Расчет погрешностей измерений линейного размера элемента конструкции строящегося здания

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Исходные данные

Используя ряд многочисленных измерений линейного размера (L) элемента конструкции строящегося здания (таблица 1), выполнить:

1. расчет абсолютной, относительной и приведенной погрешностей результатов измерений;

2. выделение аддитивной и мультипликативной составляющих из абсолютной и относительной погрешностей результатов измерений, построить их графические зависимости;

3. необходимые вычисления по определению факта наличия или отсутствия систематических погрешностей в исходном ряду измерений линейного размера конструкции строящегося здания, используя метод последовательных разностей и метод дисперсионного анализа;

4. необходимые вычисления по выявлению грубых погрешностей в исходном ряду измерений линейного размера конструкции строящегося здания, используя критерии: Граббса, «трех сигм», Шарлье, Диксона.

Таблица 1. Результаты измерений линейного размера L (м) элемента конструкции строящегося здания

№ измерения	Li, м	№ измерения	Li, м	№ измерения	Li, м
1	1,3	11	1,1	21	0,8
2	1,1	12	1,3	22	1,1
3	0,9	13	1,2	23	1,2
4	1,5	14	1,5	24	1,3
5	0,8	15	1,2	25	1,5
6	1,1	16	1,6	26	1,4
7	1,4	17	1,2	27	1,5
8	1,0	18	1,1	28	1,4
9	1,2	19	1,0	29	1,4
10	1,1	20	0,7	30	1,4

Результаты таблицы №1 умножают на порядковый номер студента «7», полученные данные представлены в таблице № 2.

Истинное (действительное) значение линейного размера L=12,1 м.

2. Расчет абсолютной, относительной и приведенной погрешностей результатов измерений

Определение «погрешность» является одним из центральных в метрологии, которым используются понятия «погрешность результата измерения» и «погрешность средства измерения».

Погрешностью измерения называется отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины. Это значение находится экспериментальным путем и настолько близко к истинному значению, что для поставленной измерительной задачи может быть использовано вместо него. Погрешность средства измерения - разность между показаниями СИ и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины. Она характеризует точность результатов измерений, проводимых данным средством.

По способу количественного выражения погрешности измерения делятся на абсолютные, относительные и приведенные.

Абсолютной погрешностью ?, выражаемой в единицах измеряемой величины, называют отклонение результата измерения «Х» от истинного значения «Хи»:

(2.1)

Абсолютная погрешность характеризует величину и знак полученной погрешности, но не определяет качество самого проведенного измерения.

Относительной погрешностью д называется отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:

 (2.2)

Погрешность д часто выражают в процентах:

, [%].

Приведенной погрешностью д пр., выражающей потенциальную точность измерений, называется отношение абсолютной погрешности ?, к некоторому нормирующему значению ХN (например, к конечному значению шкалы прибора или сумме конечных значений шкал при двухсторонней шкале):

, [%] (2.3)

Представим результаты измерений линейного размера L (м) элемента конструкции строящегося здания (таблица №1) с учетом порядкового номера «7» студента, в виде:

Таблица 2. Результаты измерений линейного размера L (м) элемента конструкции строящегося здания с учетом порядкового номера студента (7)

№ измерения	Li, м	№ измерения	Li, м	№ измерения	Li, м
1	9,1	11	7,7	21	5,6
2	7,7	12	9,1	22	7,7
3	6,3	13	8,4	23	8,4
4	10,5	14	10,5	24	9,1
5	5,6	15	8,4	25	10,5
6	7,7	16	11,2	26	9,8
7	9,8	17	8,4	27	10,5
8	7,0	18	7,7	28	9,8
9	8,4	19	7,0	29	9,8
10	7,7	20	4,9	30	9,8

Истинное (действительное) значение линейного размера (L) элемента конструкции строящегося здания с учетом задания составит 12,1 м. Тогда применяя выражение (2.1) рассчитываем суммарные (т.е. содержащие аддитивные и мультипликативные составляющие) абсолютные погрешности (?ci) для каждого измерения:

?С1= 9,1 - 12,1= -3,0 м;

?С2= 7,7 - 12,1= -4,4 м.

Аналогично остальные результаты расчетов суммарных абсолютных погрешностей приведены в таблице № 3.

Таблица 3. Суммарные абсолютные погрешности

№ измерения	?сi, м	№ измерения	?сi, м	№ измерения	?сi, м
1	-3,0	11	-4,4	21	-6,5
2	-4,4	12	-3,0	22	-4,4
3	-5,8	13	-3,7	23	-3,7
4	-1,6	14	-1,6	24	-3,0
5	-6,5	15	-3,7	25	-1,6
6	-4,4	16	-0,9	26	-2,3
7	-2,3	17	-3,7	27	-1,6
8	-5,1	18	-4,4	28	-2,3
9	-3,7	19	-5,1	29	-2,3
10	-4,4	20	-7,2	30	-2,3

Применяя полученные значения суммарной абсолютной погрешности (?сi), рассчитываем среднее значение абсолютной погрешности ?ср. по зависимости вида:

(2.4)

Подставив в формулу (2.4) необходимые данные из таблицы 2.2 получим:

?ср = - 3,63 м.

Используя рассчитанные значения суммарной абсолютной погрешности (?сi), рассчитываются суммарные относительные погрешности измерений (дci), применяя зависимость вида (2.2):

Таблица 4. Суммарные относительные погрешности

№ измерения	дсi	№ измерения	дсi	№ измерения	дсi
1	-0,25	11	-0,36	21	-0,54
2	-0,36	12	-0,25	22	-0,36
3	-0,48	13	-0,31	23	-0,31
4	-0,13	14	-0,13	24	-0,25
5	-0,54	15	-0,31	25	-0,13
6	-0,36	16	-0,07	26	-0,19
7	-0,19	17	-0,31	27	-0,13
8	-0,42	18	-0,36	28	-0,19
9	-0,31	19	-0,42	29	-0,19
10	-0,36	20	-0,60	30	-0,19

Применяя полученные значения суммарной относительной погрешности (дсi), рассчитываем среднее значение абсолютной погрешности д ср. по зависимости вида:

(2.5)

Подставив в формулу (2.5) необходимые данные из таблицы 4, получили д ср = - 0,3 м , что в процентах соответствует д ср = - 30 %.

Для расчёта приведенной погрешности результатов измерений, в соответствии с формулой (2.3), необходимо знание нормирующего значения ХN, которое в соответствии с заданием, не определено. Поэтому, учитывая реальные линейные размеры элемента конструкции строящегося здания, допустим, что средства измерения этих размеров имеет конечное значение шкалы, например, 20 м , т.е. ХN = 20 м .

Тогда средняя приведенная погрешность, с учетом выше рассчитанного значения ?ср = - 3,63 м , составит:

= = - 18,15 %

3. Расчет аддитивных и мультипликативных составляющих погрешностей результатов измерений

При зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают погрешности:

- аддитивные ? а, не зависящие от измеряемой величины;

- мультипликативные ? м, которые прямо пропорциональны измеряемой величине;

- нелинейные ? н, имеющие нелинейную зависимость от измеряемой величины.

Эти погрешности применяют в основном для описания метрологических характеристик СИ.

Примеры аддитивных погрешностей - от постоянного груза на чашке весов, от неточной установки на нуль стрелки прибора перед измерением, от термо- ЭДС в цепях постоянного тока.

Причинами возникновения мультипликативных погрешностей могут быть: изменения коэффициента усиления усилителя, изменение жесткости мембраны датчика манометра или пружины прибора, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре.

Данные разновидности погрешностей иногда называют также:

- аддитивные - погрешность нуля;

- мультипликативные - погрешность крутизны характеристики;

- нелинейные - погрешности нелинейности.

В связи с тем, что аддитивная и мультипликативная составляющие погрешности характерны для средств измерения, причем в диапазоне измеряемых величин, то исходя из заданного значения нелинейного размера элемента конструкции (12,1 м), допустим, что использованное средство измерений, позволяет производить измерения в диапазоне от 1 м до 20 м, причем обладает единой для всей шкалы средней относительной погрешностью д ср = - 30 %, которое рассчитано по формуле (2.5) во 2-м разделе работы. Исходя из выбранного диапазона измерений средства измерений (1м - 20 м), возьмем из него, например 10 равноудаленных фиксированных (эталонных) значений линейного размера элемента конструкции, включая заданное истинное (действительное) значение, равное 12,1 метра. В результате ряд измеряемых эталонных значений линейных размеров (L этл.), использованным средством измерения, будет иметь вид: 12,1; 12,6; 13,1; 13,6; 14,1; 14,6; 15,1; 15,6; 16,1; 16,6 (м).

Используя выражение (2.5) можно определить значения суммарной абсолютной погрешности для всех членов ряда (L этл.), а именно:

(3.1)

Рассчитанные значения суммарной абсолютной погрешности () для всех членов ряда, с учетом выполнения правил округления результатов измерений погрешностей измерений, представлены в таблице 5.

Таблица 5. Результаты расчётов суммарной, аддитивной и мультипликативной абсолютных погрешностей

№ члена ряда	L этл.i, м	дср, %	?сi, м	?а, м	? мi, м
1	12,1	-30	-3,63	-0,3	-3,33
2	12,6	-30	-3,78	-0,3	-3,48
3	13,1	-30	-3,93	-0,3	-3,63
4	13,6	-30	-4,08	-0,3	-3,78
5	14,1	-30	-4,23	-0,3	-3,93
6	14,6	-30	-4,38	-0,3	-4,08
7	15,1	-30	-4,53	-0,3	-4,23
8	15,6	-30	-4,68	-0,3	-4,38
9	16,1	-30	-4,83	-0,3	-4,53
10	16,6	-30	-4,98	-0,3	-4,68

Используя результаты расчетов суммарной абсолютной погрешности (?сi) и ряд измеряемых эталонных значений линейных размеров (L этл.i), строим график зависимости ?сi = f (L этл.i) , при этом аппроксимируются точки по которым он строится. На осях графика обозначаются начальные и конечные значения диапазона измерения средства измерения (Lэн = 12,1 м и Lэк = 16,6 м) и максимального значения суммарной погрешности ?с (?ск = -4,98 м).

Рис. 3.1. График суммарной абсолютной погрешности

На полученном графике (рис. 3.1) выделяется аддитивная составляющая (?а) суммарной абсолютной погрешности (?с), которая равна суммарной абсолютной погрешности при минимальном (начальном) значении эталонных значений линейных размеров (в начале диапазона измерений СИ), т.е. ?а = - 0,3 м.

Далее строится график (рис. 3.2) зависимости абсолютной аддитивной погрешности ?а = f (L этл.i), который представляет собой прямую параллельную оси абсцисс, проходящей из точки с ординатой ?а = - 0,3 м.

Рис. 3.2. График абсолютной аддитивной погрешности

На полученном графике (см. рис. 3.1) зависимости ?сi = f (L этл.i), выделяется график мультипликативной составляющей ? эт. = f (Lэт.), который идет параллельно графику суммарной абсолютной погрешности. На осях графика обозначаются начальные и конечные значения диапазона измерения линейного размера Lэт (Lэн = 12,1 м и Lэк = 16,6 м) и максимального значения мультипликативной погрешности ?м (? мк = - 4,68 м). Результаты расчета абсолютной мультипликативной погрешности приведены в таблице 5, а график на рисунке 3.3.



Рис. 3.3. График абсолютной мультипликативной погрешности

Исходя из того, что использованное средство измерения обладает единой для всей шкалы средней относительной погрешностью д ср = - 30 % , которое рассчитано по формуле (2.5) и использовалось для выделения аддитивной и мультипликативной составляющих погрешности измерений в данном разделе работы, то графиком этой погрешности будет горизонтальная прямая с ординатой - 30 % для всего диапазона измерения линейного размера Lэт .

Рассчитаем относительные аддитивные составляющие погрешности (даi.) для каждого измерения средством измерения, используя полученное значение, ?а = - 0,3 м и зависимость вида:

= (3.2)

Результаты расчетов относительных аддитивных составляющих погрешностей представлены в таблице 6, а график на рис. 3.4.

Таблица 6. Результаты расчетов относительных составляющих погрешностей измерения

№ члена ряда	L этл.i, м	дср, %	?сi, м	?а, м	? мi, м	дмi.,%	даi.,%
1	12,1	-30	-3,63	-0,3	-3,33	-27,52	-2,48
2	12,6	-30	-3,78	-0,3	-3,48	-27,62	-2,38
3	13,1	-30	-3,93	-0,3	-3,63	-27,71	-2,29
4	13,6	-30	-4,08	-0,3	-3,78	-27,79	-2,21
5	14,1	-30	-4,23	-0,3	-3,93	-27,87	-2,13
6	14,6	-30	-4,38	-0,3	-4,08	-27,95	-2,05
7	15,1	-30	-4,53	-0,3	-4,23	-28,01	-1,99
8	15,6	-30	-4,68	-0,3	-4,38	-28,08	-1,92
9	16,1	-30	-4,83	-0,3	-4,53	-28,14	-1,86
10	16,6	-30	-4,98	-0,3	-4,68	-28,19	-1,81

Рис. 3.4. График относительной аддитивной погрешности



Рис. 3.5. График относительной мультипликативной погрешности

4. Определение систематических погрешностей в исходном ряду измерений

По характеру (закономерности) измерения погрешности измерений подразделяются на систематические, случайные, грубые (промахи).

Систематические погрешности ?с - составляющие погрешности; измерений остающиеся постоянными и закономерно изменяющиеся при многократных (повторных) измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях. Такие погрешности могут быть выявлены путем детального анализа возможных их источников и уменьшены (применением более точных приборов, калибровкой приборов с помощью рабочих мер и пр.). Однако полностью их устранить нельзя. Известны некоторые общие методы значительного уменьшения таких погрешностей.

По характеру изменения во времени систематические погрешности подразделяются на постоянные (сохраняющие величину и знак), прогрессирующие (возрастающие или убывающие во времени), периодические, а также изменяющиеся во времени по сложному непериодическому закону.

Основные из этих погрешностей - прогрессирующие.

Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность - это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Отличительные особенности прогрессирующих погрешностей:

· их можно скорректировать поправками только в данный момент времени, а далее вновь непредсказуемо изменяются;

· изменения прогрессирующих погрешностей во времени - стационарный (характеристики которого изменяются во времени) случайный процесс, и поэтому в рамках хорошо разработанной теории стационарных случайных процессов они могу быть описаны лишь известными оговорками.

Отличительным признаком постоянной и переменной систематической погрешности является то, что они могут быть предсказаны, обнаружены и благодаря этому почти полностью устранены введением соответствующей поправки.

Способы обнаружения систематических погрешностей (СП).

При проведении измерений стараются в максимальной степени исключить или учесть влияние СП. Это возможно:

· при устранении источников погрешностей до начала измерений;

· внесение известных поправок в результат измерения;

· путем оценки границ не исключенных СП.

Постоянная составляющая СП не может быть ни выявлена, ни найдена методами совместной обработки результатов измерений. Однако она не может исказить ни показатели точности измерений, характеризующие случайную погрешность, ни результат нахождения переменной составляющей СП.

Постоянные систематические погрешности могут быть обнаружены лишь путем сравнения результатов измерений с другими, полученными с помощью более высокоточных методов и средств. Иногда эти погрешности могут быть устранены специальными приемами проведения процесса измерений. Наиболее универсальным способом исключения неизвестных постоянных систематических погрешностей является способ их рандомизации. Суть этого способа состоит в том, что одна и та же величина измеряется различными методами (приборами). Систематические погрешности каждого из них для всей совокупности являются разными случайными величинами. Вследствие этого при увеличении числа используемых методов (приборов) систематические погрешности взаимно компенсируются.

Наличие существенной переменной СП искажает оценки характеристик случайной погрешности и аппроксимацию ее распределения. Поэтому она должна обязательно выявляться и исключаться из результатов измерений и учитываться в оценках СП.

Для выявления систематических погрешностей наиболее часто используют один из следующих трех методов: графический, метод последовательных разностей, метод дисперсионного анализа. Рассмотрим и используем на практике, согласно задания на контрольную работу , метод последовательных разностей.

Метод последовательных разностей.

Этот метод применим для обнаружения изменяющейся во времени систематической погрешности. Дисперсию результатов наблюдений можно оценить двумя способами:

· обычным:

(4.1)

· или вычислением суммы квадратов последовательных (в порядке последовательности измерений) разностей (Хi+1- Xi) 2,

(4.2)

Если в процессе измерений происходило смещение центра группирования результатов наблюдений, т.е. имела место временная систематическая погрешность, то дает преувеличенную оценку дисперсии результатов наблюдений. Это объясняется тем, что на влияют вариации . В то же время изменения центра группирования весьма мало влияют на последовательные разности:

,

и смещения почти не отразятся на значениях . Вследствие этого отношение (4.3) является критерием для обнаружения систематических смещений центра группирования результатов наблюдений.

(4.3)

Критическая область для этого критерия (критерия Аббе) определяется как . Значения Аa для различных уровней зависимости б и чисел наблюдений «n» приведены в таблице 4.1. Если полученное значение критерия Аббе меньше Аа при заданном б и «n» , то нулевая гипотеза о постоянстве центра группирования результатов наблюдений отвергается, т.е обнаруживается переменная систематическая погрешность (СП) результатов измерений (таким образом если , то СП есть).

Таблица 7. Значения критерия Аббе

n	vб при б равном	n	vб при б равном
	0,001	0,01	0,05		0,001	0,01	0,05
4	0,159	0,213	0,390	13	0,295	0,431	0,578
5	0,170	0,269	0,410	14	0,311	0,447	0,591
6	0,182	0,281	0,445	15	0,327	0,461	0,603
7	0,185	0,307	0,468	16	0,341	0,474	0,614
8	0,202	0,331	0,491	17	0,355	0,487	0,624
9	0,221	0,354	0,512	18	0,368	0,499	0,633
10	0,241	0,376	0,531	19	0,381	0,51	0,642
11	0,260	0,396	0,548	20	0,393	0,520	0,650
12	0,378	0,414	0,564

Для данного в задании ряда результатов измерений линейного размера элемента конструкции строящегося здания вначале вычислим средне арифметическое значение этого ряда.

= = = = 8,47 м (4.4)

Полученное среднеарифметическое значение, как и другие промежуточные результаты для применения критерия Аббе, сведены в таблицу 8.

Таблица 8. Промежуточные результаты для применения критерия Аббе

№ изм.	Li, м	di =Хi+1 - Xi	di2	vi = Xi + X	vi2
1	9,1	-1,4	1,96	0,63	0,40
2	7,7	-1,4	1,96	-0,77	0,59
3	6,3	4,2	17,64	-2,17	4,71
4	10,5	-4,9	24,01	2,03	4,12
5	5,6	2,1	4,41	-2,87	8,24
6	7,7	2,1	4,41	-0,77	0,59
7	9,8	-2,8	7,84	1,33	1,77
8	7	1,4	1,96	-1,47	2,16
9	8,4	-0,7	0,49	-0,07	0,00
10	7,7	0	0	-0,77	0,59
11	7,7	1,4	1,96	-0,77	0,59
12	9,1	-0,7	0,49	0,63	0,40
13	8,4	2,1	4,41	-0,07	0,00
14	10,5	-2,1	4,41	2,03	4,12
15	8,4	2,8	7,84	-0,07	0,00
16	11,2	-2,8	7,84	2,73	7,45
17	8,4	-0,7	0,49	-0,07	0,00
18	7,7	-0,7	0,49	-0,77	0,59
19	7	-2,1	4,41	-1,47	2,16
20	4,9	0,7	0,49	-3,57	12,74
1	2	3	4	5	6
21	5,6	2,1	4,41	-2,87	8,24
22	7,7	0,7	0,49	-0,77	0,59
23	8,4	0,7	0,49	-0,07	0,00
24	9,1	1,4	1,96	0,63	0,40
25	10,5	-0,7	0,49	2,03	4,12
26	9,8	0,7	0,49	1,33	1,77
27	10,5	-0,7	0,49	2,03	4,12
28	9,8	0	0	1,33	1,77
29	9,8	0	0	1,33	1,77
30	9,8	-		1,33	1,77
Сумма	254,1		106,33		75,80

Используя выражение (4.2) и суммарный результат 4-го столбца таблицы 8, определим значение дисперсии :

= / = = 1,83

Применяя выражение (4.1) и суммарный результат 6-го столбца таблицы 8 определим значение дисперсии:

= = = 2,6

Тогда расчетное значение критерия Аббе с использованием выражения (4.3) будет равно:

=

Сравнивая расчетные значения критерия Аббе «А=0,7» с табличным «Аа» из таблицы 7 при трех уровнях значимости (б=0,001; б=0,01; б=0,05) при «n=20» (максимальное значение числа измерений в таблице 4.1 и наиболее близкое для исследуемых результатов измерений «n=30») можно сделать следующий вывод:

Для уровней значимости (доверительных вероятностей) б=0,001; б=0,01; б=0,05 выполняется равенство (0,7 > 0,650), что свидетельствует об отсутствии систематической погрешности в результатах измерений.

5. Определение грубых погрешностей в исходном ряду измерений

Грубая погрешность или промах - это случайная погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.

Источниками (причинами возникновения) грубых погрешностей могут быть:

1. ошибки, допущенные оператором во время измерений;

2. внезапные и кратковременные изменения условий измерений;

3. оставшиеся незамеченными неисправности в аппаратуре.

К наиболее распространенным грубым ошибкам, т.е. ошибкам допущенным оператором во время измерений, можно отнести:

· неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящий из-за неверного учетам малых делений шкалы ;

· неправильная запись результата наблюдения;

· неправильная запись значений отдельных мер использованного набора, например, гирь.

Критерии исключения грубых погрешностей.

Грубые погрешности, как правило, возникают, при однократных измерениях и обычно устраняются путем повторных измерений.

Вопрос о том, содержит ли результат наблюдений грубую погрешность, решается общими методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат Хi не содержит грубой погрешности, т.е. является одним из значений измеряемой величины. Пользуясь определенными статистическими критериями, пытаются опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если это удается, то результат наблюдений рассматривают, как содержащую грубую погрешность, если нет - то не исключают.

Для выявления грубых погрешностей задаются вероятностью б того, что сомнительный результат действительно мог иметь место в данной совокупности результатов измерений. Эту вероятность б называют уровнем значимости; А = 1 - сдов, где сдов является доверительной вероятностью. Обычно б выбирают равным 0,100; 0,050; 0,010.

Так и в подавляющем большинстве случаев действительные значения параметров законов распределения результатов наблюдений и их погрешности неизвестны, то мы рассмотрим здесь лишь критерии, основанные на статистических оценках этих параметров. Рассмотрим некоторые из существующих критериев.

Критерий Граббса.

Этот критерий применяется для нормально распределенных результатов измерений. Задавшись уровнем значимости б, по таблице 5.1 с учетом числа измерений «n» находят tr.

Табличное значение этого коэффициента (tr) сравнивают с вычисленными значениями «t» (для сомнительных результатов «Хi»), которые определяют по формуле:

(5.1)

Здесь и далее:

=

(5.2)

Среднее арифметическое результатов измерений и оценка среднего квадратичного отклонения результата измерений.

Если окажется, что t < tr, то считают, что в результатах измерений отсутствует грубая погрешность - в противном случае, т.е. если t > tr , считают, что результат измерений «Хi» содержит грубую погрешность, его исключают из ряда измерений и не обрабатывают.

Используя вышеприведенную методику по выявлению грубых погрешностей, допустим, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения и определим, имеются ли промахи в ряду измерений линейного размера «L» элемента конструкции строящегося здания. Для этого, применяя выражения для вычисления среднего арифметического результатов измерений и оценки среднего квадратического отклонения вида (5.2), а так же уже рассчитанные в разделе 4 данной работы эти параметры, запишем: Х = 8,47 м и = 1,6.

Таблица 9. Значения б-процентных точек распределения

Число наблюдений	Уровень значимости б, %
	0,1	0,5	1	5	10
3	1,414	1,414	1,414	1,414	1,412
4	1,732	1,730	1,728	1,710	1,689
5	1,994	1,982	1,972	1,917	1,869
6	2,212	2,183	1,161	2,067	1,996
7	2,395	2,344	2,310	2,182	2,093
8	2,547	2,476	2,431	2,273	2,172
9	2,677	2,586	2,532	2,349	2,238
10	2,788	2,680	2,616	2,414	2,294
11	2,884	2,760	2,689	2,470	2,343
12	2,969	2,830	2,753	2,519	2,387
13	3,044	2,892	2,809	2,563	2,426
14	3,111	2,947	2,859	2,602	2,461
15	3,171	2,997	2,905	2,638	2,494
16	3,225	3,042	2,946	2,670	2,523
17	3,274	3,083	2,983	2,701	2,551
18	3,320	3,120	3,017	2,728	2,577
19	3,361	3,155	3,049	2,754	2,601
20	3,400	3,187	3,079	2,779	2,623
21	3,436	3,217	3,106	2,801	2,644
22	3,469	3,245	3,132	2,823	2,664
23	3,500	3,271	3,156	2,843	2,683
24	3,529	3,295	3,179	2,862	2,701
25	3,556	3,318	3,200	2,880	2,718
26	3,582	3,340	3,220	2,897	2,734
27	3,606	3,360	3,239	2,913	2,749
28	3,629	3,380	3,258	2,929	2,764
29	3,651	3,399	3,275	2,944	2,778
30	3,672	3,416	3,291	2,958	2,792

Рассчитаем значение критерия Граббса для сомнительного результата измерений Хi, которым является максимальное значение результатов измерений 11,2 м по формуле:

= (11,2 - 8,47) / 1,6 = 1,69

Для нахождения табличного критерия Граббса (tr), вначале зададимся значением доверительной вероятности Рдов = 0,999 и переведем его в проценты, т.к. в таблице 10 значение ровня значимости б = 1 - Рдов задано именно в %. Тогда значению Рдов = 0,999 соответствует её процентное значение Рдов = 99,9 % , а следовательно б = 1 - Рдов = 100 % - 99,9 % = 0,1 %.

Войдя в таблицу при б = 0,1 % и при числе наблюдений n=30, найдем табличное значение критерия Грабса «tr» равным 3,672. Таким образом, получено неравенство вида: t < tr ( так как 1,69 < 3,672). Это говорит о том, что подверженный сомнению максимальный результат измерений равный 11,2 м не является результатом грубой погрешности и не может быть исключен из ряда наблюдений, а следовательно, и все остальные результаты измерений также не могут быть отнесены к промахам и не могут быть отброшены из ряда измерений.

Критерий «трех сигм».

Данный критерий применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. В этом случае считается, что результат, возникающий с вероятностью (уровнем значимости) б 0,003 маловероятен и его можно квалифицировать как промах, т.е. сомнительный результат «Хi» отбрасывается если:

(5.3)

Входящие в данное выражение величины (среднее значение Хi) и (с.к.о. результатов измерений) вычисляются без учета сомнительного результата Хi , используя соответствующие выражения, применяемые в критерии Граббса. Данный критерий надёжен при числе измерений n 20…50.

Используя вышеприведенную методику по выявлению грубых погрешностей, допустим, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения и определим, имеются ли промахи в ряду измерений линейного размера L элемента конструкции строящегося здания. Для этого, применяя выражения для вычисления среднего арифметического результатов измерений и оценки среднего квадратического отклонения вида (5.2), а также уже рассчитанные в разделе 4 данной работы эти параметры запишем:

Х = 8,47 м и = 1,6

Тогда, для проверки неравенства (5.3) при сомнительном результате измерений Хi, которым является максимальное значение результатов измерений 11,2 м. вычислим левую и правую части этого неравенства, а именно:

м

(5.4)

Полученные значения левой и правой частей неравенства (5.3), говорят о том, что это неравенство не выполняется (2,73 < 4,8), а следовательно, подверженный сомнению максимальные результат измерений равный 11,2 м не является результатом грубой погрешности и не может быть исключен из ряда наблюдений. Все остальные результаты измерений также не могут быть отнесены к промахам и не могут быть отброшены из ряда измерений, так как их значения меньше максимального результата измерений 11,2 м.

Критерий Шарлье.

Критерий Шарлье используется при числе результатов наблюдений n>5 (5…100). При использовании данного критерия для сомнительного результата Хi проверяется выполнение неравенства вида:

(5.5)

Значения критерия Шарлье (tш) определяется по таблице 10. В случае выполнения неравенства (5.5) сомнительный результат отбрасывается из ряда наблюдений.

Таблица 10. Значения критерия Шарлье

n	5	10	20	30	40	50	100
tш	1,3	1,65	1,96	2,13	2,24	2,32	2,58

Используя вышеприведенную методику по выявлению грубых погрешностей с помощью критерия Шарлье, определим, имеются ли промахи в ряду измерений линейного размера L элемента конструкции строящегося здания. Для этого применяя выражения для вычисления среднего арифметического результатов измерений и оценки среднего квадратического отклонения вида (5.2), а также уже рассчитанные в разделе 4 данной работы параметры, запишем: Х = 8,47 м и = 1,6 м.

Тогда, для проверки неравенства (5.5) при сомнительном результате измерений Хi, которым является максимальное значение результатов измерений 11,2 м, вычислим левую и правую части этого неравенства, используя таблицу 10 (при «n» = 30 критерий tш=2,13), а именно:

м

(5.6)

Полученные значения левой и правой частей неравенства (5.5), говорят о том, что это неравенство не выполняется (2,73<3,4), а следовательно, подверженный сомнению максимальный результат измерений равный 11,2 м не является результатом грубой погрешности и не может быть исключен из ряда наблюдений. Все остальные результаты измерений также не могут быть отнесены к промахам и не могут быть отброшены из ряда измерений, так как их значения меньше максимального результата измерений 11,2 м.

Критерий Диксона. Это чрезвычайно удобный и достаточно мощный (с малыми вероятностями ошибок) критерий, используемый при n = 4…30. Его особенность заключается в том, что результаты измерений раскладываются в вариационный возрастающий ряд Х1…Хn.

(5.7)

Расчетное значение сравнивается с табличным значением Кб (см. таблицу 11), которое зависит от уровня значимости б. В случае выполнения неравенства > сомнительный результат измерений Хn отбрасывается.

Таблица 11. Значения критерия Диксона

n	Кб при б равном
	0,10	0,05	0,02	0,01
4	0,68	0,76	0,85	0,89
6	0,48	0,56	0,64	0,70
8	0,40	0,47	0,54	0,59
10	0,35	0,41	0,48	0,53
14	0,29	0,35	0,41	0,45
16	0,28	0,33	0,39	0,43
18	0,26	0,31	0,37	0,41
20	0,24	0,30	0,36	0,39
30	0,22	0,26	0,31	0,34

Используя вышеприведенную методику по выявлению грубых погрешностей с помощью критерия Диксона, определим, имеются ли промахи в ряду линейного размера L элемента конструкции строящегося здания. Для этого результаты измерений представим вариационным возрастающим рядом, который примет вид таблицы 12.

Таблица 12. Результаты измерений линейного размера L, м элемента конструкции сорящегося здания с учетом порядкового номера студента (7) в форме вариационного возрастающего ряда

№ измер.	Li, м	№ измер.	Li, м	№ измер.	Li, м
1	4,9	11	7,7	21	9,8
2	5,6	12	7,7	22	9,8
3	5,6	13	8,4	23	9,8
4	6,3	14	8,4	24	9,8
5	7	15	8,4	25	9,8
6	7	16	8,4	26	10,5
7	7,7	17	8,4	27	10,5
8	7,7	18	9,1	28	10,5
9	7,7	19	9,1	29	10,5
10	7,7	20	9,1	30	11,2

Используя результаты таблицы 5.4, рассчитаем значение критерия Диксона «Кд» по формуле (5.7) приняв за n=30 (последний номер вариационного ряда), а именно:

= = (5.8)

Сравнивая расчетное значение критерия Диксона «Кд=0,11» с любым из табличных значений Кб при любом уровне значимости б (см. табл.5.3, где Кб=0,01=0,34; Кб=0,02=0,31; Кб=0,05=0,26; Кб=0,1=0,22), можно сделать вывод о том, что неравенство (5.7) никогда не выполняется, а следовательно сомнительный результат измерений Хn не отбрасывается. Все остальные результаты измерений также не могут быть отнесены к промахам и не могут быть отброшены из ряда измерений, так как их значения меньше максимального результата измерений 11,2 м.

Применение рассмотренных критериев требует осмотрительности и учета объективных условий измерений. Конечно, оператор должен исключить результат наблюдения с явной грубой погрешностью и выполнить новое измерение. Но он не имеет права отбрасывать более или менее резко отличающиеся от других результаты наблюдений. В сомнительных случаях лучше сделать дополнительные измерения (не взамен сомнительных, а кроме них) и затем привлекать на помощь рассмотренные выше статистические критерии.

Заключение

погрешность мультипликативный абсолютный

Выполненная контрольная работа позволила:

1. произвести расчет абсолютной, относительной и приведенной погрешностей результатов измерений линейного размера конструкции строящегося здания, средние значения которых составили:

?ср = - 3,63 м; д ср = - 30 %; 18,15 %;

2. рассчитать и построить графики суммарной абсолютной и относительной погрешности результатов измерений линейного размера конструкции строящегося здания, выделить из них и построить графики аддитивной и мультипликативной составляющих погрешностей;

3. установить факт отсутствия систематических погрешностей в исходном ряду измерений линейного размера конструкции строящегося здания, с помощью метода последовательных разностей;

4. установить факт отсутствия грубых погрешностей в исходном ряду измерений линейного размера конструкции строящегося здания, с помощью критерия Граббса, критерия «трех сигм», критерия Шалье и критерия Диксона.

Список литературы

1. Сергеев А.Г., Крохин В.В. Метрология: Учебное пособие для вузов. М.: Логос, 2000. - 408с.

2. Нефедов В.И., Хахин В.И, Фёдорова Е.В. и др.: Метрология и электрорадиоизмерения в телекоммуникационных системах: Учебник для вузов. М.: Высш.школа., 2001 - 384с.

3. Методические указания к практическим занятиям по курсу «Теоретическая метрология / Под ред. А.Г. Сергеева. Сост.: А.Г. Сергеев и др., Владим.гос.ун-т; Владимир, 1997, 64с.

4. Куприянов В.Е. Общая теория измерений: в 2 ч. Ч.2. Методы измерений. Математические модели. Погрешности и обработка результатов измерений: Учебн.пособие. / В.Е. Куприянов, Э.Ф. Касаткина; Владим.гос.ун-т. - Владимир: ВлГУ, 2005. - 148с.

Размещено на Allbest.ru