванную влиянием остальных не учтенных в математической модели факторов.

Определим коэффициент детерминации:

r_yx² = (0,9412 )² = 0,8859.

Таким образом, изменение результата (расходов на железнодорожные перевозки) на 88,6% объясняется изменением фактора (длины дороги).

В отличие от линейной регрессии нелинейная регрессия характеризуется не коэффициентом корреляции, а индексом корреляции R_xy и индексом детерминации R_xy²:

R_xy = (1 - (S_ост²/S_y² )^1/2,

где S_ост² = ( (y₁ - y_x1)² + (y₂ - y_x2)² + ... + (y₁₇ - y_x17)² )/ n;

S_y² = ( (y₁ - )² + (y₂ - )² + ... + (y₁₇ - )² )/ n.

Величина данного показателя находится в пределах 0 ? R_xy? 1, при этом чем она ближе к единице, тем теснее связь между длиной дороги и расходами на железнодорожные перевозки , тем более надежное уравнение регрессии.

Расчеты показателей степени связи между длиной дороги и расходом на железнодорожные перевозки при степенной модели показывают, что она несколько лучше линейной модели.

Аналогичная оценка для показательной функции регрессии находится на уровне оценки линейной регрессии, но несколько хуже степенной.

4. Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии

Из графиков и приведенных в таблицах расчетных данных следует, что фактическое значение пассажирооборота y отличается от теоретического значения y_x, рассчитанных по одному из уравнений регрессии. Очевидно, чем меньше это отличие, тем ближе опытные данные к теоретическим значениям и тем лучше качество модели.

Величина, представляющая собой разность опытного и теоретического результативного признака (y - y_x) для каждого опыта представляет собой ошибку аппроксимации функции, связывающей пассажирооборот и длину дороги. В данном случае число таких опытов равно семнадцати. Для оценки каждого опыта используются не сами разности, а абсолютные значения разностей опытного и теоретического результативных признаков, отнесенные к опытному признаку и выраженные в процентах, то есть:

А_i= | (y_i-y_xi) / y_i|100% .

Оценка качества всей функции регрессии может быть осуществлена как средняя ошибка аппроксимации - средняя арифметическая А_i:

А = (А₁ + А₂ + … + А₁₇) / 17.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации линейной функции связи между доходами от перевозок и длиной дороги:

А = 486,41*100/ 17 = 28,6 %.

Аналогично получим среднюю ошибку аппроксимации для степенной А = 305,07/17 = 17,94% и для показательной функции: А = 831,98/17 = 48,94%.

Их анализ показывает, что ошибка аппроксимации находится за пределами допустимых для практического использования пределах, однако с теоретической точки зрения может быть продолжен поиск более качественной функции регрессии.

5. Сравнительная оценка силы связи длины дороги с расходом на железнодорожные перевозки с помощью среднего коэффициента эластичности

Средний коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем изменится доход о международных перевозок y_x от своей величины при изменении длины дороги x на 1% от своего среднего значения. Для произвольной величины x он может быть вычислен по следующей формуле:

Э = y_x' (x)· / y_x.

С учетом приведенной формулы коэффициент эластичности Э для линейной функции регрессии

y_x =136,7666 + 0,9427*x.

примет следующий вид:

Э = y_x' (x) · / y_x= b · / (a + b) = 0,9427*5102,0588/

(136,7666+0,9427*5102,0588) =0,972 .

Коэффициент эластичности Э для степенной функции регрессии

y_x = 0,0765*x^1,2934.

вычисляется по соотношению:

Э = y_x' (x) · / y_x= a·b·x^b- ¹·( x /a·x^b) = b = 1,2934.

Коэффициент эластичности Э для показательной функции регрессии

y_x = 753,7026* (1,0003) ^x.

примет следующий вид:

Э = *Ln(b) = 753,7026*Ln(1,0003) = 1,48

Следовательно, анализ разработанных математических моделей показывает, что изменение на 1% длины какой-либо дороги из наших исходных данных, приводит к увеличению расходов на железнодорожные перевозки. По линейной модели это увеличение составляет 0,97 %, по степенной функции регрессии - 1,2934%, по показательной функции регрессии - 1,48%.

6. Оценка статистической значимости результатов линейного регрессионного моделирования.

Оценку статистической надежности уравнения регрессии в целом будем производить с помощью F-критерия Фишера. При этом примем нулевую гипотезу H₀, что коэффициент регрессии b равен нулю. В таком случае фактор x не оказывает влияния на результат y, то есть длина железной дороги не оказывает влияния на расходы железнодорожных перевозок . Альтернативная гипотеза H₁ будет состоять в статистической надежности линейного регрессионного моделирования. Для установления истинной значимости линейной модели необходимо выполнить сравнение факторного F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера. Факторный F-критерий Фишера вычисляется по формуле:

F_факт = S_факт²/ S_ост²,

где S_факт²- факторная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

S_факт² = ((y_x1- )²+ (y_x2 - )² + ...+ (y_x17 - )²) / 1=86882243

S_ост² - остаточная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

S_ост² = ( (y₁ - y_x1)² + (y₂ - y_x2)² + ...+ (y₁₂ - y_x17)² )/ n - 2=746538,80

F_факт =86882243/7466538,80=116,3801

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная выборочные дисперсии не отличаются друг от друга. Для опровержения нулевой гипотезы H₀ необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную дисперсию в несколько раз. Табличное F_табл значение F-критерия Фишера - это максимальная величина критерия (отношения дисперсий) под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости б, который примем равным 0,05.

Если F_табл<F_факт , то нулевая гипотеза о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели отвергается и признается их статическая значимость и надежность. Если F_табл>F_факт, то нулевая гипотеза не отклоняется и признается статическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии.

По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости б = 0,05 и степенях свободы к₁ = 1, к₂= 15получаем F_табл = 4,54. Выполнив расчет, получим F_факт = 116,80.

Полученные значения F-критерия Фишера указывают, что F_табл<F_факт, поэтому необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели и принять альтернативную гипотезу.

7. Расчет прогнозного значения расходов на железнодорожные перевозки по линейной модели при увеличении длины дороги.

Полученное уравнение линейной регрессии позволяет использовать его для прогноза. Согласно заданию на курсовую работу, следует рассчитать прогнозное значение расходов на железнодорожные перевозки, если прогнозное значение длины железной дороги увеличится на 10% от среднего значения всех дорог. При этом установить доверительный интервал прогноза для уровня значимости, равного 0,05.

Если прогнозное значение длины дороги составит

x_p = 1,1 * = 1,1 *5102,05 =5612,26 ,

то прогнозное точечное значение доходов от перевозок можно вычислить по соотношению:

y_xp = 136,8 + 0,94 · x_p = 136,8 + 0,94*5612,26=5412,3

Для определения доверительного интервала прогноза доходов от перевозок необходимо вычислить ошибку прогноза по формуле:

m_yp = S_ост·(1 + 1 /1 7 + ( x_p - )²/( (x₁ - )² + (x₂ - )² + ... + (x₁₇ -

- )²))^1/2

m_yp =864,03*(1+1,17+(260310/94767806,9412)) ^1/2 =890,19

Предельная ошибка прогноза, которая с вероятностью 0,95 не будет превышена, составит:

?_yp = t_табл · m_yp = 2,1315·890,19 = 1897,44.

Здесь t_табл - табличное значение t-статистки Стьюдента для числа степеней свободы n - 2 = 15 и уровне значимости 0,05.

Тогда предельные значения доверительного интервала прогноза доходов от перевозок при прогнозируемом увеличении длины дороги на 10% можно вычислить по формулам:

y_{xp min} = y_xp - ?_yp = 5412,3 -1897,44 = 3514,86

y_{xp max} = y_xp + ?_yp = 5412,3 +1897,44 = 7309,74

8. Реализация решенных задач на компьютере

Определение линейной функции регрессии выполним с помощью ППП Excel.

8.1 Реализация процедуры «ЛИНЕЙН»

Статистическая функция ЛИНЕЙН позволяет вычислить параметры линейной регрессии:

y_x = a + b · x .

Вся регрессионная статистика будет выводиться по схеме:

Значение коэффициента b	значение коэффициента а
Среднеквадратическое отклонение b		среднеквадратическое	отклонение а
коэффициент детерминации	среднеквадратическое	отклонение y
F-статистика		число степеней свободы
регрессионная сумма квадратов	остаточная сумма квадратов

Алгоритм вычисления регрессионной статистики включает следующие этапы:

1) подготовку исходных данных;

2) выделение области пустых ячеек 5 2 для вывода результатов регрессионной статистики;

3) активизацию Мастера функций одним из способов:

а) в главном меню выбрать ВСТАВКА/ФУНКЦИЯ;

в) на панели СТАНДАРТНАЯ щелкнуть по кнопке ВСТАВКА ФУНКЦИИ;

4) в окне КАТЕГОРИЯ выбрать СТАТИСТИЧЕСКИЕ, в окне ФУНКЦИЯ - ЛИНЕЙН; затем щелкнуть по кнопке ОК;

5) заполнить аргументы функции;

6) в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Для раскрытия всей таблицы необходимо нажать на клавишу F2, затем нажать комбинацию клавишей CTRL + SHIFT + ENTER.

Ниже приводятся результаты регрессионной линейной математической модели расходов на железнодорожные перевозки в зависимости от длины 17 дорог.

Сравнение результатов расчетов, выполненных с помощью прикладных программ Excel и согласно разработанным в курсовой работе алгоритмов, показало высокую степень их совпадения.

8.2 Реализация процедуры «Анализ данных»

Для активизации надстройки «Пакет анализа» необходимо открыть меню «Сервис» и щелкнуть по строке «Надстройки…». В открывшемся меню следует отметить строку «Пакет анализа» и подтвердить выбор кнопкой «ОК».

Использование пакета анализа осуществляется выбором строки «Анализ данных…» в строке «Сервис» после выделения любой ячейки рабочего листа. Построение парной линейной регрессии выполняется с помощью инструмента «Регрессия» пакета анализа.

Инструмент анализа «Регрессия» пакета анализа данных Excel позволяет по введенным статистическим данным получить значения выборочных коэффициентов корреляции и детерминации, стандартного отклонения; разложения общей суммы квадратов на объясненную и остаточную, расчетное значение -статистики и уровень значимости на котором расчетная -статистика равняется соответствующей табличной величине; значения регрессионных параметров, их стандартные ошибки, и -статистики; таблицу теоретических значений и величины их отклонений от опытных данных; график статистических данных с линией регрессии и график остатков; и другие статистические оценки.

Вызов опции «Регрессия» осуществляется через надстройку «Анализ данных…» меню «Сервис».

Вызов надстройки «Анализ данных…» приведет к появлению списка инструментов анализа. В этом списке необходимо выбрать «Регрессия» и подтвердить выбор нажатием кнопки «ОК».

Интерфейс инструмента анализа «Регрессия» представляет собой диалоговое окно, в верхней части которого следует ввести статистические данные результирующей переменной в поле «Входной интервал Y» и данные фактора в поле «Входной интервал X». При необходимости построения уравнения регрессии вида нужно задать параметр «Константа-ноль». Параметр «Уровень надежности» в процентах определяет величину доверительной вероятности . В качестве выходного интервала удобно задать адрес ячейки непосредственно рядом с таблицей исходных данных. Рекомендует активизировать параметры «Остатки» (таблица теоретических значений результирующего показателя и соответствующие значения остатков), «График остатков» (график отклонений теоретических значений результирующего показателя от его опытных значений) и «График подбора» (график статистических данных с соответствующими теоретическими величинами, вычисленными по уравнению регрессии).

После подтверждения настроек нажатием кнопки «ОК» итоги регрессионного анализа высветятся в заданной области.

Ниже приведены пояснения к итогам расчетов инструмента анализа «Регрессия».

1. Регрессионная статистика:

Множественный R - выборочный коэффициент корреляции;

R-квадрат - выборочный коэффициент детерминации;

Нормированный R-квадрат - выборочный скорректированный на объем выборки коэффициент детерминации;

Стандартная ошибка - стандартная ошибка результирующей переменной;

Наблюдения - объем выборки.

2. Дисперсионный анализ:

Регрессия - строка таблицы, соответствующая объясненной сумме квадратов отклонений;

Остаток - строка таблицы, соответствующая остаточной сумме квадратов отклонений;

Итого - строка таблицы, соответствующая общей сумме квадратов отклонений;

df - столбец значений числа степеней свободы;

SS - столбец значений сумм квадратов отклонений;

MS - столбец значений сумм квадратов отклонений отнесенных к числу степеней свободы;

F - расчетное значение -статистики;

Значимость F - значение уровня статистической значимости, при котором табличное значение -статистики с числом степеней свободы 1 и будет равно расчетной -статистике (если это значение меньше заданного уровня значимости, то есть основание отвергнуть гипотезу о статистической ненадежности уравнения регрессии).

Y-пересечение - строка таблицы соответствующая свободному регрессионному коэффициенту;

Переменная X1 - строка таблицы соответствующая регрессионному коэффициенту при переменной ;

Коэффициенты - столбец значений регрессионных параметров;

Стандартная ошибка - столбец значений выборочных среднеквадратичных отклонений регрессионных параметров;

t-статистика - столбец расчетных значений -статистик регрессионных параметров;

3. Вывод остатков:

Наблюдения - номера наблюдений по порядку;

Предсказанное Y - теоретические значения результирующего показателя, соответствующие опытным величинам;

Остатки - отклонения (разность) теоретических значений результирующего показателя и соответствующих опытных значений.

8.3 Реализация процедуры «ТРЕНД»

Построению линий регрессии и получению регрессионных зависимостей в Excel с помощью процедуры «ТРЕНД» предшествует создание точечных графиков исходных данных. Построение точечных графиков начинается с вызова мастера диаграммы, в окне которого на вкладке «Стандартные» выбирается тип «Точечная» и вид позволяющий сравнивать пары значений.

Построение графика заключается в добавлении нового ряда статистических данных. Для этого на вкладке «Ряд» «Мастера диаграммы» необходимо нажать кнопку «Добавить». Добавление нового ряда данных требует ввода его имени и значений фактора, и результирующего показателя соответственно в поля «Значения X» и «Значения Y».

На построенном графике следует щелкнуть правой кнопкой «мыши» по одной из точек графика и в появившемся меню выбрать «Добавить линию тренда». На вкладке «Тип» окна «Линия тренда» выбирается вид построения линии тренда «Линейная». Изменить название и использовать возможность отображения уравнения на диаграмме можно на вкладке «Параметры».

Графики функции регрессии.

Рис.8.3

Выводы

1. В данной курсовой работе мы рассмотрели зависимость дохода от международных перевозок от длины железной дороги. Исходными данными для ее расчета явились реальные значения расходов на железнодорожные перевозки и длин 17 дорог, расположенных на территории РФ. Для выбора и обоснования модели в курсовой работе рассмотрены линейная, степенная и показательная математические модели.

Для получения оценок a и b значений параметров используется метод наименьших квадратов. Метод в качестве критерия близости значений теоретических и опытных данных использует минимум суммы квадратов разностей наблюдаемого и рассчитанного по уравнению регрессии результата. Другими словами, критерием оценивания коэффициентов служит минимум суммы наблюдаемых случайных отклонений для данного уравнения регрессии.

2.Также была выполнена оценка тесноты связи расходов на железнодорожные перевозки и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации. Значение коэффициента корреляции r_xy=0,9412, свидетельствует о наличии корреляционной связи, связь прямая, то есть с увеличением длины дороги расходы на железнодорожные перевозки увеличивается. Значение коэффициента детерминации r_yx² = 0,8859, показывает изменение результата (расход на железнодорожные перевозки) на 88,6% объясняется изменением фактора (длины дороги), соответственно на 12.4% другими факторами.

3.Произведена оценка с помощью оценки аппроксимации качества уравнений регрессии между расходами на перевозку и длиной дороги. Их анализ говорит, о том что необходимо продолжить поиск наиболее подходящей модели, так как оценки превышают допустимые значения. Величина средней ошибки аппроксимации линейной функции связи между расходами на железнодорожные перевозки и длиной дороги А= 28,6%, для степенной - А = 17,94% и для показательной функции: А = 48,94%.

4.Осуществлена сравнительная оценка силы связи фактора с результатом с помощью коэффициента эластичности. Анализ разработанных математических моделей показывает, что изменение на 1% длины какой-либо дороги из наших исходных данных, приводит к увеличению расхода на железнодорожные перевозки. По линейной модели это увеличение составляет 0,97 %, по степенной функции регрессии - 1,2934%, по показательной функции регрессии - 1,48%.

5.Оценку статистической надежности уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера. Полученные значения F-критерия Фишера указывают, что F_табл<F_факт, поэтому необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели и принять альтернативную гипотезу.

6. Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при достаточной надежности (вероятность 0,95) она недостаточно нам подходит, так как отношение значений верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 2,08.

7.Сравнение результатов расчетов, выполненных на основе пакета прикладных программ Excel и согласно разработанным в курсовой работе алгоритмам (в соответствии с изученными методами в дисциплине «математические модели»), показало высокую степень их совпадения.

Также следует отметить, что степенная модель по многим параметрам намного лучше линейной и показательной моделей. И теснота связи сильнее, и ошибка аппроксимации меньше, и оценка качества модели лучше. Но также можно продолжить поиск более качественной модели.

Размещено на Allbest.ru