Оценка влияние резонансных явлений на пролетные строения мостовых конструкций

9

оценка влияния резонансных на пролетные строения мостовых конструкций

Инженер М.Л. Хазанов (МАДИ-ГТУ)

В СНиП 2.05.03-84* «МОСТЫ И ТРУБЫ» п. 1.48* введены ограничения на период собственных колебаний пешеходных и городских мостов, который «не должен быть от 0,45 до 0,60 с». Это ограничение введено связи с тем, что именно с таким периодом мост может раскачиваться колонной марширующих людей. При этом в условиях резонанса, амплитуда колебаний моста может возрасти до опасных пределов. В статье приводится оценка опасности этого явления по результатам стандартных динамических испытаний мостов, имеющих частоту собственных колебаний в запрещенном диапазоне.

Ключевые слова: динамический коэффициент, частота колебаний, декремент.

1. Теоретические предпосылки

Любая колебательная система с потерями при ударном возбуждении начинает совершать постепенно затухающие колебательные движения, описываемые по формуле:

, (1)

где y(t) - величина перемещения колеблющегося тела;

A₀ - начальная амплитуда колебаний;

f - частота колебаний;

- коэффициент затухания.

На рисунке 1 показан график затухающих колебаний с периодом 0.5 с, вызванных ударным возбуждением. Физический смысл коэффициента затухания - это величина, обратная времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Коэффициент затухания не дает полного представления об интенсивности затухания. Допустим, что для одной системы колебания прекратились через 10 секунд, а для второй - через 100. Но это еще не означает, что первая система обладает более быстрым затуханием. Для выяснения этого вопроса надо учесть, сколько колебаний указанные системы успели совершить за это время.

Поэтому для характеристики интенсивности затухания вводят понятие логарифмического декремента колебания:

, (2)

где A_n и A_n+1 - амплитудные значения функции y(t) для двух ее последовательных экстремумов (см. рисунок 1).

Из (1) и (2) получаем связь логарифмического декремента с коэффициентом затухания:

. (3)

Рисунок 1. Затухающие колебания, вызванные ударным возбуждением

Коэффициент затухания также связан с амплитудно-частотной характеристикой колебательной системы формулой [1]:

, (4)

где f - полоса пропускания колебательной системы на уровне 0,707 от максимума.

Из (3) и (4) получаем:

. (5)

Из теории колебаний известно, что амплитудно-частотная характеристика линейной системы совпадает со спектром ее колебаний при возбуждении системы коротким импульсом. Это важно при экспериментальном измерении d. Дело в том, что в результате воздействия импульсного возбуждения могут начаться колебания пролета сразу по нескольким формам. В результате диаграмма колебаний принимает более сложный вид (рисунок 2), из которой невозможно определить ни частоты, ни декремент колебаний.

Рисунок 2. Диаграмма колебаний по двум формам:
2 Гц (=0,35) и 3 Гц (=0,5)

Однако, если подвергнуть эту запись преобразованию Фурье, мы получим амплитудно-частотную характеристику колебаний, которая, как отмечалась выше, практически совпадает с амплитудно-частотной характеристикой нашей колебательной системы (рисунок 3). После такого преобразования, воспользовавшись формулой (5), легко определяются логарифмические декременты для каждой из частот колебаний.

Резонансное раскачивание колебательной системы возникает при совпадении частоты вынужденных колебаний с частотой собственных колебаний. При этом амплитуда колебаний системы может возрастать до значительной величины, которая зависит от потерь в системе. Задача данной работы заключается в определении величины этой амплитуды и ее максимального допустимого значения.

Рисунок 3. Спектральная характеристика колебаний, приведенных на рисунке 2

Предположим, что нагрузка массой m_a падает на пролет с высоты h и падения эти она совершает с частотой собственных колебаний пролета f. В момент удара потенциальная энергия нагрузки переходит в кинетическую энергию пролета, который начинает совершать затухающие колебания. Однако на каждом периоде колебаний пролета он получает новый удар, который частично или полностью компенсирует затухание. Если же добавляемая нагрузкой энергия превосходит потери, то амплитуда колебаний начинает нарастать.

Однако с ростом амплитуды возрастают и потери. Следовательно, наступит момент, когда добавляемая энергия станет равной потерям. Наступит т.н. стационарный режим. Если в этом режиме суммарные напряжения от статической нагрузки и динамической добавки не превысят расчетные напряжения от нормативной нагрузки, умноженной на динамический коэффициент, то можно считать, что резонансные явления при такой нагрузке пролету не опасны.

Рассмотрим более подробно процесс возникновения резонанса.

Нагрузка массой m_a, прыгая на мосту с высоты h, передает пролету свою потенциальную энергию

E=m_agh.

Благодаря этому мост приобретает такую же кинетическую энергию E=m_mv²/2, где m_m - масса пролета, v - скорость движения пролета.

Учитывая, что пролет начинает совершать затухающие синусоидальные колебания, то скорость определится как первая производная перемещения v=y'_t(t) при t=0. Таким образом, из (1) следует, что v=A₀2f, где A₀ - начальная амплитуда колебаний, а f - частота колебаний.

Из-за того, что колебания затухающие, на следующем периоде амплитуда колебаний уменьшится в k раз, где k=e^d, d - логарифмический декремент колебаний. Следовательно, потери энергии пролета за один период составят E=m_m2²f²A₀²(1-e^-2s). Стационарный режим соответствует равенству потери энергии добавляемой прыгающей нагрузкой, т.е. E=E или

. (3)

Если на пролете длиной L и шириной b разместить демонстрацию из расчета 0.1 ⁾ При плотности толпы 0,4 т/м², указанной в нормах, маршировать невозможно. Такая плотность больше напоминает давку в автобусе.⁾ т/м², создастся распределенная нагрузка 0.1b т/м. При этом статический прогиб в середине пролета составит [2]:

=;

Общая масса людей равняется 0.1bL. Марширующие люди не прыгают. Поэтому будем считать, что ударяющая масса равна 1/3 массы человека. Распределенная нагрузка эквивалентна половине сосредоточенной нагрузке. Таким образом, потенциальная энергия марширующих людей, преобразующаяся в кинетическую энергию пролета, равна 0.05bLgh/3. В условиях резонанса, установившаяся амплитуда колебаний, как следует из (3), будет равна:

.

Условие безопасности моста:

.

При двухполосном движении расчетный прогиб пролета от нагрузки А11 будет:

.

При этом условие безопасности моста определится выражением:

.

Подставив значение А, получаем:

. (4)

Рассмотрим конкретный пример, полученный во время приемочных испытаний моста через р. Лопасню в г. Чехове. Мост рассчитан под нагрузки А11 и НК-80.

Мост представляет собой две раздельные конструкции, каждая из которых предназначена под двухполосное движение автотранспорта одного направления. Общий габарит проезжей части моста 2(Г-9+2,25). Масса пролета 350 т. Максимальный прогиб 10 см, 1+=1.15. Длина пролетных строений 60 м.

Испытаниям подвергалась верховая часть мостового перехода.

На рисунке 4 приведена диаграмма прогибов при проезде по пролету груженого автомобиля массой 20 т со скоростью 10 км/час с прыжком через порожек высотой 5 см, установленным в середине пролета.

На рисунке 5 показана спектральная характеристика колебаний, возникших после прыжка нагрузки.

Как видно, частота собственных колебаний пролета попала в запрещенный диапазон (отмечен серым прямоугольником).

Рисунок 4. Диаграмма прогиба пролета.

Рисунок 5. Спектральная характеристика колебаний, возникших после прыжка нагрузки

Определим логарифмический декремент колебаний:

.

Вычислим левую часть неравенства (4):

,

а затем - правую:

.

Как видно, неравенство (4) выполняется с большим запасом. Это говорит о том, что марширующая в такт с колебаниями моста толпа людей, заполнив собой весь этот мост, не сможет его раскачать до сколько-нибудь опасных значений.

Выводы

К сожалению, неизвестны методы расчета декремента колебания на этапе проектирования моста. Однако измерить его на уже построенном мосту не представляет трудностей.

Предложенная в статье методика позволяет по результатам испытаний оценить опасность возникновения резонансных явлений, вызванных специфическими видами воздействий подвижной нагрузки (марширующая толпа, колонна автомобилей, идущих с постоянной скоростью и с равными интервалами).

Литература

Г.И. Атабеков. «Теоретические основы электротехники», «Энергия», М., 1966 г.

А.В. Дарков, Г.С. Шапиро, Сопротивление материалов, «Высшая школа», М., 1975.