Зв'язана втрата стійкості і вагова оптимізація тонкостінних стержнів відкритого профілю

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. У практиці сучасного будівництва і машинобудування в якості несучих елементів металоконструкцій широке застосування отримали тонкостінні профілі, що поєднують економічно ефективні вагові характеристики і високі технологічні властивості при виготовленні й у використанні. Оскільки порушення працездатності таких об'єктів при різних видах навантаження відбувається, як правило, внаслідок втрати стійкості, проблемі визначення критичних навантажень тонкостінних стержнів приділяється особлива увага. Підвищений інтерес до даної тематики в останні десятиліття пов'язаний також із якісно новими уявленнями про взаємодію форм випучування стиснутих тонкостінних конструкцій, наслідком якої є зниження несучої здатності.

У відзначеному аспекті однією із найбільш цікавих і актуальних є проблема зв'язаної втрати стійкості тонкостінних стержнів. Незважаючи на інтенсивну розробку даної проблеми у наукових центрах різних країн (про це свідчать велике число публікацій з теоретичних і експериментальних досліджень, проведення спеціалізованих конференцій) і здобуті істотні результати, ефективні методи визначення несучої здатності широкого класу реальних тонкостінних стержнів відсутні. З проблемою стійкості елементів металоконструкцій тісно пов'язані питання оптимального проектування тонкостінних профілів при різних умовах навантаження, у тому числі з урахуванням взаємного впливу загальних і локальних форм втрати стійкості. Розв'язання задачі багатокритеріальної оптимізації тонкостінних стержнів, що дозволяє визначати геометричні параметри профілів мінімальної ваги при довільному прикладенні навантаження, становить практичний інтерес з погляду формування типорозмірів профілів.

Мета і задачі дослідження. Основні цілі роботи: 1) розробка методів розрахунку локальної втрати стійкості і зв'язаного випучування з урахуванням нелінійної взаємодії загальних і локальних форм для двох класів тонкостінних стержнів відкритого профілю: а) стержнів, близьких до рівностійких за загальними і локальними формами; б) стержнів з попереднім локальним випучуванням; 2) постановка і дослідження задач оптимального проектування тонкостінних стержнів, у тому числі, на основі нелінійної теорії зв'язаної втрати стійкості, для різних випадків прикладення навантаження (стискання, згинання і їхні комбінації).

Основні задачі, обумовлені цілями дослідження: 1) розв'язання задачі про локальну втрату стійкості тонкостінних стержнів відкритого профілю при неоднорідному навантаженні з урахуванням точних умов сполучення елементів; 2) дослідження несучої здатності стиснутих тонкостінних стержнів відкритого профілю з попереднім локальним випучуванням на основі концепції “приведеної ширини”; 3) дослідження зв'язаної втрати стійкості тонкостінних стержнів відкритого профілю, близьких до рівностійких за лінійними формами випучування, з урахуванням початкових геометричних недосконалостей; 4) розв'язання задачі оптимального проектування тонкостінних стержнів відкритого профілю при різних видах навантаження в рамках однокритеріальної і багатокритеріальної оптимізації; 5) розробка алгоритмів і пакетів програм для реалізації розв'язання на ЕОМ.

1. Стійкість тонкостінних стержнів відкритого профілю з урахуванням взаємодії форм випучування

Дана характеристика проблеми локальної і зв'язаної втрати стійкості. В огляді досліджень стійкості тонкостінних стержнів обговорені відомі підходи до урахування впливу взаємодії форм випучування. На основі аналізу сучасного стану розглянутої проблеми сформульовані мета і задачі роботи.

Тонкостінні елементи металоконструкцій економічні, мають технологічні переваги у виготовленні і при використанні, їхнє застосування дозволяє створювати конструкції, близькі до оптимальних за вагою. Однак із зменшенням товщини елементів тонкостінних стержнів починають проявлятися такі особливості їх поведінки, що не відображаються класичною теорією тонкостінних стержнів В.З. Власова, яка базується на гіпотезі про недеформівність контуру поперечного перерізу і розглядає стійкість стержня в цілому (загальні форми втрати стійкості - згинальна, крутильна, згинально-крутильна). Можливість деформації контуру поперечного перерізу тонкостінних стержнів при стисканні і згинанні проявляється у формі локальної втрати стійкості, під якою розуміють хвилеутворення пластин, що складають профіль. При цьому лінії контакту суміжних пластин залишаються прямолінійними. Поняття про локальну втрату стійкості тонкостінних стержнів і підходи до визначення критичних напружень викладені в роботах Г. Хертеля, Ф. Блейха, А.С. Вольміра й ін. Найпростіший метод розрахунку ґрунтується на поділу профілю на складові елементи-пластини з граничними умовами шарнірного обпирання чи вільного краю, причому, найменше із критичних напружень для окремих елементів профілю приймається за розрахункове для стержня в цілому. Більш точним є підхід Ф. Блейха, який наближено враховує взаємний вплив елементів профілю. Для коефіцієнта пружного защемлення (пружного зв'язку між пластинами), що є функцією геометричних розмірів суміжних елементів і стискаючих зусиль, використовувалися наближені залежності. На основі цих залежностей Ф. Блейхом запропоновані розрахункові формули для тонкостінних стержнів різних поперечних перерізів. Розвиток методів розрахунку локальної стійкості тонкостінних стержнів теперішнього часу йде шляхом уточнення розв'язків для елементів профілю, урахування точних умов їхнього сполучення, а також використання при розрахунку чисельних методів.

Для деяких типів тонкостінних профілів можливими є також форми локального випучування, при яких лінії контакту деяких пластин, що утворюють профіль, зміщуються. Параметри таких форм випучування, що одержали назву “дисторсійних”, досліджуються в роботах K. Takahashi, M. Ma, O. Hughes, J. Jцnsson, E.M. Batista та ін.

Локальні і загальні форми випучування можуть складним чином впливати одна на одну, і ця взаємодія виявляється важливим фактором, що визначає несучу здатність. Дослідження взаємодії форм втрати стійкості тонкостінних конструкцій - “зв'язаної” втрати стійкості - складають теперішнього часу один з основних напрямів розвитку теорії стійкості. Ця взаємодія є істотно нелінійною, оскільки в лінійній теорії всі власні форми, зокрема, загальні і локальні, незалежні (ортогональні).

Фізична сторона взаємодії форм і, відповідно, підходи до її урахування при кінцевих переміщеннях можуть бути різними в залежності від співвідношення між критичними навантаженнями лінійних форм. Тонкостінні стержні з досить високим значенням параметра тонкостінності b/t (b - ширина полиці чи висота стінки, t - товщина) можуть втрачати локальну стійкість при навантаженнях, значно менших від навантажень загального випучування. При цьому локальна втрата стійкості пластинок, що утворюють стержень, як правило, не означає вичерпання несучої здатності, оскільки їхня післякритична поведінка є стійкою, тобто рівноважна крива локального прогину виявляється висхідною. Для визначення граничного навантаження необхідно розв'язувати задачу про загальну стійкість стержня, у якого контур поперечного перерізу є деформованим унаслідок локального випучування. Один із найбільш простих і очевидних підходів до дослідження закритичного поводження - введення “ефективної” (“редукованої”) згинальної жорсткості стержня після локального випучування. Задачу визначення ефективної ширини окремої пластинки після локального випучування вперше розглянув І.Г. Бубнов, а пізніше Th. Karman, П.Ф. Папкович. Стосовно до тонкостінних стержнів, як до з'єднання пластин, такі розв'язання можна розглядати лише як наближені. У зв'язку з цим становлять інтерес роботи В. Койтера і Г. Вінтера (G. Winter), у яких приведені формули для визначення коефіцієнтів редукування стиснутих тонкостінних стержнів, причому, Г. Вінтер запропонував формулу, розроблену на основі статистичної обробки результатів великої кількості експериментальних досліджень.

Даний підхід припускає можливість поділу процесу втрати стійкості на послідовні стадії - локальне випучування, потім загальне випучування з вичерпанням несучої здатності. Таке припущення виправдане у випадку, коли лінійні критичні напруження загальної (ейлерової) форми е і локальної втрати стійкості л істотно різні (е >> л). У такій постановці задача взаємодії форм виявляється односторонньою - локальне випучування впливає на критичне навантаження загальної втрати стійкості, але зворотний вплив загального згинання на локальне випучування відсутній.

У випадку позацентрового стискання стержня проявляється інша сторона взаємодії форм - загальне згинання, приводячи до перерозподілу напруження між елементами перетину, впливає на критичні напруження локальної форми. У випадку центрального стискання недосконалого стержня також може виявитися цей ефект, якщо розходження між е і л невелике (але е > л). Вплив загального згинання на локальне випучування стержнів розглядався в роботах A.C. Walker, Б.М. Броуде, В.І. Моісеєва і ін. Такий підхід дозволяє уточнити локальне критичне навантаження, але при цьому взаємодія форм знову виявляється однобокою, тільки тепер вже загальне згинання впливає на локальну стійкість, але не навпаки.

Окремий розгляд впливу різних форм втрати стійкості одна на одну, заснований на припущенні про поділ процесу випучування на послідовні стадії, не завжди виправданий. Це припущення не буде виконуватися при близьких значеннях критичних напружень для загальної і локальної форм (що є характерним для конструкцій, близьких до оптимальних). У цьому випадку зменшення жорсткості елементів стержня після локального випучування повинне відразу ж привести до загальної втрати стійкості. Експериментальні і теоретичні дослідження показали, однак, що не тільки для рівностійких конструкцій, а й у значно більш широкому діапазоні параметрів обидві стадії процесу випучування зливаються в одну. Такий висновок зробили незалежно один від одного (і практично одночасно) M. Skaloud, M. Zornerowa, що виконували експериментальні дослідження стійкості стиснутих стержнів коробчатого перетину, і А.І. Маневич, на основі експериментів зі стійкості підкріплених оболонок, виконаних у Дніпропетровському державному університеті. З іншого боку, у теоретичному дослідженні моделі стійки коробчатого перетину, що складається з двох несучих полиць-пластин, A. Neut показав, що локальне випучування приводить до катастрофічної втрати стійкості за загальною формою, якщо тільки немає великого запасу за цією формою, внаслідок різкого падіння згинальної жорсткості. Новизна роботи A. Neut складалася, насамперед, у виявленні нестійкості рівноваги стійки у точці біфуркації у випадку близьких критичних напружень ейлерового і локального випучування і пов'язаної з цим чутливості до недосконалостей. Діапазон нестійкості рівноваги за загальною формою виявився досить широким: 1 < е/л < 1,725. Важливо також відзначити, що хоча післякритична поведінка для кожної з лінійних форм втрати стійкості окремо - загальної і локальної - є стійкою, зв'язане випучування характеризується нестійкою поведінкою. Для реальної стійки з недосконалостями граничне навантаження виявляється помітно нижчим від критичних навантажень як загального, так і локального випучування, розрахованих для кожної з цих форм окремо.

До опису зв'язаного випучування (у випадку, коли не можна обмежитися одностороннім впливом однієї з форм на іншу) використовуються різні підходи. Перший шлях (запропонований A. Neut, використовувався також R.B. Gilbert, C.R. Calladine, S.E. Svensson, J.G.A. Croll, J.M.T. Thompson, G.M. Lewis) міститься у розрахунку критичного навантаження локального випучування і наступному аналізі характеру отриманої точки біфуркації. Якщо точка локальної біфуркації нестійка, вичерпання несучої здатності можливе по типу зв'язаного випучування, з високою чутливістю до недосконалостей.

В. Койтером розроблений підхід, заснований на асимптотичній теорії післякритичного поводження консервативних систем. Метод Койтера використовувався для дослідження задач зв'язаної втрати стійкості тонкостінних конструкцій у роботах B. Budiansky, V. Tvergaard, А.І. Маневича, A. Grimaldi, M. Pignataro.

Викладені підходи до розрахунку зв'язаної втрати стійкості тонкостінних стержнів потребують точного розрахунку локальної форми випучування. Цей досить складний етап розрахунку, що вимагає використання обчислювальної техніки, одержав істотний розвиток лише в останні десятиліття. При довільному прикладенні навантаження (позацентрове стискання, стискання із згинанням) в елементах тонкостінного стержня виникає неоднорідний напружений стан, що характеризується перемінними напруженнями по перетину. У цьому випадку відомі розв'язки задачі про локальну втрату стійкості центрально стиснутих стержнів є недостатніми. Запропонований загальний метод розв'язання задачі про локальну втрату стійкості тонкостінних стержнів відкритого профілю при неоднорідному навантаженні. Здобутий розв'язок і виконаний параметричний аналіз для елементів конструкцій моно- і бісиметричного профілю при стисканні та згинанні.

У загальному випадку відкритого поперечного перерізу пропонується елементи - пластини, що складають профіль стержня, розділити на подовжні смуги, у межах яких напруження по ширині смуги bп вважаються постійними. Зв'язок між узагальненими переміщеннями і узагальненими зусиллями на подовжніх краях “1” і “2” кожної смуги записується в матричному вигляді:

, (1)

де S(i) =(W; Wy ; M; Q)T - вектор стану у безрозмірному вигляді (W - прогин, Wy - кут повороту, M - згинальний момент, Q - поперечна сила); [Gп(y)] - матриця жорсткості; y - поперечна координата.

Матриця жорсткості [G], що зв'язує значення вектора [S] на подовжніх краях пластин, що утворюють профіль поперечного перерізу, формується перемножуванням відповідних матриць [Gп(y)]. Задача стійкості для сукупного перетину розглядається з використанням розв'язків для кожної із пластин з урахуванням ексцентриситету прикладення навантаження й умов сполучення суміжних пластин.

Умови сполучення сусідніх пластин профілю (при прийнятій системі координат - рівність кутів повороту і рівність нулю алгебраїчної суми згинальних моментів) приводять до системи однорідних лінійних рівнянь щодо кутів повороту країв пластин. Система лінійних рівнянь приводить до характеристичного рівняння, розв'язок якого (при цілочисельній мінімізації по числу подовжніх напівхвиль m) визначає критичні напруження локального випучування. У чисельному аналізі для стержнів швелерного, зетового, швелерного з відгинами, двотаврового профілів побудовані залежності коефіцієнтів стійкості елементів перетину при центральному стисканні і згинанні, розглянуті спектри критичних напружень і форми випучування, виконане порівняння з наближеними розв'язками Ф. Блейха і з розрахунками на основі чисельних методів. Особливий інтерес представляють результати розрахунків локальної стійкості для швелера з відгинами. В залежності від геометричних параметрів перетину спектр критичних напружень може мати два мінімуми (при різних значеннях m) і, крім того, можливі два види локального випучування - “дисторсійна” і локальна форми.

2. Дослідження зв'язаної втрати стійкості центрально і позацентрово стиснутих тонкостінних стержнів

З погляду нелінійного взаємовпливу форм випучування розрізнялися два основних класи стержнів: 1) стержні з попереднім локальним випучуванням (критичні напруження для локальної форми значно нижчі, ніж для загальної); 2) стержні, близькі до рівностійких за загальною і локальною формами.

Задача стійкості стержнів з попереднім локальним випучуванням розглядається із використанням концепції “ефективної” ширини при урахуванні загальної початкової недосконалості (викривлення осі стержня), ексцентриситету прикладення стискальної сили і взаємного впливу загального прогину і локального випучування. Розв'язання задачі включає: розрахунок загального докритичного згинання, розрахунок локальної стійкості з урахуванням загального згинання, розрахунок рівноважної кривої загального прогину стержня із редукованою жорсткістю поперечного перерізу, визначення граничного навантаження.

Наявність ексцентриситету е прикладення навантаження Р і/або початкової недосконалості wo, приводить до перерозподілу напружень по перетину у докритичному стані відповідно до залежності:

, (2)

де xi - відстань від точки серединної поверхні елемента профілю до нейтральної осі перетину, wmo - амплітуда початкової недосконалості, А - площа поперечного перерізу, Imin - момент інерції перерізу.

Типові результати розрахунку локальної стійкості представлені на прикладі стержнів швелерного профілю різної довжини з геометричними параметрами поперечного перерізу bf/bw = 0,4, t/bw= 0,0125. Ексцентриситет і недосконалість приймалися одного знаку: при ex < 0, wo < 0 довантажувалася стінка швелера, при ex > 0, wo > 0 довантажувалися полиці. Зниження критичних напружень локальної втрати стійкості внаслідок докритичного загального прогину (л(w)) особливо помітне при великій гнучкості стержня (л - напруження локального випучування без урахування докритичного прогину). Для рівностійкого стержня за загальною і локальною формами зниження критичного навантаження становить близько 30%.

Слід відзначити істотні розходження у критичних напруженнях локального випучування при двох можливих напрямках загального прогину. У випадку довантаження полиць л і л(w) приблизно на 25% нижчі в порівнянні з напруженнями, що виникають при довантаженні стінки. Звідси випливає висновок про необхідність урахування напряму загального прогину для стержнів моносиметричного профілю.

Аналіз відомих способів урахування зміни характеристик жорсткості пластин при локальній втраті стійкості показав, що найбільш надійною (і обґрунтованою) формулою для визначення коефіцієнта редукування є формула, яка запропонована Вінтером. Відзначимо, що формула Вінтера враховує зміну ефективної жорсткості при збільшенні навантаження; може застосовуватися для різних типів пластин (елементів профілю стержня з довільними умовами обпирання); при цьому не потребується побудова власних форм випучування.

Редукування елементів профілю приводить до зміни положення ефективного центру жорсткості і характеристик жорсткості перетину стержня. Це, у свою чергу, позначається на загальній стійкості стержня у закритичній області. Тому визначалися зміщення ефективного центру жорсткості е* і редукований момент інерції перетину відносно зміщеної нейтральної осі, що є функцією коефіцієнта редукування: , . Вираз для визначення максимального прогину в середній частині по довжині стержня, отриманий з використанням методу Бубнова-Гальоркіна, є узагальненням відомої формули для ексцентрично стиснутих стержнів:

, (3)

де - ейлерове навантаження для редукованого перетину.

За критерій настання граничного стану приймалося досягнення максимальними напруженнями (сума напруження стискання і згинання) межі текучості матеріалу. Для тонкостінних стержнів при центральному стисканні (з випадковим ексцентриситетом), а також при позацентровому стисканні, коли елемент, що довантажується, сприймає рівномірні напруження по ширині (наприклад, прогин швелера в площині симетрії з довантаженням стінки), виправданим є визначення граничної сили за початком текучості. У випадку, коли напруження в елементі, що довантажується, змінні по ширині (у полицях позацентрово стиснутого швелера), такий спосіб визначення граничного навантаження дає значення сили “у запас”.

Виконано зіставлення результатів розрахунків стиснутих стержнів відкритого профілю з даними експериментальних досліджень різних авторів. Дано порівняння з експериментами H.J.R. Rasmussen, G.J. Hancock (1988), у яких випробувалися шарнірно обперті зварені швелери зі сталі з досить високою межею текучості (Ry = 350 МПа) на центральне стискання (з випадковим ексцентриситетом). Було випробувано три серії стержнів, які відрізнялися шириною полиць і стінки (довжина варіювалася всередині кожної серії). Серія 1 включала стержні з номінальною товщиною стінки и полиць tw=tf = 5 мм, висотою стінки bw =250 мм і шириною полиці bf = 110 мм. У серії 2 при тій же товщині була збільшена ширина елементів: bw = 360 мм, bf = 160 мм. У серії 3 подвоєна товщина полиць tf = 10 мм, інші параметри - як у серії 2.

Автори роботи наводять дані про геометричні недосконалості зразків і ексцентриситет прикладення навантаження. Однак, у зв'язку з тим, що недосконалості й ексцентриситети для більшості зразків не перевищували значень нормативної недосконалості, у розрахунках стержні розглядалися як центрально стиснуті з недосконалостями загальної форми wo=L/750. На рис.5 показані значення граничних (середніх по перетину) напружень віднесених до розрахункового опору () для експериментальних зразків (позначені кружками), а також, розрахованих за нормами (СНиП ІІ-23-81): пунктирна лінія 1 - розрахунок з використанням коефіцієнту ; лінія 2 - розрахунок з редукуванням стінки швелера і за даним підходом (зв'язаного випучування) при редукуванні поперечного перерізу за формулою Вінтера (лінії 3, 4). Лінія 3 відповідає напрямку (знаку) недосконалості, прийнятому у розрахунку, за якого при загальному згинанні довантажувалася стінка швелера; лінія 4 відповідає загальному згинанню з довантаженням полиць. Приведені також ейлерова крива, і лінії, що позначають критичні напруження згинально-крутильної форми і локального випучування.

Приведене порівняння результатів розрахунків з експериментальними даними B. Young, K.J.R. Rasmussen (1998), які випробовували центрально стиснуті сталеві стержні (Ry = 550 МПа) швелерного профілю різної довжини з параметрами поперечного перерізу: bf = 36 мм, bw = 96 мм, t =1,5 мм. Умови закріплення кінців експериментальних стержнів - жорстке кріплення. Показані значення навантажень, розраховані за різними підходами і віднесені до критичного навантаження локального випучування, а також експериментальні точки. Дана ейлерова крива і лінія, яка відповідає згинально-крутильній формі. Граничні навантаження за нормами (СНиП ІІ-23-81) отримані з використанням коефіцієнту - лінія 1, та при редукуванні стінки швелера - лінія 2. Суцільна крива відповідає зв'язаному випучуванню при редукуванні поперечного перерізу за формулою Вінтера (з довантаженням стінки швелера при загальному згинанні).

Результати порівняння розрахунків з експериментами дозволили зробити наступні висновки: 1) лінійні розрахунки критичних напружень не відображають експериментальних залежностей; розрахунки локальної втрати стійкості добре описують експериментальні точки для окремих стержнів, але в той же час можуть приводити як до значного запасу стійкості, так і до недооцінки несучої здатності (до 40%); 2) розрахунки за нормами переоцінюють несучу здатність коротких стержнів з попереднім локальним випучуванням; 3) теорія зв'язаної втрати стійкості правильно відображає експериментальну тенденцію для всіх розглянутих експериментів; експериментальні точки, як правило, знаходяться між теоретичними кривими зв'язаного випучування, які розраховані для двох можливих напрямків загального згинання.

Для стиснутих тонкостінних стержнів відкритого профілю з близькими критичними навантаженнями лінійних форм розв'язання задачі зв'язаної втрати стійкості отримано за допомогою асимптотичного методу В. Койтера. При визначенні біфуркаційного і граничного навантаження поле переміщень у нелінійній задачі знаходиться у вигляді (по повторюваним індексах передбачається підсумовування):

, (4)

де , ...- поля переміщень нульового, першого, другого і т.д. порядків, i - “амплітуда” переміщення i-ої власної форми випучування (проекція переміщення на i-у форму), - параметр навантаження, у якості якого приймається безрозмірне середнє подовжнє напруження ). У розкладанні (4) - власні форми, критичні напруження для яких близькі до мінімального власного значення. Поле початкових недосконалостей приймається у вигляді лінійної комбінації власних форм з амплітудами : .

Потенційна енергія розкладається в ряд по амплітудах лінійних форм втрати стійкості в околиці точки біфуркації:

, (5)

де s - критичне значення параметра навантаження для s-ої форми. Метод збурювання приводить до послідовної процедури визначення коефіцієнтів цього розкладання, причому на кожному етапі розв'язується лінійна крайова задача для визначення полів переміщень першого, другого і т.д. порядків (тобто докритичного переміщення, лінійних форм випучування і послідовних поправок до лінійних власних форм). Відзначимо, що коефіцієнти з трьома індексами , що визначають головні нелінійні члени, розраховуються за лінійними власними формами (переміщеннями першого порядку). Наприклад, для стиснутих пластин (елементів стержня) ці коефіцієнти знаходяться за формулами:

, (6)

де - мембранні зусилля, верхній індекс у дужках - номер власної форми.

Нехай перший індекс “i” у (4 - 6) відповідає загальній формі, інші індекси - локальним формам (через короткохвильовий характер локальних форм може існувати декілька локальних форм із близькими критичними напруженнями). Оскільки для локальних форм у пластинах мембранні зусилля (першого порядку) обертаються у нуль, відмінними від нуля будуть лише коефіцієнти , для яких i = 1.

З виразу для потенційної енергії витікають наступні рівняння рівноваги (по s підсумовування не виконується):

, (s = 1, 2, 3). (7)

Якщо не всі коефіцієнти обертаються в нуль, то можна обмежитися рішенням у першому асимптотичному наближенні, залишаючи в (7) лише лінійні і квадратичні члени. У цьому найбільш простому випадку немає необхідності розв'язувати громіздку задачу визначення полів переміщень другого порядку (оскільки залежать лише від власних форм).

Розв'язок системи (7) визначає рівноважні криві і граничні навантаження в залежності від початкових недосконалостей (точки біфуркації і граничні точки знаходяться з умови рівності нулю якобіана системи.

У чисельному аналізі при центральному і позацентровому стисканні окремо розглядалися тонкостінні профілі моно- і бісиметричного перетину. Відмінність у підходах у цих двох випадках полягає в тому, що при розрахунку зв'язаної форми для стержня, поперечний переріз якого має одну вісь симетрії, досить враховувати взаємодію загальної (згинальної) і однієї локальної форми. Для стержнів із бісиметричним перетином всі кубічні члени в енергії, що відповідають попарній взаємодії загальної форми з кожною із локальних форм, обертаються в нуль. Тому при урахуванні тільки однієї загальної й однієї локальної форми їхня взаємодія визначається членами четвертого ступеня, зв'язаними з т.зв. “змішаними” полями переміщень другого порядку U11ii (які відображають асиметрію локальної форми при кінцевих переміщеннях, обумовлену загальним прогином стержня). Оскільки задача визначення змішаної форми другого порядку не тільки дуже громіздка, але і, найчастіше, не цілком коректна через недостатню обумовленість, використовувався більш ефективний підхід, що ґрунтується на урахуванні, поряд з основною локальною формою, “вторинної” локальної форми, що має ту ж довжину, але інший характер симетрії. Накладення двох форм приводить до несиметричності сумарного локального прогину, і в потенційній енергії з'являється член третього ступеня, що описує “потрійну” взаємодію форм. Таким чином, при урахуванні основної і “вторинної” локальних форм зв'язана втрата стійкості може бути описана у першому асимптотичному наближенні. Вимога асиметричності сумарної локальної форми (2U2+3U3) відносно осі загального згинання визначає вибір “вторинної” локальної форми (у залежності від напряму загального згинання “вторинна” форма може збігатися з другою або третьою локальною формою).

Наочно ефект зниження граничного навантаження при близьких значеннях критичних напружень у лінійному розрахунку ілюструють залежності відносних граничних напружень і від співвідношення критичних напружень локальної і згинальної форм втрати стійкості . Для швелера з параметрами поперечного перерізу bf/bw= 0,5; bw/t=40 при трьох комбінаціях початкових недосконалостей варіювалася довжина і, тим самим, змінювалося відношення . При реальних початкових недосконалостях (криві 1 і 2) зниження граничних напружень для рівностійкого стержня складає 20...35%. При “великих” локальних дефектах пластинчастих елементів швелера (крива 3) граничні напруження складають до 50% від критичних напружень, розрахованих за лінійною теорією.

На рис.8 представлені залежності безрозмірних граничних напружень зв'язаного випучування від гнучкості для тонкостінного швелера при двох комбінаціях недосконалостей (криві 1, 2). Відносна товщина стінки і полиць підбиралася з умови рівностійкості за згинально-крутильною формою і локальною формою (за згинальною формою лінійні критичні напруження дещо вище - на 12...24%). Кривими 3, 4 показані результати розрахунку граничних напружень за нормативною методикою (з використанням коефіцієнта ) для двох значень межі текучості 430 MПa і 240 MПa.

Для матеріалу з низькою межею текучості ефект взаємодії форм практично у всьому діапазоні гнучкості перекривається зниженням граничних напружень внаслідок пластичного деформування. Однак при підвищенні межі текучості з'являється деякий діапазон значень гнучкості, у якому взаємодія форм визначає граничне навантаження. Звідси випливає важливий висновок: методи розрахунку стійкості стержнів, регламентовані нормами, що не враховують ефекту зв'язаності форм, прийнятні для матеріалів з низькими характеристиками міцності, але можуть виявитися недостатньо надійними при переході до матеріалів з високою межею текучості. Для стержнів інших профілів результати розрахунків аналогічні до наведених для швелера.

Необхідно відзначити також істотний вплив амплітуд початкових недосконалостей на граничні напруження. Чутливість рівностій-кого швелера до загальних і місцевих недосконалостей форми представлена на рис.9 у вигляді поверхні. Загальна недосконалість порядку товщини профілю і недосконалість локальної форми , що становить 1/10 від , приблизно однаковою мірою знижують граничні напруження.

Результати розрахунків зіставлялися з експериментальними даними H.J.R. Rasmussen, G.J. Hancock для центрально стиснутих стержнів швелерного перетину (характеристики експериментальних зразків приведені вище). Для розрахунків вибиралися стержні, близькі до рівностійких за загальною і локальною формами - № 3, 6, 7, 9 із серії 1, № 5, 8, 11, 14 із серії 2, № 5, 8, 11, 14 із серії 3. На рис. 10 пунктирними лініями показані критичні навантаження в лінійному розрахунку - навантаження загального (згинального) і локального випучування (Pе, Pл) (для згинально-крутильної форми критична сила значно вище) і допустиме навантаження, розраховане за нормативною методикою з використанням коефіцієнта . Навантаження зв'язаного випучування розраховані при загальній недосконалості L/750t, і при двох значеннях локальних дефектів: 1 - 0; 2 - 0,1.

Порівняння розрахунків за різними теоретичними моделями з експериментальними даними свідчить, що лінійна теорія (загальної і локальної втрати стійкості) може значно переоцінювати несучу здатність. Розрахунок за нормативною методикою дає завищені значення граничного навантаження для стержнів з малою і середньою гнучкістю і добре узгоджується з експериментами лише в тій області, де критичні навантаження для загального випучування нижчі, ніж для локального. Криві зв'язаного випучування правильно відображають експериментальні залежності в цілому діапазоні гнучкості. Відповідність результатів розрахунку зв'язаної втрати стійкості та експериментальних даних можна вважати задовільною, маючи на увазі розбіжності між реальним і прийнятим у розрахунку полем початкових недосконалостей.

3. Задача вагової оптимізації тонкостінних стержнів відкритого профілю на основі уточнених розв'язків лінійної задачі стійкості при формулюванні обмежень за стійкістю у різному вигляді, у тому числі, з урахуванням взаємодії форм випучування

Розглядалися профілі моно- і бісиметричного поперечного перерізу.

Задача оптимізації ставилася як задача нелінійного програмування. Для розв'язання задачі використовувався лінеаризований метод приведеного градієнту (Маневич А.И. Устойчивость и оптимальное проектирование подкрепленных оболочек.- Киев; Донецк: Вища школа, 1979). Приведений короткий опис методу, і результати чисельного експерименту, які свідчать про добру збіжність методу (кілька десятків ітерацій для досягнення оптимуму з заданою точністю).

Обмеження задачі включали умови стійкості за згинальною, згинально-крутильною, локальною або зв'язаною формами випучування у вигляді , а також вимоги міцності (при врахуванні пластичних властивостей матеріалу) у вигляді Ry ( - діючі напруження, - критичні (граничні) напруження i-ої форми). Обмеження за загальними формами втрати стійкості (згинальною, згинально-крутильною) розраховувалися відповідно до теорії В.З. Власова. При розрахунку обмежень за локальною формою випучування стержень розглядався як з'єднання пластин з точними умовами сполучення по лініях контакту.

Як відомо, у задачах оптимізації зручно оперувати безрозмірними параметрами, що дозволяє узагальнити результати на широкий ряд конструкцій одного класу. Безрозмірні параметри стискальної сили P*, згинального моменту М*, ваги стержня G* і напруження * приймалися у вигляді(масштабні множники введені для зручності):

. (8)

При розв'язанні задачі оптимізації вважалися заданими: навантаження, довжина стержня, характеристики матеріалу, початкова недосконалість. Змінні параметри - товщина і ширина елементів профілю. Цільова функція задачі оптимізації - вага (площа поперечного перерізу).

Результати оптимізації центрально стиснутих стержнів на основі лінійної теорії стійкості дозволили зробити наступні висновки: 1) оптимальні гнуті профілі є рівностійкими за загальними і локальними формами; 2) для оптимальних профілів характерні стабільні співвідношення геометричних параметрів перетину при різних значеннях параметра навантаження.

Порівняння вагових характеристик оптимальних стержнів швелерного профілю (при різних співвідношеннях товщини елементів профілю) і швелера з відгинами. Більш ефективним за вагою виявився швелер з відгинами (приблизно на 16%).

Розраховані значення оптимальних безрозмірних параметрів дозволяють однозначно визначати розміри оптимальних перетинів при заданих P і L.

Таким чином, використання лінійної теорії стійкості при оптимальному проектуванні стиснутих стержнів неминуче приводить до рівностійких конструкцій, що становить небезпеку з погляду взаємодії форм. У зв'язку з цим виникла необхідність використання при оптимізації нелінійної теорії зв'язаного випучування. Замість обмежень за згинальною і локальною формам формулювалося одне обмеження за зв'язаною формою у вигляді ( - граничні напруження з урахуванням взаємодії форм випучування), і, крім того, ставилося обмеження за згинально-крутильною формою - .

При розрахунку граничних напружень зв'язаної втрати стійкості, внаслідок досить густого спектра критичних напружень короткохвильових локальних форм, враховувалася множина локальних форм і, з метою спрощення рішення, окремо розглядалася взаємодія кожної локальної форми з загальною формою. З огляду на ці особливості, розрахунок локального випучування і граничних напружень зв'язаної втрати стійкості виконувався для широкого діапазону числа напівхвиль, тобто замість одного обмеження розглядався ряд обмежень (як правило, для значень m=2...35). У нелінійній оптимізації вичерпання несучої здатності визначалося досягненням граничних напружень для найбільш небезпечної зв'язаної форми. Критичні напруження для локальних форм, а також згинальні напруження загальної форми вище граничних напружень (причому це перевищення особливо велике для локальних форм - до 100%). Конфігурації оптимальних стержнів, розрахованих з урахуванням взаємодії форм, незначно відрізняються від профілів лінійного оптимуму (в основному збільшується товщина), при цьому вага збільшується на 5-8%.

Важливість урахування зв'язаності форм втрати стійкості при оптимальному проектуванні стає очевидною після визначення для профілю з лінійного оптимуму (пунктирна лінія) граничних напружень зв'язаного випучування (штрих-пунктирна лінія). Зниження напруження унаслідок взаємодії форм складає до 30%.

Звідси, випливають такі загальні висновки: 1) оптимальні профілі нерівностійкі за загальними і локальними формами; 2) параметри оптимальних стержнів залежать не тільки від навантаження, але й від початкових недосконалостей форми; 3) вага оптимальних профілів при врахуванні взаємодії форм зростає у порівнянні з оптимізацією на основі лінійної теорії стійкості.

Задачу оптимізації з урахуванням пружно-пластичних властивостей матеріалу розглянуто на основі нормативної методики (за коефіцієнтом , СНиП ІІ-23-81). Параметри оптимальних стержнів у цьому випадку залежать від параметра навантаження і від характеристик матеріалу. Величина розрахункового опору істотно впливає на вагу оптимального стержня, і цей вплив зростає зі збільшення навантаження. При чистому згинанні розглядалися тонкостінні балки швелерного і двотаврового перетину. У випадку двотаврового профілю, складеного з двох швелерів, розв'язання задачі оптимізації (згинання у площині стінки) дає два мінімуми, з яких один є глобальним оптимумом, а другий - локальним оптимумом. При незначній різниці у вазі конфігурації поперечного перерізу істотно відрізняються.

Оптимальні профілі стиснутих стержнів і стержнів, які сприймають згинання, що знайдені для окремо розглянутих умов навантаження, власне кажучи різні. У реальних конструкціях елементи піддаються, як правило, дії комбінації стискання і згинання (причому, у заздалегідь невідомій комбінації). Тому виникає проблема вибору такого профілю, який максимально задовольняв би кожній із складових такої комбінації. Ця задача вибору “компромісного” оптимального проекту сформульована і вирішена на основі теорії багатокритеріальної оптимізації конструкцій (векторної оптимізації), що інтенсивно розробляється останні десятиліття. У розділі 5 здобуто рішення задачі оптимізації тонкостінних стержнів, навантажених стискаючою силою і згинальними моментами у двох площинах. Відомими (заданими) параметрами до початку проектування були: довжина стержня, властивості матеріалу, а також, на відміну від задачі однокритеріальної оптимізації, площа поперечного перерізу (вага) стержня. При розв'язанні задачі визначався оптимальний розподіл цієї площі по перетину. Змінні параметри задачі оптимізації - розміри всіх елементів профілю (ширина, товщина).

Послідовно розглядалися такі задачі оптимізації: 1) розраховувалися оптимальні конфігурації при одному критерії - для осьового стискання і для чистого згинання; знаходилося максимальне значення мінімальної з критичних сил загального і локального випучування або максимальне значення мінімального із згинальних моментів при боковому випучуванні і при локальній втраті стійкості; 2) на другому етапі будувалися Парето-оптимуми, тобто знаходилася множина оптимальних проектів однієї ваги, але з різними співвідношеннями між стискальною силою і згинальними моментами; 3) на третьому етапі розраховувалися “компромісні” оптимальні проекти з використанням глобального критерію, що включає стискальну силу і згинальний момент в одній площині (у двокритеріальній оптимізації) чи стискальну силу і згинальні моменти у двох площинах (у трьохкритеріальній оптимізації).

Оптимальні проекти по Парето при двох критеріях задачі оптимізації, знаходилися мінімізацією стискальної сили Р при обмеженнях за згинальним моментом Mz. При цьому значення моменту поступово збільшувалося від значення критичного моменту, отриманого для оптимального стиснутого стержня, до його значення для оптимальної балки, що згинається. Кожна точка на кривій є оптимальним проектом заданої ваги при деякому співвідношенні Р и Мz. Парето-множина містить також і “компромісний” проект.

На площині безрозмірних параметрів (t/bw, bf/bw, bо/bw) виконане порівняння оптимальних стержнів з профілями із сортаменту. Побудовано зони оптимальних параметрів для стержня швелерного профілю і для швелера з відгинами при стисканні (max P), при згинанні (max Mz) та у двокритеріальній оптимізації - max (P-Mz). Кружки відповідають гнутим профілям із сортаменту. Більшість стандартних швелерних профілів знаходяться у оптимальній зоні (чи близькі до неї). Для швелерних профілів із відгинами полиць відповідність безрозмірних параметрів за оптимізацією та за сортаментом значно гірша. Таким чином, можна вказати ті профілі, які не можуть бути оптимальними при будь-якому навантаженні.

У трьохкритеріальній оптимізації був розглянутий стержень швелерного профілю при стисканні і згинанні у двох площинах.

Здобуті у трьохкритеріальній задачі оптимальні проекти універсальні, на відміну від оптимальних проектів для окремих випадків навантаження, і можуть бути застосовані при довільній комбінації стискання і згинання.

Висновки