Отримано напіваналітичний розв'язок задачі довговічності при обмеженнях по жорсткості. Аналітична частина включає виведені аналітичні вирази для геометричних характеристик перерізу (1), кутових (2) та лінійних (3) переміщень, як функцій, що залежать від повздовжньої координати та часу:

; (1)

; (2)

,(3)

де - функції геометричних розмірів перерізу балки та часу:

Постійна інтегрування визначається із граничної умови .

Прийнято гіпотезу лінійної зміни глибини корозії. Тоді перелічені функції (2) та (3) вважаються визначеними, якщо відомі їх значення у двох характерних перерізах. Деформування балки в агресивному середовищі описується задачею Коші для системи диференціальних рівнянь. Досліджено вплив геометрії перерізу на вид активних обмежень, результати якого приведені у табл. 3.

Таблиця 3 Довговічність конструкції

Розв'язано задачу вагової оптимізації двотаврової балки при корозійному зносі за критерієм мiнiмуму маси у початковий момент часу при заданому терміні експлуатації постановка 1 (рис. 3, а) та за критерієм мiнiмуму маси у момент руйнування постановка 2 (рис. 3, б). Порівняння постановок стало можливим лише при використанні концепції еквівалентного прямокутного перерізу.

Рис. 3 Оптимальні профілі для постановок 1, 2

Рис. 4 Форма поперечного перерізу

Розв'язано задачу оптимізації форми поперечного перерізу балки при корозійному зносі у припущенні, що переріз має дві осі симетрії та може бути представлений сукупністю прямокутних фрагментів (рис. 4). Алгоритм розв'язку задачі передбачає можливість рівності нулю деяких змінних параметрів. Такий підхід враховує часткові випадки форми перерізу (двотавр, прямокутник і т.п.). Процес оптимізації був проведений за критерієм мінімуму площі поперечного перерізу при заданому терміні експлуатації. При моделюванні корозійного зносу використано концепцію еквівалентного прямокутного перерізу. Проведено чисельні експерименти при заданих значеннях напружень, термінів експлуатації, параметрів агресивного середовища та отримано оптимальні розміри перерізів.

Четвертий розділ присвячено побудові нових скінченних елементів змінної жорсткості для розрахунку НДС, довговічності та оптимального проектування конструкцій, які підлягають корозійному зносу. Традиційний підхід методу скінченних елементів при розв'язку задач такого класу має ряд недоліків. У відомих алгоритмах розрахунку балочних конструкцій, що використовують метод скінченних елементів, напруження обчислюються у деяких характерних точках (наприклад, у центрі тяжіння скінченних елементів). Тоді для точного моделювання корозійного процесу необхідно збільшувати кількість скінченних елементів, що призводить не тільки до збільшення розмірності системи алгебраїчних рівнянь МСЕ, але й до порушення гіпотези технічної теорії згину балок (li/hi<5). В зв'язку з цим доречна побудова нових балочних скінченних елементів змінної жорсткості спеціально для розрахунку конструкцій з урахуванням корозійного зносу.

Побудова скінченних елементів змінної жорсткості базується на припущеннях, що:

механізм корозійного зносу для усіх точок конструкції однаковий;

зміна згинаючого моменту по довжині елементу відбувається за лінійним законом.

Матрицю жорсткості модифікованого методу скінченних елементів побудовано з використанням пружної лінії балки, аналітичних виразів для змінних геометричних характеристик і являється універсальною. Зміна поперечного перерізу моделюється дробово-лінейною функцією. Вираз для моменту інерції перетворюється у степеневий ряд по координаті х:

,

де коефіцієнти визначаються із виразів

; ; ;

; = 16.

Коефіцієнти матриці жорсткості одержані у явному вигляді. Наприклад, елемент матриці жорсткості

.

Перевага запропонованого скінченного елементу полягає у тому, що на відміну від стандартних алгоритмів, коли момент інерції у границях скінченного елементу вважається постійним, закладено гіпотезу про лінійну зміну величини моменту інерції по довжині елементу. Особливості нового скінченного елементу змінної жорсткості полягають у тому, що його розроблено суто для розв'язку задач, в яких необхідно врахування впливу умов експлуатації. Окрім того, такий скінченний елемент може бути застосовний для складних профілів, симетричних відносно вертикальної осі та представлених сукупністю прямокутних фрагментів. Момент інерції таких поперечних перерізів можна записати у вигляді поліному (4), тоді відмінність елементів матриці жорсткості полягає лише у коефіцієнтах (5). Для обґрунтування достовірності побудованого скінченного елементу сформульовано та розв'язано задачу довговічності статично визначуваної згинної балки, що експлуатується в агресивному середовищі, на основі МСЕ з використанням нового побудованого скінченного елементу, на результатах якої доведено ефективність скінченного елементу змінної жорсткості. Табл. 4 містить дані про довговічність балки, що одержані для скінченноелементних моделей з різною кількістю СЕ, для співвідношення h/b=3.

Таблиця 4 Довговічність балки

Сформульовано та розв'язано задачу довговічності статично невизначуваної балки (рис. 5) з використанням скінченного елементу змінної жорсткості та різної кількості стандартних елементів постійної жорсткості.

Рис. 5 Розрахункова схема балки та епюра згинаючого моменту

Значення довговічності, отримане при розв'язку задачі з використанням 10 скінченних елементів змінної жорсткості, - = 6,31 років, а 10 елементів постійної жорсткості - = 6,7 років. Похибка розв'язку, що визначалась як

,

дорівнює 5,88 %. З метою зниження значення похибки кількість скінченних елементів постійної жорсткості збільшувалась до 24. Розрахункове значення довговічності балки, отримане при розв'язку задачі з 24 скінченними елементами постійної жорсткості, - = 6,578 років і похибка дорівнює = 4,2%. Тобто збільшення кількості скінченних елементів постійної жорсткості не призводить до значного зменшення похибки при збільшенні порядку системи рівнянь МСЕ. Результати розв'язків показують, що застосування нового скінченного елементу змінної жорсткості дозволяє не тільки зменшити кількість скінченних елементів, але й підвищити точність розв'язку задачі довговічності.

П'ятий розділ присвячено розробці та чисельній реалізації алгоритмів розрахунку НДС та оптимального проектування конструкцій при корозійному зносі, які базуються на використанні запропонованих скінченних елементів змінної жорсткості.

Сформульовано ряд постановок задач оптимального проектування згинних балок, що підлягають корозійному зносу, у вигляді задач нелінійного математичного програмування за критерієм мінімуму об'єм в початковий момент часу при заданому терміні експлуатації. Система обмежень оптимізаційної задачі складається із обмежень по міцності та жорсткості.

Розв'язано задачу оптимального проектування балки (розрахункова схема - рис.6) при корозійному зносі з використанням скінченних елементів змінної жорсткості у трьох постановках. Постановка 1: змінними параметрами є висоти усіх скінченних елементів та товщина балки: ; постановка 2: змінними параметрами є висоти груп скінченних елементів та товщина балки; постановка 3: змінні параметри такі ж самі, що і у постановці 2, але, крім обмеження по міцності, розглянуто обмеження по жорсткості. Значення оптимального об'єму балки в залежності від заданого терміну експлуатації та постановки задачі (лінії (А), (В), (С) - постановки 1, 2, 3 відповідно) показано на рис. 5. Вигляд одного з оптимальних проектів балки, параметри якої визначені із розв'язку задачі у постановці 1, зображено на рис. 7,а.

Рис. 5 Оптимальний об'єм балки

Рис. 6 Розрахункова схема

Рис. 7 Вигляд оптимальних балок

Результати розв'язку попередньої задачі оптимізації статично невизначуваної балки при корозійному впливі викликали необхідність розроблення нового підходу до пошуку оптимального проекту, такого, який приводив би до більш раціонального та технологічно оптимального проекту балки. У зв'язку з цим розв'язано нову задачу вагової оптимізації статично невизначуваної балки при корозійному впливі. Для її розв'язку розроблено скінчений елемент, який враховує початкову нелінійність елементу та змінну жорсткість, спричинену корозійним впливом. Застосування цього скінченого елементу дозволяє варіювати лінійні розміри у вузлах скінченоелементної моделі. Проведено порівняння розв'язків задачі структурної оптимізації з використанням скінченого елементу, який враховує й початкову нелінійність. Очевидно, що варіювання у вузлах приводить до більш раціонального та технологічно оптимального проекту балки при зниженні її ваги (рис. 7,б).

Висновки

Побудовано математичну модель корозійного зносу прямокутного поперечного перерізу при сумісній дії згину та розтягу (стиску), що вперше враховує зміну положення центру тяжіння та нейтральної осі перерізу. Оскільки при такому навантаженні в процесі експлуатації поява наведеного ексцентриситету прикладеного навантаження змінює схему навантаження конструкції, похибкою, яка викликана спрощенням моделі, нехтувати не можна. Доведено, що у межах розглянутих вихідних параметрів, неврахування впливу цього фактору призводить до значної похибки і до перевищення розрахункового значення довговічності.

Побудовано математичну модель зниження захисних властивостей протикорозiйних покриттів, яка на відміну від існуючих, враховує період експлуатації конструкції з частково ушкодженим покриттям. Чисельні експерименти свідчать, що похибка може сягати до 5,06% при розглянутому діапазоні вихідних параметрів конструкції та агресивного середовища. На основі чисельних досліджень визначено межі застосування спрощеної моделі.

Вперше отримано напіваналітичний розв'язок задачі довговічності статично визначуваної згинної балки при обмеженнях по жорсткості з використанням аналітичних виразів для геометричних характеристик перерізу. Це стало можливим лише за умови використання запропонованих моделей корозійних процесів у згинних елементах. Досліджено вплив геометричних характеристик перерізу на вид активних обмежень та на довговічність, що обумовлена цими обмеженнями: при зростанні співвідношення початкової висоти перерізу до його ширини, довговічність конструкції, що визначається обмеженням по жорсткості, зростає, а по міцності - зменшується. В тому числі, отримані результати використані для оцінки похибки МСЕ у дослідженнях.

Сформульовано та розв'язано задачу вагової оптимiзацiї двотаврової балки при корозійному зносі за критерієм мінімуму маси у початковий момент часу при заданому терміні експлуатації (постановка 1) та за критерієм мінімуму маси у момент руйнування (постановка 2). Вперше проведено порівняння постановок, доведено їх нерівнозначність, кількісна та якісна відмінність. Проект, який отримано при розв'язку задачі у постановці 1 є більш прийнятний, ніж у постановці 2 - економія металу сягає 15 % для розглянутих вихідних даних. Тобто розв'язок задачі у постановці 2 дає більше значення цільової функції.

Сформульовано та розв'язано задачу оптимiзацiї форми поперечного перерізу балки при корозійному зносі у припущенні, що переріз має дві осі симетрії та може бути представлений сукупністю прямокутних фрагментів. Досліджено вплив агресивного середовища на оптимальну форму перерізу. Здійснено порівняння одержаних результатів із даними по стандартним профілям.

Розроблено новий балочний скiнченний елемент з наведеною змінною жорсткістю спеціально для розрахунку конструкцій, які потребують урахування впливу умов експлуатації, який, на відміну від стандартних, передбачає лінійну зміну моменту інерції у межах скінченного елементу. Побудовано чисельний алгоритм розрахунку НДС та довговічності з його використанням.

Розв'язано задачу довговічності статично невизначуваної балки при корозійному зносі, результати якої свідчать, що запропонований підхід дозволяє підвищити точність розрахунків при одночасному зниженні розмірності задачі. Крім того, він є універсальним, оскільки може бути застосований для усіх складних профілів, симетричних відносно вертикальної осі.

Сформульовано та розв'язано задачу оптимального проектування балки при корозійному зносі з використанням скінченого елементу з наведеною змінною жорсткістю у різних постановках. Порівняння результатів розв'язків показало, що об'єднання скінченних елементів у групи для даної конструкції дозволяє майже вдвічі скоротити розмірність оптимізаційної задачі при незначному погіршенні цільової функції. Додаткове обмеження по жорсткості суттєво впливає на оптимальні параметри конструкції. Досліджено вплив параметрів агресивного середовища, заданої довговічності та значень навантаження на оптимальний проект.

Побудовано новий балочний скiнченний елемент з початковою змінною жорсткістю для розв'язку задач вагової оптимізації статично невизначених балок при корозійному зносі, який враховує не тільки змінну жорсткість, спричинену корозійним впливом, але й початкову нелінійність скінченних елементів. Це дозволяє варіювати лінійні розміри у вузлах скінченоелементної моделі. Розроблено чисельний алгоритм оптимального проектування з використанням нового скінченого елементу.

Розв'язано задачу вагової оптимізації статично невизначуваної балки при корозійному зносі з використанням розробленого скінченного елементу з початковою змінною жорсткістю. Отримані результати чисельних експериментів дозволили зробити висновок, що спеціально розроблений скінченний елемент, який враховує і початкову нелінійність елементів, призводить до більш раціонального та технологічно оптимального проекту балки при зниженні її ваги (до 12% при заданих вихідних параметрах).

Список опублікованих праць

Солодкая Н.А. Моделирование коррозионных процессов в стержнях при совместном действии изгиба и растяжения (сжатия) // Сборник научных трудов. НГАУ. - 2002. Том 2. - №13. - С. 199 - 202.

Зеленцов Д.Г., Солодкая Н.А. Моделирование коррозионного износа в изгибаемых элементах при наличии антикоррозионных покрытий // Вопросы химии и химической технологии. 2001. №5. - С. 94 - 96.

Зеленцов Д.Г., Солодкая Н.А. Модели и методы снижения металлоемкости стержневых конструкций, работающих в агрессивных средах // Системні технології. Регіональний міжвузівський зб. наук. праць. 2000. - №2 (10). - С. 90 - 95.

Скалозуб В.В., Зеленцов Д.Г., Солодкая Н.А. Исследование компромиссно-оптимальных свойств изгибаемых стержней, работающих в агрессивных середах // Ресурсосберегающие технологии в транспортном и гидротехническом строительстве: Сб. науч. тр. - 2000. - №9. - С. 163 - 167.

Зеленцов Д.Г., Солодкая Н.А. Долговечность балки, подверженной коррозионному износу, при ограничениях по жесткости // Науковий Вісник НГАУ. - 2002. - №2. - С.45 - 47.

Зеленцов Д.Г., Солодкая Н.А. Весовая оптимизация статически неопределимой балки при коррозионном износе с использованием конечных элементов переменной жесткости // Системні технології. Регіональний міжвузівський зб. наук. праць. - 2002. №4(21).- С. 28 - 32.

Анотація

Солодка Н.О. Несуча здатність та оптимальне проектування балочних конструкцій з урахуванням впливу агресивних середовищ. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук зі спеціальності 05.23.17 - будівельна механіка. Відкрите акціонерне товариство Український науково-дослідний та проектний інститут сталевих конструкцій імені В.М. Шимановського, Київ, 2003.

Дисертація присвячена розробці нових математичних моделей для розрахунку балочних елементів, які в процесі експлуатації підлягають впливу не тільки навантажень, але й різноманітних агресивних середовищ. Одержані рішення на основі запропонованих математичних моделей, що описують нелінійну зміну геометричних розмірів поперечного перерізу, дозволяють з підвищеною точністю розв'язувати задачі довговічності, визначення НДС та оптимізації зазначених конструкцій. Вперше розроблені балочні скiнченні елементи для розрахунку та оптимізації конструкцій з урахуванням впливу агресивних середовищ, які дозволяють підвищити точність розв'язків при одночасному зниженні обсягу розрахунків.

В роботі проведено чисельні експерименти та детальний аналіз отриманих результатів. Встановлено, що запропоновані математичні моделі та алгоритми ефективні для розрахунку та оптимального проектування балочних конструкцій, які експлуатуються в агресивних середовищах.

Ключові слова: агресивне середовище, корозійний знос, згинні балочні конструкції, нелінійне математичне програмування, напружено-деформований стан.

Аннотация

Солодкая Н.A. Несущая способность и оптимальное проектирование балочных конструкций с учетом влияния агрессивных сред. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.23.17 строительная механика. Открытое акционерное общество Украинский научно-исследовательский и проектный институт стальных конструкций имени В.Н. Шимановского, Киев, 2003.

Диссертация посвящена развитию методов и моделей расчета стержневых элементов, подверженных в процессе эксплуатации воздействию различных агрессивных сред. Рассматривается общий случай коррозионного воздействия, когда скорость коррозии является функцией напряжений. Разработаны новые математические модели коррозионного износа, учитывающие изменения не только геометрических размеров сечения, но и его формы в процессе эксплуатации. Модели базируются на аппроксимации формы поперечного сечения некоторыми функциями. В частности, для указанных моделей коррозионного износа используются дробно-линейная и параболическая функции. Такой подход позволил предложить новые эффективные, уточненные модели расчета НДС, долговечности, оптимизации формы поперечного сечения, оптимального проектирования изгибаемых элементов, работающих в агрессивных средах. Среди них: математическая модель, учитывающая изменение положения центра тяжести и нейтральной линии поперечного сечения (случай совместного действия изгибного и растягивающего либо сжимающего усилий); математическая модель коррозионного износа изгибаемых элементов прямоугольного поперечного сечения с защитным покрытием, впервые учитывающая период работы с частично поврежденным покрытием.

На основе введенных аппроксимирующих функций и полученных аналитических выражениий для геометрических характеристик поперечного сечения впервые разработаны балочные конечные элементы переменной жесткости и алгоритмы расчета с их использованием с учетом влияния агрессивных сред. Построен балочный конечный элемент с наведенной переменной жесткостью. Использование термина “наведенная переменная жесткость” означает, что изменение геометрических характеристик сечения по длине конечного элемента вызвано процессом коррозии и неоднородностью поля напряжений по высоте и длине конечного элемента. Результаты численного эксперимента свидетельствуют о том, что предложенный подход позволяет повысить точность решения при одновременном снижении размерности задачи. Кроме того, подход является универсальным, поскольку может быть применен для всех сложных профилей, симметричных относительно вертикальной оси.

Построен балочный конечный элемент с начальной переменной жесткостью, для решения задач структурной оптимизации статически неопределимых балок при коррозионном износе, который позволяет рассматривать элементы с начальным линейным изменением момента инерции в пределах конечного элемента, т. е. учитывать неоднородность геометрических характеристик конечного элемента уже в начальный момент времени.

С использованием новых конечных элементов сформулированы и решены новые задачи оптимального проектирования конструкций, подверженных коррозионному износу. Полученные результаты численных экспериментов позволили сделать вывод о том, что специально разработанный конечный элемент, который учитывает и начальную нелинейность высот конечных элементов, приводит к более рациональному и технологичному проекту балки при снижении ее веса. На основе решений задач оптимального проектирования стержневых систем, эксплуатирующихся в агрессивных средах, обосновываются преимущества предложенного метода оптимизации в сравнении с другими методами, адаптированными для решения задач такого класса

В работе проведены численные эксперименты и детальный анализ полученных результатов. Установлено, что предложенные математические модели и алгоритмы эффективны для расчета напряженно-деформированного состояния, долговечности и оптимального проектирования изгибаемых стержневых элементов, эксплуатируемых в агрессивных средах.

Ключевые слова: агрессивная среда, коррозионный износ, изгибаемые балочные конструкции, нелинейное математическое программирование, напряженно-деформированное состояние.

Summary

Solodkaya N.O. Durability and optimization design of bar's construction, subjected to influence of aggressive medium. Manuscript.

The thesis for candidate's degree award according to speciality 05.23.17 structural mechanics. Open Joint-Stock Company V. Shimanovsky Ukrainian Research and Design Institute of Steel Construction, Kyiv, 2003.

The dessertation is devoted to development of methods of calculation of construction, subjected to corrosion wear. General event corrosion interaction, when rate of corrosion depends on mechanical stresses is considered. The new mathematical models of corrosion wear process in the bending bar is used. These one is based on the approximation of change cross-section's form by linear and parabolic function. This approach allowed to propose new mathematical models for calculation construction, optimization a form of bar's cross-section and optimization design of bending bars, working in corrosive medium. Among them: mathematical model, which the barycentre a bending bar and neutral line displacement is obtained (the course of share operation of curving and stressing compression); sharper mathematical model of corrosion wear process in bending bar rectangular cross-section element in the presence of protective corrosion-resistant coating, allowed to take into consideration a stage of partially coating under destruction. The concept of construction of new finite elements of variable rigidity for account is proposed. The bar is statically indefinite and subjected to aggressive mediums. The analytical expression of elements of stiffness matrixes of these elements is obtained.

The investigation, numerical results of task is found that the proposed models and methods are effective for calculation of construction under aggressive mediums influence.

Key words: corrosive medium, corrosion wear, bending bar's constructions, mathematical programming, stress-strain state.

Размещено на Allbest.ru