Анализ напряженного состояния балок произвольного сечения из упруго-хрупких разупрочняющихся материалов при чистом изгибе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Институт машиноведения УрО РАН, Екатеринбург, Россия

Анализ напряженного состояния балок произвольного сечения из упруго-хрупких разупрочняющихся материалов при чистом изгибе

Е.А. Бахарева

Рассмотрим балку высотой 2h, длиной L, поперечное сечение которой ограничивает контур, заданный гладкой или кусочно-гладкой функцией Г(y), и симметричный относительно вертикальной оси Oy в плоскости Oyz. Ось Ox направлена вдоль балки, начало системы координат расположено на оси симметрии Oy на равном расстоянии от верхней и нижней плоскостей балки. К торцам балки при постоянной температуре прикладывается либо монотонно возрастающий изгибающий момент M (мягкое нагружение), либо фиксируется кривизна к балки (жесткое нагружение) (рис. 1). В данных случаях имеют место только продольные напряжения , продольные деформации линейно распределены по высоте балки [1], где a - отклонение нейтральной плоскости, на которой напряжения и деформации равны нулю, от оси Ox (рис. 1).

Рис. 1. Распределение продольных деформаций

В процессе чистого изгиба материал балки ниже нейтральной плоскости находится в состоянии растяжения, выше нейтральной плоскости материал сжимается. Тогда определим свойства материала кусочно-непрерывной функцией (рис. 2)

где и - деформации разрушения при сжатии и растяжении соответственно. Диаграммы обладают восходящими и падающими до нуля ветвями. Последние отвечают эффекту деформационного разупрочнения материала, для которого характерно появление микродефектов, приводящих к деградации материала [2]. Состояние материала определяет функция , имеющая смысл касательного (тангенциального) модуля. Если в некоторых точках диаграммы деформирования , то имеет место упрочнения материала, в противном случае - разупрочнение.

Рис. 1. Полная диаграмма растяжения-сжатия

Полагаем, что балка выполнена из упруго-хрупкого материала, в котором диссипация происходит только за счет континуального разрушения, характеристикой которого является функция поврежденности материала щ. В этом случае пластическими деформациями можно пренебречь . Разгрузка в упруго-хрупком материале протекает по так называемому секущему модулю . В этом случае справедливы соотношения [2]

(1)

Очевидно, что при любом распределении напряжений и деформаций по высоте балки, связанном с диаграммой , где , тождественно удовлетворяются дифференциальные уравнения равновесия и условия совместности. Необходимо только выполнение граничных условий на торцах балки, а именно равенство нулю главного вектора и главного момента напряжений. При мягком нагружении граничные условия имеют вид [3]

(2)

и при жестком нагружении выполняются равенства

(3)

где г⁺, г^? - соответственно деформации наиболее растянутых и наиболее сжатых волокон балки (рис. 1).

Перепишем уравнения (2), учитывая соотношения (1) и формулу е = к(y + a). Имеем

(4)

Здесь величины

,

,

имеют смысл жесткостей балки относительно вертикальной оси симметрии нулевого, первого и второго порядков соответственно и постоянны в процессе деформирования.

Из уравнений (4) в случае мягкого нагружения балки решение исходной задачи можно представить в виде последовательных итераций

(5)

Итерационная процедура расчета равновесных состояний балки при чистом изгибе состоит из следующих этапов. Пусть при изгибающем моменте балка имеет кривизну и отклонение нейтральной линии от оси симметрии. Балка находиться в равновесии, параметры которого равны , , , , , . Возмутим это равновесие, увеличив изгибающий момент на величину . Параметры возмущения найдем, используя формулы (5). Имеем , , , , где .

Данные величины соответствуют равновесному состоянию при неизменившихся значениях секущих модулей , которые должны поменяться и отвечать деформации в соответствии с полной диаграммой деформирования. Поэтому секущий модуль достигнет величины , определяемой по формуле , в которой полагаем . Таким образом, найденное равновесие нарушается и балка под действием момента должна перейти в другое равновесное состояние, параметры которого являются решением задачи (5) для балки изменившимися модулями. Тогда по величинам определяем значения , , , и по ним находим решение задачи на данной итерации

, , ,

и вычисляем новые значения . Процесс повторяем до тех пор, пока найденные значения напряжений и деформаций не будут удовлетворять полной диаграмме деформирования с заданной точностью.

При жестком нагружении балки (фиксируется кривизна к) с граничными условиями (3) напряженно-деформированное состояние можно представить в виде решения

, , ,

где - изгибающий момент, отвечающий заданной кривизне при изгибе балке, - отклонение нейтральной линии в текущем состоянии балки.

Итерационный процесс расчета напряжений и деформаций при жестком режиме нагружения аналогичен рассмотренному выше случаю мягкого нагружения балки.

Литература

балка деформация разрушение микродефект

1. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. - М.: Мир, 1976. - 669 с.

2. Стружанов В.В., Бахарева Е.А.. Математические методы в теории чистого изгиба прямоугольных балок из разупрочняющегося материала с симметричной диаграммой растяжения-сжатия // Вычислительная механика сплошных сред . - 2012. - Т. 5, № 2. - С. 158-167.

3. Стружанов В.В., Бахарева Е.А. К расчету предельных нагрузок балочных элементов при чистом изгибе // Транспорт Урала. - Екатеринбург: УрГУПС. - 2013 - № 3 (38). - С. 24-27.

Размещено на Allbest.ru