Построение решений задач динамики композитных стержней на основе метода Бубнова-Галеркина

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построение решений задач динамики композитных стержней на основе метода Бубнова-Галеркина

А.В. Мищенко

Ю.В. Немировский

Неоднородный (гибридный) стержень - элемент плоской стержневой системы, испытывает прямой продольно-поперечный динамический изгиб в плоскости симметрии локальной системы координат . Стержень имеет поперечно-слоистую структуру, образованную поверхностями () с произвольной привязкой к отсчетной плоскости . Слои, имеющие поперечные размеры (ширину и толщину) , , (), выполнены из различных квазиоднородных материалов при обеспечении идеального межслойного контакта. Материал -го слоя характеризуется: объемной плотностью , модулем упругости и коэффициентом вязкости .

Примем следующий вариант кинематических соотношений для функций продольных и поперечных перемещений, углов поворота , деформаций , и сдвигов :

, ,

, , , (1)

, , ,

где , - смещения точек продольной оси; , - деформация и кривизна (с поправкой на ) оси; штрихом обозначено дифференцирование по координате . К стержню приложены динамические нагрузки , , , инерционные силовые факторы

и реакции вязко-упругого основания

где , - площадь поперечного сечения -го слоя, , - коэффициенты жесткости, а , - вязкости основания при смещении в направлении осей и ; , - ширина и координата поверхности контакта стержня с основанием.

Интегральные уравнения движения принимают вид

(2)

Здесь введены обобщенные характеристики жесткости и вязкости основания

, ,

, ,

и обобщенные массовые характеристики слоистого стержня

. (3)

Для основной компоненты тензора напряжений примем закон вязкоупругого деформирования

, (). (4)

Касательные напряжения получены на основе условий равновесия при введении безразмерной функции , отражающей поперечное распределение сдвигающих сил, в виде

, . (5)

Выражения для сдвиговой жесткости и вязкости найдены по условиям энергетической эквивалентности

, . (6)

В результате учета (4), (5), (6) система дифференциальных уравнений, связывающих обобщенные деформации с интегральными силовыми факторами, принимает вид

(7)

Здесь использованы обобщенные жесткостные и вязкостные характеристики

, . (8)

Объединив (2), (7) с учетом (1), имеем разрешающую систему дифференциальных уравнений относительно искомых перемещений , , . Выполнив переобозначения , , запишем ее в виде

(9)

С целью линеаризации в (9) выполнено пренебрежение слагаемым , а в учтена лишь статическая компонента продольной силы. Для замыкания начально-краевой задачи записываются соответствующие начальные и граничные условия. Решение системы уравнений (9) представим в виде разложений

, , (10)

по заданным координатным базисам , , , удовлетворяющим граничным условиям с амплитудами - искомыми функциями времени:

, (), , (), , (). (11)

Подставив (10) в (9), полученные невязки уравнений ортогонализируем в интервале к базисным функциям. В результате получим систему уравнений относительно искомых функций (11)

, () (12)

, , .

Девять матриц , , и три вектора имеют , , столбцов при соответственно и , , строк при . Интегральные компоненты матриц зависят от жесткостных, вязкостных и массовых характеристик гибридного стержня (3), (6), (8) и опорной среды.

Систему уравнений (12) запишем в компактном виде

, (13)

, , ().

Решение однородного уравнения, соответствующего (13), будем искать в виде

, , , (14)

где , , - числовые векторы, содержащие по , , элементов соответственно. Подстановка (14) в (13) для однородного уравнения дает характеристическое уравнение

,

, , ()

степени ().

Динамические нагрузки представим в виде произведения

, (15)

координатного профиля нагрузки и безразмерной функции времени , записанной в форме ряда Фурье

, (16)

где , - частота и период заданной динамической нагрузки . Каждая из нагрузок , , (15) может быть введена со своей специфической функцией (16).

Учитывая (15), (16) для векторов (), в правой части (13) получим

,

с интегральными компонентами матрицы .

Частное решение системы уравнений (13) зададим в форме

, ,

,

Тогда из (13) для -й гармоники имеем систему шести уравнений

(17)

() относительно искомых векторов , , , , , . При в (17) записываются три уравнения для векторов , , .

Рассматривая стержневую систему, получим три группы соотношений: уравнения движения, кинематические и физические уравнения в виде

,

,

.

Здесь - вектор узловых перемещений; , , - векторы обобщенных деформаций стержней - полных, температурных и геометрических несовершенств; - вектор концевых усилий в стержнях; , - векторы нагрузок - заданных динамических и инерционных, приведенных к узловым; , - матрицы преобразования - силового и кинематического базисов; - инерционная матрица системы, сформированная из матриц масс стержней.

Окончательно для гибридной стержневой системы разрешающее матричное уравнение в перемещениях может быть представлено в традиционной форме

, (18)

, , ,

где , , - переменные матрицы жесткости, вязкого сопротивления и инерции. Вектор искомого решения следует подчинить начальным условиям , . Формулировка (18) позволяет использовать известные методы решения задач динамики, в том числе - методы Ньюмарка, Вильсона и другие.

опорный стержень интегральный уравнение

Размещено на Allbest.ru