Розрахунок шаруватих пологих оболонок і пластин на основі ітераційної теорії

Размещено на http://www.allbest.ru/

Придніпровська державна академія будівництва та архітектури

УДК 539.3: 624.074

РОЗРАХУНОК ШАРУВАТИХ ПОЛОГИХ ОБОЛОНОК І ПЛАСТИН

НА ОСНОВІ ІТЕРАЦІЙНОЇ ТЕОРІЇ

Спеціальність: 05.23.17 - Будівельна механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Наєров Вадим Вікторович

Дніпропетровськ - 2002

Дисертація є рукописом.

Робота виконана в Придніпровській державній академії будівництва та архітектури Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: докор технічних наук, професор Плєханов Анатолій Васильович, Придніпровська державна академія будівництва та архітектури, професор кафедри будівельної механіки та опору матеріалів.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Рассказов Олександр Олегович, Національний транспортний університет, завідувач кафедри теоретичної та прикладної механіки;

кандидат технічних наук, професор Дем'яненко Анатолій Григорович, Дніпропетровський державний аграрний університет, професор кафедри теоретичної механіки та опору матеріалів.

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет, кафедра обчислювальної механіки та міцності конструкцій, Міністерство освіти і науки України.

Захист відбудеться “ 31 ” жовтня 2002р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.085.02 при Придніпровській державній академії будівництва та архітектури за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, вул. Чернишевського, 24-а.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Придніпровської державної академії будівництва та архітектури за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, вул. Чернишевського, 24-а.

Автореферат розісланий “29” вересня 2002р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Кваша Е.М.



Анотація

Наєров В.В. Розрахунок шаруватих пологих оболонок і пластин на основі ітераційної теорії. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.23.17 - Будівельна механіка. - Придніпровська державна академія будівництва та архітектури, Дніпропетровськ, 2002.

На основі методу розкладання компонентів напруження і переміщення в ряди за функціями від поперечної координати в поєднанні з варіаційним принципом Рейснера та методом варіювання за визначуваним станом побудовано варіант ітераційної геометрично нелінійної теорії трансверсально ізотропних шаруватих пологих оболонок і пластин, який враховує усі компоненти напружено-деформованого стану і описує як внутрішній напружений стан, так і крайові ефекти типу пограншару.

Отримані аналітичні рішення для внутрішнього напруженого стану, потенційного та вихрового крайових ефектів. Досліджено збіжність і точність рішень. Визначено показники змінюваності і глибини проникання потенційного і вихрового крайових ефектів.

На основі ітераційної теорії з використанням методу локальних варіацій розроблені методика і обчислювальний комплекс програм для визначення напружено-деформованого стану трансверсально ізотропних шаруватих і однорідних пологих оболонок і пластин. Досліджено збіжність і точність рішень шляхом порівняння з аналітичними рішеннями тестових задач в різних наближеннях ітераційної теорії.

Розглянуто ряд задач лінійного та нелінійного деформування шаруватих і однорідних пологих оболонок і пластин. Досліджено вплив геометричної нелінійності, пружних і геометричних параметрів на компоненти напружено-деформованого стану оболонок і пластин.

Ключові слова: ітераційна теорія, шаруваті оболонки та пластини, крайові ефекти, напружено-деформований стан, чисельна методика, лінійне та нелінійне деформування.



Аннотация

Наеров В.В. Расчет слоистых пологих оболочек и пластин на основе итерационной теории. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.23.17 - Строительная механика. - Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры, Днепропетровск, 2002. геометричний ітераційний напруження оболонка

На основе метода разложения компонент напряжения и перемещения в ряды по функциям от поперечной координаты в сочетании с вариационным принципом Рейснера и методом варьирования по определяемому состоянию построен вариант итерационной геометрически нелинейной теории трансверсально изотропных слоистых пологих оболочек и пластин. Полученные уравнения учитывают все компоненты напряженно-деформированного состояния и описывают как внутреннее напряженное состояние, так и краевые эффекты типа погранслоя. Порядок дифференциальных уравнений не зависит от числа слоев и количества членов разложений, аппроксимирующих перемещения и напряжения, что позволяет строить решения прикладных задач в высоких приближениях.

Получены аналитические решения для внутреннего напряженного состояния, потенциального и вихревого краевых эффектов. Исследована сходимость и точность решений путем их сопоставления с точными решениями теории упругости. Установлены области применимости различных приближений итерационной теории. Определены показатели изменяемости и глубины проникания потенциального и вихревого краевых эффектов. Установлено, что проникающая способность краевых эффектов существенно зависит от упругих параметров слоистых оболочек и пластин.

На основе итерационной теории с использованием метода локальных вариаций разработана методика и вычислительный комплекс программ для определения напряженно-деформированного состояния трансверсально изотропных слоистых и однородных пологих оболочек и пластин при различных граничных условиях и нагрузках. Исследована сходимость и точность решений путем их сравнения с аналитическими решениями тестовых задач в различных приближениях итерационной теории. Установлено, что итерационный процесс численной методики расчета является сходящимся. Скорость сходимости и точность решений для напряжений и перемещений зависят от шага сетки, упругих и геометрических параметров и условий закреплений оболочек и пластин.

Используя разработанную методику расчета, рассмотрен ряд задач линейного и нелинейного деформирования слоистых и однородных пологих оболочек и пластин. Исследовано влияние геометрической нелинейности, упругих и геометрических параметров на компоненты напряженно-деформированного состояния оболочек и пластин. Получены существенные поправки к известным решениям.

Ключевые слова: итерационная теория, слоистые оболочки и пластины, краевые эффекты, напряженно-деформированное состояние, численная методика, линейное и нелинейное деформирование.



Summary

Nayerov V.V. The Calculation of Layered Shallow Shells and Plates on the Basic of the Iterative Theory. - Manuscript.

Thesis for a candidate degree by specialty 05.23.17 - Structural Mechanics. - Prydnieprovsk State Academy of Civil Engineering and Architecture, Dnepropetrovsk, 2002.

On the basic of a method of decomposition a components of pressure and transferences into rows on function from cross coordinate in a combination to a variational principle Reissner and method of a variation on a determined status the variant of iterative geometrically non-linear theory transversally isotropic of layered shallow shells and plates is constructed. The obtained equations take into account all components of stressedly-deformed condition and describe as the inner stressed states, so fringe effects namely boundary layer.

The analytical solutions for the internal intense status, potential and vortical fringe effects are obtained. The convergence and accuracy of the solutions is investigated. The parameters of variable and depth of penetration of potential and fringe effects are determined.

On the basis of the iterative theory with use of a method of local variations the technique and computer complex of the programs for stressedly-deformed condition transversally isotropic of layered and homogeneous shallow shells and plates is elaborated. The convergence and accuracy of the solutions are investigated by their comparison with the analytical decisions of test tasks in various approximation of the iterative theory. A number of tasks linear and non-linear warping of layered and homogeneous shallow shells and plates were considered. The influence of geometrical non-linearity, elastic and geometrical parameters on components of stressedly-deformed condition of shells and plates.

Keywords: iterative theory, layered shallow shells and plates, fringe effects, stressedly-deformed condition, numerical method, linear and non-linear warping.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Шаруваті оболонки і пластини та конструкції з композитних матеріалів широко застосовуються в різних галузях сучасної техніки, у промисловому та цивільному будівництві. Це обумовлено їх високою питомою міцністю, жорсткістю і економічністю, можливістю забезпечити необхідні звуко-, термо- і електроізоляцію, стійкість до агресивних середовищ та інші властивості.

Для забезпечення надійної роботи таких конструкцій необхідне підвищення точності їх розрахунку шляхом урахуванням усіх компонентів напружено-деформованого стану (НДС), крайових ефектів типу пограншару і специфічних особливостей деформування. Аналіз відомих теорій і методів розрахунку шаруватих пластин і оболонок (розділ 1) показує, що вони не повною мірою відповідають сучасним вимогам, оскільки, як правило, не враховують усі компоненти НДС та крайові ефекти або реалізація призводить до значних математичних труднощів. У зв'язку з цим розвиток і побудова ефективних уточнених теорій, аналітичних і чисельних методів та методик розрахунку шаруватих оболонок і пластин, а також рішення на їх основі прикладних задач є актуальною проблемою будівельної механіки.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота відповідає науковому напрямку кафедри будівельної механіки та опору матеріалів Придніпровської державної академії будівництва та архітектури і виконана відповідно до Координаційних планів досліджень Міністерства освіти і науки України “Розробка математичних моделей, ітераційних теорій, точних і асимптотичних методів розрахунку тонкостінних конструкцій” (1997-1999р.р., № Держреєстрації 0197U001652) і “Розробка математичних моделей та ітераційних теорій розрахунку однорідних і шаруватих оболонок і пластин з фізично лінійних і нелінійних матеріалів” (2000-2001р.р., № Держреєстрації 0100U003689).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є побудова варіанту геометрично нелінійної ітераційної теорії трансверсально ізотропних шаруватих пологих оболонок і пластин, який враховує усі компоненти напружено-деформованого стану і описує як внутрішній напружений стан, так і крайові ефекти типу пограншару; розробка методик і програм реалізації ітераційної теорії і рішення на їх основі прикладних задач про напружено-деформований стан пологих оболонок і пластин.

Реалізація даної мети вимагає виконання наступних основних задач:

побудова апроксимуючих функцій для переміщень і напружень;

виведення рівнянь рівноваги, граничних умов, співвідношень пружності і розв'язувальних рівнянь ітераційної теорії розрахунку шаруватих пологих оболонок і пластин;

одержання аналітичних рішень розв'язувальних рівнянь, дослідження на їх основі внутрішнього напружено-деформованого стану і проникаючої здатності потенційного і вихрового крайових ефектів, оцінка збіжності і точності рішень;

розробка чисельної методики розрахунку з використанням методу локальних варіацій і рішення на її основі прикладних задач про НДС шаруватих і однорідних оболонок і пластин.

Об'єктами дослідження є трансверсально ізотропні шаруваті пологі оболонки і пластини.

Предметом дослідження є теорія розрахунку і напружено-деформований стан трансверсально ізотропних пологих оболонок і пластин.

Методи дослідження. Для побудови ітераційної теорії розрахунку шаруватих пологих оболонок використано метод розкладання компонентів напруження і переміщення в ряди за функціями від поперечної координати в сполученні з варіаційним принципом Рейснера та методом варіювання за визначуваним станом. Аналітичні рішення задач про напружено-деформований стан оболонок і пластин отримані на основі методу тригонометричних рядів і методу Ейлера. При розробці чисельної методики розрахунку оболонок і пластин використано метод локальних варіацій.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у подальшому розвитку і застосуванні ітераційної теорії до розрахунку шаруватих конструкцій:

побудовано варіант ітераційної теорії розрахунку трансверсально ізотропних шаруватих пологих оболонок і пластин, що відрізняється урахуванням геометричної нелінійності і дотичних навантажень. Рівняння враховують усі компоненти НДС та крайові ефекти типу пограншару. Порядок диференціальних рівнянь не залежить від числа шарів і кількості членів розкладань, що апроксимують переміщення і напруження;

отримано аналітичні рішення для прямокутних шаруватих пологих оболонок і пластин при різних навантаженнях і на їх основі досліджені збіжність і точність рішень;

побудовано аналітичні рішення для потенційного і вихрового крайових ефектів і досліджено вплив пружних і геометричних параметрів шаруватої конструкції на показники їх змінюваності та проникаючу здатність;

розроблено чисельну методику і відповідний комплекс програм для розрахунку шаруватих пологих оболонок і пластин з використанням методу локальних варіацій;

на основі розробленої методики отримані рішення задач про напружено-деформований стан шаруватих і однорідних пологих оболонок і пластин при різних граничних умовах і навантаженнях, досліджені збіжність і точність рішень;

досліджено вплив геометричної нелінійності, крайових ефектів, пружних і геометричних параметрів на різні компоненти НДС оболонок і пластин. Отримано ряд істотних уточнень до відомих рішень.

Достовірність результатів дисертації забезпечується точністю залученого математичного апарата, використанням обґрунтованих методів рішення, контролем збіжності і точності рішень на основі розробленої методики розрахунку, зіставленням отриманих результатів з відомими в літературі рішеннями, а також підтверджується задовільною відповідністю результатів з рішеннями тестових задач методами теорії пружності.

Практичне значення одержаних результатів. Побудований в роботі варіант ітераційної теорії шаруватих пологих оболонок і пластин і розроблені на його основі методики і програми розрахунку дозволяють одержувати рішення прикладних задач у високих наближеннях з урахуванням усіх компонентів НДС та крайових ефектів типу пограншару. Отримані результати можуть бути використані в КБ, НДІ і проектних організаціях, пов'язаних з розрахунками і проектуванням конструкцій у різних галузях сучасної техніки і будівництві, що буде сприяти створенню конструкцій, які мають високу питому міцність, жорсткість і надійність. Окремі теоретичні положення і результати можуть бути використані у навчальному процесі в курсах теорії пружності, теорії оболонок і пластин. Результати дисертації використані при розрахунку конструкції дорожнього одягу в дорожньо-мостовому відділі інституту “Дніпродіпродор”.

Особистий внесок здобувача. Основні теоретичні положення дисертації, пов'язані з розвитком ітераційної теорії і побудовою чисельної методики розрахунку шаруватих пологих оболонок і пластин, розроблені разом з науковим керівником, докт. техн. наук, професором А.В. Плєхановим і викладені у роботах [1,2, 4-8]. Реалізація чисельної методики розрахунку у вигляді пакета прикладних програм для ЕОМ, чисельні і аналітичні рішення конкретних задач та аналіз результатів належать особисто здобувачу.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались на Польсько-Українському семінарі “Теоретичні основи будівництва” (Варшава, Дніпропетровськ, 1998, 2000-2002р.р.), Міжнародних конференціях “Проблеми сучасного матеріалознавства” (Дніпропетровськ, 1998-2002р.р.) і на Міжвузівському науковому семінарі “Проблеми нелінійної механіки” (Дніпропетровськ, 2000, 2002р.р.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 10 робіт, у тому числі: основні - 8 статей у фахових журналах і збірниках наукових праць [1-4, 6-9], додаткові - 2 публікації в матеріалах конференцій [5, 10].

Структура та обсяг дисертації. Робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел і додатка. Повний обсяг складає 128 сторінок, з них 30 сторінок займають 33 рисунки, 12 таблиць і список використаних джерел з 191 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовані мета і задачі дослідження. Приведені дані про наукову новизну, теоретичне і практичне значення отриманих результатів.

Перший розділ присвячений короткому огляду досліджень в області розрахунку шаруватих оболонок і пластин. Найбільш розповсюдженим підходом при розрахунку шаруватих конструкцій є залучення двовимірних теорій. Для їх побудови шляхом приведення тривимірної задачі теорії пружності до двовимірної використовується метод гіпотез, асимптотичні методи і метод розкладання компонентів напружено-деформованого стану в ряди за функціями від поперечної координати. При рішенні задач лінійного та нелінійного деформування оболонок і пластин використовуються різні аналітичні і чисельні методи: тригонометричних рядів, послідовних навантажень, локальних варіацій, кінцевих елементів, кінцевих різниць та ін. Значний внесок в розробку і розвиток теорій і методів розрахунку шаруватих конструкцій внесли А.Я. Александров, С.О. Амбарцумян, В.А. Баженов, В.В. Болотін, А.Т. Василенко, В.В. Васильєв, І.Н. Векуа, В.Є. Вериженко, В.З. Власов, І.І. Ворович, С.М. Галілєєв, М.К. Галимов, О.Л. Гольденвейзер, Е.І. Григолюк, Я.М. Григоренко, О.М. Гузь, В.І. Гуляев, А.Г. Дем'яненко, Б.Я. Кантор, Я.Ф. Каюк, Е.М. Кваша, М.О. Кильчевський, В.І. Корольов, Л.В. Курпа, Л.М. Куршин, М.М. Леонтьєв, О.П. Мукоєд, Х.М. Муштарі, Ю.М. Неміш, Ю.М. Новічков, Н.Д. Панкратова, Б.Л. Пелех, В.В. Пікуль, В.Г. Піскунов, А.В. Плєханов, В.В. Понятовський, В.О. Постнов, В.К. Присяжнюк, О.П. Прусаков, О.О. Рассказов, О.Ф. Рябов, О.С. Сахаров, О.В. Саченков, В.С. Сіпетов, М.Г. Тамуров, Ю.А. Устинов, І.Ю. Хома, Л.П. Хорошун, П.П. Чулков, В.А. Шалдирван, Ю.М. Шевченко, М.О. Шульга, Н. Пейгано, Е. Рейснер, Л.М. Хебіп та інші вчені.

На підставі аналізу відомих теорій і методів розрахунку шаруватих оболонок і пластин сформульовані мета і задачі дисертації.

У другому розділі побудовано варіант уточненої геометрично нелінійної ітераційної теорії розрахунку трансверсально ізотропних шаруватих пологих оболонок постійної товщини H (рис. 1). Діюче на нижній (z=h₁) і верхній (z=-h₂) лицьових поверхнях оболонки навантаження подано у вигляді симетричних і кососиметричних нормальних p_z(x,y), q_z(x,y) і дотичних p_xz(x,y), p_yz(x,y), q_xz(x,y), q_yz(x,y) складових.

Для приведення тривимірної задачі теорії пружності до двовимірної використовується метод розкладання компонентів напружень та переміщень в ряди за функціями від поперечної

Апроксимуючі функції для напружень ^(k)_xz, ^(k)_yz, ^(k)_z отримані на основі рівнянь рівноваги теорії пружності з урахуванням умов на лицьових поверхнях оболонки і умов жорсткого сполучення шарів:

(xy);

.

Члени розкладань з індексами (i=0,1) описують несамоврівноважені за товщиною оболонки напружені стани (перший стан), а наступні (i2) - самоврівноважені стани. Використання їх дозволяє представити повний напружений стан оболонки як сукупність внутрішнього напруженого стану і крайових ефектів типу пограншару.

Для одержання рівнянь рівноваги, граничних умов і співвідношень пружності використовується змішаний варіаційний принцип Рейснера в сполученні з методом варіювання за визначуваним станом.

Рівняння рівноваги мають вигляд:

перший (несамоврівноважений) напружений стан (i=0,1)

(xyx);

(xyx);

,

j-й (j2) самоврівноважений стан

(xyx);

.

Розв'язувальні рівняння ітераційної теорії шаруватих оболонок представлені у формі методу переміщень:

перший (несамоврівноважений) стан (i=0,1)

;

;

;

;

,

j-й (j2) самоврівноважений стан

;

,

де - диференціальні оператори.

Рівняння першого стану мають десятий порядок і описують внутрішній напружений стан та вихровий крайовий ефект у першому наближенні. Рівняння шостого порядку для самоврівноважених станів уточнюють внутрішній стан та вихровий крайовий ефект і описують у різних наближеннях потенційний крайовий ефект.

У дисертаційній роботі отримані окремі випадки рівнянь ітераційної теорії шаруватих пологих оболонок і пластин. При відсутності дотичних навантажень на лицьових поверхнях оболонки рівняння для першого стану представлені у формі змішаного методу і виділені рівняння щодо функції _i, котрі описують вихровий крайовий ефект:

перший стан (i=0,1)

; (7)

;

,

j-й (j2) самоврівноважений стан



де Ф_1j, Ф_2j - праві частини рівнянь для j -го стану, що містять складові поперечного навантаження і відомі функції попередніх станів.

При розгляді шаруватих пластин симетричної по товщині структури усі рівняння і залежності лінійної ітераційної теорії розділяються на дві незалежні групи. Рівняння, що відповідають парним членам розкладань, описують симетричну щодо серединної площини деформацію пластини, а рівняння, що відповідають непарним членам - кососиметричну (згинаючу) деформацію пластини.

У третьому розділі на основі рівнянь ітераційної теорії шаруватих пологих оболонок і пластин побудовані аналітичні рішення для внутрішнього НДС, потенційного та вихрового крайових ефектів. Отримані результати використані при дослідженні збіжності і точності рішень.

При розгляді вільно опертих по всьому контуру прямокутних шаруватих оболонок використано метод подвійних тригонометричних рядів (метод Нав'є), а при наявності тільки двох протилежних вільно опертих країв - метод Леві.

Відповідно до методу О.Л. Гольденвейзера на основі рівнянь ітераційної теорії отримані аналітичні рішення для вихрового та потенційного крайових ефектів. Досліджено вплив пружних і геометричних параметрів шаруватих і однорідних оболонок і пластин на показники змінюваності та глибини проникання крайових ефектів. Деякі результати для показників змінюваності потенційного () та вихрового (S) крайових ефектів, а також глибин їх проникання для ізотропної тришарової пластини симетричної структури при ₁=₂=0.3.

Аналіз отриманих результатів свідчить про те, що потенційний крайовий ефект згасає швидше вихрового, збільшення параметрів E₁/E₂ і G/G_z призводить до зростання проникаючої здатності крайових ефектів. Найбільший вплив на глибину проникання крайових ефектів чинить параметр поперечної зсувної податливості заповнювача, зміна параметра t₂/t₁ незначно впливає на поведінку крайових ефектів.

Оцінка збіжності і точності рішень для внутрішнього НДС виконана шляхом зіставлення з відомими точними рішеннями результатів рішення в трьох наближеннях ітераційної теорії задачі про згин по циліндричній поверхні вільно опертої по краях тришарової пластини симетричної структури під дією поперечного синусоїдального навантаження. Результати показують, що швидкості збіжності рішень для напружень та переміщень залежать від товщини пластини і ступеня розходження пружних характеристик шарів. Для переміщень W задовільний результат дає перше наближення ітераційної теорії. Дещо гірша збіжність рішень для нормальних напружень _x. Друге наближення дає задовільний результат для пластин середньої і малої товщин. Для товстих пластин необхідне рішення в більш високих наближеннях.

Оцінка точності рішень для крайових ефектів виконана шляхом порівняння їх показників змінюваності, отриманих на основі ітераційної теорії, із приведеними в літературі значеннями показників змінюваності для однорідних пластин (для шаруватих пластин вони мабуть відсутні). Приведені в таблиці 1 результати свідчать про задовільну відповідність отриманих у дисертації показників змінюваності потенційного крайового ефекту з відповідними результатами, отриманими А.В. Плєхановим на основі зв'язаних рівнянь для однорідної трансверсально ізотропної пластини при =_z=0.3. Показники змінюваності потенційного =7.441 і вихрового S=3.162 крайових ефектів для ізотропної однорідної пластини (=_z=0.3) добре узгоджуються з відповідними їм точними значеннями =7.498 і S=3.142, отриманими А.І. Лур'є.

Відзначимо також, що отримані нами результати про проникаючу здатність крайових ефектів для тришарової пластини знаходяться в якісній відповідності з даними, представленими в монографії О.О. Рассказова, І.І. Соколовської, М.О. Шульги “Теорія і розрахунок шаруватих ортотропних пластин і оболонок”. - К.: Вища школа, 1986. - 191с.

Таким чином, проведені дослідження свідчать про задовільну збіжність і точність рішень на основі ітераційної теорії пологих оболонок і пластин. Отримані рівняння можуть бути ефективно використані для визначення НДС широкого класу шаруватих і однорідних пластин і оболонок, у тому числі з великим показником змінюваності напруженого стану (концентрація напружень, дослідження крайових ефектів типу пограншару та інші).

У четвертому розділі для реалізації ітераційної теорії шаруватих пологих оболонок і пластин розроблені методика і обчислювальний комплекс програм з використанням чисельного методу локальних варіацій (МЛВ).

Відповідно до МЛВ крайова задача зводиться до варіаційної задачі, в якій мінімізованим функціоналом виступає повна енергія, а шуканими функціями - компоненти переміщення досліджуваного тіла. При цьому замість рішення безперервної варіаційної задачі розглядається дискретна задача на основі її кінцево-різницевого представлення і послідовно реалізується умова мінімуму повної енергії у відповідних вічках досліджуваного тіла. У підсумку виходить рекурентний процес послідовних наближень, де шуканими є переміщення у вузлах сітки.

Відповідно до методу варіювання за визначуваним станом і МЛВ алгоритм розрахунку оболонки полягає в наступному. На серединну поверхню оболонки наноситься сітка ліній з початковим кроком x і y. Вирази для повної енергії і граничних умов представляються в різницевій формі. При розрахунку в першому наближенні (i=0,1) задаємося початковими значеннями переміщень U₀, V₀, U₁, V₁, W₁ у кожному вузлі сітки. Як початкові значення може бути прийнятий будь-який набір чисел, що задовольняють відповідні обмеження (зокрема, граничні умови). Потім вибираємо крок варіювання для переміщень і починаємо процес локальних варіацій у всіх внутріконтурних вузлах, реалізуючі послідовно умову мінімуму повної енергії у відповідних вічках оболонки. Після цього зменшуємо крок варіювання у два рази і повторюємо процес. І таким чином діємо доти, поки крок варіювання не стане менше заданого значення. Далі, вважаючи відповідно до методу варіювання за визначуваним станом функції першого наближення відомими, повна енергія оболонки варіюється за переміщеннями U₂, V₂, W₂ аналогічно описаному вище алгоритму і одержується рішення для самоврівноваженого стану (i=2), що уточнює компоненти НДС першого наближення. У результаті їх підсумовування одержується рішення в другому наближенні (i=0,1,2). Аналогічно вирішується задача і в наступних наближеннях. Після закінчення процесу варіювання при початкових значеннях x і y крок сітки зменшується у два рази і виконується наступний процес ітерацій. При цьому як початкове наближення на новій сітці приймаються значення, отримані на попередній сітці з урахуванням інтерполяції. Чисельне рішення вважається закінченим після досягнення збіжності з мінімальними значеннями x і y.

Дослідження збіжності і точності рішень на основі розробленої методики було проведене шляхом їх зіставлення з існуючими аналітичними рішеннями задач про згин тришарової і однорідної пластин при різних граничних умовах і навантаженнях. Для другого наближення приведені залежності похибок від кроку сітки для переміщень W (z=0), нормальних напружень _x (z=0.5H) і дотичних напружень _xy (z=0) в задачі згину по циліндричній поверхні вільно опертої тришарової ізотропної пластини симетричної структури під дією синусоїдального навантаження при E₁/E₂=10, ₁=₂=0.3, t₂/t₁=0.5 і a/H=5. Рис. 7 і 8 дають уявлення про залежність похибок рішень для максимальних переміщень W та нормальних напружень _x від параметрів a/H і E₁/E₂ тришарової пластини при x=0.03125.

Аналіз отриманих у роботі результатів дозволяє зробити наступні висновки.

Ітераційний процес чисельної методики розрахунку є збіжним. При цьому значення переміщень і напружень наближаються до відповідних аналітичних рішень.

Точність рішень для переміщень і напружень істотно залежить від кроку сітки. У розглянутому діапазоні зміни пружних та геометричних параметрів задовільна точність досягається при кроці сітки, який дорівнює 1/32. Використання апріорної інформації про передбачуване рішення приводить до прискорення збіжності рішень.

Із збільшенням відносної товщини пластини і оболонки похибки рішень для переміщень та напружень зростають. Збільшення відношення E₁/E₂ в тришаровій пластині і оболонці призводить до збільшення похибок для переміщень і напружень. Із збільшенням параметра зсувної податливості G/G_z точність рішень знижується. Параметр трансверсальної податливості E/E_z впливає значно менше.

Таким чином, проведені дослідження свідчать про те, що розроблена в дисертації методика розрахунку може бути ефективно використана для визначення НДС шаруватих і однорідних пологих оболонок та пластин при різних пружних і геометричних параметрах, граничних умовах і навантаженнях.

На основі розробленої методики досліджено НДС при малих переміщеннях вільно опертої і жорстко защемленої по контуру трансверсально ізотропної однорідної пологої оболонки при дії рівномірно розподіленого навантаження. У дисертації у вигляді таблиць приведені отримані в першому та другому наближеннях значення переміщень W і нормальних напружень _x в залежності від параметрів a/H, G/G_z та кроку сітки. При визначенні переміщень можна обмежитися першим наближенням ітераційної теорії. Для напружень перше наближення дає задовільний результат тільки для вільно опертої ізотропної оболонки. Із збільшенням параметра поперечної зсувної податливості G/G_z похибки першого наближення зростають. Збільшення параметра G/G_z призводить до істотного підвищення як переміщень, так і напружень, причому його вплив зростає із збільшенням товщини оболонки. Слід зазначити, що похибки першого наближення в місці защемлення виявляються значними навіть для тонких ізотропних оболонок і пластин. Це обумовлено наявністю потенційного крайового ефекту, що не враховується в першому наближенні ітераційної теорії. При віддаленні від місця защемлення напруження пограншару зменшуються і їх вплив обмежується для ізотропних конструкцій дуже вузькою областю, яка не перевищує товщини оболонки і пластини. Для трансверсально ізотропних оболонок і пластин проникаюча здатність і вплив потенційного крайового ефекту зростають із збільшенням параметра поперечної зсувної податливості. У зв'язку з цим застосування теорій, що не враховують крайові ефекти, може призвести до істотних похибок навіть при розрахунку тонких анізотропних оболонок і пластин.

У дисертації розглянута також задача про згин під дією рівномірно розподіленого навантаження квадратної защемленої по контуру однорідної пластини при наявності обмежень у вигляді проміжних шарнірних опор. Представлено епюри переміщень W і нормальних напружень _x.

Як відомо, рішення крайових задач нелінійного деформування оболонок і пластин пов'язано з великими математичними та обчислювальними труднощами. Цим, певно, обумовлена порівняно невелика кількість досліджень на основі уточнених теорій. Використання розробленої в дисертації методики розрахунку дозволяє одержати рішення задач нелінійного деформування шаруватих і однорідних пластин і пологих оболонок на основі уточненої ітераційної теорії, яка враховує усі компоненти НДС та крайові ефекти типу пограншару.

У дисертації розглянуті задачі згину під дією рівномірно розподіленого навантаження жорстко защемлених по контуру квадратних трансверсально ізотропних шаруватих і однорідних пластин і пологих оболонок. Приведені графіки залежностей від навантаження отриманих у другому наближенні переміщень W (z=0) у центрі, згинаючих напружень ^з_x (z=0.5H) у місці защемлення оболонок і пластин з урахуванням та без урахування геометричної нелінійності. Як приклади, на рис. 9 та 10 представлені графіки для ізотропної тришарової оболонки симетричної структури при a/H=20, t₂/t₁=10, ₁=₂=0.3.

Отримані результати свідчать про те, що урахування геометричної нелінійності призводить до зменшення переміщень і згинаючих напружень. Похибки геометрично лінійної теорії зростають із збільшенням навантаження і параметрів E₁/E₂ та G/G_z. Збільшення параметра E₁/E₂ призводить до збільшення переміщень, згинаючих і мембранних напружень у тришаровій оболонці і пластині. Збільшення параметра зсувної податливості G/G_z в однорідній оболонці і пластині призводить до зменшення згинаючих напружень і збільшення переміщень та мембранних напружень.



ВИСНОВКИ

На основі методу розкладання компонентів напруження і переміщення в ряди за функціями від поперечної координати в поєднанні з методом варіювання за визначуваним станом побудовано варіант геометрично нелінійної ітераційної теорії розрахунку трансверсально ізотропних пологих оболонок, що враховує усі компоненти НДС і описує як внутрішній напружений стан, так і крайові ефекти типу пограншару. Порядок отриманих рівнянь не залежить від числа шарів та кількості утримуваних членів розкладань, що дозволяє будувати рішення прикладних задач у високих наближеннях.

Отримані аналітичні рішення для внутрішнього напруженого стану, потенційного та вихрового крайових ефектів в шаруватій пологій оболонці і пластині. Встановлено істотний вплив пружних і геометричних параметрів на компоненти внутрішнього стану, а також показники змінюваності і глибини проникання крайових ефектів.

Дано оцінку збіжності і точності рішень для внутрішнього стану та крайових ефектів шляхом їх порівняння з відомими рішеннями теорії пружності. Визначено області застосування різних наближень ітераційної теорії.

Для чисельної реалізації ітераційної теорії розроблені методика та обчислювальний комплекс програм з використанням методу локальних варіацій.

Шляхом зіставлення результатів рішення задач на основі розробленої методики з відомими аналітичними рішеннями досліджені збіжність і точність рішень. Установлено, що ітераційний процес чисельної методики є збіжним. Швидкість збіжності і точність рішень для напружень і переміщень залежать від кроку сітки, пружних і геометричних параметрів та умов закріплення оболонок і пластин.

На основі розробленої методики розглянуто ряд задач лінійного та нелінійного деформування шаруватих і однорідних пологих оболонок і пластин. Досліджено вплив геометричної нелінійності, пружних і геометричних параметрів на компоненти НДС оболонок і пластин. Отримані істотні уточнення до відомих рішень.

Побудована в дисертації ітераційна теорія і розроблена на її основі чисельна методика розрахунку можуть бути ефективно використані для визначення НДС широкого класу шаруватих і однорідних пологих оболонок і пластин, у тому числі з великим показником змінюваності напруженого стану (дослідження крайових ефектів типу пограншару, концентрація напружень, дії локального навантаження та ін.).

Розроблений обчислювальний комплекс використаний при розрахунку конструкції дорожнього одягу в дорожньо-мостовому відділі інституту “Дніпродіпродор”.



ПЕРЕЛІК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА

Плеханов А.В., Наеров В.В. Основные уравнения итерационной теории слоистых пологих оболочек // Теоретичні основи будівництва. Дн-ськ: ПДАБтаА, 1998. - №6. - С. 535-539.

Плеханов А.В., Наеров В.В. К определению потенциального и вихревого краевых эффектов в слоистой пологой оболочке // Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури / ПДАБтаА. - Дн-ськ. - 1999. - №1. - С. 37-40.

Наеров В.В. О проникающей способности краевых эффектов в слоистой пологой оболочке и пластине // Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури / ПДАБтаА. - Дн-ськ.-1999. - №4-5. - С. 69-74.

Плеханов А.В., Наеров В.В. Итерационная теория слоистых пологих оболочек при конечных перемещениях // Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури. - Дніпропетровськ: Gaudeamus, 2000. - №11. - С. 44-48.

Плеханов А.В., Наеров В.В. Уточненный вариант теории расчета слоистых пологих оболочек // Сборник научных трудов Приднепровской государственной академии строительства и архитектуры “Строительство, материаловедение, машиностроение”, Днепропетровск: ПГАСиА, 1998г. С. 170-171.

Плеханов А.В., Наеров В.В. Основные соотношения метода локальных вариаций в задачах статики трансверсально изотропных пластин // Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури / ПДАБтаА. - Дн-ськ. - 2000. - №3. - С. 42-46.

Плеханов А.В., Наеров В.В. Расчет слоистых пластин методом локальных вариаций // Теоретичні основи будівництва. -Дн-ськ: ПДАБтаА, 2000. - №8. - С. 510-514.

Плеханов А.В., Наеров В.В., Недогибченко Д.Н., Никитин А.Б. Определение напряженно-деформированного состояния балок и пластин методом локальных вариаций // Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури. - Дніпропетровськ: Gaudeamus, 2000. - №8. - С. 40-44.

Наеров В.В. Расчет гибких слоистых пластин // Теоретичні основи будівництва. -Дн-ськ, ПДАБтаА, 2001. - №9. - С. 123-126.

Наеров В.В. Напряженно-деформированное состояние свободно опертой существенно неоднородной по толщине слоистой пластины // Сборник научных трудов Приднепровской государственной академии строительства и архитектуры “Строительство, материаловедение, машиностроение”, Днепропетровск:ПГАСиА - Вып.8. - часть 1. - 1999г. С. 189.

Размещено на Allbest.ru