Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В основе модели идеального вытеснения лежит допущение о поршневом течении без перемешивания вдоль потока при равномерном распределении вещества в направлении, перпендикулярном движению. Время пребывания всех частиц в системе одинаково и равно отношению объема системы к объемному расходу жидкости.

Такой поток, например, имеет место в трубчатом аппарате при турбулентном режиме течения жидкости через него. В этом случае профиль скоростей можно считать равномерным, т. е. считать одинаковым время пребывания отдельных элементов потока.



1. Составление математического описания

Центральным аппаратом в любой химико-технологической системе, включающей целый ряд машин и аппаратов, соединенных между собой различными связями, является химический реактор - аппарат, в котором протекает химический процесс. Выбор типа, конструкции и расчет химического реактора, создание системы управление его работой - одна из важных задач химической технологии [1].

Как и в случае других аппаратов, используемых в химической промышленности (теплообменных, массообменных и др.), для изучения, расчета и проектирования химических реакторов применяется метод моделирования. Под математической моделью понимается некоторое упрощенное изображение процесса в реакторе, которое сохраняется наиболее существенные свойства реального объекта и передает их в математической форме. В зависимости от постановленной задачи математическая модель учитывает разное число признаков объекта и поэтому модель может быть широкой и узкой.

Существует две основные модели протекания реакций в реакторах: - Реактор идеального смешения - Реактор идеального вытеснения

Реакторы вытеснения - трубчатые аппараты, имеющие вид удлиненного канала. В трубчатых реакторах перемещение имеет локальный характер вызывается неравномерностью распределения скорости потока и ее флуктуациями, а также завихрениями. Реакторы вытеснения бывают двух видов: идеального и полного вытеснения, более подробно рассмотрим реактор идеального вытеснения [2].

Идеально вытеснение предполагает, что любое количество реагентов и продуктов через реактор перемещается как твердый поршень, и по длине реактора (в пространстве) в соответствии с особенностями реакции и сопровождающих ее физических явлений устанавливается определенное распределение концентраций участников реакции, температуры и других параметров. К реакторам идеального вытеснения относятся те аппараты, в которых отсутствует радиальное и продольное перемешивание.

Исследуется химическая реакция в аппарате идеального вытеснения (РИВ) представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 - Аппарат идеального вытеснения

Полное математическое описание (детерминированная математическая модель) процесса представлено покомпонентным материальным балансом и тепловым балансом элементарной ячейки с объемом dV для малого промежутка времени dt, так как параметры потока меняются по длине аппарата и во времени [3].

1.1 Материальный баланс элементарной ячейки реактора идеального вытеснения

Материальный баланс - вещественное выражение закона сохранения массы вещества, согласно которому по всякой замкнутой системе масса веществ, вступивших во взаимодействие, равна массе веществ, образовавшихся в результате взаимодействия. Применительно к материальному балансу любого технологического процесса это означает, что масса веществ, поступивших на технологическую операцию - приход, равна массе полученных веществ - расходу. Материальный баланс составляют по уравнению основной суммарной реакции с учетом параллельных и побочных реакций.

Материальный баланс непрерывно действующих проточных реакторов составляется, как правило, для установившегося (стационарного) режима, при котором общая масса веществ, поступивших в аппарат за данный период времени, равна массе веществ, вышедших из аппарата. Количество же всех веществ в аппарате постоянно, т. е. накопления или убыли суммарного количества веществ не происходит [2].

m_i · dt - приход вещества с потоком

m_i · dt = V_вх · С_i · dt = u · S · C_i · dt

(m_i + dm_i) · dt - расход вещества с потоком

(m_i + dm_i) · dt = (V_вх · C_i + d(V_вх · С_i)) · dt

dV · r_i · dt - изменение вещества в химической реакции

dM_i - накопление вещества

dM_i = dC_i · dV

m_i · dt - (m_i + dm_i) · dt + dV · r_i · dt = dC_i · dV,

где r_i - скорость изменения концентрации вещества i в результате химического превращения, моль/(м³·с)

m_i = V_вх · С_i = u · S · C_i - мольный поток вещества i, моль/с,

где u - линейная скорость потока, м/с.

Преобразуя, поделим все члены уравнения на (dV · dt). Конечный вид уравнения материального баланса реактора идеального вытеснения для вещества i в размерности моль/(м³·с) имеет вид:

Решением этого уравнения будет являться функция C_i = f (V_вх, t)

В случае стационарного режима работы реактора :

Решение его - функция C_i = f(V_вх)

При V_вх = V_вых = V (мономолекулярная реакция) Т_вх = Т = Т_вых:

Решение этого уравнения - функция С_i = f(z,t)

В случае стационарного режима работы реактора :

,

где dф = , ф = = при u, V - const по длине реактора.

Решение уравнения - функция С_i = f(z) или С_i = f(ф).

1.2 Тепловой баланс элементарной ячейки реактора идеального вытеснения

Энергетический баланс необходим всякий раз, когда важны температурные изменения. Например, как это имеет место при химической реакции, когда реакции вызывает изменение температуре в реакторной зоне.

Для энергетического баланса необходимо придерживаться тех же, сформулированных нами раннее принципов. Однако энергетические балансы значительно более сложны, из-за многих процессов, которые вызывают температурное изменение в химических системах. Рассматриваемые здесь вопросы несколько упрощены, но позволяют понять неизотермические примеры моделирования.

Энергетический баланс базируется на законе сохранения энергии и на первом законе термодинамики. Внутренняя энергия зависит, не только от температуры, но также и от массы системы и ее составляющих [2].

По этой причине, материальный баланс является необходимым фундаментом энергетического баланса.

V_вх · с · С_Р ·(Т - Т_НУ)· dt - теплосодержание входного потока

[V_вх · с · С_Р ·(Т - Т_НУ)+d(V_вх · с · С_Р ·Т)]·dt - теплосодержание выходного потока (аналогично (m_i + dm_i)·dt в материальном балансе)

- тепло химического превращения

К_F · (T - T_S) · L · dz · dt - теплоперенос через стенку

d(с · C_P · T) ·dV - накопление тепла (аналогично dC_i ·dV в материальном балансе),

где (с · C_P · T), Дж/м³ - аналог концентрации С_i, моль/м³.

(V_вх · с · С_Р ·Т), Дж/с - аналог мольного потока m_i, моль/с.

j= 1, m - количество стадий реакции

Д H_P - энтальпия химического превращения (тепловой эффект стадии с обратным знаком), Дж/моль

К_F - коэффициент теплопередачи через стенку, Дж/(м²·с·К)

L · dz - поверхность теплообмена, м²

Т_S - температура хладоагента, К

Тепловой баланс элементарной ячейки [3]:

V_вх · с · С_Р ·(Т - Т_НУ)· dt - [V_вх · с · С_Р ·(Т - Т_НУ)+d(V_вх · с · С_Р ·Т)]·dt -

- - К_F · (T - T_S) · L · dz · dt = d(с · C_P · T) ·dV

Преобразуя, поделим все члены уравнения на (dV · dt). Конечный вид уравнения теплового баланса реактора идеального вытеснения в размерности Дж/(м³·с):

Уравнение для адиабатического реактора упрощается за счет того, что:

= 0

Практически это возможно при К_F = 0 (футеровка, теплоизоляция) или

Т = Т_S (специально организованный температурный режим у внешней поверхности реактора).

Параметры потока V_вх, с, С_Р, Т, С_i, согласно уравнению, меняются по длине реактора идеального вытеснения и во времени.

В практических расчетах можно пользоваться упрощенной формой уравнения теплового баланса адиабатического реактора:

Решением этого уравнения является функция Т = f(V_вх, t).

Стационарный режим работы :

Его решением является функция Т = f(V_вх).

При использовании в качестве независимой переменной линейной координаты z уравнение преобразуется к виду:

Решением этого уравнения является функция Т = f(z,t).

Стационарный режим работы :

Его решением является Т = f(z).



2. Решение математического описания

Прямая задача решения формулируется следующим образом: по заданным параметрам входных тепловых и материальных потоков и конструкции реактора определить профили требуемых параметров потока по длине реактора (чаще всего профили температуры и концентраций) и параметры выходного потока. На практике возможны такие же характерные ситуации, как и для реактора идеального перемешивания [3].

2.1 Стационарный режим работы

Для решения прямой задачи стационарного режима работы реактора идеального вытеснения применяется метод Эйлера.

Пример 1. В лабораторном реакторе идеального вытеснения в стационарном режиме проводится газофазная гомогенная химическая реакция:

Т_вх = Т = Т_вых,

V_вых = V = V_вх

Решение. Математическое описание реактора:

скорости стадий реакции:

r₁ = k₁ · C_A,

r₂ = k₂ · C_B = · C_B

Скорость реакции:

R = r₁ - r₂ = k₁ ·

Скорость реакции по компонентам:

R_A = - R,

R_B = R

Уравнения покомпонентного материального баланса:

Алгоритм решения методом Эйлера. Исходные данные:

Параметры входного потока С _{вх А}, С_{вх В}, V_вх = V, Т_вх = Т

Параметры аппарата V_r, L, S

НУ: z₀ = 0, C_A0 = C_{вх А}, С_В0 = С_{вх В}

Результаты термодинамического анализа К_Р (Т)

Результаты кинетического анализа k₁(T)

Расчетный блок:

1) k₁ = k⁰ · , .

Выбор количества шагов n численного интегрирования.

3)Определение

4) Численное интегрирование системы, численные вычисления по I = 0, n:

z_i = I · Дz

R = k₁ ·

C_Ai = C_Ai-1 + Дz ·

C_Bi = C_Bi-1 + Дz ·

Результаты решения прямой задачи.

Профиль С_А, С_В по длине реактора.

Параметры выходного потока С_{вых А} = С_Аn, С_{вых В} = С_Вn.

Пример 2. Усложненные условия примера 1. В лабораторном реакторе идеального вытеснения проводится газофазная гомогенная химическая реакция:

Т_вх = Т = Т_вых,

V_вх ? V_вых,

U_вх ? U_вых

Решение. Математическое описание реактора:

скорости стадий реакции:

r₁ = k₁ · C_A

r₂ = k₂ · =

Скорость реакции:

R = r₁ - r₂ = k₁ ·

Скорости реакции по компонентам:

R_A = - R,

R_B = 2R

Уравнения покомпонентного материального баланса:

Алгоритм решения методом Эйлера. Исходные данные:

Параметры входного потока С_{вх А}, С_{вх В}, V_вх, Т_вх = Т.

Параметры аппарата V_r, L, S.

НУ: V = 0, z = 0, C_A = C_{вх А}, С_В = С_{вх В}, V = V_вх.

Результаты термодинамического анализа К_Р(Т).

Результаты кинетического анализа k₁(T).

Расчетный блок:

1) Расчет k₁, K_P при заданной Т.

2) Выбор количества шагов n численного интегрирования.

3) Определение .

4) Входные мольные потоки m_A0 = V₀ ·C_A0, m_B0 = V₀ ·C_B0,

sm₀ = m_A0 + m_B0

5) Численное интегрирование системы, циклические вычисления по

i = 1, n:

V_i = I · ДV,

z_i = I · Дz,

R = k₁ ·,

m_Ai = m_Ai-1 + ДV·R_A,

m_Bi = m_Bi-1 + ДV·R_B,

sm_i = m_Ai + m_Bi,

V_i = V_i-1 ·,

C_Ai = ,

C_Bi =

(для изотермической реакции идеальных газов).

Результаты решения прямой задачи.

Профиль С_А, С_В, V по длине реактора.

Параметры выходного потока С_{вых А} = С_Аn, С_{вых В} = С_Вn, V_вых = V_n,

T_вых = Т.

Пример 3. В промышленном реакторе идеального вытеснения проводится газофазная экзотермическая гомогенная реакция:

Т_вх ? Т_вых,

V_вх ? V_вых,

U_вх ? U_вых,

Р_вх = Р = Р_вых

В смеси присутствует вещество D, не участвующее в реакции.

Решение. Математическое описание реактора [3]:

скорости стадий реакции:

·С_В,

r₂ = k₂ ·C_C =

Скорость реакции:

R = r₁ - r₂ = k₁ ·

Скорости реакции по компонентам:

R_A = -2R,

R_B = -R,

R_C = R,

R_D = 0

Уравнения покомпонентного материального баланса:

Уравнение теплового баланса:

Алгоритм решения методом Эйлера. Исходные данные:

Параметры входного потока С_{вх j}, V_вх, Т_вх, j = A, B, C, D.

Параметры аппарата V_r, L, S =

НУ: V = 0, z = 0, C_j = C_{вх j}, V = V_вх, Т = Т_вх

Результаты анализа физико-химических свойств индивидуальных веществ и их смесей с, С_Р = f(T).

Результаты термодинамического анализа К_Р(Т), ДН_Р

Результаты кинетического анализа k₁(T)

Расчетный блок:

1) Выбор количества шагов численного интегрирования n.

2) Определение шага ДV, ДV = , Дz =

3) Входные мольные потоки m_j0 = V₀ ·C_j0, sm₀ =

4) Численное интегрирование системы, циклические вычисления по

i = 0, n:

V_i = i ·ДV,

z_i = i · Дz

Расчет k₁, K_P при Т_i

Расчет с, С_Р при Т_i

R = k₁ ·

R_A = -2R,

R_B = -R,

R_C = R,

R_D = 0



j = A, B, C, D

sm_i =

T_i = T_i-1 + ДV ·

V_i = V_i-1 ·

C_ji =

(для реакций идеальных газов).

Результаты решения прямой задачи [3]:

Профиль С_j, V, T по длине реактора.

Параметры выходного потока С_{вых j} = C_jn, V_вых = V_n, Т_вых = Т_n.

На основе этого алгоритма формируется компьютерный модуль «Прямая задача», сопряжения и структура которого приведены на рисунке 2.

Рисунок 2 - Сопряжение модуля «Прямая задача»

Таким образом, постановка и решение прямой задачи для стационарного режима работы реактора идеального вытеснения состоит в формировании и решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений различной сложности. Алгоритм прямой задачи служит основой анализа ХТП и решения обратных и оптимизационных задач. Структура модуля представлена на рисунке 3.

Рисунок 3 - Структура модуля «Прямая задача» для реактора идеального вытеснения

1.2 Сопоставление расчетов элементарного объема РИВ и РИП

Материальный баланс РИВ и РИП представлена на рисунке 4.

РИВ РИП

Элементарный объем РИВ

ДV > dV ДV = V_r

Рисунок 4 - Материальный баланс РИВ и РИП

Условные обозначения:

m_Ai-1, m_Ai - мольные потоки вещества А на входе и выходе.

i = 1, n - число сечений.

R_A - скорость изменения концентрации вещества А.

1.2.1 Уравнения материального баланса

Явный метод Эйлера:

РИВ: m_Ai = m_Ai-1 + ДV ·R_A(C_Ai)

Аналог неявного метода Эйлера:

РИП: m_Ai = m_Ai-1 + ДV ·R_A(C_Ai)

РИВ: скорость изменения m_A между сечениями i и (i-1) одинакова и равна скорости изменения m_A в сечении (i-1).

РИП: скорость изменения m_A между сечениями i и (i-1) одинакова и равна скорости изменения m_A в сечении (i-1).

При увеличении числа сечений (при уменьшении ДV) различия в результатах расчета по формулам уменьшаются. Этому соответствует утверждение, что при увеличении числа ячеек ячеечная модель переходит в модель идеального вытеснения. реактор вытеснение баланс тепловой

1.3 Динамический режим работы

В динамическом режиме работы реактора идеального вытеснения (пуск, переключения, остановка, аварийные и предаварийные ситуации) определяющие параметры потока (С_i, V, T) меняются по длине реактора и во времени. В примере 4 рассматриваются процессы, протекающие в реакторе в динамическом режиме его работы (в период пуска) [2].

Пример 4. В лабораторном изотермическом реакторе идеального вытеснения протекает гомогенная реакция:

Т_вх = Т = Т_вых,

V_вх = V_вых = V

Пуск реактора - это переход от состояния «холодный» реактор (продувка реактора смесью исходного состава расходом V и температурой Т_ОС) к стационарному режиму с заданными V, T. Он сводится к ступенчатому подъему температуры реактора Т_ОС>Т в момент времени t = 0. Концентрации компонентов смеси С_А и С_В в момент времени t = 0 начнут изменяться во времени и по длине реактора (С_i = f(z,t)) и через промежуток времени t_k стабилизируются на значениях, соответствующих стационарному режиму (С_i = f(z), рисунок 5.

Рисунок 5 - Изменение концентраций С_А и С_В в стационарном режиме

При пуске промышленного реактора необходимо учитывать тепловой баланс. Картина динамического режима при этом значительно усложняется.

Математическое описание динамического режима работы реактора идеального вытеснения - это дифференциальные уравнения в частных производных. При Т_вх = Т = Т_вых (изотермический лабораторный реактор) и V_вх = V_вых = V (мономолекулярная реакция) уравнение теплового баланса исключается, а для описания покомпонентного материального баланса можно воспользоваться уравнением:

Решение его - функция С_i = f(z,t) в виде двумерного массива или семейства кривых С_i =f(z) при t = 0, t_k, рисунок 6, 7.

Рисунок 6 - Изменение профиля концентрации С_А в период пуска

Рисунок 7 - Изменение концентрации С_Аi в сечении z_i в период пуска



В данном примере модель реактора идеального вытеснения в динамическом режиме работы представлена системой из двух дифференциальных уравнений в частных производных:

НУ: при t = 0 и z = 0, …, 1 C_A = C_{вх А}, С_В = С_{вх В} (профиль концентраций в реакторе при t = 0; продувка «холодного» реактора исходной смесью с линейной скоростью u).

ГУ: при z = 0 и любых t C_A = C_{вх А}, С_В = С_{вх В} (входной поток, питание реактора смесью постоянного состава).

Также должны быть заданы параметры системы уравнений и k.

Численное решение системы можно рассмотреть на примере первого уравнения. Результатом решения прямой задачи будет двумерный массив С_А(t,z), который получают численным интегрированием уравнения по двум независимым переменным: t с шагом Дt и z с шагом Дz [3].

Результат решения прямой задачи представлен в таблице 1.

Таблица 1 - результат решения прямой задачи

	z1 (ГУ)	z2	….	zi-1	zi	zi+1	….	zm
t1	CA[1,1]		….	CA[i-1,1]	CA[i,1]	CA[i+1,1]	….	CA[n,1]
t2 …. tj-1	CA[1,2] ………. CA[1,j-1]	…. …. ….	…. …. ….	…. …. CA[i-1,j-1]	…. …. CA[i,j-1]	…. …. CA[i+1,j-1]	…. …. ….	…. …. ….
tj	CA[1,j]	….	….	CA[i-1,j]	CA[i,j]	CA[i+1,j]	….	….
tj+1 …. tm	CA[1,j+1] ………. CA[1,m]	…. …. ….	…. …. ….	CA[i-1,j+1] …. ….	CA[i,j+1] …. CA[i,m]	CA[i+1,j+1] …. ….	…. …. ….	…. …. CA[n,m]



Для потока идеального вытеснения () и, следовательно, при интегрировании Дz = u ·Дt или Дt = .

Уравнение для расчета массива С_А (t,z) при использовании последовательной аппроксимации производных при малых Дz и Дt вычисляются следующим образом:



Заключение

Методика расчета конструктивных и режимных параметров производственного оборудования химической промышленности, основанная на использовании понятия элементарной области, является современным инженерным инструментом, находящим все более широкое применение при решении ряда прикладных производственных задач [2].

Предложенная методика, основанная на использовании аналитических решений задач теплопроводности, обеспечивает высокое качество и полноту технологических расчетов промышленного оборудования, что подтверждается результатами промышленных испытаний и проверками по независимым тепловым и материальным интегральным балансам.



Список использованной литературы

1 Туболкин, А. Ф. Расчеты химико-технологических процессов: Учебное пособие для вузов / А. Ф. Туболкин, Е. С Тумаркина, Э. Я Тарат. - Л.: Химия, 1982. - 248 с.

1 Кафаров, В.В. Математическое моделирование основных процессов химических производств: Учебное псобие для вузов/ В.В. Кафаров. - М.: Высш. шк., 1991. - 400 с.

2 Янчуковская, Е.В. Математическое моделирование процессов химической и пищевой технологий: Методическое указание по выполнению практических работ/ Е.В. Янчуковская. - Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2004. - 20 с.

Размещено на Allbest.ru