Построение эпюры продольных сил

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание№1

Для стержня ступенчатого поперечного сечения требуется:

Построить эпюру продольных сил и подобрать площади поперечных сечений стержня из условия прочности, если допускаемое напряжение на растяжение-сжатие равно [?],

q = 20 кН/м

2. Построить эпюру нормальных напряжений.

3. Построить эпюру перемещений и определить перемещение сечения 1-1. Собственным весом стержня пренебречь. Материал стержня - сталь с модулем продольной упругости Е = 2 * 105 Н/мм2

Дано

F1= 100 кН

F2= 80 кН

q = 20 кН/м

а = 1 м

[?] =150 МПа

1. Построение эпюры нормальных сил:

Разобьем брус на свободные участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и место изменения размеров поперечного сечения. Таким образом, заданный брус имеет три участка.



Рис

Применяя метод сечения, отбрасываем верхнюю часть, оставляя отсеченную часть бруса, при этом отпадает необходимость в предварительном определении реакции заделки.

Проводим произвольное сечение а - а на участке 1и рассмотрим равновесие оставленной части, изображенной отдельно:

N1 = 0

Для произвольного сечения в - в на участке 2 с учетом интенсивности нагрузки

qх = 20 · x / 2 =10х

N2 - F2 = 0 ; => N2 = F2 = 80 кН

х

N2 = F2 + ?10х dх = F2 + 5х2

0

N2 = F 2 = 80 кН N2 = 80 + 5 · 1 = 85 кН

х > 0 х >1

Для произвольного сечения с - с на участке 3 так же с учетом qх :

х

N3 = F2 - F1 + ?10х dх = F2 - F1 + 5х2

0

N3 = 80 -100 + 5 = - 15 кН N3 = 80 -100 + 5 · 22 = 0

х >1 х >2

Строим эпюру продольных сил N.

Площадь поперечного сечения меньшего элемента детали находим из условия прочности:

А ?

85 кН

А1 = 150·103 кПа = 5,6·10-4 (м2);

А2 = 2 А1 ;

А2= 2 · 5.6 · 10-4 = 11,2· 10-4(м2)

2. Построение эпюры нормальных напряжений.

Определим напряжения на каждом участке:

?1 = N1 / А1 = 0

?2 = N2 / А2 = 85 кН / 5.6 · 10-4 м2 = 15,1 · 104кПа = 151 МПа

?3 = - N3 / А3 = - 15 кН / 5.6 · 10-4 м2 = - 2.67·104кПа = 26.7 МПа

По полученным данным строим эпюру нормальных напряжений.

3. Построение эпюры перемещений :

Из закона Гука:

Напряжение (?) и деформация (?) связаны прямопропорционалной независимостью

? = ? · ? ,

где ? - модуль упругости 1 рода; если ? = ; ?= , то

;

отсюда выразим

??2 = = = 75,5 ·10-5(м)

Таким образом, продольная сила N2 подвергает участок 1 растяжению, равному ??2, а сила N3 действующая на 3 участке - сжатию на ??3 .

Перемещение любого сечения равно:

? = ?? 1 + ??2 + ??3 +….

Перемещение сечений на участках:

?1-1 = ?? 1 + ??2 + ??3 = 0 + 75,5 · 10-5 - 13,4 · 10-5 = 62 · 10-5 (м)

?2-2 = ??2 + ??3 = 75,5 · 10-5 - 13,4 · 10-5 = 62 · 10-5 (м)

?3-3 = ??3 = - 13,4 · 10-5 (м)

Перемещение сечения I-I равно изменению длины 3 участка.

Строим эпюру перемещений сечений, начиная от защемленного конца, так как в точке задела сечение никуда не перемещается.

Рис

Задание № 2

( Вариант № 17)

Для данного составного сечения определить главные центральные моменты инерции и моменты сопротивления относительно главных центральных осей:

уголок равнобедренный ГОСТ 8509-57 125-125-10, пластина 300 x 14Выписываем необходимые данные из сортамента для равнобокого уголка:

Јx = Jy =360 см4

АIII = 24,3 см2

z0=3,45 см

пластина:

АI = 30 · 1,4 = 42 см2

Сечение имеет две оси симметрии: x , y , которые и являются его главными осями симметрии.

Разбиваем сечение : I - прямоугольник - 2 детали

II - прямоугольник - 1,5 детали

III - уголок - 4 детали

Рис

Момент инерции относительно оси x:

Јx0 = 2 · ЈxI + 1,5 · ЈxII + 4 · ЈxIII = 3,5 · Јx I + 4 · Јx III ;

Момент инерции первой фигуры относительно новой оси x1 :

ЈxI= вh3 + а2 1 А I = 30·1,4 3 + 15 ,72 · 42

12 12

ЈxI = 10359,5 см4



Рис

Момент инерции второй фигуры относительно собственной оси x

ЈxII = вh3 = 1,4 · 303 = 3150 см4

12 12

Момент инерции третьей фигуры относительно новой оси x3 :

ЈxIII = ЈxIII+ а32 · АIII

ЈxIII = 360+11,552 * 24,3 = 3601,7 см4

Момент инерции относительно оси x

Јx0= 2*10359,5+1.5*3150+4*3601,7=39850,5 м4 =39,85 * 103 м4

Момент инерции относительно оси y :

Јy0 = 2 · ЈyI + 1,5 · ЈyII + 4 · ЈyIII = 3,5 · Јy I + 4 · Јy III ;

Момент инерции первой фигуры относительно собственной оси y :

Јy I= вh3 = 1,4 · 303 = 3150 м4

Момент инерции второй фигуры относительно собственной оси y :

ЈyII = вh3 = 30·1,43 = 6,86 м4

Момент инерции третьей фигуры относительно новой оси y3 :

ЈyIII= ЈyIII+ в32 · АIII = 360+4,52 ·24,3 = 852 м4

Момент инерции относительно оси y:

Јy0 = 2 · 3150 + 1,5 · 6,86 + 4 · 852 = 9718,6 м4 = 97,18· 102 м4

Моменты инерции данного сечения:

Јx0 =39,85 * 103 м4 Јy0 = 97,18· 102 м4

Момент сопротивления сечения относительно главных осей:

Wх = Јx = 2 Јx , где h - высота всего сечения h = h2+ 2h1= 32,8 см.

h /2 h h = 0,328 м.

Wх = 2·39,85 * 103 = 243 * 103 м3

0,328

Wy = Јy = 2 Јy , где h = в = 30 см.= 0.3 м.

h / 2 h .

Wy = 2·97,18· 102 = 648· 102 м3

0.3

Задание №3

На валу круглого поперечного сечения, вращающегося со скоростью n (об/мин) насажано четыре шкива. Ведущий шкив получает от двигателя мощности N0.Мощности, передаваемые шкивам 1, 2, 3 соответственно равны N1, N2, N3 .При расчёте принять:

N0 = N1+ N2+ N3.

Материал вала - сталь, с модулем сдвига G = 8 * 105 кг/см3.

Требуется:

1. Рассчитать величины крутящих моментов на всех участках вала и построить эпюру крутящих моментов.

2. Установив опасное сечение вала, определить диаметр его из расчёта на прочность и на жёсткость, если заданы: допускаемое напряжение [? ] и допускаемый угол закручивания [?°]. Окончательный диаметр вала округлить до ближайшего ГОСТ.

3. Определить действительные касательные напряжения на каждом участке вала.

4. Построить эпюру относительных углов закручивания на всех участках вала.

5.Построить эпюру абсолютных углов закручивания, производя отсчёт величин углов от крайнего левого сечения вала.

Дано:

N1= N2= N3= 8 кВт

N0 = N1+ N2+ N3 = 24 кВт

G = 8 · 105 кг/см3 = 80 кг/м3

[ ? ] =500 кг/см2=0,05 кг/м2

n = 180 об/мин

а=б=с=0,7 м

[?°] = 0,20 град/м

Разделим условно вал на участки.

Проводим произвольное сечение на участке I и составим уравнение равновесия для оставленной части вала:

Мк I = - М1

Проводя произвольное сечение на участках II и III, учитывая, что крутящий момент в произвольном сечении равен сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к валу по одну сторону от того сечения, найдем:

Мк II = - М1 - М2

Мк III = -М0 (Проверка: Мк III = - М1 - М2 - М3)

Между моментом М пары сил, числом ее оборотов в минуту n и мощностью N существует следующая зависимость:

М = 97380 N(кГ·см)

n

М1 = 97380 8 = 4328 (кГ·см); М1 = М2 = М3

180

М0 = 97380 24 = 12984 (кГ·см);

180

I Мк I = - М1 = - 4328 (кГ·см) ;

II Мк II = - М1 - М2 = - 8656 (кГ·см);

III Мк III = -М0 = - 12984 (кГ·см);

Строим эпюру крутящих моментов.

Зная величины крутящих моментов, а так же величину допускаемого напряжения [ ? ] =500 кг/см2=0,05 кг/м2, определим диаметр вала, беря для расчета наибольший крутящий момент:

Из расчета на прочность:

Мр3 = Мк III ; Мр3 = 0,2 d3

[? ]

0,2 d3 = 12984 (кГ·см) = 26; откуда d = 3v 26 / 0,2 ? 3v 130 ? 5 см

500 кг/см2

d =5 см

Из расчета на жесткость по допускаемому углу закручивания :

Јр = 0,1 d4 - полярный момент инерции

[ ? ] =[ ?°] ? /1800 =0,2 ? /1800 =0,3 ·10-2(рад)

Јр ? Мкmax ?р ,где ?р= 100 см

G [ ? ]

0,1 d4 ? Мкmax100 ·1800 , отсюда d ? 4v 4661;

8 ·105 ? · 0,25

d ? 8,25 см

Округлим полученные размеры по ГОСТу:

d = 5 см - диаметр вала из расчета на прочность, по допускаемому напряжению.

d = 9 см - диаметр вала из расчета на жесткость по допускаемому углу закручивания.

Определим действительные касательные напряжения на каждом участке вала:

Возьмем d = 5 см, и определим касательное напряжение на III участке, т к Мк III max:

? III = Мк III = Мк III = - 12984 = - 519,3 кГ/м2 > [ ? ] -не соблюдаются условия прочности

Wр3 0,2 d3 0,2 53

Теперь рассмотрим d = 9 см:

? I = Мк I = Мк I = - 4328 = - 30 кГ/м2 ? [? ]

Wр1 Wр1 0,2 93

? II = Мк II = Мк II = - 8656 = - 59,3 кГ/м2 ? [? ]

Wр2 Wр2 0,2 93

? III = Мк III = Мк III = - 12984 = - 89 кГ/м2 ? [? ]

Wр3 0,2 d3 0,2 93

Расчет относительных углов закручивания на всех участках:

? = ? / r , где ? = ? III max - угол сдвига, отсюда ? = ? max

G G r

?1 = ?I max = - 30 = - 0,8 ·10 -5( рад/см)

G r 8 ·105 4.5

?2 = ?II max = - 59,3 = - 1,6 ·10 -5( рад/см)

G r 8 ·105 4,5

?3 = ?III max = - 89 = - 2,5 ·10 -5( рад/см)

G r 8 ·105 4,5

Для построения эпюры абсолютных углов закручивания, определим углы на участках вала, производя отсчет величины углов от крайнего левого сечения вала:

Угол поворота произвольного сечения бруса определим по формуле

? = Мк ? 1800; так как для круглого

G Јк ? сечения Јк = Јр =0,1 d4;

Рис

На участке I угол закручивания,

у крайнего левого сечения равен

00; а на расстоянии а равен :

? I = Мк I а1800 = 4328·70·1800 =

0,1 d48 ·105 3,14 0,1· 94· 8 ·105 ·3,14

= 54532800 = 0,030

16481,2·105

На участке II угол поворота сечения равен

алгебраической сумме углов закручивания

участков I и II :

? II = Мк II в 180 + ? I = 8656 ·70·1800 =

0,1 d48 ·105 3,14 0,1· 94· 8 ·105 ·3,14

= 109065600 = 0,060+0,030 =0,090

16481,2·105

На участке III угол поворота сечения равен

алгебраической сумме углов

закручивания участков I и II и III:

? III = Мк III в 180 + ? II = 12984·70·1800 = 163598400 =

0,1 d48 ·105 3,14 0,1· 94· 8 ·105 ·3,14 16481,2·105

= 0,090+0,090 =0,180

Задание №4

Для заданной балки построить эпюру изгибающих моментов и подобрать размеры в двух вариантах:

а) Двутавр;

б) Прямоугольник с отношением (высоты и ширины) h/b =2.

Материал балки - сталь (Ст3), [?] = 160 H/мм2.

Дано:

F= 25 кН

M= 55 кН·м

L1= 0.7 м

L2 = 0.5 м

L3 = 0.3 м

1.Составляем уравнение равновесия относительно точки А:

?МА= 0; +М+Rв·1,2+ F·1,5 ,отсюда Rв = - F·1,5 - М = 25·1,5 - 55 = - 77 кН 1,2 1,2

Составляем уравнение равновесия относительно точки В:

?МВ= 0; +М - RА·1,2+ F·0,3 ,отсюда Rв = F·0,3 + М = 25·0,3 - 55 = 52 кН

1,2 1,2

Составляем проверочное уравнение:

?y= 0 ; RА+ F + Rв= 0 ; -77+52+25=0 ; 0=0 - следовательно реакции опор найдены верно.

Определим поперечную силу и изгибающий момент на каждом участке. Проводим сечение на I участке на расстояние z1 от левой опоры:

I участок: 0 ? z1 ? 0,7

Q I= RА= 52 кН ; Q I- const.

Ми I= RА· z1; При z1= 0, Ми I= 0

z1= 0,7, Ми I= 52· 0,7 = 36,4кН·м

II участок: 0,7? z2 ? 1.2

Q II = RА= 52 кН; QII - const.

Ми II = RА· z2 - М; При z2= 0,7 Ми II= 52·0,7- 55= - 18,6 кН·м

z2= 1,2, Ми II= 52·1,2- 55 = 7,4 кН·м

III участок: 0 ? z3 ? 0,3

Q III = - F кН;

Ми III = F · z3 ; При z3= 0 Ми III= 0 кН

По полученным данным строим эпюру продольных сил и изгибающих моментов.

Максимальный изгибающий момент составляет 36,4кН·м. Требуемый момент сопротивления определим из условия прочности по нормальным напряжениям:

Wх = МII max = 36.4·106 = 0,227·106 мм3 = 227 см3

[?] 160

Рис

Подбираем сечение балки:

а) По таблице сортамента

двутавровое сечение № 22:

Wх1 = 232 см3; А1 = 30,6 см2

б) Прямоугольное поперечное

сечение при h/в = 2, отсюда h = 2в

Wх2 = h2· в = в·(2в)2 ; 227= в·(2в)2 ;

6 6 6

2в3 = 681; в =3v340,5= 6,98 см

h = 2· 6,98= 13.9 см

А2 = h· в = 6,98 · 13,9 = 97,5 см2

Сравним массы балок:

А2 = 97.4 = 3.1;

А1 30,6

Следовательно, наиболее выгодным является двутавровое сечение, так как оно имеет значительно меньшую массу, то есть менее металлоемкое.

Задание №4а

Для схемы построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента. Подобрать сечение балки, в следующих вариантах:

а). Сечение прямоугольное (материал - сталь ( Ст 3 )),допускаемое напряжение

[?и] = 160 МН./м2

б). Сечение двутавровое ( материал - ( Ст 3 )), допускаемое напряжение [?и] = 160 МН./м2

Определить наибольшие касательные напряжения в сечениях балки по вариантам а) и б) и построить эпюры касательных напряжений.

Найти прогиб балки в точке " С " и угол поворота сечения в точке " D " и начертить вид упругой линии балки.

Определим опорные реакции, приравнивая к нулю суммы моментов внешних сил относительно точек А и D

?МА= 0; М+RD·3 - F·4- q L1·0,5 = 0 ,отсюда

RD= 4 F+ q L1·0,5 - М = 4·10+6·0,5-30 = 4,3 кН

3 3

?МD= 0; М - RA·3 - F·L2+ q L1·2,5 = 0 , отсюда

RA= - F+ q 1·2,5 + М = 6·2,5 +30 - 10 = 11,7 кН

3 3

Составляем проверочное уравнение:

?y= 0 ; RА - F + RD - q L1 = 0 ;

-77+52+25=0 ; 0 = 0 - следовательно, реакции опор найдены верно.

Определим поперечную силу и изгибающий момент на каждом участке. Проводим сечение на I участке на расстояние z1 от левой опоры:

I участок: 0 ? z1 ? 1

Q I= RА - q z1 кН ;

При z1= 0, Q I= RА = 11,7 кН

z1= 1, Q I= 11,7- 6 = 5,7 кН

Ми I= RА· z1 - q z1· L1 = q z12 ;

2 2

При z1= 0 Ми I= 0

z1= 1, Ми I=11,7- 6· 0,5 = 8,7кН·м

Рис

Дополнительные точки z1= 0,5, Ми I= 4,35кН·м

II участок: 1? z2 ? 3

Q II = RА - q z2 = 11,7- 6 52·1= 5.7 кН; QII - const.

Ми II = RА· z2 + М- qL2·(z2- 0,5);

При z2= 1, Ми II= 11,7·1+30- 6·0,5 = 38,7 кН·м

z2= 3, Ми II= 11,7·3+30- 6·2,5 = 50 кН·м

III участок: 0 ? z3 ? 1

Q III = F = 10 кН;

Ми III =-F · z3 ;

При z3= 0 Ми III= 0 кН

z3= 1, Ми III= -10·1 = -10 кН

По полученным данным строим

эпюру продольных сил Q и

изгибающих моментов Ми .

Максимальный изгибающий момент составляет 50кН·м. Требуемый момент сопротивления определим из условия прочности по нормальным напряжениям:

Wх = МII max = 50·103 = = 0,3125·10-3= 312,5·10-6 м3 =312,5см3

[?и] 160·106

Подбираем сечение балки:

а) По таблице сортамента двутавровое сечение № 24а:

Wх = 317 см3;

А = 37,5 см2;

Јx= 3800см4;

в = 125мм;

S = 178см3

б) Прямоугольное поперечное сечение при h/в = 2,5 отсюда h = 2,5в

Требуемый момент определим из условия прочности по допускаемому напряжению [?и] = 160 МН./м2 = 160·106 Н/м2 :

Wх = h2· в = в·(2,5в)2 ; 312,5= в·(2,5в)2 ; 1,04в3=312,5; в =3v300,48= 6,7 см

6 6 6 h = 2,5·6,7= 16,75 см

А2 = h· в = 6,7 · 16,75 = 112,2 см2 = 112·10-4 м2

Проверка сечения балки по касательным напряжениям для вариантов:

а) для двутавра: для Ст.3 [ ? ] = 1000кГ/см2=98,1МПа

?max = Qmax ·Sx ; где в0 - ширина сечения на линии действия ?max в0Jx в0= d = 0,56·10-2 см

?max = Qmax ·Sx = 11,7 ·103·178 = 2082,6·103 = 0,978·103 Н/см2= 9,78МПа < [ ? ] в0Jx 0,56· 3800 2128

б) для прямоугольного сечения: ?max = 3 Qmax = 11,7 ·103· 3 = 35,1·103 =0,156·103 Н/см2= 1,56МПа < [ ? ]

2 в h 2·6,7·16,75 224,5

В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечения над опорой D, в котором Ми = 50 кН·м, Q = 10 кН

а) Построение эпюры касательных напряжений для двутавра:

Напряжение будем определять в девяти точках сечения.

Статистический момент полки двутавра, относительно оси z:

SП = вt h - t =12,5·0,98· 24 - 0,98 = 141 см3

Статистический момент части площади стенки двутавра по одну сторону от ординаты y:

SС = d ( h02 - y2) = 0,28(121,5 - y2);

Статистический момент части сечения по одну сторону ординаты y:

S = SП + SС = 141+ 0,28(121,5 - y2) = 175 - 0,28 y2;

Касательные напряжения для точек Q ( h02 - y2)

полочки находят согласно формуле: ? п= 4 ;

Касательные напряжения для ?ст = Q ·S ;

стенки находят согласно формуле: в0J

Точка1: S = 0, следовательно ?1 = 0 ;

Q ( h02 - y2)

Точка 2 : ? 2 = 4 = 11,7· 22,5·10-4 = 346 кН/м2 = 0,346МПа

2J 7600·10-8

Точка 3 : ?3 = 11,7·103 ·(175 - 0,28y2) = 0,7751·107 = 7,75·106Па= 7,75 МПа

0,56· 3800

Точка 4 : ?4 = 11,7·103 ·(175 - 0,28y2) = 0,915·107 =9,15·106Па= 9,15 МПа

0,56· 3800

Точка 5: ?5 = 11,7·103 ·(175 - 0,28y2) = 0,9621·107 =9,62·106Па= 9,62 МПа

0,56· 3800

Таблица данных

№ точек	y (см)	? (МПа)
1	12,00	0
2	11,02	0,346
3	11,02	7,75
4	5,51	9,15
5	0	9,62
6	-5,51	9,15
7	-11,02	7,75
8	-11,02	0,346
9	-12,00	0

Рис

б) Построение эпюры касательных напряжений для прямоугольного сечения:

Јx = вh3 ; ? = Q · S ; Sx0 = в ( h2- y2) = 0,28 (121,5 - y2);

12 в J 2 4

? = Q ·в/2 (h2/4 - y2) = 6Q ·(h2/4-y2) ;

в ·в h3 / 12 в h3

Точка 1: S0 = 0, следовательно ?1 = 0 ;

Точка 2: ?2 = 6Q ·(h2/4-y2) = 11,7·103 ·6( (16,745·10-2)2- 6.32 ·10-4 )= 0.067·107= 0,67·106 П

в h3 6,7·10-2·(16,75·10-2)3

Точка 3: ?3 = 6Q ·(h2/4-y2) = 11,7·103 ·6( (16,745·10-2)2 - 4,22 ·10-4)= 0.011·107= 1,1· 106 Па

в h3 6,7·10-2·(16,75·10-2)3



Точка 4: ?4 = 6Q ·(h2/4-y2) = 11,7·103 ·6(70,14·10-4- 2,12 ·10-4 ) = 0.146·107= 1,46 · 106 Па

в h3 6,7·10-2·(16,75·10-2)3

Точка 5: y=0, наибольшая величина ?max ,будет в нейтральном слое

?max = 6Q ·(h2/4-y2) = 11,7·103 ·6(70,14·10-4- 0 ) = 0,0156·108 = 1,56·106 Па

в h3 6,7·10-2·(16,75·10-2)3

Касательное напряжение в плоскости прямоугольного сечения изменяется по закону параболы.

Таблица данных

№ точек	y (см)	? (МПа)
1	8,4	0
2	6,3	0,67
3	4.2	1,1
4	2,1	1,4
5	0	1,5
6	-2,1	1,4
7	-4,2	1,1
8	- 6.3	0,67
9	-8,4	0

Прогиб балки в точке " С " и угол поворота сечения в точке " D " и начертить вид упругой линии балки:

Поместим начало координат в точке «А» над левой опорой и составим

Общее выражение для прогиба произвольного сечения. При этом будем учитывать нагрузки в порядке появления их на балке от начала координат;

0 ? z ? 1 1 ? z ? 3 3 ? z ? 4

Начальные параметры y0 - прогиб сечения в начале координат и

?0 - угол поворота сечения в начале координат вычислим из условия закрепления балки. На левой опоре, при z=0, yх=0, следовательно y0=0; На правой опоре D балки, при z=3, y0= 0

1 участок 2 участок 3 участок

ЕJy =EJ?0·3+ 11,7· 3 3 - 6z4 + 6(z - 1)4 + 30(z - 1)2 + 4,3(z - 3)3 + 0 = 0

z = 3 м 6 24 24 2 6

0 ? z ? 1 1 ? z ? 3 3 ? z ? 4

EJ?0·3 + 11,7· 3 3 - 6 ·3 4 + 6(3- 1)4 + 30(3 - 1)2 + 4,3(3 - 3)3 = 0

z = 3 м 6 24 24 2 6

EJ?0·3 + 60 + 52,65 - 20.25 + 4

3 EJ?0 = - 96.4

EJ?0 = - 32,1кН · м2

Определим прогиб в точке " С ", при z = 4 м,

ЕJyС = - 32,1· 4 + 11,7· 4 3 - 6 · 44 + 6(4 - 1)4 + 30(4- 1)2 + 4,3(4- 3)3 =

z = 4 м 6 24 24 2 6

= - 128.4 + 135 + 124,8 + 0,716 + 20,25 = 88,3 кН · м2

ЕJyС = 88,3 ; yС = 88,3 = 88,3·103 = 0,0116 м = 1,16 см

ЕJ 7600·10

yС = 1,16 см

Определим угол поворота в точке " D " по универсальному уравнению для углов поворота при z = 3 м, имеем

ЕJx ?D = -32,1+ RA(3 - 0)2 - q(3 - 0)3 + q(3 - 1)3 + M(3 - 1) ;

2 6 6

ЕJx ?D = -32,1+ 30·2 + 11.7·4,5 - 27 + 8 = 61,55 кН·м

Для прямоугольного сечения:

?D = 0,0615 = 0,0615 = 0,0615 = 116 ·10 - 4 рад ? 0,66 0

ЕJ 2·105 h3в 2·105 2647.5·10-8

12

Для двутавра :

?D = 0,0615 = 0, 0 615 = 81 ·10 -- 4 рад ? 0,46 0

ЕJ 2·105 3800·10-8

Для построения упругой линии двутавровой балки вычислим прогибы сечении с интервалом по длине, равными 1м.

1 участок 2 участок 3 участок

ЕJy =EJ?0·3+ 11,7· 3 3 - 6z4 + 6(z - 1)4 + 30(z - 1)2 + 4,3(z - 3)3 + 0 = 0

6 24 24 2 6

0 ? z ? 1 1 ? z ? 3 3 ? z ? 4

При z = 1м ( 1 участок)

ЕJyz = -32.1·1+1,95·13- 0,24·14 = -30,39 кН·м3

yz=1= -30,39 = -30,39·103 = - 0,0039 м = - 0,39 см

ЕJ 7600·103

При z = 2м ( 2 участок)

ЕJyz = -32.1·2+1,95·23- 0,24·24 +0,24·14 +15·12 = - 64,2+15.6-3,84+0,24+15= - 37,2кН·м3

yz=2 = -37,2 = -37,2·103 = - 0,005 м = - 0,5 см

ЕJ 7600·103

При z = 3м ( 2 участок)

ЕJyz = -32.1·3+1,95·33- 0,24·34 +0,24·24 +15·22 = - 96,3+52,65-19,4+3,84+60= 0,75 кН·м3

yz=3 = 0,75 = 0,75·103 = - 0,005 м = - 0,5 см

ЕJ 7600·103

При z = 4м ( 3 участок)

yz =4 = yС = 1,16 см

Результаты вычисления сводим в таблицу и по результатам строим упругую линию:

Максимальный прогиб ymax = 1,18 cm

Допускаемый прогиб |y| = 1 · L = 1,6 cm, ymax < | y | - следовательно, требуемая 250 жесткость балки двутаврового сечения обеспечена.

Таблица

Абсцисса Сечения Z(м)	1	2	3	4
Прогиб y z( см)	-0,39	-0,5	0	1,18

Рис

Таблица. Расчет упругой линии для балки прямоугольного сечения:

Абсцисса Сечения Z(м)	1	2	3	4
Прогиб y z( см)	-0,57	-0,7	-0,01	1,7

Jx = 2647,5 ·10-8 см

При z = 1м ( 1 участок)

yz=1= -30,39 = -30,39·103 = - 0,0057 м = - 0,57 см

ЕJ 5295·103

При z = 2м ( 2 участок)

yz=2 = -37,2 = -37,2·103 = - 0,007 м = - 0,7 см

ЕJ 5295·103

При z = 3м ( 2 участок)

yz=3 = 0,75 = 0,75·103 = 0,00014 м = - 0,014 см

ЕJ 5295·103

При z = 4м ( 3 участок)

yz =4 = 0,75 = 0,75·103 = 0,017 м = 1.7см

ЕJ 5295·103

ymax > | y | - следовательно, требуемая жесткость балки прямоугольного сечения не удовлетворяет условию жесткости.

Рис

Задание № 5

Для заданного бруса построить эпюры крутящих и изгибающих моментов и подобрать размер круглого сечения, применяя III и IV гипотезы прочности.

Материал бруса - сталь ( СтЗ ),

[?] =160Н/мм2.

Момент М1 действует в продольной плоскости.

Момент М2 действует в поперечной плоскости.

Дано:

L1= 0.3 м F - изгиб

L2= 0.5 м М2 - скручивающий момент;

M1= 10 кН·м М1 - изгибающий момент;

F = 25 кН

M2= 30 кН·м

Определяем внутренние силовые факторы от каждой нагрузки отдельно, а так же отдельно строим эпюры.

Рассмотрим изгибающие моменты, действующие вдоль оси Мy :

Проводим сечение на первом участке:

I участок: МИI = - F· z1 ; 0 ? z1 ? 0.3 ;

При z1 = 0 , МИI = 0

z1= 0,3 , МИI = - 25·0,3 = - 7,5 кН·м

II участок: МИII = - F· z2+ М1 ; 0,3 ? z2 ? 0.55 ;

При z2= 0,3 , МИII = - 25·0,3+10 = 2,5 кН·м

z2 = 0,55 , МИII = - 25·0,55+10 = 3,75 кН·м

III участок: МИIII = - F·z3+ М1 - 2- F·z3 ; 0,55 ? z3 ? 0,8 ;

При z3= 0,55 , МИIII = - 25·0,55+10-2·25·0,55 = - 31,25кН·м

z3 = 0,8 , МИIII = - 25·0,8+10-2·25·0,8 = - 50 кН·м

Строим эпюру изгибающих моментов Мy.

Изгибающие моменты, действующие вдоль оси Мx:

I участок: МИI = 0

II участок: МИII = F· z2 0 ? z2 ? 0.25 ;

При z2= 0 , МИII = 0 кН·м

z2 = 0,25 , МИII = 25·0,25 = 6,25 кН·м

III участок: МИIII = F·z3 ; 0? z3 ? 0,5 ;

При z3= 0 , МИIII = 0 кН·м

z3 = 0,5 , МИIII = 25·0,5 = 12,5 кН·м

Строим эпюру изгибающих моментов Мx.

Изгибающие моменты, действующие вдоль оси Мz:

I участок: МКI= - М2 = - 30 кН·м

II участок: МКII = - М2 = - 30 кН·м

III участок: МКIII = - М2 = - 30 кН·м

Строим эпюру изгибающих моментов Мz.

По теории наибольших касательных напряжений (3 гипотеза прочности):

?эIII = vMx+My+Mz ? [?], wx = 32 ;

wx ? d3

или 32 vMx+My+Mz ? [?]

? d3

d3 ? 32 v502+12,52+302 =32 v3556,25 = 3,8·10_3 м3

3,14·160·103 3,14·160·103

d ?3 v 0,0038 = 0,15 м = 15 см

По 4 гипотезе прочности:

?эIII = vMx+My+0,75Mz ? [?] или 32 vMx+My+0,75Mz ? [?]

w ? d3

d3 ? 32 v502+12,52+0,75·302 = 32 v3331,25 = 3,67·10_3 м3

3,14·160·103 3,14·160·103

Размещено на Allbest.ru