Критичні стани протяжних балкових та оболонкових конструкцій під дією рухомих навантажень

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТРАНСПОРТНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

КРИТИЧНІ СТАНИ ПОДОВЖЕНИХ БАЛКОВИХ ТА ОБОЛОНКОВИХ КОНСТРУКЦІЙ ПІД ДІЄЮ РУХОМИХ НАВАНТАЖЕНЬ

05.23.17 - будівельна механіка

НАБІЛЬ ВАНАС АБДЕЛЬ-АЗІЗ МУСА

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Національному транспортному університеті Міністерства освіти і науки України, м. Київ.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Гуляєв Валерій Іванович, Національний транспортний університет, завідувач кафедри вищої математики (м. Київ).

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Гоцуляк Євген Олександрович, Інститут будівельної механіки Київського національного університету будівництва і архітектури, завідувач відділом стійкості конструкцій (м. Київ);

доктор технічних наук, професор Луговий Петро Захарович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, завідувач відділом будівельної механіки тонкостінних конструкцій (м. Київ).

Провідна установа: ВАТ “Український науково-дослідний та проектний інститут сталевих конструкцій ім. В.М. Шимановського”, науково-дослідний відділ технічного розвитку (м. Київ).

Захист відбудеться “14” лютого 2007 року о 14⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.059.02 при Національному транспортному університеті за адресою: 01010, Україна, м. Київ, вул. Суворова, 1, зал засідань (ауд. 333).

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Національного транспортного університету (01103, Україна, м. Київ, вул. Кіквідзе, 42).

Автореферат розіслано “ 8 ” січня 2007 року.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради кандидат технічних наук В.І. Каськів

АНОТАЦІЯ

Набіль Ванас Абдель-Азіз Муса. Критичні стани протяжних балкових та оболонкових конструкцій під дією рухомих навантажень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за фахом 05.23.17 - будівельна механіка. - Національний транспортний університет, Київ, 2006.

У дисертаційній роботі розроблена методика теоретичного дослідження динаміки балкових та оболонкових конструкцій, що базується на гіпотезах Кіргхофа та моделях теорії балок і оболонок типу С.П. Тимошенка. Розглянуто задачі про дію на балку на пружній основі рухомих розподілених, зосереджених, одиничних та періодично розміщених сил. Знайдено значення швидкостей їхнього руху, що відповідають виникненню критичних станів та резонансних режимів коливань.

В рамках моделі С.П. Тимошенка розвязані задачі про розповсюдження у циліндричних оболонках вільних хвиль і хвиль, які збуджуються рухомими гармонійними та східчастими розподіленими навантаженнями. Встановлена можливість існування власних хвиль трьох типів, знайдено швидкості їх руху. Досліджена динамічна поведінка оболонок під дією східчастих навантажень. Знайдені критичні значення швидкостей їхнього переміщення.

SUMMARY

Nabil Wanas Abdel-Aziz Musa. Critical states of elongated beam and shell structures under action of moving loads.- Manuscript.

The dissertation on competition of a scientific degree of the candidate of technical sciences in specialty 05.23.17 - mechanics of Structures. - National Transport University. Kyiv, 2006.

In the dissertation the techniques based on the Kirchhoff hypotheses and the models of the S. P. Timoshenko theories of beams and shells are elaborated for theoretical investigations of dynamics of beam and shell structures. The problems about moving distributed and concentrated, isolated and periodically located forces actions on a beam on elastic foundation are considered. The values of their motion velocities corresponding to appearance of critical states and resonant vibrations are found.

In the framework of the S.P. Timoshenko model the problems about propagation of natural waves and waves excited by moving harmonic and stepwise distributed loads in cylindrical shells are solved. The possibility of existence of three types of natural waves is established, the velocities of their propagation are found. The dynamic behavior of shells under action of step-wise loads is investigated. The critical values of their propagation are found.

АННОТАЦИЯ

Набиль Ванас Абдель-Азиз Муса. Критические состояния протяженнях балочных и оболочечных конструкций под действием подвижных нагрузок. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.23.17 - строительная механика. - Национальный транспортный университет, Киев, 2006.

Задачи теоретического исследования динамики балочных и оболочечных конструкций под действием подвижных сосредоточенных сил и распределенных нагрузок возникают во многих отраслях техники: на транспорте (рельсовые пути, тоннели метро), в строительстве (конструкции мостов), в нефтяной промышленности (цилиндрические оболочки трубопроводов, обделки скважин), в конструкциях специального назначения и др. Действующие на эти конструкции подвижные нагрузки могут быть генерированы силами тяжести движущихся транспортных средств либо метаемых тел, полями давления акустических волн, эффектами детонации, ударными волнами технологических взрывов и др. В зависимости от типа нагрузки, наличия в ней периодичности и скорости движения в протяженных конструкциях могут возникать критические стационарные состояния, сопровождаемые неограниченным возрастанием значений функций прогибов (для непериодической нагрузки) либо возникновением резонансных режимов колебаний (для периодических подвижных нагрузок). Для изучения этих процессов в диссертационной работе разработана методика теоретического исследования динамики балочных и оболочечных конструкций, базирующаяся на гипотезах Кирхгофа и моделях теории балок и оболочек типа С.П. Тимошенко. Решения двухточечных и многоточечных краевых задач для сформулированных дифференциальных уравнений строятся аналитическими методами. Скорости распространения собственных волн в балках и оболочках и их критические значения при действии подвижных нагрузок определяются решениями соответствующих дисперсионных уравнений.

В рамках разработанной методики решены задачи о динамическом деформировании балки на упругом основании под действием подвижных нагрузок, изменяющихся по гармоническому закону, ступенчатой распределенной и ступенчатой, убывающей по экспоненциальному закону. Найдены критические значения скоростей и скорости, при которых система оказывается инвариантной по отношению к нагрузке.

Решены задачи о движении по балке единичной сосредоточенной силы и момента. Показано, что в отличие от балки, описываемой теорией Бернулли-Эйлера и допускающей только одну критическую скорость, в балке Тимошенко имеют три критические скорости.

Построены решения задач о колебаниях бесконечной балки на упругом основании под действием подвижных периодических систем сосредоточенных сил и моментов. Установлено, что в диапазоне изменения скорости движении системы от нуля до наинизшей критической, резонансные режимы движения возникают и величина прогиба балки под силой слабо зависит от скорости движения. При значениях скоростей движения, превышающих наинизшую критическую, наблюдается довольно густой спектр резонансных скоростей, при приближении к которым в рамках принятой модели значения прогибов неограниченно возрастают и формы колебаний существенно усложняются.

В рамках теории С.П. Тимошенко поставлена и решена задача о распространении свободных осесимметричных гармоничных волн в цилиндрических оболочках. В результате исследования построенного дисперсионного уравнения установлено, что в них могут распространяться гармонические волны трех типов:

- в длинноволновом приближении это продольные волны, скорость распространения которых не зависит от волнового числа и совпадает со скоростью распространения продольных волн в упругих стержнях;

- в коротковолновом приближении могут распространятся продольные гармонические волны со скоростью продольных волн в тонких пластинах и поперечные гармонические волны со скоростью поперечных волн в неограниченных упругих средах.

Построены решения задач о динамическом деформировании цилиндрических оболочек под действием подвижных полей давления в виде ступенчатой равномерно распределенной нагрузки и ступенчатой, убывающей по экспоненте нагрузки. Найдены значения критических скоростей. Установлена возможность возникновения инвариантных состояний

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дисертації. Задачі теоретичного дослідження динаміки балкових і оболонкових конструкцій під дією рухомих зосереджених сил і розподілених навантажень виникають у багатьох галузях техніки, на транспорті (рейкові шляхи, тунелі метро), у будівництві (конструкції мостів), у нафтовій промисловості (циліндричні оболонки трубопроводів, обробка свердловин), у конструкціях спеціального призначення та ін. Рухомі навантаження, що діють на ці конструкції, можуть бути генеровані силами тяжіння рухомих транспортних засобів або метальних тіл полями тиску акустичних хвиль, ефектами детонації, ударними хвилями технологічних вибухів й ін.

При дії стаціонарної рухомої системи зосереджених сил і розподілених навантажень на балки і циліндричні оболонки в них формуються складні рухомі стаціонарні поля деформацій, структура яких залежить від швидкості руху, типу навантаження і наявності в ній періодичності. В залежності від комбінацій цих факторів при деяких їхніх сполученнях можуть виникати критичні стаціонарні стани, що супроводжуються необмеженим зростанням значень функцій прогинів (для неперіодичного навантаження) або виникненням резонансних режимів коливань (для періодичних рухомих навантажень).

Задачам дослідження динаміки балкових і оболонкових конструкцій під дією рухомих навантажень присвячена значна кількість наукових публікацій українських і закордонних учених. Як правило, у цих роботах основна увага приділяється питанням побудови стаціонарних форм руху конструкцій і практично не аналізуються їхні критичні стани. Крім того, зазначені процеси вивчаються на базі моделей балок типу Бернуллі - Ейлера і теорії оболонок типу Кірхгофа, що у порівнянні з теоріями С.П. Тимошенка виявляються менш пристосованими для опису розглянутих процесів, тому що в них не враховуються деформації зсуву й інерція повороту, які дають помітний внесок у загальний баланс силових факторів.

Оскільки зазначені питання широко зустрічаються в техніці, можна зробити висновок, що задача теоретичного дослідження на базі теорії С.П. Тимошенка динаміки балок і циліндричних оболонок під дією рухомих навантажень і аналізу їхніх критичних станів є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана відповідно до плану науково-дослідної роботи кафедри вищої математики Національного транспортного університету за темою “Дослідження процесів деформування просторових конструкцій на основі розвитку теорії і методів чисельного аналізу”.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є теоретичне дослідження динаміки балок на пружній основі та тонкостінних циліндричних оболонок під дією рухомих навантажень і встановлення критичних режимів цих рухів.

Задачі досліджень полягають у наступному:

- постановка і розв'зування задач про визначення швидкостей поширення вільних хвиль у балках на пружній основі;

- постановка і розв'язування задач про динаміку балок на пружній основі під дією одиночних рухомих зосереджених сил і моментів періодичних рухомих систем сил і моментів, рухомих навантажень, розподілених за гармонійним законом, східчастих і навантажень, що змінюються за експонентним законом, а також визначення критичних швидкостей їхнього руху;

- постановка і розв'язування задач про визначення швидкостей

поширення вільних осесиметричних хвиль у тонких циліндричних оболонках;

- постановка і розв'язування задач про динаміку тонких циліндричних оболонок під дією рухомих східчастих навантажень і навантажень, що змінюються за експонентним законом, а також визначення критичних швидкостей їхнього руху.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є балкові й оболонкові конструкції, що зустрічаються на транспорті, у будівництві, нафтовій і газовій промисловості.

Предметом дослідження є стаціонарні та коливальні динамічні процеси, що протікають у балках на пружній основі й тонких циліндричних оболонках під дією неперіодичних і періодичних рухомих навантажень, а також критичні стани цих процесів.

Методи дослідження. В основу розробленої методики теоретичного дослідження динаміки балкових і оболонкових конструкцій покладені моделі теорії балок і оболонок, що базуються на гіпотезах Кірхгофа і моделі теорії балок і оболонок типу С.П. Тимошенка. Розв'язки двохточкових і багатоточкових крайових задач для сформульованих диференціальних рівнянь будуються аналітично. Швидкості поширення власних хвиль у балках і оболонках визначаються розв'язками відповідних дисперсійних рівнянь.

Вірогідність результатів досліджень підтверджується обґрунтованим вибором прийнятих механічних моделей (теорія балок і оболонок типу С.П. Тимошенка), використанням точних методів для розв'язування диференціальних рівнянь, зіставленням отриманих результатів з результатами інших авторів, отриманих при граничних значеннях визначальних параметрів.

Наукова новизна отриманих результатів. Наукова новизна і теоретичне значення результатів роботи полягають у новій, уточненій постановці задач про дію зосереджених і розподілених рухомих навантажень на балкові й оболонкові конструкції, що базується на застосуванні теорії С.П. Тимошенка, і у виявленні критичних і резонансних станів розглянутих систем.

Практичне значення отриманих результатів. Практична цінність результатів досліджень обумовлена поширенням поставлених задач у техніку при проектуванні транспортних і будівельних споруд, у нафтовій і газовій промисловості й у конструкціях спеціального призначення.

Особистий внесок здобувача полягає в наступному:

в уточненій постановці, що базується на застосуванні теорії С.П. Тимошенка, сформульована і розв'язана задача про поширення вільних хвиль у балках на пружній основі;

вирішено задачі про динаміку балок на пружній основі під дією рухомих одиночних і періодично розташованих сил і моментів, а також розподілених навантажень, знайдені критичні і резонансні значення швидкостей;

на базі рівнянь теорії С.П. Тимошенко побудоване дисперсійне рівняння для осесиметричних гармонійних хвиль, що поширюються в тонких циліндричних оболонках, знайдені швидкості їхнього поширення;

розв'язані задачі про динаміку циліндричних оболонок під дією рухомих осесиметричних навантажень, знайдені критичні значення їхніх швидкостей. Проведено аналіз отриманих результатів.

У статті [1], написаній у співавторстві з науковим керівником В.І. Гуляєвим, співавтору належить ідея дослідження і ним виконана загальна постановка задачі, В.В. Гайдайчуком [2] надано допомогу в постановці задачі.

Дисертанту належить розробка методики розвязку задач, алгоритмів їх реалізації на ПК та проведення чисельних досліджень. Основні результати були отримані ним самостійно. В обговоренні та аналізі отриманих результатів приймали участь усі співавтори.

Апробація результатів досліджень. Отримані в рамках дисертаційної роботи результати доповідалися на 61 та 62 наукових конференціях професорсько-викладацького складу і студентів Національного транспортного університету у 2005 і 2006 роках.

Публікації. Основний зміст дисертації викладений у чотирьох статтях, опублікованих у фаховому науковому журналі, у трьох наукових фахових збірниках і збірнику тез доповідей.

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, п'яти розділів, висновків і бібліографічного списку. Вона містить 146 сторінок друкованого тексту, 46 рисунків, 4 таблиці та включає бібліографію з 194 найменувань на 13 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі викладена загальна характеристика роботи.

У першому розділі надані відомості про розвиток теоретичних досліджень по динаміці балкових та оболонкових конструкцій, що піддаються дії рухомих зосереджених і розподілених навантажень.

Задачі про теоретичне дослідження динамічної взаємодії рухомих навантажень на пружні конструкції широко зустрічаються в сучасній техніці. Такі розрахункові схеми виникають, зокрема, при проектуванні залізничних шляхів, обробці тунелів метро, конструкцій мостів, аеродромних покриттів і несучого крижаного покриву. Повязані з вказаними процесами ефекти чітко проявляються також у стволах метальних пристроїв.

Під час вивчення взаємодії тонкостінних конструкцій з рухомими тілами чи масами можна виділити задачі як стаціонарної взаємодії безінерційних та інерційних навантажень із стержнями, пластинами та оболонками, так і нестаціонарного деформування конструкцій під дією рухомих мас. В роботах, присвячених дослідженню усталених процесів при дії рухомих навантажень на конструкції досить великої протяжності, предметом вивчення є критичні швидкості, які відповідають статичним та динамічним втратам стійкості системи. В нестаціонарних задачах вивчається напружено-деформований стан конструкції, по якій на протязі обмеженого проміжку часу рухаються зосереджені маси, викликаючи локальне поверхневе навантаження несучої конструкції.

Якщо пружна конструкція має досить велику протяжність (залізнична рейка, оболонка тунеля та ін.), то можлива постановка задачі про стаціонарний рух вантажу, коли швидкість руху стала, і у системі координат, що рухається разом із тілом, встановлюється стаціонарна форма прогинів. Тоді прискорення тіла стає рівним нулю, а сила взаємодії тіла та пружної системи дорівнює силі тяжіння вантажу. У таких задачах інерційні властивості тіла ролі не відіграють, і при їх розвязуванні знаходяться форми руху конструкції, параметри напружено-деформованого стану і значення критичних швидкостей руху тіла.

В.Л. Бідерман одним з перших розглянув випадок, коли вантаж силою тяжіння рівномірно рухається з швидкістю вздовж нескінченої прямолінійної балки, що лежить на суцільній однорідній пружній основі. Відмінною особливістю цієї задачі є можливість стаціонарного режиму руху, за якого прогин під вантажем увесь час залишається сталим і вантаж рухається по горизонталі.

Використовуючи модель балки Кірхгофа (або Ейлера-Бернуллі), В.Л. Бідерман знайшов критичні значення швидкості переміщення вантажу і форму динамічного прогину балки, що являє собою біжучу хвилю. Однак побудований ним розвязок має недолік, зумовлений постановкою задачі. Річ у тім, що теорії стрижнів (балок), пластин і оболонок, які базуються на гіпотезах Кірхгофа, незадовільно описують згинні хвилі, для яких врахування інерції повороту перерізу і деформацій зсуву виявляються вагомими. Тому задачі про розповсюдження згинних хвиль у балках та оболонках повинні формулюватися на уточнених теоріях, що враховують ці фактори (зокрема, теорії С.П. Тимошенка). Як показано у дисертаційній роботі , застосування теорії С.П. Тимошенка для постановки задачі, що обговорюється, дозволило не тільки кількісно, але й якісно уточнити її розвязок. Так, виявилось, що для балки на пружній основі є не одна критична швидкість (як це встановлено В.Л. Бідерманом на базі телрії Кірхгофа), а три. Причому одна з цих швидкостей залежить від коефіцієнта постелі основи, а дві інші, що дорівнюють швидкостям розповсюдження зсувних та поздовжніх хвиль у стрижнях, ні.

Широкий цикл задач, присвячених динаміці балок під дією рухомих навантажень, розвязаний В.Г. Вільке, Д.В. Вольпером, О.О. Горошко, В.І. Грицюком, І.Ф. Кожемякіним, Н.А. Колесником, С.Н. Конашенко, Ю.М. Майзелем, А.Б. Моргаєвським, Г.Б. Муравським, C.S. Ysu та іншими. Однак питання дії рухомих навантажень на балку С.П. Тимошенка залишились практично не розглянутими. Не досліджені також задачі збудження резонансних коливань періодичними системами рухомих сил.

Більш широка наукова література присвячена питанням дії рухомих навантажень на пружні півпростори, середовища, пластини й оболонки. Огляд літератури про розповсюдження вільних хвиль (власних коливань) в системах оболонка суцільне лінійне інерційне середовище, а також про стаціонарне деформування такого роду систем, викликане рухомими безмасовими навантаженнями, наведений у монографії А.Г. Горшкова та В.Н. Пожуєва.

Детальний аналіз робіт з проблеми дії рухомих навантажень на пружні оболонкові конструкції можна знайти у монографіях Є.Г. Голоскова, А.П. Філіпова , А.М. Гузя, В.Д. Кубенка, М.А. Черевка , С.С. Кохманюка, Є.Г. Янутіна, Л.Г. Романенка , Є.Н. Мнєва, А.К. Перцева , Я.Г. Пановка, Н.Н. Губанової , А.П. Філіпова, а також в обзорних роботах А.Г. Горшкова, В.Н. Пожуєва, Е.Н. Григолюка, І.Т. Сєлєзнєва , Я.Г. Пановка, М.З. Коловского, Н.З.Якушева та інших. Із них випливає, що задачі дослідження дії рухомих навантажень на балки та оболонки типу С.П. Тимошенка досліджені неповно. Вивченню цих питань присвячена дана дисертаційна робота.

У другому розділі поставлена задача про рух по нескінченій балці типу С.П. Тимошенка розподілених та зосереджених навантажень. Після врахування співвідношень звязку між кутом повороту перерізу балки, зумовленого згином, і додатковим кутом, зумовленого зсувними деформаціями, рівняння поперечних коливань балки на пружній основі під дією динамічного навантаження приведене до вигляду:

, (1)

де - функція прогину балки; , - параметри пружності її матеріалу; - густина; , - площа і момент інерції поперечного перерізу; - коефіцієнт форми перерізу; - коефіцієнт постелі пружної основи; - просторова незалежна змінна; - час.

За допомогою однорідного рівняння, що відповідає (1), досліджено характер розповсюдження вільних гармонійних хвиль виду:

(2)

Шляхом підстановки (2) у відповідні однорідні рівняння побудована дисперсійна залежність:

, (3)

яка повязує змінні і .

Для аналізу розповсюдження вільних хвиль виду (2) побудовані дисперсійні криві . Із них випливає, що має місце граничне значення величини , нижче якого розміщується область, що відповідає комплексно-спряженим числам Г і, отже, . Тому область є зоною непропускання хвиль (2). При числа Г стають дійсними додатними. Тому хвиля (2) існує. Проведений аналіз дозволяє заключити, що у балці на пружній основі можуть розповсюджуватися лише диспергуючі хвилі. Тому критичні значення швидкостей розповсюдження рухомих навантажень виявляються залежними від їх профілей.

Розглянуто випадки дії на балку на пружній основі рухомих навантажень, розподілених за гармонійним законом, східчастого навантаження та експоненційно спадного навантаження.

Для рухомого навантаження , яке змінюється гармонійно, знайдене значення амплітуди прогину в залежності від значень хвильового числа і частоти :

. (4)

Аналіз цієї рівності показує, що в залежності від співвідношень між і можливі ситуації, коли перетворюється в нуль і балка ніяк не реагує на рухоме навантаження , або ж навпаки, спрямовується до нескінченості і виникає резонансний випадок. Однак, як показали обчислення, подібні режими руху можуть мати місце лише за дуже великих значень швидкості .

Побудований розвязок задачі про дію на балку на пружній основі східчастого навантаження, рівномірно розподіленого на півосі. На другій півосі балка вільна від навантаження. Розвязок, сформований у рухомій сситемі координат, визначається коренями характеристичного рівняння:

(5)

Три критичні значення , , розділяють область на під області, в яких власні значення , , , і розвязки мають різну форму.

Розглянута область найменших швидкостей руху навантаження , оскільки, як показано вище, за рух навантаження нестійкий. В цьому випадку

(6)

і розвязок має вигляд

();

(). (7)

Розглянуто дію на нескінчену балку на пружній основі рухомого східчастого навантаження, яке змінюється за експоненційним законом , де - швидкість її руху вздовж осі у додатному напрямку. Побудована форма руху балки, знайдено критичне значення швидкості , за якого прогини балки необмежено зростають. Показано, однак, що досить велике і навряд чи досяжне у реальних системах.

Розвязано задачу про дію на балку типу С.П. Тимошенка рухомих зосередженої сили та моменту , зроблено порівняння з відомим розвязком про дію цих навантажень на балку типу Кірхгофа.

Задача описується однорідним рівнянням, що випливає з рівняння (1) . Дія збурення на балку задається умовами розриву похідних від функції прогину , зумовлених зосередженою силою та моментом . Знайдені три критичні значення навантажень:

; ;

(8)

два перших із яких взагалі не можуть бути встановлені на основі балки моделі Кіргхофа, а третя () суттєво відрізняється від значення

, (9)

знайденого В.Л. Бідерманом для балки Кірхгофа і наведеного у монографії Я.Г. Пановко, І.І. Губанової.

Знайдений у дисертації вираз для функції прогину балки С.П. Тимошенка при ,

(); (10)

також значно уточнює відомий розвязок В.Л. Бідермана.

(); (11)

У третьому розділі поставлена і розвязана задача про коливання балки С.П. Тимошенка під дією рухомої періодичної системи зосереджених сил і моментів. Запропонована методика побудови періодичних за просторовою та часовою змінними хвильових форм руху балки на пружній основі.

За деяких значень швидкостей руху системи сил ліві частини розвязувальної системи рівнянь можуть вироджуватися, що відповідає виникненню критичних (резонансних) ситуацій. Взагалі кажучи, критичні стани руху рухомої системи сил по нескінченій балці на пружній основі можуть виникати за будь-якого розміщення сил відносно одна одної, однак найбільш чітко вони проявляються при періодичному розподіленні сил за довжиною. В цьому випадку біжучі хвилі згину балки, що супроводжують кожну з сил (побудовані за методикою, запропонованою у другому розділі), накладаються, взаємодіють і резонують. Як і вище, у рухомій системі координат, повязаній з силами, що рухаються, форма вигину балки виявляється стаціонарною та періодичною. Ця обставина дозволяє будувати та досліджувати цю форму на базі постановки трьохточкової крайової задачі.

Нехай по нескінченій балці на пружній основі рухається з сталою швидкістю нескінчена система сил (або моментів ) з однаковими відстанями між ними. Дякуючи тому, що задача, яка розглядається, є стаціонарною, вона може моделювати кочення періодичної системи коліс, оскільки в цьому випадку сили інерції коліс дорівнюють нулю, и їх дію на рейку можна замінити дією постійної сили та постійного момента.

Сумістимо нерухому вісь з поздовжньою віссю балки, а вісь проведемо перпендикулярно їй у площині руху системи. В цій системі координат рівняння прогину балки описується однорідним рівнянням, що випливають з (1):

, (12)

де диференціювання виконується по рухомій змінній . Враховуючи періодичність задачі по , виділимо для розрахунків область . Розвязок однорідного рівняння (12) будемо підпорядковувати додатковим умовам, що витікають з умов його нерозривності у точці і умов періодичності на кінцях . В результаті отримаємо трьохточкову крайову задачу для рівняння (12) в області с крайовими умовами в трьох точках , , . Будемо позначати значення відповідних функцій зліва і справа від знаками і +.

Розглянемо спочатку умови у точці прикладання зосередженої сили:

; ; ;

. (13)

До цих рівностей додаються умови періодичності розвязку за змінною , що полягає у рівності функцій та її похідних у точках і :

;; ;. (14)

Представимо рівняння (12) у формі:

, (15)

де ; .

Частинний розвязок рівняння (15) визначається коренями характеристичного рівняння (5), які, в свою чергу, залежать від швидкості , параметрів , та різниці .

Як і в розглянутому в першому розділі випадку руху однієї зосередженої сили, в одному випадку вигляд розвязку залежить від того, в якому з діапазонів швидкості , відділених трьома критичними швидкостями (8), розміщене поточне знаення швидкості . Оскільки для реальних рейкових шляхів , спочатку розглянемо випадок . Тоді і , де , .

Для цого випадку функція прогину балки представляється у вигляді рівностей:

;

, (16)

коефіцієнти () яких знаходяться з граничних умов (13) і (14).

Як показали обчислення, для розглянутих значень характерних величин в області резонансні режими не мають місця.

При , , і дві пари кратних коренів характеристичного рівняння (5) стають чисто уявними .

В цьому випадку прогини балки під силами необмежено зростають. В зв'язку з цим для періодичної системи сил випадок можна вважати критичним.

У діапазоні , , і корені характеристичного рівняння (5) є чисто уявними некратними:

; .

Розв'язок рівняння руху будується у вигляді:

при ;

при . (17)

Константи знаходяться з умов (13) і (14). Значення швидкостей , за яких, визначник матриці коефіцієнтів лівої частини системи (13), (14) обертається у нуль, являються критичними (резонансними), оскільки у цих випадках амплітуди коливань балки необмежено зростають. У діапазоні таких режимів порівняно багато.

У діапазоні мають місце умови , , і корені рівняння (5) набувають значень:

; .

Для цього випадку маємо

при ;

при . (18)

У цій зоні зміни має місце велика кількість резонансних режимів руху, причому існують ділянки, де резонансні значення швидкості розміщуються більш щільно, і є ділянки їх рідкого розташування. Випадок , як показали обчислення, аналогічний випадку , оскільки при цьому корені виявились чисто уявними, некратними.

За розробленою методикою побудовані криві амплітудних значень прогинів балки для нерухомих періодичних систем сил і моментів, що віддалені один від одного на відстанях 2, 5, 10 м, знайдені форми прогинів.

Узагальнююча діаграма для випадку =5 м демонструє характер коливань балки в залежності від швидкості у всіх чотирьох розглянутих діапазонах. Зміни . Критичні значення швидкості на цьому рисунку виділені спеціально.

У четвертому розділі виконано аналіз нестаціонарної дії на балку рухомих вантажів. Відмічено, що основна помилка під час постановки задачі про рух по вагомій балці вагомого вантажу пов'язана з припущенням, що вертикальне прискорення вантажу і елемента балки , на якому в даний момент часу розміщений вантаж, співпадають. Показано, що вертикальна складова прискорення вантажу, що рухається по балці, яка коливається, повинна обчислюватися за формулою:

. (19)

Тут перша складова рівна прискоренню елемента балки під вантажем, друга складова являє собою вертикальну компоненту власного прискорення вантажу, третя складова зумовлена обертанням елемента балки з кутовою швидкістю (прискорення Коріоліса), четверта складова являє собою довісьове прискорення.

Розглянута задача про коливання шарнірно обпертої балки при обернено-поступальному русі по ній маси за законом , де - координата по - положення вантажу на балці; С - амплітуда горизонтального зміщення вантажу.

Оскільки вантаж є рухомим, динаміка балки описується рівнянням Тимошенка, що випливає з (1) при , :

(20)

Воно повинно бути розв'язане за відповідних початкових і граничних умовах на кінцях:

; (21)

і в точці :

, , ;

. (22)

В результаті маємо трьохточкову крайову задачу для рівняння (20) з двома краями , і внутрішньою “ковзаючою” точкою . Оскільки безпосередньо таку задачу розв'язати важко, за допомогою спеціальних замін перетворимо задачу (20) - (22) із “ковзаючою” внутрішньою точкою до трьохточкової крайової задачі з фіксованими границями, яку можна розв'язати стандартними чисельними методами.

Для цього перейдемо від координати до нової, яка залежить від часу, координати , котра у лівій і правій від вантажу частинах балки має відмінні масштаби. При цьому повна довжина балка дорівнює одиниці.

В цьому випадку зліва від вантажу масштаб координати задається наступним чином:

, , (23)

а за використовуємо формулу:

, . (24)

балка оболонковий рухомий навантаження

Оскільки в такому представленні змінна має різні залежності (23), (24) зліва і справа від вантажу, то на цих ділянках різної форми набуде і рівняння руху (20). Так, зліва від вантажу воно має вигляд:

(25)

справа від вантажу воно приводиться до форми

(26)

На відміну від вихідної постановки, яка заключається у тому, що одна з границь розрахункової області (точка розміщення вантажу ) була рухомою (а задачі з рухомими границями безпосередньому розрахунку не підлягають), у перетвореній задачі усі три границі (, , ) є фіксованими і, незважаючи на суттєве ускладнення рівнянь (24), (26), вони можуть бути розв'язані стандартними чисельними методами.

Розглянута задача про дію на балку на пружній основі нерухомої сили, що змінюється періодично. Використовується рівняння (20) з додатковими умовами у точці прикладання сили. Показано, що два значення частоти періодичної сили:

,

, (27)

є критичними (резонансними). Знайдені форми коливань балки за різних значень .

П'ятий розділ присвячений дослідженню динаміки пружних хвиль деформацій у стінці циліндричної оболонки на основі теорії оболонок С.П. Тимошенка і встановленню критичних станів цих процесів.

Рівняння руху елемента оболонки при дії рухомого навантаження представлені у вигляді:

, , , (28)

де - густина матеріалу оболонки; - її товщина; , - внутрішні зусилля в оболонці у поздовжньому та коловому напрямках; - перерізуючи сила у перерізі ; - згинаючий момент у тому ж перерізі; - кут повороту переріза; - час.

, .

Враховуючи для осесиметричної постановки рівності отримаємо систему двох рівнянь з частинними похідними відносно функцій переміщень і :

,

. (29)

Тут штрихом позначено диференціювання по , точкою - по .

Ця система відрізняється також від рівнянь теорії оболонок Кіргхофа наявністю похідної четвертого порядку по часу від змінної , а також похідними по і від інтенсивності навантаження . У зв'язку з цим вона може бути використана для опису більш загальних механічних явищ, зокрема, для вивчення біжучих хвиль.

Рух власних хвиль у циліндричній оболонці описується системою однорідних диференціальних рівнянь, що отримується із неоднорідної системи (28) шляхом відкидання правих частин. Досліджено рух у оболонці гармонічних власних хвиль виду , . Для їх аналізу побудоване характеристичне (дисперсійне) рівняння:

. (30)

Розв'язок цього нелінійного рівняння у формі будувався методом продовження по параметру разом з методом Ньютона, потім будувалися діаграми трьох фазових швидкостей руху гармонічних хвиль:

. (31)

Для кожного значення фазової швидкості визначалося співвідношення , що характеризують поляризацію хвиль.

У зв'язку з цим, якщо ці співвідношення в правій частині рівності (31) залежать від , то гармонічні хвилі розповсюджуються з різними швидкостями. Такі хвилі називаються диспергуючими. Якщо для обраного номера відношення залишається сталим за будь-якого , то усі гармонічні хвилі даної і-ї поляризації розповсюджуються з однією і тією ж швидкістю і явища дисперсії (розпливання профілю негармонічної хвилі) відсутнє.

За розробленою методикою виконано дослідження розповсюдження гармонічних хвиль в осьовому напрямку циліндричної оболонки. Розглянута оболонка з параметрами = 7800 кг/м³; = 2,06*10¹¹ Па; = 0,3; = 0,4 м; = 0,008 м.

Можна побачити, що середня залежність являє собою пряму, нижня і верхня відрізняються від прямої. Це означає, що при параметрах , що лежать на середній прямій лінії, відношення м/с залишається сталим, усі гармоніки мають однакову швидкість хвилі , тому хвилі такого типу, є майже поздовжніми, не диспергують. Хвилі, що відповідають двом іншим кривим , являються диспергуючими. Обчислення показали, що швидкість майже поздовжньої хвилі у оболонці перевищує швидкість поздовжньої хвилі у стержні , але менша швидкості поздовжньої хвилі в суцільному середовищі. Розглянуто граничні випадки.

Можна припустити, що циліндричну оболонку можна розглядати як пружний стрижень для поздовжніх гармонічних хвиль у випадку, коли геометричні розміри перерізу оболонки малі порівняно з довжиною хвилі, і тому параметри перерізу можна усереднювати. Таке припущення виконується при . Тоді у наведеному рівнянні можна покласти .

В цьому випадку маємо:

(32)

Звідки знаходимо значення швидкості таких хвиль:

(33)

Розглянемо випадок розповсюдження в оболонці хвиль із врахуванням її тонкостінності. Тоді довжина хвилі повинна бути малою, а хвильове число - великим. З врахуванням маємо:

. (34)

З перших дужок випливає відомий у теорії пластин вираз:

(35)

Умова рівності нулю у других дужках дає:

(36)

І знову отримуються відомі з теорії пластин вирази:

, (37)

для поперечної і поздовжньої хвиль. Підкреслимо, що підраховані за цими формулами швидкості співпадають із значеннями швидкостей хвиль, знайдених із дисперсійних діаграм на рис. 4. Це ще раз свідчить про достовірність проведених досліджень

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі отримані розв'язки нових актуальних наукових задач, що полягають у встановленні характерних рис динамічної поведінки балкових і оболонкових систем під дією рухомих навантажень.

Основні наукові і практичні результати проведених досліджень полягають у наступному:

У рамках теорії С.П. Тимошенка динаміки балок і тонкостінних оболонок, що базується на врахуванні деформацій зсуву й інерції повороту поперечного переріза, сформульовані і розв'язані задачі про динаміку балкових і оболонкових конструкцій під дією рухомих зосереджених і розподілених навантажень. Побудовано форми рухів, знайдено критичні і резонансні режими рухів і відповідні їм значення швидкостей.

1. Поставлено задачу про поширення в балках на пружній основі стаціонарних хвиль згинних деформацій. У результаті дисперсійного аналізу відповідного характеристичного рівняння встановлено, що вільні згинні хвилі в балці на пружній основі диспергують.

2. Побудовано розв'язки задач про динамічне деформування нескінченної балки під дію рухомих навантажень, що змінюються за гармонійним законом, східчастої рівномірно розподіленої і східчастої, що спадає за експонентним законом. Знайдено швидкості руху навантаження, при яких система виявляється інваріантною стосовно навантаження або знаходиться в критичному стані.

3. Побудовано розв'язки задач про рух по балці одиночної зосередженої сили і моменту. Показано, що на відміну від балки, що описується теорією Бернуллі-Ейлера і що допускає тільки одну критичну швидкість, у балці Тимошенка мають місце три критичні швидкості, дві з яких відповідають чисто подовжній і чисто поперечній хвилям у пружному стрижні. Виконано аналіз розбіжності значень критичної швидкості і форм руху в балках Тимошенка і Бернуллі-Ейлера.

4. Побудовано розв'язок задач про коливання нескінченної балки на пружній основі під дією рухомих періодичних систем зосереджених сил і моментів. Установлено, що в діапазоні зміни швидкості руху системи від нуля до найнижчої критичної, виникають резонансні режими руху і величина прогину балки під силою слабо залежить від швидкості руху. При значеннях швидкостей руху, що перевищують найнижчу критичну, спостерігається досить густий спектр резонансних швидкостей, при наближенні до яких у рамках прийнятої моделі значення прогинів необмежено зростають.

5. У рамках теорії С.П. Тимошенка поставлена і вирішена задача про поширення вільних осесиметричних гармонічних хвиль у циліндричних оболонках. У результаті дослідження побудованого дисперсійного рівняння встановлено, що в них можуть поширюватися гармонійні хвилі трьох типів:

- у довгохвильовому наближенні це поздовжні хвилі, швидкість поширення яких не залежить від хвильового числа і збігається зі швидкістю поширення поздовжніх хвиль у пружних стрижнях;

- у короткохвильовому наближенні можуть поширюватися поздовжні гармонійні хвилі зі швидкістю поздовжніх хвиль у тонких пластинах і поперечні гармонійні хвилі зі швидкістю поперечних хвиль у необмежених пружних середовищах.

6. Побудовано розв'язок задач про динамічне деформування циліндричних оболонок під дією рухомих полів тиску у вигляді східчастого рівномірно розподіленого навантаження і східчастого навантаження, що спадає за експонентою. Знайдено значення критичних швидкостей. Встановлено можливість виникнення інваріантних станів, у яких оболонка (у рамках прийнятої моделі) виявляється нечутливою до діючого рухомого навантаження.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

Гуляев В.И., Набиль М. Резонансное взаимодействие балки и упругого основания при движении периодической системы сосредоточенных загрузок // Прикладная механика. 2005. №5. C. 116 123.

Гайдайчук В.В., Набіль М. Динаміка циліндричної оболонки під дією внутрішнього східчастого поля тиску, що рухається // Опір матеріалів і теорія споруд. 2004. № 74. C. 104 114.

Муса Набіль. Розповсюдження гармонічних хвиль в балці на пружній основі // Вісник Національного транспортного університету. 2004. №9. C. 417 - 420.

Муса Набіль. Критичний стан циліндричної оболонки під дією рухомого навантаження // Тези доповідей 62-ї наукової конференції професорсько-викладацького складу. К.: НТУ, 2006. C. 261.

Муса Набіль. Критичні стани циліндричної оболонки під дією рухомого експоненціально спадаючого навантаження // Вісник Національного транспортного університету. 2006. №11. С. 180 - 183.

Размещено на Allbest.ru