Основы динамики сооружений

Размещено на http://www.allbest.ru/

48

Основы динамики сооружений

Введение

Динамика сооружений - это специальный раздел строительной механики, посвященный методам расчета сооружений на динамические нагрузки. Динамическими называются нагрузки, которые во время действия сообщают массам сооружения значительные ускорения, вызывая появление инерционных сил.

Классификация динамических нагрузок

1. Неподвижная периодическая нагрузка характерна тем, что она многократно повторяется через определенные промежутки времени. Периодическая нагрузка может быть как непрерывной, так и прерывной. Если непрерывная периодическая нагрузка изменяется по закону синуса или косинуса, то такая нагрузка называется вибрационной или гармонической. Создаются такие нагрузки различными механизмами, имеющими неуравновешенные массы вращающихся частей. 2. Кратковременная нагрузка характерна почти мгновенным действием, т.е. быстрым развитием и быстрым исчезновением (взрыв). 3. Ударная нагрузка характеризуется резким изменением скорости ударяемого тела. Ударную нагрузку создают падающие тела, всевозможные копры, молоты и т.д. 4. Подвижная нагрузка постоянного или переменного значения, меняющая свое положение на сооружении (поезда, автомобили, мостовые краны и т.д.). 5. Сейсмическая нагрузка - это беспорядочное движение почвы, толчки, удары и т.д.

Динамический расчет сооружений состоит в определении внутренних усилий и перемещений от динамических нагрузок, значение и характер действия которых известны, или в проверке системы на резонанс при периодически повторяющейся нагрузке определенной частоты.

Степени свободы систем

Системы в динамике сооружений разделяются по числу степеней свободы. Степенью свободы системы называется число независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс конструкции в любой момент времени. Положение любой массы на плоскости характеризуется тремя геометрическими параметрами или степенями свободы.

Если эту массу условно представить в виде точки, то ее положение на плсокости характеризуется двумя параметрами, а в пространстве - тремя.

Всякая распределенная масса на упругой деформируемой системе, представляемая как бесконечно большое количество бесконечно малых масс, будет иметь бесконечное число степеней свободы. Для определения степени свободы системы необходимо каждую массу системы закрепить связями от всех возможных перемещений. Количество вводимых стержней и определяет степень свободы системы. m1

Масса рамы мала по сравнению с сосредоточенными массами, поэтому ней пренебрегают.

Если пренебречь поворотами масс и считать их точечными.

Методы динамики сооружений.

В динамике сооружений используют два основных метода исследований: 1. Кинематический метод, суть которого заключается в том, что конструкция в каждый момент времени рассматривается в равновесии под действием заданных динамических нагрузок и сил инерции всех ее масс. 2. Энергетический метод основан на исследовании полной потенциальной энергии системы с учетом инерционных сил.

Колебания систем с одной степенью свободы

Рассмотрим систему с одной степенью свободы в виде невесомой балки с сосредоточенной массой m.

Уст - прогиб балки в месте приложения массы при ее статическом действии Пусть на балку действует динамическая нагрузка Р (t).

Для вывода дифференциального уравнения движения массы используем кинетостатический метод. Рассмотрим случай движения массы вниз от устойчивого состояния. Покажем отдельно балку и массу с действующими на нее силами.

 - сила инерции массы, которая направлена противоположно ускорению массы.

На основании принципа Даламбера, условие динамического равновесия массы запишется:

(1)

Запишем перемещение массы m через прогиб балки:

(2)

где 11 - перемещение балки в месте положения массы m от силы Р=1, приложенной по направлению движения массы; 1P(t) - аналогичное перемещение от заданной динамической нагрузки.

Из выражения (2) определим реакцию балки R

(3)

Подставляем выражение (3) в (1)

разделим это уравнение на m

(4)

Тогда общее дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы запишется:

Свободные колебания систем без учета их сил сопротивления Свободные колебания систем с одной степенью свободы без учета их сил сопротивления определяются по выражению:

Р=0;

P(t) = 0 1P(t) = 0

(7)

Решение дифференциального уравнение (7):

(8)

Из выражения (8) видно, что свободные колебания системы совершаются по гармоническому закону. Рассмотрим для аналогии движение точки по окружности радиуса С, с постоянной угловой скоростью

Тогда

что соответствует положению точки К1 в момент времени t

(9)

График функции (9) y = f(t) представляет собой синусоиду

- сдвиг фазы; С - амплитуда колебаний; Т - период колебаний;

- круговая частота собственных колебаний.

Из выражения (5)

.

Сосредоточенная масса через вес записывается G = m g или

,

тогда:

или

(10)

Период колебаний:

Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы при действии вибрационной нагрузки

ибрационную нагрузку создают машины с неуравновешенной вращающейся частью, масса которой имеет относительно оси вращения эксцентриситет .

Во время движения неуравновешенной массы возникает центробежная сила, определяемая по формуле

(12)

где m0 - масса неуравновешенной части, = угловая скорость вращения массы m0.

Если двигатель делает n оборотов в минуту, то угловая скорость будет определять и круговую частоту действующей нагрузки

(13)

где .

Если начало действия нагрузки считать от горизонтальной оси, то составляющие центробежной силы будут: - вертикальная Ру = Р sin t - горизонтальная

Px = P cos t

Рассмотрим действие силы Р sin t. Дифференциальное уравнение (6) в этом случае запишется:

,

где

тогда:

(14)

где m - масса двигателя, включая и m0.

Полное решение дифференциального уравнения (14):

y = A sin t + B cos t + Ф (15)

где, Ф = С + Д sin (16)

подставляя Ф и Ф в уравнение (14) вместо у и

(17)

,

или

.

из выражения:

,

или

тогда:

(18)

Общее решение дифференциального уравнения (14) запишется:

(19)

Полное решение состоит из 2х частей. часть представляет собой решение однородного дифференциального уравнения и характеризует свободные колебания системы. При наличии самых незначительных сил сопротивления свободные колебания системы быстро затухают и остается я часть уравнения, которая представляет собой установившиеся вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки.

(20)

Если обозначить Уст(Р) = Р11 - прогиб от максимальной динамической нагрузки, при статическом ее действии, то

(21)

Максимальный динамический прогиб получим в том случае, если :

Зная Кдин мы можем рассчитывать систему на динамическую нагрузку как на статическую, если ее предварительно умножить на Кдин, т.е.

КдинP sin t Построим график изменения динамического коэффициента (по абсолютной величине) в зависимости отношения , где - частота собственных колебаний; - вынужденные колебания.

Из рис.1 и рис.2 видно, что если частота вынуждающей силы приближается к частоте свободных колебаний, то наступает явление резонанса. Резонансной считается область .

При резонансе колебания неограниченно возрастают, что на практике приводит к разрушению сооружения. Учитывая сказанное, в динамических расчетах всегда необходимо определять частоту свободных колебаний и сравнивать ее с частотой вынуждающей силы. Необходимо чтобы частота вынужденных колебаний была меньше частоты свободных колебаний , в противном случае при остановке и пуске двигателя возможно явление резонанса. На практике требуется, чтобы . Для соблюдения этого условия обычно изменяют частоту свободных колебаний т.к. частоту вынужденных колебаний в большинстве случаев изменить нельзя. Частота увеличивается при увеличении жесткости сооружения, уменьшении длин пролетов и т.п.

Свободные колебания систем с двумя степенями свободы

Системы с двумя степенями свободы являются частным случаем систем с несколькими степенями свободы. Но эти системы являются простейшими, позволяющими еще получить в конечном виде расчетные формулы для определения частот колебаний, амплитуд и динамических прогибов. Знаки (-) в выражениях (1) вызваны тем, что инерционные силы и ед. перемещения имеют противоположное направление. Считаем, что колебания масс совершаются по гармоническому закону:

(2)

Найдем ускорения движения масс:

(3)

Подставляя выражение (2) и (3) в уравнение (1) получим:

(4) или

(5)

Неизвестными считаем амплитуды колебаний А1 и А2, преобразуем уравнения:

(6)

Решение системы однородных уравнений А1 = А2 =0 нас не устраивает, чтобы получит не нулевое решение прировняем нулю детерминант системы (6):

(7)

или

(8)

преобразуем уравнение (8), считая неизвестной круговую частоту собственных колебаний :

(9)

Уравнение (9) называется бигармоническим уравнением свободных колебаний систем с двумя степенями свободы. Заменяя переменную 2 = Z, получим

(10)

отсюда определяем Z1 и Z2.

И далее:

В результате можно сделать следующие выводы: 1. Свободные колебания систем с двумя степенями свободы происходят с двумя частотами 1 и 2. Более низкая частота 1 называется основной или основным тоном, более высокая частота 2 - называется второй частотой или обертоном. Свободные колебания систем с n-степенями свободы являются n-тонными, состоящими из n свободных колебаний. 2. Перемещения масс m1 и m2 выражаются следующими формулами:

Причем

т.е., если колебания происходят с частотой 1, , то в любой момент времени перемещения масс имеют одинаковые знаки.

Если колебания происходят только с частотой 2 , , то перемещения масс в любой момент времени имеют противоположные знаки.

При одновременном колебании масс с частотами 1 и 2 система в основном колеблется по частоте 1 и в эти колебания вписывается обертон с частотой 2. Если на систему с двумя степенями свободы действуют вынуждающая сила с частотой , то необходимо чтобы: 0,7 1 .

Колебания систем с бесконечным числом степеней свободы

Теория механических колебаний имеет многозначисленные и весьма разнообразные приложения едва ли не во всех областях техники. Независимо от назначения и конструктивного решения различных механических систем их колебания подчиняются одним и тем же физическим закономерностям, изучение которых и составляет предмет теории колебаний упругих систем. Наиболее полно разработана линейная теория колебаний. Теория колебаний систем с несколькими степенями свободы была дана еще в XVIII веке Лагранжем в его классическом труде "Аналитическая механика".

Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813) - с 19-летнего возраста профессор математики в Турине. С 1759 года - член, а с 1766 года - президент Берлинской Академии наук; с 1787 года жил в Париже. В 1776 году был избран почетным иностранным членом Петербургской Академии наук. В конце XIX века Рэлеем были заложены основы линейной теории колебаний систем с бесконечной степенью степеней свободы (т.е. с непрерывным распределением массы по всему объему деформируемой системы). В XX веке линейная теория, можно сказать, была завершена (метод Бубнова-Галеркина, который позволяет с помощью последовательных приближений определять также высшие частоты колебаниий).

Джон Уильям Стретт (лорд Рэлей) (1842 - 1919) - английский физик, автор ряда работ по теории колебаний.

Иван Григорьевич Бубнов (1872 - 1919) - один из основоположников строительной механики корабля. Профессор Петербургского политехнического института, с 1910 года - Морской академии.

Борис Григорьевич Галеркин (1871- 1945) - профессор Ленинградского политехнического института. Формула Рэлея наиболее популярна в теории колебаний и устойчивости упругих систем. Идея, лежащая в основе вывода формулы Рэлея, сводится к следующему. При моногармонических (однотонных) свободных колебаниях упругой системы с частотой , перемещения ее точек совершаются во времени по гармоническому закону:

где 1(x,y,z), 2(x,y,z), 3(x,y,z) - функции пространственных координат точки, определяющие рассматриваемую форму колебаний (амплитудную).

Если эти функции известны, то частоту свободных колебаний можно найти из условия постоянства суммы кинетической и потенциальной энергии тела. Это условие приводит к уравнению, содержащему лишь одну неизвестную величину .

Однако указанные функции заранее неизвестны. Руководящая идея метода Рэлея состоит в том, чтобы задаваться этими функциями, сообразуя их выбор с граничными условиями и ожидаемой формой колебаний.

Подробнее рассмотрим реализацию этой идеи для плоских изгибных колебаний стержня, форма колебаний описывается функцией =(x). Свободные колебания описываются зависимостью

(1)

потенциальная энергия изогнутого стержня

(2)

кинетическая энергия

(3)

где l - длина стержня, m=m(x) интенсивность распределенной массы стержня;

 - кривизна изогнутой оси стержня; - скорость поперечных колебаний.

Учитывая (1)

.

Тогда

(4)

(5)

С течением времени каждая из этих величин непрерывно меняется, но, согласно закону сохранения энергии их сумма остается постоянной, т.е.

(6)

или подставляя сюда выражения (4), (5)

(7)

Отсюда следует формула Рэлея:

(8)

Если со стержнем с распределенной массой m, связаны сосредоточенные грузы с массами Mi, то формула Рэлея приобретает вид:

(9)

Как относиться к этой формуле - считать ее точной или приближенной?

Весь ход вывода показывает, что в рамках принятых допущений (справедливость технической теории изгиба стержней, отсутствия неупругих сопротивлений) эта формула точная, если (x) - истинная форма колебаний. Однако функция (x) заранее неизвестна. Практическое значение формулы Рэлея состоит в том, что с ее помощью можно найти собственную частоту , задаваясь формой колебаний (x). При этом в решение вностися более или менее серьезный элемент приближенности. По этой причине формулу Рэлея иногда называют приближенной.

Более точной является формула Граммеля, которая до сих пор еще не стала такой популярной, как формула Рэлея (возможно, вследствие своей относительной "молодости" - она предложена в 1939 году).

Снова остановимся на той же задаче о свободных изгибных колебаниях стержня.

Пусть (x) - задаваемая форма свободных колебаний стержня. Тогда интенсивность максимальных сил инерции определяется выражением m2, где по прежнему m=m(x) - интенсивность распределенной массы стержня; 2 - квадрат собственной частоты. Эти силы достигают указанного значения в тот момент, когда прогибы максимальны, т.е. определяются функцией (x).

Запишем выражение наибольшей потенциальной энергии изгиба через изгибающие моменты, вызываемые максимальными силами инерции:

. (10)

Здесь - изгибающие моменты, вызываемые нагрузкой m2. Обозначим изг - изгибающий момент, вызываемый условной нагрузкой m, т.е. в 2 раз меньший, чем силы инерции. Тогда:

, (11)

и выражение (10) можно записать в виде:

свобода система колебание соударение

(12)

Наибольшая кинетическая энергия, как и выше

(13)

Приравнивая выражения (12) и (13) приходим к формуле Граммеля:

(14)

Для вычислений по этой формуле необходимо прежде всего задаться подходящей функцией (x). После этого определяется условная нагрузка m=m(x)(x) и записываются выражения изг вызываемые условной нагрузкой m. По формуле (14) определяют частоту собственных колебаний системы .

Находим:

Метод замены распределенных масс сосредоточнееыми

Этот метод основан на идее приближенной замены системы с бесконечной степень свободы системой с конечной степенью, путем замены распределенной массы сосредоточенными, что может быть выполнено двумя способами.

По первому способу распределенная масса разбивается на участки, и на каждом участке распределенная масса заменяется сосредоточенной массой, располагаемой в центре тяжести участка (см. рис. а).

Часто второй способ дает более простую систему с меньшим числом степеней свободы, чем первый.

Метод переноса масс для определения первой частоты свободных колебаний

Рассмотрим систему с одной степенью свободы, в виде невесомой балки с одной сосредоточенной массой mi. Частота колебаний такой системы

Перенесем массу mi с некоторым поправочным коэффиентом в другое место на балке, получим новую систему с частотой .

Потребуем, чтобы обе системы имели одинаковую частоту, т.е. .

Отсюда и получаем значение поправочного коэффициента i при переносе массы с одного места на другое .

Если теперь мы имеем аналогичную систему с n степенями свободы, то собирая все массы в одну точку, заменим приближенно такую сисетму системой с одной степенбю свободы. m1 m2 mi

Формула весьма проста. Она не требует выбора места расположения приведенной массы M, ни определения ее величины, чем достигается однозначность решения. Достоинство формулы еще и в том, что она всегда дает заниженное значение определяемой частоты, как говорят, дает приближение снизу.

Недостаток формулы состоит в том, что она иногда дает грубое приближение.

Если наряду с сосредоточенными массами система имеет распределенные массы, то формула для определения частоты собственных колебаний запишется

где - перемещение бесконечно малой массы m(x)dx от единичной силы, приложенной в точке с координатой x.

Соударение твердого тела и системы с одной степенью свободы Задача соударения различных механических систем часто встречается в инженерной деятельности в различных сферах, поэтому имеет большое практическое значение. Взаимодействие тел, при котором за очень малый промежуток времени скачкообразно изменяются скорости взаимодействующих тел, называется ударом. В период взаимодействия соударяемых тел между ними развивается результирующая контактная сила. Хотя время действия контактной силы обычно очень мало и измеряется микро? или миллисекундами, она развивается очень быстро и принимает большие значения. Задача соударения твердых деформируемых тел в механике, как правило, относится к классу динамических контактных задач со смешанными граничными условиями, содержащими в себе многие трудности математического порядка при их решении, которые не всегда могут быть преодолены простыми инженерными способами. Эти трудности в первую очередь связаны с определением с определением характера изменения функции напряжения в зоне контакта соударяемых тел по пространственным координатам и во времени. Большие сложности возникают и при учете волновых процессов, возникающих, как в зоне контакта, так и внутри соударяемых тел. Например, дифракционных волновых процессов по контуру в зоне контакта, и интерференционных явлений внутри соударяемых тел. Здесь существенное значение приобретает и учет фактора рассеяния энергии, трудно поддающийся анализу в данном случае. Исходя из вышеизложенного, ниже при решении задач, применяется упрощенный инженерный подход, основанный на следующих упрощающих предпосылках. При взаимодействии соударяемых тел они принимаются или идеально упругими, или абсолютно твердыми. Деформации в упругих соударяемых телах происходят мгновенно. С применением энергетического подхода рассмотрим соударение падающего груза массой М с высоты h на систему с одной степенью свободы (рис. 8.5). Считаем, что масса балки m сосредоточена в месте соударения.

Энергетический подход является наиболее предпочтительным в тех случаях, когда требуется определить только максимальные значения напряжений, динамических прогибов и не ставится задача определения законов движения заданной системы. Составим энергетический баланс заданной системы в момент возникновения максимальных прогибов балки:

К0 + П = U + К, (8.8)

где ? кинетическая энергия падающего груза в момент соударения с балкой; П = (М + m)?g?ymax ?работа внешних сил на перемещение ymax; ? потенциальная энергия деформации балки; К ? кинетическая энергия системы при y = ymax. Так как в состоянии наибольшего отклонения балки, y = ymax, , то для указанного момента времени К = 0. С учетом вышеизложенного (8.8) принимает вид:

, (8.9)

или

. (8.10)

Величина 11 прогиб, который получила бы балка под действием единичной статической силы, приложенной в месте удара. Следовательно, yCТ = M g ?11 представляет собой прогиб который получила бы балка под действием статически прикладываемой силы, равной весу падающего груза G = M g . Тогда уравнение (8.10) можно представить в виде:

.

Из решения последнего уравнения получаем:

. (8.11)

Отсюда, учитывая, что коэффициент динамичности определяет во сколько раз максимальный прогиб при динамическом нагружении больше прогиба, возникающего при статическом характере приложения нагрузки, получим:

. (8.12)

Величина коэффициента динамичности ?, как показывает выражение (8.12), зависит главным образом от жесткости рассматриваемой системы в направлении удара и от кинетической энергии падающего груза в момент соударения. Для упругих систем динамические напряжения и остальные внутренние силовые факторы определяются по той же схеме, как и прогибы. Например, для напряжений, имеем:

Колебания системы с одной степенью свободы Рассмотрим систему, изображенную на рис. 8.2. Пренебрегая массой и продольными деформациями консольного бруса, рассмотрим колебания массы m, закрепленной на свободном конце бруса, при действии силы Р (t), изменяющейся по гармоничному закону по времени t :

Рис 8.2

, (8.3)

где частота собственных колебаний конструкции, n ? коэффициент затухания. Тогда уравнения движения (8.2) принимает следующий вид:

. (8.4)

Решение (8.4) при начальных условиях t = 0, y = y0, , с учетом n < ?, принимает вид:

. (8.5)

Здесь приняты следующие обозначения:

 

амплитуда собственных колебаний системы;

 

собственная частота колебаний системы с учетом сил затухания;

сдвиг фазы по времени, возникающий при собственных и вынужденных колебаниях, соответственно;

 (8.6)

называется коэффициентом динамичности, он показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического перемещения, вызванного максимальным значением возмущающей статической силы. График в зависимости от отношения частот и параметра затухания n приведен на рис. 8.3. Откуда следует, что при Р011, т.е. амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает, а при n 0, получаем Р011. Это явление носит название резонанса. При n = 0 выражение для упрощается и принимает вид:

При больших t первое слагаемое из (8.5), описывающее свободные колебания системы, затухает и колебания системы описываются выражением:

. (8.7)

Заметим, что решение (8.5) при нулевых начальных условиях (), при любых значениях t описывается выражением (8.7). При выполнении практических расчетов, при известном коэффициент ?, легко определяется величина максимальных динамических напряжений и перемещений в упругих элементах заданной системы.

Размещено на Allbest.ru