Регулирование напряженно-деформированного состояния и динамического поведения элементов конструкций в виде некруговых колец, пластинок, ограниченных двухсвязным контуром, и стержней

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Регулирование напряженно-деформированного состояния и динамического поведения элементов конструкций в виде некруговых колец, пластинок, ограниченных двухсвязным контуром, и стержней

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время представляют интерес проблемы мониторинга и управления поведением конструкций в условиях эксплуатации. При этом необходимы методики динамического анализа, позволяющие в реальное время спрогнозировать дальнейшее поведение конструкции, а при отрицательном прогнозе откорректировать это поведение с целью сохранения эксплуатационных характеристик.

В последнее время получили широкое распространение численные методы расчета напряженно-деформированного состояния конструкций. Однако применения в задачах управления напряженно-деформированным состоянием они не получили в связи с большой трудоемкостью включения численного алгоритма в задачу регулирования. Поэтому представляет интерес разработка быстрых аналитических и полуаналитических методов расчета, которые позволяют реализовывать различные стратегии управления динамическим поведением конструкции.

С целью эффективного динамического управления необходимы методы и системы управления, включающие измерительные, преобразующие и управляющие элементы, которые позволяют создать в конструкции дополнительное поле напряжений, компенсирующих приложенные воздействия.

При решении задач динамики приходится сталкиваться с решением алгебраической системы относительно собственных значений и собственных векторов матриц разрешающих алгебраических уравнений, так как собственные значения соответствуют собственным частотам свободных колебаний, а собственные векторы характеризуют формы этих колебаний.

Наиболее распространенным и универсальным методом расчета является метод конечного элемента (МКЭ), который используется при решении статических и динамических задач. При применении этого метода требуемая точность расчета достигается путем представления конструкции как совокупности достаточно большого числа конечных элементов. Как правило, расчет сложных континуальных или дискретных систем сводится при этом к решению систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка . Вследствие этого возникает необходимость одновременной обработки большого объема информации, что оказывается весьма затруднительным даже при использовании современных компьютеров. Следует отметить при этом, что практическое значение во многих случаях имеет неполная алгебраическая проблема собственных значений и собственных векторов, так как даже в достаточно сложных и больших системах инженера интересует лишь несколько первых частот и форм собственных колебаний. При переменных возмущениях возникает необходимость управления колебательными процессами в конструкциях, что еще более усложняет задачу в вычислительном плане.

Целью диссертационной работы является разработка методик расчета НДС и моделирование динамического поведения элементов конструкций в форме, удобной для регулирования, и реализация этих методик. Конкретными составляющими цели являются:

- постановка задач регулирования напряженно-деформированного состояния элементов конструкций в виде некруговых колец, двухсвязных пластин некругового очертания, двухсвязных подкрепленных пластин некругового очертания, динамического поведения этих элементов, а также высотных сооружений, аппроксимируемых вертикально стоящими стержнями;

- развитие аналитических методов определения напряженно-деформированного состояния рассматриваемых элементов конструкций;

- построение эффективного алгоритма, описывающего динамическое поведение этих элементов и дающего возможность активно управлять этим поведением;

- получение решений задач как пассивного, так и активного управления напряженно-деформированным состоянием, изгибом элементов конструкций, динамического поведения этих элементов.

Направление исследований лежит в области математического моделирования задач строительной механики и сравнения полученных результатов с экспериментальными данными, численным сравнением с решениями методом сил и конечного элемента, а также применения принципов систем автоматического регулирования к ним.

Методы исследований включают использование уравнений строительной механики, составление дифференциальных уравнений движения в соответствии с различными расчетными схемами; решение этих уравнений при различных граничных условиях аналитически и численно с использованием реальных возмущений и алгоритмов регулирования.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением фундаментальных принципов строительной механики и вытекающих из них гипотез и предположений, контролем выполнения последних в ходе решения задач, использованием надежных алгоритмов, корректностью формулировок задач, единым подходом к их решению. В тех случаях, где возможно, проведены сравнения полученных результатов с экспериментальными данными и решениями по методу сил и конечного элемента.

На защиту выносятся:

- постановки задач пассивного и активного регулирования напряженно-деформированного состояния некруговых колец, двухсвязных пластин с одним некруговым контуром, двухсвязных подкрепленных по некруговому контуру пластин;

- постановки задач активного управления динамическим поведением вертикально стоящих стержневых конструкций, оценки динамического поведения таких элементов конструкций по отклику на стандартное воздействие;

- методика аналитического решения задач пассивного и активного регулирования напряженно-деформированного состояния некруговых колец, двухсвязных пластин с одним некруговым контуром, двухсвязных подкрепленных по некруговому контуру пластин;

- методика решения задач исследования и управления динамическим поведением некруговых колец, двухсвязных пластин с одним некруговым контуром, двухсвязных подкрепленных по некруговому контуру пластин;

- методика решения задач исследования и управления динамическим поведением вертикально стоящих стержней, расчета коррозионного износа по динамической реакции;

- результаты решения задач исследования колебательных процессов, управления этими процессами.

Научная новизна заключается в следующем:

- поставлены задачи пассивного управления напряженно-деформированным состоянием некруговых колец, двухсвязных пластин с одним некруговым контуром, двухсвязных подкрепленных по некруговому контуру пластин;

- предложена и реализована методика решения поставленных задач в аналитическом виде, удобном для регулирования с использованием метода малого параметра;

- получены решения задач пассивного регулирования напряженно-деформированного состояния некруговых колец, двухсвязных пластин с одним некруговым контуром, двухсвязных подкрепленных по некруговому контуру пластин;

- поставлены и решены задачи регулирования динамического поведения некруговых колец, двухсвязных пластин с одним некруговым контуром, вертикально стоящих стержней произвольного поперечного сечения;

- на основании методики синтеза оптимальных регуляторов решены задачи активного управления динамическим поведением некруговых колец, вертикально стоящих стержней, аппроксимирующих высотные сооружения.

Практическая полезность диссертационной работы заключается в постановке и решении нового класса задач пассивного и активного управления напряженно-деформируемым состоянием, изгибом, динамическим поведением некруговых колец, двухсвязных пластин с одним некруговым контуром, двухсвязных подкрепленных по некруговому контуру пластин, вертикально стоящих стержней.

Реализация результатов осуществлена путем использования отдельных результатов работы в ОАО «Мостострой-11» (г. Сургут), при проектировании, высотных сооружений в ЦНИИПСК им. Мельникова (г. Москва), использования методических пособий по материалам диссертации в учебном процессе кафедры «Мосты и транспортные сооружения» Саратовского государственного технического университета, при выполнении дипломных и курсовых работ в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского.

Апробация результатов работы.

Основные результаты работы докладывались на научно-технических конференциях Саратовского государственного технического университета (2000-2008), научных семинарах кафедры «Мосты и транспортные сооружения» Саратовского государственного технического университета (2000-2008), на научных конференциях механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского (2001-2008), У111 Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), 1У Всероссийском семинаре «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, НГАСУ, 2002), Международной научной конференции «Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании» (Саратов-Энгельс, СГТУ, 2002), Международной научной конференции «Проблемы и перспективы прецезионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, СГТУ, 2002), Международной научно-технической конференции «Эффективные строительные конструкции. Теория и практика» (Пенза, ПГАСА, 2002), Международной научно-технической конференции «Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций» (Волгоград, ВолГАСА, 2003), Тринадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, СамГТУ, 2003), Всеросийской научно-технической конференции «Актуальные вопросы строительства» (Саранск, МГУ им. Н.П. Огарева, 2003), 2-й Международной научно-технической конференции «Проблемы качества и эксплуатации автотранспортных средств» (Пенза, ПГАСА, 2003), Международной научно-практтической конференции «Актуальные проблемы градостроительства и жилищно-коммунального комплекса» (Москва, МИКХиС, 2003), Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Тула, ТГУ, 2004), V Международной научно-технической конференции (Тула, ТГУ, 2004), V11 Международной научно-технической конференции «Динамика технологических систем» (Саратов, СГТУ, 2004), V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, СГТУ, 2005), Международном научно-методическом межвузовском семинаре «Перспективы развития новых технологий в строительстве и подготовке научных кадров Республики Беларусь» (Могилев, Белорусско-Российский университет, 2005), научном семинаре в Институте строительства и архитектуры Сибирского федерального университета (Красноярск, 2007), совместном заседании кафедр строительного факультета Южно-Российского государственного технического университета (НПИ) (Новочеркасск, 2007), научном семинаре кафедры «Строительная механика» Московского государственного строительного университета (МИСИ) (Москва, 2007), на заседании секции «Теоретические исследования» Научно-технического совета ЦНИИПСК им. Мельникова (Москва, 2007), Fourth European Conference on Structural Control (St. Petersburg, September 8-12, 2008).

Публикации. Основные положения диссертации изложены в 41 научной работе, из которых 14 входят в список изданий, рекомендованных ВАК РФ для докторских диссертаций (7 без соавторов), 2 монографии, 2 зарубежные публикации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, выводов и заключения, списка использованной литературы из 218 наименований, приложения, включающего 5 справок об использовании результатов диссертационной работы, содержит 90 рисунков и 17 таблиц. Общий объем работы 308 страниц.

Содержание диссертации

напряженный деформированный стержень пластинка

Во введении обращается внимание на тенденции современного градостроительства во многих странах мира. Прослеживаются направления совершенствования конструкций мостов, башен и иных высотных сооружений. Обращается особое внимание на регулируемые конструкции. Дана классификация этих конструкций по четырем категориям: пассивной, активной, гибридной, полуактивной с кратким описанием достоинств и недостатков каждой схемы. Приводится таблица классификации управляемых систем по признакам достоинств и недостатков. Рассмотрены концепции регулирования в виде схемы с перечислением механизмов, алгоритмов, видов реализации. Отмечены особенности регулирования конструкционных параметров в машиностроении. Дается схематичное представление активной управляющей системы. Подчеркивается, что автоматическое управление позволяет достичь качественно новых характеристик:

снизить материалоемкость за счет рационального изменения напряженного и деформированного состояния при переменных во времени внешних воздействиях и параметрах конструкции,

обеспечить стабильность эксплуатационных характеристик и повысить надежность конструкций за счет расширения их адаптивных свойств,

улучшить характеристики управляемости механизмов путем обеспечения управления деформативностью их элементов,

повысить качество и точность изготовления на основе учета и управления деформативностью изделия и технологического оборудования,

эффективнее и полнее использовать ресурсы конструкции, повысить их эффективность в различных областях техники (в строительстве, радиотехнических устройствах, летательных аппаратах, робототехнике, машиностроении и др.), особенно там, где традиционные способы конструирования становятся малоэффективными или технически нереализуемыми,

предотвращать аварийные ситуации (разрушение конструкций),

управлять конструкцией в недоступных для человека местах.

Приводятся исторические примеры развития теории по управляемым конструкциям. Перечисляются принципы, на которых базируется их создание. Описывается процесс проектирования с рассмотрением трех типов систем автоматического управления с электронным модулем.

Оценивая практику строительства последнего десятилетия, подчеркивается, что развитие управляемых конструкций идет медленно. Объяснение такому положению следует искать в том, что для их развития нужны люди, обладающие знаниями, далекими от инженерной технологии, в областях: механики жидкости для точного знания действия ветра; анализа и контроля движения; приборостроения и проектирования датчиков; передачи сигналов, анализа информации, передаваемой датчиками; технологии компьютерного контроля; стохастической динамики; инженерной механики проектирования приводов; электронной техники. Тем не менее, сделан оптимистический вывод о применении управляемых конструкций в определенных областях строительства и машиностроения.

Оценивается возможность использования современных вычислительных комплексов по решению задач управления не в пользу последних.

Обосновывается актуальность диссертационной работы. Далее даются краткое описание отдельных ее глав, характеристика научной новизны и достоверности.

В первой главе описано состояние проблемы. Дан краткий исторический обзор по развитию теории вопроса. Исследуя управление напряженно-деформированным состоянием конструкций, достижение ими устойчивого равновесия, сделан вывод о том, что проблему можно классифицировать по нескольким направлениям:

Изучение свойств материалов и конструкций в статике и изменяющихся во времени с тем, чтобы учесть эти изменения при проектировании, монтаже конструкции и ее эксплуатации;

Экспериментальное и теоретическое исследование реакции проектируемой или существующей конструкции на динамические воздействия, оптимальное проектирование по различным критериям;

Разработка устройств и алгоритмов пассивной защиты от динамических воздействий;

Активное регулирование конструкций;

Полуактивные (гибридные) схемы регулирования напряженно-деформированного состояния механических систем;

Анализ разрушений и катастроф, их прогнозирование, оценка ошибок при проектировании, превышении норм эксплуатации и долговечности.

По каждому из выделенных направлений выполнен анализ, включающий разбиение на разделы. В каждом разделе очерчен круг работ или имен исследователей. Упоминаются фамилии Н.П. Абовского, Я.М. Айзенберга, В.М. Бондаренко, А.В. Бочкарева, А.С. Болотова, А.Г. Бутковского, Г.В. Воронцова, Ю.В. Гайдарова, В.А. Гордона, Л.Г. Горынина, В.Б. Зылева, А.И. Егорова, В.А. Игнатьева, А.Н. Кабелькова, В.Ю. Комкова, Б.Г. Коренева, В.И. Колчунова, Л.В. Кошкина, О.А. Кузиной, В.М. Каргопольцева, Е.Н. Курбацкого, В.Ю. Липайцева, А.А. Никитина, Я.Л. Нудельмана, В.Л. Мондрус, И.Г. Овчинникова, Б.В. Остроумова, А.И. Олейника, Л.С. Понтрягина, Ю.Э. Сеницкого, Л.Г. Смоляниновой, А.Ф. Смирнова, С.П. Тимошенко, К.Х. Толмачева, Р.П. Федоренко, В.Л. Харланова, Ю.В. Шубина, С.Н. Шукатрова, Auaho Miyamoto, A. Carroti, Hiroki Yamaguchi, Q.S. Li, Jeffrey S. Lane, Shimazaki Mamori, G.T.R. Yao, Z. Wu., J. Roorda, T.T. Soong.

Описаны пути реализации на практике систем автоматического регулирования напряженно-деформированного состояния и динамического поведения конструкций. За основу принят подход Н.П. Абовского.

В результате анализа даются рекомендации по применению различных форм регулирования как напряженно-деформированного состояния и изгиба, так и динамического поведения различных элементов конструкций.

Выявлены общие тенденции использования инструмента регулирования. Так, при решениях задач оптимизации чаще всего требуется удовлетворение минимуму функционала для одного или нескольких параметров. При постановке задачи в многопараметрической постановке все величины представляются в матричной форме.

Синтез алгоритмов управления производится на основании решения задачи об устойчивости управляемого колебательного процесса по принятой в теории автоматического регулирования методике.

Важным, если не определяющим, для большого класса управляемых конструкций является вопрос идентификации внутренних силовых факторов, напряжений и перемещений в конструкции прикладываемым нагрузкам. В распространенной сейчас практике проектирования главенствуют численные методы. Они требуют мощных процессоров, солидного математического обеспечения и для достоверности - многократной прогонки числовых расчетов. Между тем системы автоматического управления с обратной связью требуют работы в реальном масштабе времени, а это налагает на вычислительный процесс, кроме точности, определенные, зачастую довольно жесткие ограничения на время счета. Например, для адаптивной лазерной системы это время может быть долями секунд. Следовательно, методы конечных разностей, конечного элемента и некоторые другие для использования в таких системах неприемлемы.

Особенностью теоретического изучения регулируемых систем является предположение о работе материала в пределах закона Гука, что исключает гистерезис при колебательных процессах.

Во второй главе представлены общие уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние и изгиб замкнутых некруговых брусьев в аналитической форме, удобной для регулирования.

Рассматривается напряженно-деформированное состояние некруговых колец переменного поперечного сечения, один из контуров которых описывается уравнениями:

, (1)

где - декартовы координаты; -постоянные, определяющие форму и размеры контура; - параметр контура. Примеры таких колец при различных значениях и изображены на рис. 1. Они используются в качестве окантовки по одному из контуров в двухсвязных пластинах.

Уравнения равновесия элемента бруса имеют вид:

, . (2)

Здесь ds - элемент дуги контура бруса; N(s), Q(s), М(s) - соответственно нормальная и поперечная силы, изгибающий момент, в сечении; h(s) - ширина сечения бруса в плане; - радиус кривизны контура бруса; q, p - внешние усилия, направленные по нормали и касательной к контуру и действующие на единицу длины в срединной плоскости бруса; i - мнимая единица.

Напряжения, действующие по нормали к поперечному сечению, определяются по формуле для бруса большой кривизны:

, (3)

где , - соответственно напряжения на наружном и внутреннем контурах; F - площадь поперечного сечения; , - радиусы кривизны соответственно нейтральной и центральной осей бруса; - радиус кривизны наружного ( =1) или внутреннего (=2) контуров бруса.

Для отыскания перемещений используется система уравнений

, , (4)

где - перемещения по нормали и - касательной точек контура; - угол поворота нормали поперечного сечения; - величина относительной деформации в направлении линии контура.

Расчет замкнутых некруговых кривых брусьев в виде (2) - (4) используется далее для исследования плоского напряженного состояния и изгиба двухсвязных пластин с подкрепленным некруговым контуром.

Полученные в аналитической форме с помощью метода малого параметра величины внутренних силовых факторов, нормальных напряжений и перемещений в замкнутых некруговых брусьях позволяют проводить исследование и регулирование рассматриваемых параметров несравненно быстрее, чем любой численный метод.

В результате решения задач получены графики изменения параметров. Например, для приведенного изгибающего момента

в замкнутых некруговых кривых брусьях с площадью поперечного сечения под погонной нагрузкой они будут иметь вид при =10:



Рис. 1

На основании анализа полученных формул, вычислений по ним, сделаны выводы для каждого из четырех рассмотренных видов нагрузок.

Далее описан способ активного управления динамическим поведением некругового кольца. Схема системы управления изображена на рис. 2.

Рис. 2

Выполнен синтез линейного квадратичного регулятора. Закон управления получен в виде:

, (5)

где - собственная частота колебаний; и - весовые коэффициенты; и - координата и скорость изменения координаты эквивалентного груза.

Численная реализация произведена с использованием пакета стандартных программ. Приведены структурная схема вычислений и результат в виде графика переходного процесса.

Рассмотрен пример пассивного управления напряженно-деформированным состоянием элемента конструкции в виде квадратной рамки с закругленными углами, которое имеет место в гироскопическом приборе при изменении температуры.

Рис. 3. Точности решения некоторых задач с решениями другими способами

Обсуждена устойчивость решений в задаче регулирования по методике Ю.П. Петрова. Сделан вывод о том, что выполненные в диссертации преобразования уравнений эквивалентны в расширенном смысле и полученные решения устойчивы.

Экспериментально подтверждена достоверность формул, полученных с использованием метода малого параметра. На Рис. 3 изображен эксперимент по определению перемещений в эллиптическом кольце под действием сосредоточенных сил. Относительная погрешность экспериментального среднего арифметического от теоретического значения, определенная по методу малого параметра оказалась равной .

На Рис. 4 приведена схема экспериментальной проверки напряжений в эллиптическом кольце. Цифрами на рисунке обозначены: 1 - испытываемый элемент, 2,3 - измерительные датчики, 4 - компенсационный датчик, 5 - цифровой тензометрический мост, 6-провода электрических цепей.

Рис. 4

Погрешность результатов вычислений по формуле, полученной с применением метода малого параметра, относительно экспериментальных данных составила 6%.

Третья глава посвящена построению решений, определяющих плоское напряженное состояние и изгиб двухсвязных пластин сложного очертания, а также исследованию возможности регулирования статического и динамического поведения таких элементов конструкций.

Во-первых, рассмотрена задача о напряженном состоянии двухсвязной пластинки под действием периодически изменяющейся нагрузки, приложенной к круговому контуру. Один из контуров пластинки (наружный или внутренний) задается уравнениями (1). Другой контур - круговой радиуса . Некруговой контур свободен от нагрузки.

Задача сводится к решению бигармонического уравнения:

. (6)

Функция напряжений удовлетворяет уравнению (6) и граничным условиям на круговом контуре, на некруговом контуре граничные условия имеют вид:

,

. (7)

Задача сведена к ряду задач для кольцевых областей с преобразованными граничными условиями. Результат решения изображен на рис. 5.

Рис. 5

Регулирование напряженно-деформированного состояния пластинки в этом случае можно осуществить за счет изменения геометрических размеров наружного и внутреннего контуров и соотношений между ними, а также введением подкрепления контура.

Такие элементы конструкций имеют место в гидротехнических и подземных сооружениях.

Далее строится методика исследования плоского напряженного состояния двухсвязных подкрепленных пластин в форме, удобной для регулирования. Напряженное состояние в пластинках описывается уравнением (6), а в брусьях - уравнениями (2).

Дифференциальные уравнения для определения проекций перемещений имеют вид

. (8)

Решение системы (2), (6) удовлетворяет следующим граничным условиям: на круговом контуре условиям на наружном контуре бруса

и , (9)

а также условиям контактирования на контуре

,

.

, , (10)

где , , -элемент дуги.

Величины , а также дифференциалы находятся в точках некругового контура из уравнения (1).

Компоненты напряжений и перемещений в пластинке выражаются через функцию F по известным формулам

,,,. (11)

Результат получен в виде формул. Численные результаты сравниваются с вычислениями, полученными методом конечного элемента. При этом рассматривалась четверть элемента конструкции, изображенной на рис. 6 и 7. Распределенная нагрузка заменялась сосредоточенными силами в соответствии с рис. 8.

Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

Погрешность вычисления напряжений на круговом контуре, то есть погрешность удовлетворения граничным условиям, оказалась в пределах 6%. Разность результатов вычисления напряжений на некруговом контуре по методу конечного элемента и методу малого параметра составила не более 5% относительно уровня задаваемой нагрузки в сечении , что соизмеримо с погрешностью вычислений.

Регулирование по пассивной схеме осуществляется изменением геометрических размеров подкрепляющего ребра.

Изучение изгибных деформаций двухсвязных пластин начинается с исследования круговых двухсвязных пластин. На рис. 9 показана зависимость прогиба от величины радиуса наружного контура и толщины пластинки при постоянном внутреннем радиусе, равном 1 м. Пространственный график наглядно очерчивает область возможного пассивного регулирования - это область резкого изменения прогиба от величин радиуса и толщины пластинки. График на рис. 9 подтверждает сложную зависимость величины прогиба от толщины пластинки и радиуса наружного контура аналогичную сплошным круговым пластинкам.

Поэтому актуальной является задача об изучении изгиба двухсвязных подкрепленных пластин, один из контуров которых описывается уравнениями (1). В таких пластинках рассмотренные зависимости несравненно сложнее. По некруговому контуру пластинка подкреплена ребром жесткости. Ребро представляется в виде некругового плоского кольца, упругие характеристики которого приведены к средней линии. Растяжимостью кольца пренебрегаем. Кольцо расположено симметрично относительно срединной плоскости пластинки. Задача сводится к совместному решению уравнения для функции прогиба пластинки и уравнений равновесия подкрепляющего элемента при выполнении условий сопряжения между кольцом и пластинкой, а также удовлетворения граничным условиям для пластинки. Условиями сопряжения являются равенства угла закручивания бруса и угла поворота нормали пластинки по линии контакта и контактного крутящего момента по линии сопряжения кольца и пластины:

, , , . (12)

Здесь - изгибающий и скручивающий моменты в пластине; - перерезывающая сила, действующая в пластине на площадке с нормалью n; - перемещения точек бруса по вертикали; - прогиб пластины; - результирующий погонный момент, приложенный к брусу.

Граничные условия для пластинки при различных способах закрепления обычны.

Уравнения для функции прогиба пластинки и уравнения равновесия подкрепляющего элемента имеют вид:

, (13)

, , , (14)

, . (15)



С использованием метода малого параметра задача сведена к решению систем алгебраических уравнений. Один из результатов решения изображен в виде графиков на рис. 10. На этом рисунке приняты обозначения:

Полученные решения позволяют регулировать напряженно - деформированное состояние такого элемента конструкции изменением геометрических размеров ребра и пластинки, используя формулы как алгоритм регулирования.

Пассивное регулирование Рис. 10 напряженно-деформированного состояния используется главным образом на этапах проектирования и ремонтов.

Далее изучаются колебательные процессы в пластинках. Уравнение динамического прогиба принято в виде:

. (16)

Задача решается методом Рэлея-Ритца. Значение собственной частоты колебаний получено в виде:

, (17)

.

Рассмотрена задача регулирования колебаний некруговой двухсвязной пластинки в виде определения внешней управляющей нагрузки, которая переводит некруговую упругую пластину из заданного начального состояния как можно ближе к заданному конечному состоянию за фиксированное время T-t₀, связанное с периодом колебаний.

Для решения поставленной задачи применяется метод моментов с использованием теории двойственности в задачах оптимального управления. Задача для некруговой пластинки сведена к ряду задач для круговых областей.

Искомая функция прогиба определится по формуле

, (18)

где

Обсуждена возможность пассивного и активного регулирования параметров динамического поведения некруговой пластинки при действии взрывной волны. Модель представляет жесткую неподвижную некруговую трубу. Труба находится в плотной среде (грунте), закрыта упругой пластиной. В среде возникает плоская ударная пластическая волна сжатия в результате взрыва. Считается, что параметры волны известны и определены расчетным или экспериментальным путем. Задача для некруговых областей сведена к ряду задач для круговых.

Далее произведена оценка возможности регулирования колебательных процессов при осесимметричном деформировании цилиндрических оболочек.

Дифференциальные уравнения тонкостенной оболочки получены энергетическим методом, предполагающим, что в любой момент времени потенциальная энергия оболочки с учетом сил инерции минимальна - справедлив принцип Даламбера-Лагранжа.

В этом случае задача сводится к задаче о минимуме функционала:

, (19)

где контурный интеграл - потенциальная энергия единицы длины оболочки; А - работа внешних сил и сил инерции.

Все усилия и деформации в (19) выражаются через функцию, например, радиальных перемещений и ее производных по зависимостям



.

Тогда для любого момента времени уравнение Эйлера-Лагранжа

, (20)

где ,

даст дифференциальное уравнение задачи.

Для оболочки с постоянными по длине характеристиками уравнение деформирования имеет вид:

Рис. 11

,

где . (21)

Возможность управления заложена в третьем слагаемом правой части, определяющей коэффициент . На рис. 11 приведен график численного исследования зависимости амплитуды деформаций от величины коэффициента k по высоте оболочки (аксонометрическая проекция), показывающий принципиальную возможность такого управления.

Четвертая глава посвящена исследованию колебательных процессов и управлению динамическим поведением стержневых систем.

Задача управления поперечными колебаниями стержневой системы рассматривается при описании уравнением следующего вида:

(22)

при .

В уравнении (22) приняты обозначения: - плотность материала; - площадь поперечного сечения; - поперечное перемещение; - модуль Юнга (предполагается постоянным); - момент инерции площади поперечного сечения относительно нейтральной оси; - поперечная нагрузка.

Из физических соображений можно предположить, что перемещение является непрерывной дифференцируемой функцией и . На интервале [] функции являются кусочно-гладкими, положительными функциями переменной x. Дополнительное предположение об однородности материала означает, что и постоянны.

Рассмотрены четыре подхода к исследованию колебаний стержневых систем: 1) оценены возможности «классических» решений, полученных С.П. Тимошенко, 2) сделана попытка получения аналитического решения с использованием стандартного программного комплекса, 3) разработаны две программы, реализующие метод конечных разностей. Исследованы колебательные процессы в стержневой системе, в том числе с управлением, 4) составлена программа моделирования колебаний стержневой системы по методу «упругих грузов», дающая возможность синтезировать оптимальный регулятор.

а) «разностная» схема б) метод «упругих грузов»

Рис. 12

На рис. 12 представлена иллюстративная ответная реакция модели на порыв ветра, рассчитанная как с использованием «разностной схемы», так и по методу «упругих грузов» для одной и той же модели. Графики показывают преимущество второго метода по спектру частот. Кроме того, время счета по методу «упругих грузов» в 5 раз меньше.

Рассмотрен вопрос об активном управлении динамическим поведением высотных сооружений, аппроксимируемых вертикально стоящими стержнями с использованием метода Лапласа. Уравнение движения для такой системы имеет вид:

. (23)

Здесь - плотность материала; А - площадь поперечного сечения консоли; E - модуль Юнга; I - момент инерции; v - боковое смещение; М(t) - сосредоточенный управляющий момент.

Используя преобразования Лапласа, получена передаточная функция вида

. (24)

Такой подход позволил, с одной стороны, выбирать управляющий момент, а с другой - оценивать живучесть конструкции по стандартной динамической реакции при изменении геометрии с течением времени по различным причинам, например, коррозии.

Оценено влияние коррозии на динамическое поведение высотных конструкций. При этом площадь поперечного сечения в момент времени будет определяться выражением

, (25)

где k - коэффициент, отражающий тип профиля; L₀ - начальный периметр; А₀ - начальная площадь; - параметр коррозионного износа, определяемый в соответствии с принятой моделью коррозионного износа.

Дальнейший анализ проведен на основании уравнения (23) без последнего слагаемого в правой части.

Реакция пилона на тарированное воздействие после введения в эксплуатацию (а) и через десять лет (б) изображена на рис. 13.

а) б)

Рис. 13

Показано, что принципиально возможны диагностирование и прогнозирование технического состояния рассматриваемой конструкции с использованием динамического отклика на тарированное воздействие.

Рассмотрен вопрос о применении активных демпферов для управления колебательными процессами. Исследование производилось с использованием модели, описываемой уравнением (23) и преобразований Лапласа. Упомянутое уравнение было приведено к простейшему виду и получены передаточные функции по скорости, отклонению.

. (26)

Здесь - плотность материала; А - площадь поперечного сечения конструкции; ; . - Переменные в выражении (26) связаны с боковым смещением v соотношением . Показано, что управление для таких систем жизненно важно. На рис. 14 а представлена реакция управляемой системы с обратной связью, а на рис. 14 б реакция той же системы на тарированное воздействие без регулирования. Отклонения по горизонтали здесь возрастают неограниченно.



а) б)

Рис. 14

Заметим, что рассмотренный подход к изучению колебательного процесса стержневой системы оценивает значения только одной обобщенной координаты. Вторая форма колебаний остается неуправляемой.

Несмотря на отмеченные недостатки данного подхода, здесь возможен поиск оптимального управления. Так, для обратной связи по отклонению оптимальной является функция

, где . (27)

Поставленная задача разработки алгоритма активного регулирования динамического поведения привела к синтезу вычислительных программ двух видов: континуальной и дискретной. Континуальная схема реализовывала конечно-разностный алгоритм интегрирования дифференциального уравнения поперечного изгиба, а дискретная модель - модифицированный метод «упругих грузов» А.Ф. Смирнова. В результате численных исследований по разработанным программам были сделаны следующие выводы:

1) методы «упругих грузов» и «конечных разностей» для первой гармонической составляющей колебательного процесса модели вертикально стоящего стержня идентичны при рассмотренных нагрузках (расхождение результатов по амплитуде и частоте не более 5%);

2) введение управления в конечно-разностной схеме затруднительно;

3) дискретная модель позволяет при активной схеме управления динамическим поведением синтезировать регулятор с использованием стандартных подходов теории автоматического регулирования.

Реализация задачи синтеза регулятора аналитически аналогична для системы с одной степенью свободы. Формула функции управления имеет вид (5).

Описана методика применения разработанного алгоритма для схем активного управления колебаниями некруговых колец в своей плоскости и изгибом некруговых пластинок.

Далее дискретная модель высотного сооружения как вертикально стоящего стержня идентифицируется системой с n степенями свободы. Уравнения движения для каждого элемента рассмотренного примера имеют следующий вид:

(28)

где - переменные; - управляющая сила; - внешнее возмущающее воздействие; - длины участков; - массы участков; - коэффициент демпфирования; - изгибающий момент (коэффициент связи между элементами); - коэффициент упругости вант. Здесь i=1,2,…

Выполнен синтез оптимального регулятора при удовлетворении следующим ограничениям:

1) необходимо удовлетворять задаче наблюдаемости - измерять положение относительно вертикали каждого элемента и его скорость (в программе все необходимые значения брались с предыдущего шага расчета по времени при нулевых начальных условиях);

2) условие управляемости состоит в том, что минимально необходимо прикладывать регулирующие усилия к двум сегментам, то есть на языке механики управлять динамическим поведением рассматриваемого объекта можно только с помощью момента пары сил.

Приведен численный пример другой возможности разработанной программы - использование свободно перемещающегося груза для стабилизации динамического поведения пилона вантового моста. В рассмотренном примере максимальная амплитуда колебаний модели уменьшается на 5-7%.

Рассмотрено два примера по управлению динамическим поведением конструкций за счет пассивного или активного изменения элементов. Один состоит в определении скорости бегущей волны в балке. Такая задача является моделью процесса, наблюдаемого на автодорожном мосту через реку Обь около г. Сургута во время прохождения по параллельному мосту железнодорожного состава. Показано, что две критические скорости движения составов - 36 и 80 км/ч, соответствующие резонансным пикам, вызывают раскачивание подвешенного на вантах пролета. В качестве решения проблемы предложено ограничить скорость движения составов по железнодорожному мосту или поставить защитные аэродинамические экраны на нем.

Во втором примере исследована возможность подстройки частоты колебаний обратного маятника, используемого в качестве гасителя возмущений высотных сооружений. Показано, что данная операция трудно выполнима при изменении масс обратного маятника (рис. 15) ввиду сложной зависимости произведения квадратов частот возмущения конструкции от изменения масс гасителя колебаний и реальна при изменении длин подвеса масс (рис. 16). При этом основным элементом, определяющим инерционность системы, является электродвигатель постоянного тока с усилителем мощности. Однако расчеты для реальных усилителя и двигателя показывают, что переходные процессы имеют вид, изображенный на рис. 17, то есть угловая скорость , а следовательно, и угол поворота вала электродвигателя приводятся в нулевое состояние за 1 с.

Рис. 15 Рис. 16

Рис. 17

Постоянные времени концевых выключателей и червячной пары, которые входят в устройство регулирования, равно 0,05 с. Таким образом, время реагирования такой системы будет равно 1,1 с., что меньше нижнего значения периода колебаний в 1,5 с., когда предпочтительнее использовать динамические гасители колебаний в виде перевернутого маятника.

Численно исследована возможность активного управления динамической реакцией высотного сооружения, аппроксимируемого эквивалентной массой, при землетрясении. Уравнение движения получено в виде:

, (29)

где и - ординаты акселерограммы; и - управляющие моменты пар сил в соответствующие моменты времени; - ускорения от действия управляющих моментов пар сил в соответствующие моменты времени; m - приведенная масса; h - плечо приложенной управляющей пары сил.

Решение уравнения (29) получено на прямолинейном участке разбиения акселерограммы.

На рис. 18 представлены иллюстративные сравнительные результаты вычисления перемещений без управления (а) и с управлением (б) с использованием метода Ньюмарка. Исходным возмущением является спектрограмма землетрясения elcentro. Дискретность управляющего воздействия равна дискретности разбиения акселерограммы возмущения по времени.

Введение регулирования уменьшило амплитуду колебаний по перемещениям в 2-3 раза. Амплитуды ускорений в спектре ответов уменьшились на 20-30%.

Полученные результаты говорят о принципиальной возможности активного регулирования динамического поведения высотных сооружений при землетрясениях.



а) б)

Рис. 18

Заключение

В работе систематизирован и обобщен опыт пассивного и активного регулирования напряженно-деформированного состояния и динамического поведения элементов конструкций в виде некруговых колец, двухсвязных пластин некругового очертания, в том числе с подкрепленным краем, и вертикально стоящих стержней. В результате выполненных теоретических и экспериментальных исследований решена крупная научная проблема, имеющая важное значение в области регулирования решений задач строительной механики.

Основные научные результаты и выводы

1. Введение регулирования статического и динамического поведения элементов конструкций является в настоящее время одним из основных направлений развития строительной механики. Регулирование позволяет эффективнее и полнее использовать ресурсы несущей способности и долговечности конструкции, особенно там, где традиционные способы конструирования становятся малоэффективными или технически трудно реализуемыми. В таких конструкциях имеется возможность регулировать статическое и динамическое поведение отдельных элементов при опасных нагрузках и с большой вероятностью предотвращать аварийные ситуации.

2. Широко известные аналитические методы динамического расчета (решений дифференциальных уравнений) с использованием разложения по формам собственных колебаний или функций Крылова не позволяют выполнить синтез оптимального регулятора для активного управления динамическим поведением различных элементов этих конструкций.

3. Стандартные конечно-элементные вычислительные комплексы расчета напряженно-деформированного состояния и проектирования конструкций не имеют модулей, позволяющих выполнить синтез оптимального регулятора.

4. Предложенная методика расчета напряженно-деформированного состояния некруговых колец на основании гипотез строительной механики и метода малого параметра позволила в результате получить формулы, которые могут эффективно использоваться в конструировании регулятора при пассивном и активном регулировании напряжений и деформаций.

5. Задачи расчета плоского напряженного состояния и изгиба двухсвязных пластин с подкрепленным краем решаются единым методом малого параметра для пластинки и подкрепления в аналитическом виде, что упрощает проблему регулирования напряженно-деформированного состояния таких элементов как в статике, так и в динамике.

6. С помощью произведенных численных исследований показана возможность выполнения операций пассивного регулирования внутренних силовых факторов, нормальных напряжений в сечении и перемещений по нормали и касательной к контуру в некруговых кольцах сложного очертания при различных нагрузках путем изменения геометрических размеров, материалов, а в гидротехнике - изменением величины нагрузки.

7. Впервые рассмотрена схема активного регулирования колебаний некруговых пластинок при изгибе.

8. Высотные сооружения являются в настоящее время объектами статического регулирования напряженно-деформированного состояния по пассивной схеме. Предложен метод активного регулирования динамического поведения этих объектов с применением силовых устройств.

9. Широко распространенная разностная схема численного интегрирования дифференциального уравнения в частных производных, описывающего колебания стержневых систем, дает возможность исследовать динамическое поведение объекта, однако не позволяет использовать известные методы синтеза оптимального регулятора при проектировании активной системы регулирования динамического поведения.

10. Предложенный модифицированный метод «упругих грузов», опирающийся на современные компьютерные технологии, отвечает требованиям теории автоматического регулирования по синтезу оптимального регулятора, что позволяет использовать стандартные вычислительные комплексы, то есть осуществить активное регулирование динамического поведения.

11. Разработанная универсальная вычислительная программа, реализующая метод «упругих грузов», позволяет моделировать динамику высотных сооружений с использованием активной системы регулирования, а также свободно перемещающегося груза и пассивного демпфирования.

12. Составление дифференциального уравнения тонкостенной оболочки энергетическим методом, предполагающим, что в любой момент времени потенциальная энергия оболочки с учетом сил инерции минимальна и справедлив принцип Даламбера-Лагранжа, позволяет получить это уравнение с нулевой правой частью, то есть однородным. Такой вид уравнения дает возможность осуществить регулирование динамического поведения оболочки, но при применении для решения этого уравнения метода разделения переменных. При этом функция управления вводится в коэффициент дифференциального уравнения четвертого порядка относительно функции формы. В такой постановке возможно использование стандартных программных вычислительных комплексов для управления динамическим поведением.

13. Впервые выполненный применительно к задачам строительной механики синтез линейного квадратичного регулятора активной системы регулирования напряженно-деформированного состояния некруговых колец и изгиба двухсвязных некруговых пластин позволяет принципиально решить задачу активного управления динамическим поведением этих элементов конструкций.

14. Построена методика неразрушающего контроля пилонов по динамической реакции на стандартное воздействие. Использование разработанной методики в совокупности с известными формулами коррозионного износа позволяет прогнозировать динамическое поведение пилона на достаточно продолжительный срок.

15. Выполненный синтез регулятора высотного сооружения, моделью которого является вертикально стоящий стержень, в виде многомерной системы с использованием стандартных вычислительных комплексов показал, с учетом условий управляемости и наблюдаемости, что минимально приемлемым активным внешним воздействием является момент пары сил.

16. Достоверность численных результатов, полученных с использованием метода малого параметра, подтверждена экспериментальными данными при определении перемещений в эллиптическом кольце путем прямого измерения, а также электротензометрией нормальных напряжений в поперечном сечении.

17. Метод малого параметра показывает для рассмотренных задач аналогичные результаты сравнительно с методом сил и конечного элемента, но имеет преимущество в универсальности, простоте применения формул и возможности использования полученных формул в качестве алгоритмов пассивного и активного регулирования напряженно-деформированного состояния рассматриваемых элементов конструкций.

18. Пример учета совместного влияния ветровой и подвижной нагрузок на пилон, ванты и пролетное строение вантового моста через р. Обь около г. Сургута позволил выявить эффект резонанса поперечных колебаний пролетного строения при широко распространенных скоростях движения подвижного состава по параллельно расположенному железнодорожному мосту. Данный результат будет учтен при решении проблемы в ОАО «Мостострой-11», г. Сургут.

19. В настоящее время демпфирование колебаний высотных сооружений в виде дымовых труб, стел, памятников производится с использованием динамических гасителей колебаний в виде обратных маятников, имеющих в качестве недостатка строго постоянную собственную частоту, которая не изменяется, несмотря на изменение собственной частоты колебаний сооружения в процессе эксплуатации и спектра ветровых, сейсмических нагрузок и погодных условий в виде дождя, обледенения, снега.

20. Предложенные способы регулирования частот обратных маятников путем автоматического изменения длины подвеса или изменения массы маятников перекачкой жидкости между ними дают возможность регулировать собственную частоту маятников и, как следствие, поддерживать демпфирование сооружения в экстремальных ситуациях от действия нагрузок и изменения собственной частоты сооружения. При этом возможно отказаться от ручных операций, которые выполняются в настоящее время, а также предотвратить аварийные ситуации.

21. Цикл исследований и решенных задач показали, что предложенный подход к решению проблемы регулирования напряженно-деформированного состояния, изгиба и колебательных процессов в некруговых кольцах, двухсвязных пластинках некругового очертания и элементах конструкций в виде вертикально стоящих стержневых систем является эффективным.

По теме диссертации опубликованы следующие основные работы

Ковырягин, М.А. Регулирование напряженно-деформированного состояния и динамического поведения элементов конструкций / М.А. Ковырягин. - Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2006. - 138 с.