Геометрическое моделирование задач предельного равновесия пластинок с использованием коэффициента формы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Геометрическое моделирование задач предельного равновесия пластинок с использованием коэффициента формы

А.В. Коробко, М.Ю. Прокуров

Приведено доказательство функциональной связи разрушающей нагрузки для пластинок с шарнирно опёртым контуром, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой или сосредоточенной силой, с коэффициентом формы этих пластинок. С использованием изопериметрических свойств коэффициента формы построены зависимости «разрушающая нагрузка - коэффициент формы», ограничивающие множество значений разрушающих нагрузок для пластинок с выпуклым шарнирно опёртым контуром.

Ключевые слова: шарнирно опёртые пластинки, равномерно распределённая нагрузка, сосредоточенная сила, предельное равновесие, разрушающая нагрузка, коэффициент формы, изопериметрический метод, геометрическое моделирование.

Кинематический метод предельного равновесия является одним из наиболее эффективных методов расчёта строительных конструкций зданий и сооружений. Сущность этого метода применительно к расчету пластинок заключается в выборе возможной схемы разрушения с образованием цилиндрических шарниров текучести в зависимости от одного или нескольких геометрических параметров, определении полной потенциальной энергии системы в предельном состоянии, минимизации этой энергии по принятым геометрическим параметрам и подсчете разрушающей нагрузки, которая в данном случае является верхней границей несущей способности пластинки. Несмотря на свою простоту, этот метод является достаточно трудоёмким, поскольку зачастую требует перебора нескольких возможных схем разрушения пластинок. А минимизация полной потенциальной энергии пластинки по нескольким геометрическим параметрам приводит к значительным трудностям вычислительного порядка, часто непреодолимым.

В последние десятилетия в строительной механике интенсивно развиваются геометрические методы расчета пластинок, среди которых можно особо выделить изопериметрический метод (ИЗПМ) [1] и метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) [2]. В основу этих методов положены изопериметрические свойства интегральной геометрической характеристики формы области - коэффициента формы К_f. Разработчиками данных методов показано, что коэффициент формы может быть геометрическим критерием при оценке интегральных физических характеристик пластинок (максимальный прогиб, основная частота колебаний, критическая сила при потере устойчивости). Этот критерий позволяет оценить (качественно и количественно) интегральную физическую характеристику без решения соответствующих дифференциальных уравнений, используя лишь методы геометрического моделирования формы пластинок.

В задачах предельного равновесия пластинок эти методы использовались [1], но до настоящего времени не получили должного развития. В предлагаемой статье намечаются пути развития данных методов в рассматриваемом направлении.

Запишем формулы для определения разрушающей нагрузки Р_разр в шарнирно опёртых пластинках с полигональным и криволинейным контурами, нагруженных по всей их площади равномерно распределённой нагрузкой q, полученные с помощью кинематического метода предельного равновесия [3]:

(1)

(2)

где предельный погонный момент в шарнире текучести; у_т - предел текучести материала; д - толщина пластинки; А - площадь пластинки; r = r(ц) - полярное уравнение контура пластинки с центром, взятым внутри неё; б_i и в_i - углы, образованные смежными сторонами полигональной пластинки с шарниром текучести, исходящим из полюса. В этих формулах выражения, стоящие под знаками суммы и интеграла, имеют одну и ту же геометрическую природу и называются коэффициентом формы пластинки K_f. Интегральное выражение для K_f получено путем предельного перехода от области в виде многоугольника к области, ограниченной криволинейным контуром [3]. С учетом изложенного выражения (1) и (2) могут быть заменены одним, записанным компактно:

. (3)

Это выражение можно получить непосредственно из фундаментальной зависимости

(4)

известной в теории предельного равновесия пластинок [3], где w(x,y) - функция прогибов пластинки в предельном состоянии.

Представим деформированную поверхность пластинки в предельном состоянии в виде функции, линии уровня которой подобны контуру и подобно расположены, причём центр подобия находится в начале полярной системы координат:

. (5)

В этом выражении w₀ - максимальный прогиб пластинки; t и ц - полярные координаты; с = - безразмерная полярная координата (0 ? с ? 1). Такая деформированная поверхность отвечает конической и пирамидальной схемам разрушения пластинок.

Запишем интеграл от оператора Лапласа в полярных координатах:

Подставим в него функцию прогибов в виде зависимости (5). Сначала найдём соответствующие производные от функции прогибов:

Подставляя найденные производные в интеграл от оператора Лапласа, после проведения преобразований получим:

(6)

В этом выражении использовано равенство

которое действительно удовлетворяется, когда интегрирование ведется от нуля до 2р. Доказательство этого равенства приводится в работе [3].

Внесём функцию прогибов (5) в знаменатель дроби выражения (4):

Умножим и разделим подынтегральное выражение на r² и проведём необходимые преобразования:

(7)

Перепишем выражение (4) с учётом зависимостей (6) и (7):

(8)

Поскольку определенные интегралы в этом выражении являются числами, зависящими от точности выбора функции прогибов, то их можно внести в коэффициент пропорциональности. При этом

При использовании кинематического метода предельного равновесия при конической (пирамидальной) схеме разрушения пластинок поверхность прогибов можно задать функцией

Подставляя эту функцию и её производные в формулу (8), получим выражение (3).

Поскольку коническая и пирамидальная схемы разрушения реализуются лишь для пластинок, близких по форме к правильным фигурам, то выражение (3) следует обратить в неравенство

(9)

где равенство достигается для пластинок в виде правильных фигур. Круглая пластинка имеет наименьшее значение коэффициента формы (К_f = 2р), поэтому из всего множества пластинок с выпуклым контуром она будет иметь и наименьшую разрушающую нагрузку. Таким образом, для всего множества пластинок с выпуклым контуром справедливо изопериметрическое неравенство

Р_разр ? 6рm_т. (10)

При геометрическом преобразовании пластинок с помощью операции симметризации Штейнера величина К_f уменьшается [2], поэтому уменьшается и числитель функционала (4). Знаменатель же этого функционала остается неизменным. Следовательно, при симметризации пластинок будет уменьшаться (не увеличиваться) разрушающая нагрузка, т. е.

, (11)

где значение разрушающей нагрузки для новой пластинки, полученной после симметризации заданной. Неравенство (11) является более сильным, чем неравенство (10). Следует заметить, что неравенство (11) можно ещё усилить, если вместо операции симметризации использовать какое-либо геометрическое преобразование, при котором значение коэффициента формы монотонно уменьшается, не образуя экстремума.

Комбинируя неравенства (9-11), получим двустороннее изопериметрическое неравенство

, (12)

с помощью которого можно весьма просто получать двустороннюю оценку разрушающей нагрузки для пластинки произвольного вида.

Для пластинок, нагруженных сосредоточенной силой, будет справедливо неравенство

, (13)

где а - точка приложения сосредоточенной силы.

Неравенства (12) и (13) характеризуют сущность изопериметрического метода, которая заключается в следующем:

- для заданной пластинки подсчитывается коэффициент формы и определяется верхняя граница Р_разр;

- с помощью какого-либо непрерывного (дискретного) геометрического преобразования, при котором монотонно уменьшается коэффициент формы, заданная пластинка преобразуется в новую пластинку с известным решением;

- с использованием неравенств (12) и (13) выполняется двусторонняя оценка разрушающей нагрузки.

Уточнение решений для вытянутых пластинок. Неравенства (12) и (13) получены для конических и пирамидальных схем разрушения пластинок. Для вытянутых пластинок таких схем разрушения, как правило, не возникает. Обычно получается деформированная поверхность в форме сложного полиэдра.

Рассмотрим прямоугольную пластинку, нагруженную равномерно распределённой нагрузкой, для которой решение получено в работе [3]:

, (14)

где Подставляя k в (14) и умножая полученное выражение на величину после проведения необходимых преобразований найдём

(15)

Коэффициент К, стоящий сомножителем после члена , в зависимости от параметра о имеет следующие значения:

Очевидно, что значения коэффициента К всегда меньше единицы и стремятся к ней при стремлении параметра к единице. Эти результаты лишний раз подтверждают справедливость неравенства (9).

Для пластинок, имеющих хотя бы одну ось симметрии, можно получить решение в виде выражения (15) следующим образом. Представим схему разрушения такой пластинки в виде, изображённом на рис. 1, где половина пластинки достроена таким образом, что получается новая (фиктивная) пластинка (на рисунке показана также её половина), у которой центр тяжести совпадает с центром излома.

Введём обозначения: А - площадь заданной пластинки; А_ф - площадь фиктивной пластинки; А_доб - добавочная площадь, которая прибавляется к заданной пластинке для получения фиктивной пластинки; R_i - длина i-го шарнира текучести в фиктивной пластинке; с_i - длина i-го шарнира текучести в пределах добавочной площади; R_j - длина условного j-го шарнира текучести, расположенного по оси симметрии заданной пластинки; с_j - длина несуществующей (условной) части j-го шарнира текучести. Остальные обозначения понятны из рис. 1.

Запишем выражения для работ внутренних (U) и внешних (Т) сил и воспользуемся принципом Лагранжа. Работу внешней нагрузки можно найти с помощью рис. 2, на котором представлен характерный элемент, выделенный из объёма полиэдра, образованного деформированной поверхностью в момент разрушения. Найдём добавочный объём полиэдра входящий в выделенный элемент:

Рис. 1. Схема разрушения геометрически преобразованной пластинки

а) б)

Рис. 2. Схема для определения работы внешней нагрузки:

а - деформационный полиэдр (перевёрнут); б - стереометрия элемента полиэдра

Объём действительной части полиэдра может быть найден как разность объёма треугольной пирамиды (рис. 2б) и добавочного объёма :

Работа внутренних сил представляется в виде алгебраической суммы:

,

где U_ф - работа внутренних сил в пластических шарнирах фиктивной пластинки; U_доб - работа в пластических шарнирах добавочной пластинки; U_сим - работа в пластических шарнирах, расположенных по оси симметрии действительной пластинки. Используя известные соотношения для определения работы внутренних сил в цилиндрических шарнирах текучести [3], запишем:

Здесь ; n - число радиальных шарниров текучести; m - число участков шарнира текучести, расположенного по оси симметрии. Каждый j-й участок шарнира текучести по оси симметрии пластинки заключён между двумя радиальными шарнирами текучести i и i+1. Поэтому суммирование в последнем слагаемом проводится одновременно по i и j.

На основании принципа Лагранжа получим

. (16)

Для решения задач с помощью этого выражения необходимо выразить все члены, входящие в него, через один неопределенный параметр b (половина ширины добавочной области) и, минимизируя его по этому параметру, найти значение b. Подстановка найденного значения b в выражение (16) даст лучшую оценку Р_разр, чем оценка, получаемая с помощью неравенства (9). Для расчетов пластинок сложных конфигураций целесообразно использовать ЭВМ. Пластинки простых конфигураций можно рассчитывать непосредственно с помощью выражения (16). Из него можно, например, легко получить выражение (15).

Следует иметь в виду, что однократная симметризация любой пластинки с выпуклым контуром относительно минимальной оси инерции незначительно изменяет величину К_f, поэтому можно ожидать, что фактическая разрушающая нагрузка будет незначительно больше, чем симметризированной пластинки. Предложенный метод нахождения приближённых решений для пластинок с одной осью симметрии является достаточно перспективным, однако все-таки трудоёмким.

Изопериметрические теоремы. Полученные результаты свидетельствуют о том, что коэффициент формы пластинок является основным аргументом, от которого зависит разрушающая нагрузка. Поэтому, используя изопериметрические свойства и закономерности поведения коэффициента формы пластинок при различных геометрических преобразованиях, подробно исследованные в работе [2], можно сформулировать изопериметрические теоремы относительно свойств и закономерностей изменения разрушающих нагрузок.

Все приведённые ниже теоремы относятся к шарнирно опёртым пластинкам равной толщины, нагруженным равномерно распределённой нагрузкой q.

Теоремы о пластинках с выпуклым контуром:

Теорема 1. Из всего множества пластинок с выпуклым контуром круглая пластинка имеет наименьшее значение Р_разр.

Теорема 2. Из всего множества пластинок с одинаковым коэффициентом формы эллиптическая пластинка имеет наименьшее значение Р_разр.

Теорема 3. Из всего множества многоугольных пластинок с заданным направлением сторон наименьшее значение Р_разр имеет та пластинка, все стороны которой касаются вписанной окружности.

Теорема 4. Из всего множества n-угольных пластинок, все стороны которых касаются вписанной окружности, наименьшее значение Р_разр имеет пластинка в виде правильного n-угольника.

Теорема 5 (обобщение теорем 3 и 4). Из всего множества n-угольных пластинок наименьшее значение Р_разр имеет пластинка в виде правильного n-угольника.

Теорема 6. Из двух пластинок в виде правильных n-угольников меньшее значение Р_разр имеет та, у которой большее число сторон.

Теорема 7. При симметризации Штейнера величина Р_разр уменьшается (не увеличивается).

Теорема 8. Все множество значений разрушающей нагрузки для пластинок с выпуклым контуром, представленное в координатных осях Р_разр - К_f, ограничено сверху значениями Р_разр для пластинок в виде многоугольников, все стороны которых касаются вписанной окружности (в том числе правильных n-угольников и равнобедренных треугольников), а снизу - значениями Р_разр для эллиптических пластинок.

Теоремы о треугольных пластинках:

Теорема 9. Из всех треугольных пластинок с заданным углом наименьшее значение Р_разр имеет пластинка в виде равнобедренного треугольника, равные стороны которого образуют заданный угол.

Теорема 10. Из всех треугольных пластинок наименьшее значение Р_разр имеет пластинка в виде равностороннего треугольника.

Теорема 11. Из всех пластинок в виде прямоугольных треугольников наименьшее значение Р_разр имеет пластинка в форме равнобедренного прямоугольного треугольника.

Теорема 12. Множество значений Р_разр для треугольных пластинок, представленное в координатных осях Р_разр - K_f, образует часть верхней границы для всего множества пластинок с выпуклым контуром.

Теоремы о четырёхугольных пластинках:

Теорема 13. Из всех четырёхугольных пластинок наименьшее значение Р_разр имеет квадратная пластинка.

Теорема 14. Множество значений Р_разр для четырёхугольных пластинок с выпуклым контуром, представленное в координатных осях Р_разр - K_f, ограничено сверху значениями Р_разр для треугольных и многоугольных пластинок, все стороны которых касаются вписанной окружности, а снизу - значениями Р_разр для пластинок в форме прямоугольников.

Теоремы о параллелограммных пластинках:

Теорема 15. Из всех параллелограммных пластинок равной высоты наименьшее значение Р_разр имеет прямоугольная пластинка, а наибольшее - ромбическая; все множество значений Р_разр для параллелограммных пластинок равной высоты, представленное в координатных осях Р_разр - K_f, ограничено сверху значениями Р_разр для ромбических пластинок, а снизу - для прямоугольных.

Теорема 16. Из всех параллелограммных пластинок с одинаковым острым (или тупым) углом наименьшее значение Р_разр имеет ромбическая пластинка.

Теоремы о трапециевидных пластинках:

Теорема 17. Из всех трапецеидальных пластинок одинаковой высоты с заданным отношением оснований а₁/а₂ наименьшие значения Р_разр имеют пластинки в форме равнобочных трапеций.

Теорема 18. Из всех пластинок в форме равнобочных трапеций одинаковой высоты с заданным углом б при значениях параметра К₁ ? а₁/h наименьшее значение Р_разр имеет такая пластинка, все стороны которой касаются вписанной окружности.

Теорема 19. Все множество значений Р_разр для трапецеидальных пластинок, представленное в координатах Р_разр - K_f, ограничено сверху значениями Р_разр для треугольных и многоугольных пластинок, все стороны которых касаются вписанной окружности, а снизу - значениями Р_разр для прямоугольных пластинок.

Заметим, что все сформулированные теоремы относятся и к шарнирно опёртым пластинкам, нагруженным сосредоточенной силой в точке, обеспечивающей min K_f.

2р 10 25 20 25 K_f

Рис. 3. Зависимости «разрушающая нагрузка - коэффициент формы»

Используя теоремы 2, 3, 12 и 14, можно графически представить все множество значений разрушающих нагрузок (рис. 3). На рис. 3 точка 1 соответствует разрушающей нагрузке для круглой пластинки, точка 2 - для квадратной пластинки, точка 3 - для пластинки в виде правильного треугольника, точка 4 - для пластинки в виде равнобедренного прямоугольного треугольника; кривую 1- 4 образуют значения Р_разр для пластинок в виде правильных многоугольников, кривую 4-5 - для пластинок в виде равнобедренных треугольников, кривую 2-6 - для прямоугольных пластинок, кривую 1-7 - для эллиптических пластинок. В соответствии с приведёнными теоремами кривыми 1-3-4-5 и 1-7 ограничивается область значений Р_разр для всего множества шарнирно опёртых пластинок с выпуклым контуром, а кривыми 1-3-4-5 и 2-6 - область значений Р_разр для всего множества треугольных и четырехугольных пластинок. Кривая 2-6 построена по формуле (17), кривая 1-7 - по табличным данным [4], прямые 1-3-4 и 4-5 - по формуле (3).

Все указанные характерные граничные кривые с высокой степенью точности аппроксимируются линейными функциями с аргументом К_f, что убедительно подтверждает функциональную связь разрушающей нагрузки с коэффициентом формы пластинки. Запишем эти функции:

- прямая 1-3-4: Р_разр = (0,0011 + 3K_f)m_т;

- прямая 4-5: Р_разр = (-0,0006 + 3K_f)m_т;

- прямая 2-6: Р_разр = (8,0770 + 2,0262K_f)m_т;

- прямая 1-7: Р_разр = (6,3435 + 2,0262K_f)m_т.

С помощью граничных кривых, изображённых на рис. 3, можно непосредственно из графика получать двусторонние оценки разрушающей нагрузки, зная лишь значение коэффициента формы заданной пластинки. Если пластинка четырёхугольная, то эти оценки получаются по прямым 1-3-4, 4-5 и 2-6; если пластинка многоугольная или имеет криволинейный контур, то оценки получаются по прямым 1-3-4, 4-5 и 1-7. При небольших значениях коэффициента формы эти оценки получаются вполне удовлетворительными.

Если же указанные кривые использовать для получения опорных решений при геометрическом моделировании формы области заданной пластинки, то к решению рассматриваемой задачи можно применить МИКФ. При этом точность получаемых решений существенно возрастает.

Выводы

1. Доказано наличие функциональной связи разрушающей нагрузки для шарнирно опертых пластинок, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой и сосредоточенной силой, с их коэффициентом формы.

2. На основании изопериметрических свойств коэффициента формы доказаны изопериметрические теоремы относительно разрушающей нагрузки для пластинок определенных характерных форм (в виде правильных многоугольников и равнобедренных треугольников, четырёхугольников и пластинок произвольного вида с выпуклым контуром).

3. С использованием приведенных изопериметрических теорем выявлено свойство двусторонней ограниченности всего множества значений разрушающих нагрузок для шарнирно опёртых пластинок, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой. Границы этого множества представлены прямыми линиями и позволяют весьма просто получать двусторонние оценки разрушающей нагрузки для любой пластинки по её коэффициенту формы.

4. Наличие двух границ для всего множества значений разрушающих нагрузок позволяет применить к решению рассматриваемых задач метод интерполяции по коэффициенту формы (по аналогии с задачами технической теории упругих пластинок [2]).

пластинка нагрузка контур разрушающий

Список литературы

1. Коробко, В.И. Изопериметрический метод в строительной механике: Теоретические основы изопериметрического метода / В.И. Коробко. - М.: АСВ, 1997. - 390 с.

2. Коробко, А.В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости / А.В. Коробко. - М.: АСВ, 1999. - 320 с.

3. Ржаницын, А.Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек / А.Р. Ржаницын. - М.: Наука, 1983. - 288 с.

4. Чжао, Цзу-У. Предельное равновесие железобетонных плит / Чжао Цзу-У // Вопросы теории пластичности и прочности строительных конструкций. - М.: Госстройиздат, 1961. - С. 226-236.

Размещено на Allbest.ru