Плоский изгиб. Устройство опор балок

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Плоский изгиб

опорный балка эпюра изгибающий

Призматический стержень испытывает деформацию изгиба в том случае, если в плоскостях, проходящих через ось стержня, к нему приложены пары сил (моменты) или силы, перпендикулярные к его оси.

Стержень, работающий на изгиб, обычно называется балкой. На балку могут действовать кроме внешних сил и реакции опор. Для решения задач сопротивления материалов обычно необходимо знать и те и другие.

Опыт показывает, что при действии указанных сил ось балки искривляется, т.е. балка изгибается.

В случае, когда изгибающий момент в поперечном сечении балки является единственным силовым фактором, а все остальные равны нулю, имеем чистый изгиб (рис. 1а).

Рис. 1

Если наряду с изгибающим моментом в поперечных сечениях возникают также и поперечные силы, а нормальная сила (продольная) при этом равна нулю, то имеем поперечный изгиб (рис. 1б).

Если все силы, в том числе и опорные реакции, лежат в плоскости, совпадающей с осью симметрии сечения, то изогнутая ось балки будет также лежать в этой плоскости. Такой изгиб называют плоским изгибом. Мы рассмотрим плоский изгиб в плоскости (см. рис. 1). Ось будем направлять горизонтально, слева направо. Ось направим вниз, ось направлена на «нас», при этом оси составят правую систему координат.

2. Основные типы балок и опорных связей. Определение опорных реакций

Для того, чтобы балка смогла воспринимать нагрузку и передавать ее на конструкцию, она должна быть соединена с ней опорными связями. Опорные реакции зависят от устройства опорных связей или, как говорят, типа опор. Различают три основных типа опор:

Шарнирно-неподвижная опора.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эта опора допускает свободный поворот сечения балки в плоскости изгиба, но препятствует перемещениям как по вертикали, так и по горизонтали. В такой опоре возникает две составляющие опорной реакции: R вертикальная и H горизонтальная.

Шарнирно-подвижная опора.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эта опора кроме поворота сечения допускает перемещение в одном направлении (в данном случае - по горизонтали). Реакция такой опоры R направлена вдоль опорной связи или перпендикулярна плоскости опирания катков.

Заделка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Такая опора не допускает ни поворота, ни перемещений по двум направлениям сечения балки, примыкающего к заделке. В заделке возникают реакции R, H и момент М.

Применяют различные варианты прикрепления балки к основанию с помощью рассмотренных опор. Наименьшее число связей, обеспечивающее неподвижность балки по отношению к основанию в одной плоскости, равно трем (рис. 2).

Рис. 2

Рис. 3



На рис. 2 показаны некоторые типы балок в зависимости от способов крепления к основанию:

а) простая двухопорная балка;

б) балка, заделанная одним концом.

Могут быть балки с консолями.

Встречаются и более сложные типы балок, состоящие из системы брусьев, соединенных между собой связями (рис. 2 в). Точка «К» шарнир.

Недопустимые случаи крепления балки: когда все три опорных стержня параллельны друг другу (рис. 3а) или когда направления трех опорных стержней пересекаются в одной точке (рис. 3б).

Задача определения опорных реакций подробно изучалась в теоретической механике (раздел статика).

При определении опорных реакций необходимо стремиться так составить уравнения статики, чтобы в каждое из них входило только одно неизвестное. Для этого уравнения моментов составляются относительно оси х, проходящей через опорные точки.

При расчете сложных балок (рис. 2в) следует иметь в виду, что уравнения равновесия можно применить как ко всей системе в целом, так и к каждому брусу в отдельности. В таких задачах общее число опорных реакций больше трех, но зато и независимых уравнений статики больше трех. Так для системы на рис. 2в, можно составить дополнительное условие - равенство нулю момента относительно шарнира «К».

Устройство опор балок в действительности далеко не всегда соответствует разобранным схемам. Поэтому, приступая к определению опорных реакций балки, необходимо технически грамотно схематизировать опорные части, заменяя действительную конструкцию наиболее приближающейся к ней схемой. Например, если устройство опор балки допускает хотя бы небольшой поворот или перемещение - этого достаточно, чтобы считать опору шарнирной или подвижной.



3. Внутренние силовые факторы. Метод сечений

Как уже ранее было показано, внешние нагрузки, действующие на сооружение, вызывают появление в нем внутренних усилий, которые определяются уже известным методом сечений, т.е. чтобы определить внутренние силовые факторы в произвольном поперечном сечении, необходимо мысленно рассечь балку на две части плоскостью и рассмотреть равновесие одной из ее частей.

При действии на брус внешних нагрузок, расположенных в плоскости , проходящей через ось бруса и ось симметрии поперечного сечения (т.е в случае плоского изгиба), в каждом поперечном сечении бруса возникают следующие внутренние силовые факторы (ВСФ), действующие в этой же плоскости:

а) продольная сила , приложенная в центре тяжести сечения

б) поперечная сила , проходящая через его центр тяжести

в) изгибающий момент

Из рис. 1 видно, что деформация изгиба сопровождается растяжением одних волокон и сжатием других, т.е. в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения при изгибе , а внешние поперечные силы уравновешиваются касательными напряжениями в сечениях.

В общем случае ВСФ и являются статическим эквивалентом распределенных внутренних напряжений и и связаны между собой известными зависимостями (1.6)

(5.1)



В сопротивлении материалов принято следующее правило знаков для внутренних усилий:

1. Изгибающий момент считают положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон.

2. Поперечную силу считают положительной, если она стремиться повернуть вырезанный из балки элемент бесконечно малой длины по ходу часовой стрелки.

Это правило иллюстрируется на рис. 4, где показаны положительные направления внутренних силовых факторов как для левой, так и для правой отсеченных частей.

Рис. 4

Необходимо обратить особое внимание на правило знаков для поперченной силы: для левой отсеченной части вниз, для правой части вверх.

Внутренние силовые факторы в поперечном сечении определяются из условия равновесия отсеченной части стержня.

Для определения внутренних усилий, действующих со стороны правой части бруса на левую, рассмотрим равновесие левой отсеченной части бруса (рис. 4)

1. Сумма проекций на вертикальную ось у дает:

,



откуда

2. Сумма моментов относительно оси х, проходящей через центр тяжести сечения (т. О) дает:

,

откуда

Нетрудно убедиться в том, что внутренние силовые факторы, действующие со стороны правой части на левую равны по величине и противоположны по направлению силовым факторам, действующим со стороны левой части на правую.

Последние определяются из условия равновесия правой отсеченной части.

Из этих соображений можно получить следующее правило для определения внутренних силовых факторов в любом поперечном сечении балки, изложенное в разделе 1 формулы (1.5).

1. Изгибающий момент относительно центральной оси х в поперечном сечении по величине и по знаку равен сумме моментов относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к правой части балки или сумме моментов (относительно той же оси), взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к левой части:



(5.2)

При этом моменты внешних сил положительны, когда они действуют против хода часовой стрелки и для левой и для правой части.

2. Поперечная сила в сечении по величине и по знаку равна сумме проекций на ось у всех внешних сил, приложенных к правой части балки, или сумме проекций (на ту же ось у), взятой с обратным знаком, всех внешних сил, приложенных к левой части бруса:

(5.3)

При этом проекции внешних сил на ось у положительны, когда они направлены вдоль оси у, т.е. вниз и для правой и для левой частей балки.

Отметим, что при определении внутренних усилий учитываются внешние моменты и силы, приложенные к балке по одну (и только одну) сторону сечения (т.е. слева или справа от сечения).

С невыполнением этого условия связано большинство ошибок при определении внутренних усилий.

4. Дифференциальные зависимости между М_х, Q_y и q

Здесь - погонная (распределенная) нагрузка на балку в плоскости , она принимается положительной, если направлена вниз, т.е. вдоль оси у. В разделе 1 получены более общие дифференциальные уравнения равновесия прямого бруса (1.7), из которых в нашем случае будем использовать следующие (полагая погонный изгибающий момент):



(5.4)

(5.5)

Из двух полученных дифференциальных зависимостей вытекает третья:

(5.6)

Построение эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил

Для расчетов на прочность необходимо отыскать опасное сечение балки, в котором действуют наибольшие внутренние силы. Для этого необходимо знать закон изменения внутренних усилий в поперечных сечениях балки по ее длине, возникающих от действия на балку нагрузок. Этот закон можно выразить в виде аналитических зависимостей и изобразить с помощью специальных графиков, называемых эпюрами, которые в масштабе изображают значения функций и на протяжении всей балки.

Для определения этих эпюр определяют численные значения моментов и перерезывающих сил для ряда сечений и по ним строят соответствующие эпюры.

На основании зависимостей, характеризуемых выражениями (5.2) и (5.3) легко определить значения и для любого сечения, а затем построить их эпюры.

Условимся: на эпюрах и положительные ординаты откладывать вниз (т.е. вдоль оси у), а отрицательные - вверх от оси балки.

Рассмотрим несколько примеров, из которых можно усвоить технику построения эпюр и .

Пример 1.

Рис. 5

Дано: Двухопорная балка с левой консолью. Нагрузки: 2кН, 1кНм, 2кНм, 1м, 2м, 1,5м, 1кН/м (рис. 5).

Решение задачи:

I. Начнем с определения опорных реакций: опора В - шарнирно-подвижная, в ней может возникнуть только вертикальная реакция - направим ее произвольно вверх. Опора А - шарнирно-неподвижная, в ней могут быть две реакции: горизонтальная и - вертикальная, нарисуем их тоже произвольно. Для определения всех реакций составим три уравнения статики для всей балки:

1)



Откуда

2) Для определения составим сумму моментов относительно оси х, проходящей через т. А, т.е. . Все внешние моменты, направленные против хода часовой стрелки, считаем положительными. Все погонные нагрузки постоянные, поэтому их равнодействующие действуют в середине участков.

Откуда 1,75кН.

Реакция получилась положительной, следовательно, направив ее вверх, мы угадали ее действительное направление.

3) Для определения составим :

Откуда = 0,75кН.

Обязательно надо сделать проверку реакций, составив еще одно уравнение статики, например, , т.е. суммировать все нагрузки и найденные реакции на ось у:



.

Получим 0 = 0.

Итак: = 0,75кН; 1,75кН; .

II. Построение эпюр внутренних силовых факторов. В соответствии с характером конструкции балки и нагрузки делим балку на три участка. Эпюры и будем строить по участкам, используя метод сечений и формулы (5.2) и (5.3):

I участок длиной . Проведем сечение в пределах участка. Видно, что проще рассмотреть левую отсеченную часть. Тогда сечение определим расстоянием от т.D. (лев) - пределы изменения .

т.е. эпюра линейна, поэтому для ее построения достаточно двух точек.

т.е. эпюра меняется по закону квадратной параболы, поэтому необходимо не менее трех точек на ней.

Посчитаем величины и при следующих значениях :



Строим эпюры и на этом участке, откладывая в масштабе отрицательные значения и вверх от оси бруса.

II участок длиной . Рассмотрим тоже левую часть (лев)

Считаем:

Строим эпюры и на этом участке, учитывая, что для построения надо два значения (линейная зависимость), а для построения необходимо не менее трех значений в пределах участка (парабола).

III участок. Проводим сечение, видно, что проще рассмотреть правую отсеченную часть. В этом случае расстояние до сечения будем отсчитывать от опоры А, (правая часть)

а)

б)

Считаем:



Эпюра линейна, строим ее по двум точкам. Видно, что при некотором значении эпюра меняет знак, т.е. = 0, а согласно зависимости (5.4) в этом сечении величина принимает экстремальное значение. Подставим в формулу а) = 0 при : , отсюда 0,75 м. Подставим = 0,75 м в формулу б) и найдем = 2,28 кНм. Это будет третьей точкой для построения эпюры .

Экстремальные значения при построении эпюр вычислять обязательно.

На эпюрах ставим знаки, размерность величин, штриховка перпендикулярна к оси бруса (вертикальная).

5. Проверка построенных эпюр

Существует несколько способов проверки эпюр, в том числе с использованием зависимостей (5.4) и (5.5). Рассмотрим два самых простых способа:

1. Проверка эпюры : при движении по эпюре (ее обводке) справа - налево скачки на ней должны быть равны по величине и направлению локальным силам, приложенным к балке в этих сечениях. Проверим эпюру на рис. 5: в сечении А скачок вверх на 0,75кН, здесь действует 0,75кН вверх; сечение С, здесь скачок вниз от 0,75 до 2,75 т.е. на 2 кН, здесь действует 2кН вниз; в сечении В скачок от 0,75 до -1, т.е. на 1,75кН вверх, здесь действует = 1,75кН вверх; в сечении D нет скачка и нет силы.

Итак, во всех сечениях правило выполняется.

2. Проверка эпюры : скачки на эпюре по модулю должны быть равны локальным моментам, действующим на балку в этих сечениях. Проверим эпюру на рис. 5: в сечении А скачок на 2кНм, здесь действует 2кНм; в сечении В скачок на 1кНм, здесь приложен 1кНм; больше скачков на эпюре нет и на балке нет локальных моментов.

Итак, во всех сечениях правило выполняется. Наличие на эпюре скачка без приложенного момента на балке говорит об ошибочности эпюры .

Пример 2.

Криволинейный брус радиуса (арка)

Дано: 2м, 2кН, 4кН, 2кНм (рис. 6)

Рис. 6



Опорные реакции в заделке можно определить из обычных трех уравнений статики. По виду конструкции арки и ее нагрузки имеем только один участок. В произвольном месте арки делаем разрез (сечение) в т. D. Очевидно, что проще рассмотреть ту часть арки , где приложены нагрузки, тогда не надо определять все реакции опор . Положение разреза т. D определим угловой координатой (т. D надо выбрать так на рис. 6, чтобы угол был острым). В сечении D вводим оси так, чтобы ось была направлена по касательной к арке в т. D,а ось по радиусу. Здесь , т.е. в пределах всей арки рассматривается левая часть арки от разреза. Силы и разложим на составляющие по осям и на рис. 6. При этом получим два прямоугольных треугольника, в которых необходимо найти по признакам равенства углов (два угла равны, если их стороны параллельны или взаимно перпендикулярны).

Кроме и в поперечном сечении арки возникают - внутренние продольные силы, которые определяются по формулам, аналогичным (5.2) и (5.3), полученным в разделе 1.

(5.7)

Учитывая, что мы рассматриваем левую отсеченную часть арки, по формулам (5.2), (5.3) и (5.7) получим:

(5.8)



Здесь и плечи у сил и , определяются из рис. 5.6. Все эпюры криволинейны, поэтому определяем не менее трех точек на каждой эпюре по формулам (5.8):

Выбираем масштабы для и откладываем полученные значения с учетом знаков: положительные - внутрь, т.е. вдоль оси , отрицательные - наружу, против оси . В каждом сечении величины откладываются по радиусам. На каждой эпюре полученные точки соединяем плавными кривыми. Далее, при необходимости, надо уточнить эпюры с учетом следующих правил:

1. Если на эпюре меняется знак, надо найти величину , где = 0. В этом сечении, при на эпюре будет экстремум. Для этого в формулу (5.8а) подставим = 0 при и найдем угол . Далее в (5.8в) подставим и найдем . На нашей эпюре этот случай присутствует. Вычислим:

Отсюда и угол

= - 4,47кН



2. Если на эпюре меняется знак (как у нас), надо найти , где = 0 по (5.8в). В этом сечении, т.е. при на эпюре и на эпюре будут экстремумы. Вычислим их:

По (5.8в)

и угол

По (5.8а) и (5.8с) найдем при

= - 4,47кН

= - 14,94кНм

Найденные экстремальные значения откладываем на эпюрах и с их учетом строим окончательные эпюры и , которые показаны на рис. 6. На эпюрах ставятся знаки, штриховка делается по радиусам.

6. Нормальные напряжения при чистом изгибе

Выше (см. зависимости (5.1)) было установлено, что при отсутствии в балке продольных сил нормальные напряжения в поперечных сечениях зависят от изгибающего момента, а касательные - лишь от поперечной силы.

Это позволяет упростить вычисление , а именно провести его для случая, когда . Такой случай, как уже было установлено выше, называется чистым изгибом.

Кроме того полагаем, что балка симметрична относительно плоскости внешних сил, поэтому обе ее половинки деформируются симметрично относительно этой плоскости, т.е. рассматриваем случай плоского изгиба.

Уравнения статики (5.1) в таком случае имеют вид

и 5.9)

Однако найти из этих уравнений нельзя, т.к. мы не знаем закона распределения по ординате у.

Для решения задачи необходимо привлечь условия деформации, которые можно сформулировать только на основании экспериментальных наблюдений. Так, например, если на боковую поверхность бруса нанести сетку в виде продольных и поперечных прямых и загрузить брус по концам положительными изгибающими моментами, то после деформации продольные линии примут криволинейное очертание, а поперечные линии останутся прямыми. Этот факт и другие экспериментальные исследования изгиба балок дают основания для ряда допущений, положенных в основу дальнейших выводов:

При чистом изгибе поперечные сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации (гипотеза Бернулли);

Продольные волокна друг на друга не давят и испытывают простое линейное растяжение или сжатие;

Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.



Рис. 7

Рассмотрим элемент бруса длиной , который после деформации искривляется (рис. 7). Два смежных сечения, согласно принятой гипотезе Бернулли, останутся плоскими, но наклонятся друг к другу, образовав между собой угол . При этом верхние волокна окажутся сжатыми, а нижние растянутыми. На каком-то уровне по высоте балки волокна останутся недеформированными, назовем их нейтральными. На поперечном сечении (рис. 7б) поверхность, в которой лежат нейтральные волокна, образует след - нейтральную линию ОХ. Радиус кривизны нейтрального волокна обозначим .

Найдем удлинение какого-либо волокна АВ, расположенного на расстоянии у от нейтрального слоя и растянутого напряжением . Первоначальная длина этого волокна равна . После деформации его длина стала равной . Абсолютное удлинение . Относительное удлинение равно

На основании второго и третьего допущений для вычисления напряжений можно воспользоваться законом Гука при растяжении

или (5.10)

Из выражения (5.10) видно, что напряжения распределены по высоте сечения по линейному закону. Однако вычислить их значения еще нельзя, т.к. неизвестно, следовательно, неизвестно расположение нейтрального слоя по высоте сечения.

Подставим зависимость (5.10) в первое уравнение статики (5.9)

Так как , то

Полученный интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной оси. Так как он равен нулю, то, следовательно, нейтральная ось должна проходить через центр тяжести сечения.

Подставим теперь зависимость (5.10) во второе уравнение (5.9)

Как известно, интеграл, входящий в это выражение, представляет собой момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси Х, т.е.



поэтому

откуда находим кривизну нейтрального слоя:

(5.11)

Подставив это выражение в формулу (5.10) получим

(5.12)

Примечание: Если главная центральная ось у сечения не является осью симметрии сечения (например, швеллер), то для плоского изгиба необходимо, чтобы внешняя нагрузка и опорные реакции лежали в плоскости, параллельной плоскости и проходящей через центр жесткости сечения.

Экстремальные напряжения. Момент сопротивления сечения

Из формулы (5.12) видно, что экстремальные (max) напряжения (растягивающие (р) и сжимающие (сж)) будут в точках сечения балки, наиболее удаленных от нейтральной оси х:

Здесь и координаты надо подставлять со своими знаками, при этом автоматически получается знак . Это важно для балок, изготовленных из хрупких материалов (чугун, бетон), которые хорошо работают на сжатие и плохо на растяжение. Балки из пластичных материалов (стали) одинаково сопротивляются растяжению и сжатию, поэтому обычно их поперечные сечения симметричны относительно оси х (двутавр), для них

и

Обозначим

- момент сопротивления симметричного сечения (5.13)

Тогда

(5.14)

Здесь знак напряжений для расчетов на прочность роли не имеет и определяется по физическому смыслу (в растянутой зоне сечения «»).

Для прямоугольного сечения шириной b и высотой h:

Для круглого сечения радиуса

Для кольцевого сечения с и

Значения для стандартных двутавров и швеллеров приводятся в таблицах ГОСТа.

Балки из хрупких материалов обычно изготавливают несимметричными относительно оси х. При этом, для равнопрочности их желательно, чтобы расстояния до крайних точек сечения от оси х были пропорциональны допускаемым напряжениям на растяжение и сжатие.

7. Нормальные и касательные напряжения в прямоугольном сечении балки при поперечном плоском изгибе

В отличие от чистого изгиба при поперечном изгибе в сечениях балки, наряду с нормальными напряжениями, появляются также и касательные напряжения, параллельные равнодействующей им силе

На основании закона парности касательных напряжений, последние возникают также и в продольных сечениях и вызывают сдвиги отдельных волокон относительно друг друга. Касательные напряжения в продольных сечениях обращаются в нуль на верхний и нижний поверхностях бруса и возрастают по какому-то закону к нейтральной оси.

Следовательно, поперечные сечения балки, плоские до деформации, при поперечном изгибе от , оставаясь плоскими, поворачиваются, а под действием касательных напряжений, возникающих от , искривляются. Это искривление, в соответствии с характером изменения величины касательных напряжений, возрастает от краев балки к нейтральной оси (рис. 8). Следовательно, гипотеза плоских сечений при поперечном изгибе нарушается.

Рис. 8

1) Рассмотрим случай, когда = const по длине балки

Так как в двух соседних сечениях одинаковы, значит, искривления сечений будут одинаковыми и продольные волокна между этими сечениями не получат дополнительных удлинений по сравнению с удлинениями от изгиба сечения. Поэтому, в этом случае, для определения нормальных напряжений можно пользоваться формулой (5.12), полученной для чистого изгиба

2) const, т.е. меняется по длине балки.

В этом случае абсолютные сдвиги не одинаковы и, следовательно, за счет сдвига продольные волокна получают дополнительные удлинения и, значит, будет добавка в нормальных напряжениях. Однако, теоретические и экспериментальные исследования показали, что влияние указанного эффекта на величину нормальных напряжений невелико и им обычно на практике пренебрегают.

Таким образом, гипотеза плоских сечений условно распространяется также и на поперечный изгиб.

Следовательно, при поперечном изгибе, нормальные напряжения определяются по той же формуле чистого изгиба

Относительно распределения касательных напряжений Д.И. Журавским были сделаны следующие допущения:

Касательные напряжения в любой точке сечения направлены параллельно поперечной силе ;

Касательные напряжения, действующие на одном и том же расстоянии от нейтральной оси х, равны между собой, т.е. по ширине сечения касательные напряжения распределяются равномерно.

Исследования показывают, что оба допущения оказываются достаточно правильными для балок прямоугольного сечения, если высота балки больше ширины.

С учетом этих допущений и была получена формула Журавского в виде

(5.15)

Здесь: ширина сечения, где определяются ; статический момент относительно оси х отсеченной части сечения.

Выясним характер распределения по высоте прямоугольного сечения балки (рис. 9), в котором действуют (вниз).

Рис. 9

Найдем в произвольном сечении с-с на расстоянии у от оси х. Ниже сечения с-с будет отсеченная площадь (заштрихована на рис. 9). Расстояние от оси х до центра тяжести обозначим . Тогда

Из рис. 9 видно:

Подставим в формулу (5.15)

(А)



Видно, что по высоте сечения (координате у) меняется по закону квадратной параболы. Для построения эпюры поэтому надо не менее трех точек подсчитать по формуле (А)

1) (точка на оси х)

2)

3)

По этим точкам строим нижнюю половину эпюры на рис. 9. Ввиду симметрии прямоугольника относительно оси х и эпюра симметрична относительно х. Напряжения распределены по сечению и направлены, как и , вниз.

8. Касательные напряжения в двутавровом сечении

Рис. 10



Для стенки, вследствие малой ее ширины (), допущения Журавского справедливы и в ней можно вычислить по (5.15). Для произвольного сечения на расстоянии «у» от оси х в пределах стенки, т.е. , где , можно записать с учетом обозначений на рис. 10.

(В)

где:

Подставляем (В) в формулу (5.15), в которой заменяем размер «b» на размер «d» - ширина стенки, получим расчетную формулу, по которой можно построить эпюру в стенке. Эпюра криволинейна (в (В) «у» в квадрате), поэтому надо не менее трех точек. Считаем:

1) , по (В) находим , подставим в (5.15) и вычислим и откладываем ее в масштабе на эпюре рис. 10;

2) , аналогично вычислим ;

3) , находим

По этим точкам строим нижнюю часть эпюры , а т.к. двутавр симметричен относительно оси х, то и эпюра симметрична. Направление совпадает с направлением . Если (вниз), то и в стенке направлены вниз, а закон их изменения по высоте стенки показан на эпюре . Полка двутавра широкая и малой высоты и допущения Журавского для нее несправедливы и, следовательно, пользоваться (5.15) нельзя.

В консолях полок возникают горизонтальные , которые можно найти по формуле



(5.16)

Определение поясним с помощью рис. 5.10.

На верхней левой консоли полки проведем сечение на расстоянии и в этом сечении найдем . Обозначим длину консоли полки . Тогда , отсеченная площадь

(С)

Из зависимости (С) видно, что линейно меняется по и, следовательно, из (5.16) видно, что линейно меняются по длине консоли полки. Поэтому, для построения эпюры надо две точки:

1) (конец консоли), по (С) и из (5.16) .

2) , вычислим и по (5.16)

Аналогичный закон изменения будет и в трех других консолях полок.

Направления во всех полках показаны на рис. 10 при . Они с в стенке составляют единый поток. Если направлены вниз (), то в верхней полке «сходятся», а в нижней полке «расходятся». Если , направления и меняются на противоположные.



9. Условия прочности при поперечном изгибе. Подбор сечений

Расчет балок на прочность обычно ведется по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях. Обозначая эти напряжения , получим условие прочности

I. Так как пластичные материалы одинаково сопротивляются как растяжению, так и сжатию, то для них . Поэтому балки из пластичных материалов обычно имеют поперечные сечения, симметричные относительно своих нейтральных осей. Подбор сечения проводится из условия прочности действию наибольшего по абсолютной величине изгибающего момента

(5.17)

Отсюда определяется необходимая величина момента сопротивления

Размеры сечения (при выбранной форме) подбираются так, чтобы его момент сопротивления равнялся или был чуть больше требуемой величины.

При проектировании балки прямоугольного сечения, задаются соотношением сторон , тогда и .

Для круглого сечения , откуда .

Подбор стальных балок прокатного профиля производится с помощью таблиц сортамента по величине .

В случае применения тонкостенных профилей типа двутавра или деревянных прямоугольных сечений балок, при значительной поперечной нагрузке , проводится проверка по максимальным касательным напряжениям:

(5.18)

и берутся из нормативных документов для каждого материала.

Подобранные сечения балки должны удовлетворять условиям прочности как по нормальным (5.17), так и по касательным напряжениям (5.18). Для деревянных балок расчет на прочность по может иметь решающее значение, т.к. дерево плохо сопротивляется скалыванию вдоль волокон. Допускается перегрузка до 5% от и .

Балки из хрупких материалов, плохо работающих на растяжение, изготавливают обычно с несимметричным относительно оси х сечением.



(см. рис) и составляют два условия прочности в растянутой и сжатой зонах:

Здесь учтено, что отрицательная величина и по модулю . Поэтому при проектировании таких сечений, необходимо, чтобы , а для равнопрочности желательно, чтобы

В железобетонных балках растянутая зона армируется металлом, чтобы увеличить .

10. Определение деформации балок при изгибе

Прогиб и поворот сечения балки

При действии внешних сил, расположенных в одной из главных плоскостей инерции сечения балки, наблюдается искривление ее оси в той же плоскости, происходит плоский изгиб.



На рис. изображена искривленная ось балки в плоскости , защемленной одним концом и нагруженной на другом конце силой . Центр тяжести С какого-либо сечения с абсциссой при дефор-мации балки переместится в т. .

Перемещение ц.т. сечения по направлению, перпендикулярному к оси балки, называется прогибом балки в этом сечении. Прогиб обозначается буквой .

=

При деформации балки сечение поворачивается на некоторый угол , который называется углом поворота сечения.

Обе величины, определяющие деформации балки, являются функцией от .

Уравнение представляет собой уравнение кривой, по которой изогнется ось балки, это будет уравнение изогнутой оси балки.

Касательная к изогнутой оси балки в т. составит с осью угол, равный . С другой стороны, тангенс угла, образованного касательной к кривой и осью , как известно, равен



Так как на практике прогибы балки обычно малы по сравнению с длиной балки, то углы малы.

Для таких углов можно считать, что тангенс угла равен самому углу, выраженному в радианах. Следовательно

(5.19)

При выбранных нами направлениях координатных осей (см. рис) положительный прогиб будет вниз, а положительный угол поворота сечения - по направлению вращения часовой стрелки.

11. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Для получения зависимости надо установить, как зависят деформации балки от внешних сил, изгибающих ее, от размеров и материала балки.

Такая зависимость была получена нами ранее при выводе формулы нормальных напряжений при изгибе в виде связи кривизны оси балки с изгибающим моментом (5.11):

(а)

где радиус кривизны изогнутой оси балки.

Однако в общем случае использовать зависимость (а) для определения прогибов не удается.

С другой стороны, из курса высшей математики известна зависимость между радиусом кривизны плоской кривой и координатами и ее точек:

(б)

Приравнивая выражения (а) и (б) исключим радиус кривизны:

(в)

Это дифференциальное уравнение изогнутой оси, или дифференциальное уравнение упругой линии.

Выше мы уже отмечали, что - величины очень малые, поэтому их квадратом можно пренебречь по сравнению с единицей. Тогда уравнение (в) упростится

(г)

Это приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси. Правило знаков для изгибающего момента установлено ранее.

Знак в формуле (г) зависит от выбора направлений осей координат. В нашем случае, когда ось горизонтальна и направлена вправо, а ось вниз, надо брать знак «-». Итак

(5.20)



Если ось у направлена вверх, надо взять знак «+».

12. Интегрирование дифференциального уравнения упругой линии

Для того, чтобы получить аналитические выражения для прогибов и углов поворота необходимо найти решение дифференциального уравнения (5.20). Правая часть уравнения является известной функцией для каждой конкретной балки с конкретным загружением. Интегрируя его один раз, получим:

Это выражение определяет закон изменения углов поворота сечений балки.

После повторного интегрирования найдем уравнение оси балки

Постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий.

Уравнения (5.20) записываются для каждого участка балки и интегрируются. При большом числе участков определение const и осложняется, т.к. приходится решать большое число совместных алгебраических уравнений, из которых они вычисляются. Поэтому для таких балок были разработаны другие методы.

Один из таких методов сводится к уравниванию однотипных const интегрирования, для чего, при составлении аналитических выражений изгибающих моментов по участкам балки, необходимо соблюдать ряд условий.



13. Метод уравнивания произвольных постоянных (метод Клебша)

Равенство между собой произвольных постоянных ( и ) при большом числе участков балки возможно при соблюдении следующих условий:

Отсчет координат всех участков должен вестись от одного конца балки.

Все составляющие выражения предыдущего участка, должны сохраняться неизменными в выражениях последующего участка. Поэтому, если на каком-то участке появляется распределенная нагрузка , не идущая до конца балки, то ее надо продлить до конца балки, добавив на этих же участках такую же распределенную нагрузку с противоположном знаком.

Сосредоточенные моменты вводятся в виде , где расстояние от начала балки до сечения, где приложены .

Интегрирование дифференциальных уравнений должно вестись без раскрытия скобок.

Поясним выполнение перечисленных условий на примере:

Пример (рис. 11):

Дано: 1,5м; 4,5м; 4м; 20кН; 45кН/м; 20кНм; кН/см²; =16кН/см²; =10кН/см²;



Рис. 11

На рис. 11 сплошными линиями и перечеркнутыми показаны нагрузки заданные, а пунктиром показаны добавки нагрузок согласно п.2 метода Клебша. Сначала учитываем только заданные нагрузки . По правилам, показанным при решении примера 1 на рис. 5, находим:

Из уравнений равновесия всей балки при заданных нагрузках находим все опорные реакции: 154,12кН; 84,12кН; .

Строим эпюру и эпюру , из которых находим 105,68кНм и 106,62кН

Для балки подберем стандартный двутавр:

Из условия прочности балки (5.17) находим

660,5см²



Из таблиц сортамента двутавров видно, что лежит между: №33 =597см³ и №36 =743см³. Cначала проверим №33 с учетом допускаемой перегрузки 5% от , т.е. =1616,8кН/см².

17,7кН/см²

Итак, № 33 не подходит балке даже с учетом перегрузки.

Проверяем №36

16кН/см²

Проверяем №36 по условию прочности (5.18), подставляя данные из сортамента: 0,75см; 423см³; 13380см⁴

10кН/см²

Итак, окончательно для балки выбираем двутавр №36, который отвечает всем условиям прочности.

Для определения деформации балки, т.е. - углов поворота сечений и прогибов балки, с соблюдением условий метода Клебша для всех трех участков балки, записываем дифференциальные уравнения (5.20) и интегрируем их:

I участок левая часть (см. рис. 10)



I

Здесь в формуле а) первый минус - т.к. левая часть, второй минус - т.к. он стоит в (5.20)

II участок левая часть

II

Здесь слагаемое с интегрируется без раскрытия скобок согласно п.4 метода Клебша.

III участок левая часть

III



Все условия метода Клебша выполнены, поэтому должно быть:

, .

Для определения const и рассмотрим условия закрепления балки:

Сечение А, опора, т.е. при . Подставим это в формулу Iс), получим

(1)

Сечение В, опора, т.е. при . Подставим это в формулу IIIс)

(2)

Решаем уравнения (1) и (2) найдем

= - 173,67, = 258,75

По формулам в) и с) на каждом участке балки вычислим и . Результаты вычислений сведем в таблицу

м	0	1	1,5	2	3	4	5	6	7
кНм2	-173,7	-171,2	-172,8	-174,4	-112,8	-12,1	82,8	126,8	109,9
кНм3	258,8	86,5	0	-88,7	-237,4	-301,3	-263,5	-152,6	-28,2

М	8	9	10	4,12
кНм2	42,1	-31,6	-66,2	0,470
кНм3	50,1	54,0	0	-302,2

По этим данным строим эпюру и эпюру . Из эпюры видно, что при 4м на эпюре меняется знак, а согласно зависимости (5.19) в сечении, где величина имеет экстремум. Найдем его. Расчеты показали, что при 4,12м величина =0,47, т.е. близка к нулю. В этом сечении балки = - 302,2кНм³. С учетом этого строим окончательные эпюры на рис. 5.11. (По аналогии с надо найти (на III участке при м) и вычислить ).

14. Проверка балок на жесткость

Из условий нормальной работы конструкций часто ограничивают максимальные прогибы балок. Обычно вводят следующие ограничения: допускаемые прогибы пролета балки длиной , а для консолей длиной , или эти данные берут из справочников.

Условия жесткости балки:

- в пролете

- в консолях

Проверим балку рассматриваемого примера.

Из рис. 11 или таблицы находим

левая консоль:



1,5м,

1см,

=258,8кНм³,

кН/см²,

13380см⁴,

1см

Условия жесткости консоли выполняется.

пролет:

8,5м, 2,83см, =302,2кНм³

2,83см

Итак: Двутавр №36 отвечает всем требованиям к прочности и жесткости рассматриваемой балки.

Примечание: Если жесткость где-то не выполняется, берут следующий номер двутавра и проверяют его на жесткость.

15. Статически неопределимые балки при изгибе

Как уже ранее мы отмечали, в случае действия нагрузки на балку в одной плоскости, минимальное число связей, обеспечивающее неподвижность балки по отношению к основанию, равно трем. Эти три связи являются абсолютно необходимыми. Удаление хотя бы одной из таких связей превращают балку в геометрически изменяемую систему (механизм). Поскольку для плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия, то балки, закрепленные тремя связями, являются статически определимыми. Исключение составляют многопролетные шарнирные балки, которые могут быть статически определимыми и при числе внешних связей больше трех (об этом выше уже говорилось).

Очень часто, для обеспечения требуемой прочности и жесткости балки, оказывается необходимым увеличить число опорных закреплений, т.е. ввести некоторые «лишние» связи.

В балках с «лишними» связями все реакции нельзя определить только из уравнений равновесия. Такие балки будут статически неопределимыми.

Число «лишних» неизвестных определяет степень статической неопределимости системы.

Для раскрытия статической неопределимости балок разработаны несколько методов. Рассмотрим один из них - с использованием метода Клебша для определения деформации балки. Порядок расчета таких балок заключается в следующем:

Составляем обычные три уравнения статики для всей балки (как при определении опорных реакций).

Для всех участков балки с учетом правил метода Клебша записываем дифференциальные уравнения (5.20) и интегрируем их.

Из условий закрепления балки составляем дополнительные уравнения, которые с уравнениями статики дают необходимую систему алгебраических уравнений для определения всех опорных реакций и констант и .

После определения всех опорных реакций, расчет балки на прочность и жесткость ведется обычным (как показано выше) путем.



Пример:

Здесь четыре опорных реакции: и . Задача однажды статически неопределима.

Уравнения статики:

(1)

(2)

Уравнения деформации балки. Здесь один участок лев. часть

а)

в)

с)

Рассмотрим закрепление балки:

Сечение А (заделка), при . Подставим в уравнение в), найдем . Сечение А, при и . Подставим в с) найдем .

Сечение В, опора, при , . Подставим в с)

(3)

Решаем уравнения (1)(3) и находим ,.



16. Энергия деформации

От в точках сечения возникают

и (1)

От возникают , определяемый формулой Журавского и -по закону Гука при сдвиге.

Как показано выше в разделе 3 (3.16), при действии и удельная энергия деформации , аналогично от и ,. В общем случае . Анализ показал, что много меньше , поэтому .

В объеме тела энергия деформации .

Подставляя сюда (1) получим

(2)

В объеме всего бруса, площадью сечения и длиной l, полную энергию U найдем интегрированием по и l



Здесь учтено, что и по , .

Итак, при плоском изгибе

(5.21)

В случае чистого изгиба, когда по l и балка постоянного сечения получим из (5.21)

(5.22)

Размещено на Allbest.ru