Определение оптимальной по массе фермы из стальных профилей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

"Определение оптимальной по массе фермы из стальных профилей"

1.Исходные данные

Расчетная схема фермы

Рис.

Пояса фермы выполнить из двутавра по ГОСТ 26020-83

Элементы решетки выполнить из равнополочного уголка по ГОСТ 8509-86

Детально разработать средний узел верхнего пояса.

2. Определение опорных реакций и усилий в элементах фермы

2.1 Определение опорных реакций

Учитывая симметрию, величина опорных реакций равна:

2.2 Определение усилий в элементах фермы методом вырезания узлов

Расчетная схема

Рис.

Усилия в элементах узла 1

Рис.

Усилия в элементах узла 2

Рис.

Усилия в элементах узла 3

Рис.

Усилия в элементах узла 4

Рис.

Усилия в элементах узла 6

Рис.

Усилия в элементах узла 5

Рис.

Схема усилий в элементах фермы

Рис.

Элементы с положительной реакцией - сжаты

Элементы с отрицательной реакцией - растянуты

3. Подбор элементов фермы

3.1 Определение сечений и массы растянутых элементов

Таблица

3.2 Определение сечений и массы сжатых элементов

Таблица

3.3 Подробное описание подбора сечения центрально растянутого элемента

Определить оптимальное сечение центрально растянутого стального элемента нижнего пояса фермы выполненного из двутавра по ГОСТ 26020-83 при следующих данных: длина - L = 4,5м. продольное усилие N = 179,8 кН, расчетное сопротивление стали Ry = 240 МПа, коэффициент условия работы ус = 1,0; сечение постоянно по длине элемента ЕА = const.

Первый этап решения задачи - составление математического описания задачи.

1 шаг - определить границы элемента.

Границы элемента представлены на схеме

Рис.

Расчетная схема центрально растянутого элемента

2 шаг - выбрать критерий оптимальности.

За критерий оптимальности принимаем массу (М) центрально растянутого элемента.

3 шаг - определить общее число независимых параметров, влияющих на величину критерия оптимальности, провести их ранжирование по степени влияния на величину критерия оптимальности. Масса элемента определяется произведением длины элемента, площади сечения и удельного веса:

М = А*L*? > min (1)

В выражении (1) длина элемента L и удельный вес cтали ? величины постоянные. Поэтому на критерий оптимальности влияет только один управляемый параметр - площадь поперечного сечения элемента А.

4 шаг - составить уравнение целевой функции.

Для данной простейшей задачи, учитывая выражения (1), можно легко записать уравнение целевой функции:

ферма величина сечение масса

F = М = А*L*? > min (2)

5 шаг - составить неравенства - ограничения.

Для растянутого элемента записывается два ограничения - неравенства:

- из условия прочности: ? ? N/А ? Ry*?c (3)

- из условия жесткости: ? = Lef/imin ? [?] ? 400 (4)

где imin - минимальный радиус инерции сечения элемента,

Lef - расчетам длина элемента.

Второй этап решения задачи - решение математической задачи.

6 шаг- провести анализ целевой функции и неравенств - ограничений. Целевая функшш (1) представляет собой уравнение с одним неизвестным (А). Условие прочности (2) представлено неравенством с одним неизвестным (А). Условие жесткости (3) представлено неравенством с одним неизвестным (imin). Задача относится к линейному программированию.

7 шаг - выбор метода решения задачи.

Решение линейного уравнения с одним неизвестным. Из условий прочности (2) и жесткости (3) определяем требуемые величины:

- минимальная площадь поперечного сечения

Аmin ? N/(Ry*?c) ? Ry*?c ? 179,8/24 ? 7,5см2 (5)

- минимальный радиус инерции поперечного сечения

imin ? = Lef/[?] ? 450/400 ? 1,125см (6)

Построим область допустимых решений (ОДР) для растянутого стержня. Выберем прямоугольную систему координат с осями А(см2) и i(см.). Так как по условию ограничения - неравенства (3) нельзя назначать площадь стержня меньше 7,5см2, то ограничиваем ОДР слева. Так как по условию ограничения - неравенства (4) нельзя назначать радиус инерции сечения стержня меньше 1,125 см, то ограничиваем ОДР снизу.

Математический экстремум задачи лежит на пересечении двух прямых, что представлено точкой М. Однако, учитывая большую величину коэффициента градации сортамента, почти невозможно найти сечение стержня с данными характеристиками. Поэтому решение задачи (минимум целевой функции) для разных видов поперечных сечений стержня минимальной массы будет находиться в области допустимых решений. За окончательное решение принимаем сечение с характеристиками приближенными по величине к границам ОДР.

На графике приведены варианты решения задачи по подбору профиля, отвечающего минимальному весу растянутого элемента.

Рис.

Вывод. Условием задачи задан вид профиля нижнего пояса фермы (двутавры по ГОСТ 26020-83) Из сортамента двутавров выбран элемент с наиболее оптимальными параметрами N10Б1 i = 1,24см; А = 10,32см2

3.3 Расчет массы фермы

Масса фермы равна сумме масс его элементов.

М = 16,66+2*(186,75+186,75+36,45+233,2+233,2+16,66+6,25) = 1881,1кг.

Размещено на Allbest.ru