Размещено на http://www.allbest.ru/

3

УДК 532.74

¹) Новосибирский госуниверситет, Новосибирск

²) Институт Химической Кинетики и Горения СО РАН, Новосибирск

Плавление и гомогенная кристаллизация леннард-джонсовской системы

А.В. Ким^1,2 , Н.Н. Медведев².

Аннотация

гомогенный кристаллизация жидкость атом

Методом молекулярной динамики в NVE ансамбле изучаются процессы плавления и гомогенной кристаллизации в леннард-джонсовской системе, содержащей 10976 атомов в модельном боксе с периодическими граничными условиями. Показано, что плавление кристалла происходит за счет случайного возникновения и роста локальных дефектов, которые превращаются в области неупорядоченной фазы. Постепенно они заполняют весь объем образца, поглощая остатки островков кристаллической фазы. Гомогенная кристаллизация жидкости начинается с появления кристаллических зародышей, которые, вырастая, дают дефектный кристалл. Конкретная структура получающегося кристалла оказывается различной в разных реализациях модели. Преобладающей является структура ГЦК. Структура ГПУ присутствует на границах областей ГЦК и возникает как следствие нарушения порядка в чередовании атомных плоскостей. Наблюдается множественное «двойникование» структуры ГЦК, в том числе обнаружены агрегаты, имеющие ось симметрии пятого порядка.

Ключевые слова: молекулярная динамика, структура жидкости, метод Вороного-Делоне, плавление, гомогенная кристаллизация, пятикратная симметрия.

Система леннард-джонсовских атомов используется в качестве модели для изучения фундаментальных процессов, происходящих при фазовых переходах в простых (одноатомных) жидкостях. Несмотря на то, что плавление и кристаллизация исследуются давно, многие детали происходящих структурных изменений остаются не ясными. Для изучения данного вопроса необходимо иметь компьютерные модели, в которых мы можем проследить за положением каждого атома. При этом модели должны быть достаточно большими, по крайней мере, их размер должен превышать характерный масштаб структурных неоднородностей, возникающих при фазовом переходе. Современная вычислительная техника и методы компьютерного моделирования позволяют создавать такие модели, на которых можно отслеживать не только изменения термодинамических параметров, но также тонкости структурных перестроек, происходящих в образце.

Анализ структуры мы проводим с помощью метода Вороного-Делоне [1]. В данной работе мы ограничиваемся использованием симплексов Делоне. Каждый такой симплекс представляет собой четверку взаимно-ближайших атомов. Для неупорядоченных и термически возмущенных систем симплексы являются искаженными тетраэдрами. Используя количественную меру формы симплексов [1,2] мы выделяем те их них, которые ближе к совершенному тетраэдру и используем их для анализа структуры наших моделей. Именно такие симплексы характерны для плотной кристаллической структуры. Они встречаются и в жидкой фазе, однако характер их взаимного расположения принципиально отличается от кристаллического.

Для моделирования фазового перехода жидкость-твердое тело часто используют NPT ансамбль, т.е. поддерживают постоянными число частиц, давление и температуру образца [3-5]. Действительно, физические процессы, наблюдаемые в реальном эксперименте, обычно происходят при «комнатных» условиях - постоянной температуре и давлении. Другой широко используемый термодинамический ансамбль - NVT, где вместо давления сохраняется объем (средняя плотность) образца. Однако наиболее часто для молекулярно-динамического моделирования используется NVE ансамбль, где сохраняется полная энергия системы. Использование этого ансамбля оказывается достаточным для многих «прикладных» исследований, где учет термодинамических тонкостей не так важен. Этот ансамбль реализует консервативную классическую механическую систему, поэтому для его реализации не нужны специальные приемы, которые необходимы для реализации статистических ансамблей. Там мы должны поддерживать постоянными давление или температуру, что делается масштабированием размеров модельного бокса и скоростей атомов [4-7]. Заметим, что для исследования процессов, происходящих на атомных масштабах и за короткие времена, ансамбль NVE является более подходящим. Например, при спонтанном возникновении ядер кристаллизации происходит существенное понижение локальной температуры (кинетической энергии) атомов в окрестностях данного ядра. Установление термодинамического равновесия в данном месте не происходит мгновенно, т.е. такие процессы лучше исследовать не в изотермических, а в адиабатических условиях.

В данной работе мы разработали молекулярно-динамическую программу для NVE ансамбля, специализированную для работы с большими моделями. Были применены специальные приёмы, ускоряющие работу программы с моделями, состоящими из большого числа атомов. Для этого мы использовали идею связанных списков, что позволяет существенно ускорить перебор ближайших соседей при расчете взаимодействия атома с его окружением [4]. С помощью созданной программы проведено моделирование плавления и кристаллизации леннард-джонсовской системы, содержащей 10976 атомов. Изучено изменение температуры (кинетической энергии) и структуры в процессе фазового перехода. Полученные результаты позволяют лучше понять механизмы плавления и кристаллизации на атомном уровне.

Методическая часть

В методе молекулярной динамики (МД) решается система уравнений Ньютона. Для ее решения мы используем алгоритм Верле, который прост в реализации и имеет достаточную точность [7]. В качестве потенциала межатомного взаимодействия мы используем потенциал Леннарда-Джонса U(r) = 4e[(s/r)¹² - (s/r)⁶], где r - расстояние между атомами, е - глубина потенциальной ямы, у - размер «жёсткого ядра» атома. Использованы значения параметров, соответствующие аргону

T * = e / k_B = 119,8 K, s = 3,405·10^-10 м.

Расчеты проводились в приведённых единицах, где энергия измеряется в единицах глубины ямы е, а расстояние в единицах у. Радиус обрезания потенциала r_cut выбран равным 3у. Возникающий при этом скачок потенциала в точке r_cut сглаживался добавкой линейной функции.

Для ускорения работы программы с большими моделями мы используем метод связанного списка [4], что позволяет достигнуть эффективности алгоритма O(N), т.е. время работы программы растет линейно с числом атомов в модели. Заметим, что эффективность стандартного алгоритма, где для расчета силы, действующей на атом, приходится каждый раз перебирать все атомы системы, оценивается как O(N²).

В использованном подходе модельный бокс разбивается на относительно малые ячейки, нумерация которых определяется через их координаты. Это дает возможность по координатам произвольной точки внутри бокса сразу рассчитать номер ячейки, в которой находится заданная точка. Каждой такой ячейке приписываются номера входящих в нее атомов. Таким образом, при расчете силы, действующей на данный атом, не нужно перебирать все атомы системы. Действительно, по координатам данного атома сразу вычисляется номер ячейки, в которой он находится, а по номеру этой ячейки (и по номерам соседних ячеек), используя списки атомов, приписанных к ячейкам, сразу устанавливаются атомы, входящие в ближайшее окружение данного атома.

Размер ячеек, на которые разбивается пространство бокса, предлагается выбирать примерно равным объёму, приходящемуся на один атом:

.

Размер ячеек влияет на эффективность алгоритма. Мы исследовали зависимость времени расчёта потенциальной энергии системы от величины коэффициента k. Она представляет собой функцию с минимумом примерно при k = 2. Это значение коэффициента и было выбрано для дальнейших вычислений.

В табл. 1 сравнивается время расчёта полной энергии для моделей с разным числом атомов для стандартного алгоритма и нашего. Если для 500 атомов оба алгоритма показывают примерно одно и то же время, то для 32000 атомов различие становится значительным. Все расчеты мы проводили на персональном компьютере с процессором Atlon, 1,82 ГГц. Эволюция системы из 10976 атомов в течение 1 нс занимает примерно 36 часов компьютерного времени.

Таблица 1:

Важным параметром расчетов является величина шага интегрирования ?t. При больших шагах становится существенной ошибка численного решения уравнений, а при малых - моделирование становится неоправданно долгим. В качестве оптимального значения было выбрано ?t = 0,005, что соответствует 0,01 пс. Рис.1 иллюстрирует сохранение энергии при работе нашей программы. Тестовая система представляла собой перегретый кристалл ГЦК, который расплавился и перешел в состояние равновесной жидкости.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

Поскольку при плавлении кристалла структура становится неупорядоченной, потенциальная энергия возрастает, а кинетическая уменьшается. При этом полная энергия должна сохраняться. В наших расчетах наблюдается очень хорошее сохранение полной энергии системы. Ей соответствует кривая 3, которая на рис.1 выглядит как прямая горизонтальная линия. Заметим, что на кривых 1 и 2 имеется заметный «шум», означающий флуктуации потенциальной и кинетической энергии в процессе молекулярно-динамической эволюции. Однако эти флуктуации происходят в условиях сохранения полной энергии системы.

Плавление

Плавление плотного кристалла ГЦК.

В исходной конфигурации модели плотного кристалла атомы расположены в узлах решётки ГЦК, где кратчайшее межатомное расстояние (параметр решётки) равняется , что соответствует минимуму леннард-джонсовского потенциала. Процесс нагрева кристалла проводился поэтапно, рис.2. На первом шаге все атомы получили случайные (по величине и направлению) скорости, нормированные таким образом, чтобы кинетическая энергия системы соответствовала заданной температуре (на первом шаге было взято T =1, (в единицах е/k_В)). В течение первых 50-ти шагов (0,5 пс) происходит перераспределение энергии между кинетической и потенциальной (быстрая релаксация, см. вставку на рис.2.). После этого релаксация системы продолжалась ещё в течение 10000 шагов, что соответствует примерно 0,1 нс, (рис.2, область 1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

На втором этапе образец мгновенно нагрели до T =1,2. После релаксации температура установилась равной 0,9, (рис.2 область 2). Продолжая такое ступенчатое нагревание, мы достигли температуры 1,6, при которой образец через ~0,1 нс самопроизвольно расплавился (рис.2 область 5). Плавление в нашем ансамбле сопровождается уменьшением кинетической энергии и увеличением потенциальной. Температура образца при этом опустилась до 1,32 е/k_В.

Заметим, что температура получившейся жидкости (Т =1,32) оказалась ниже, чем температура кристалла на предыдущей стадии нагрева (Т =1,4 е/k_В). Однако продолжительная релаксация кристалла при Т =1,4 не привела к его плавлению, см. рис.2 кривая 4'. Это показывает, что при небольшом перегреве кристалл остаётся достаточно устойчивым.

Функции радиального распределения (ФРР), рассчитанные для данной модели, показывают происходящие структурные изменения, рис.3. По мере нагрева острые пики ФРР кристаллической структуры (рис.3,а) размываются, однако дальний порядок хорошо заметен и при T = 1,6, пока образец остается кристаллическим, рис.3,б. При переходе к жидкости дальний порядок исчезает, колебания радиальной функции быстро затухают с расстоянием, рис.3,в.

Плавление неплотного кристалла ГЦК.

Поскольку мы работаем в NVE ансамбле, то при плавлении образца средняя плотность не меняется. Жидкость, полученная после плавления плотного кристалла, имеет завышенную плотность и соответствует состоянию при высоком давлении. Для получения модели жидкости с нормальной плотностью был взят кристаллический образец с плотностью, соответствующей жидкой фазе, с = 0,85 (плотность тройной точки для леннард-джонсовской жидкости). В качестве исходной конфигурации мы вновь взяли кристалл ГЦК, но на этот раз межатомное расстояние равнялось 1,056у. Нагрев образца проводился аналогично вышеописанному, т.е. мгновенный нагрев (примерно на 0,25 е/k_В) и последующая релаксация системы. Плавление в данном случае произошло при температуре, примерно равной 0,6. На рис.4 показан только этап плавления.

Функции радиального распределения, рассчитанные для этой модели, аналогичны приведенным на рис.3. До тех про пока не началась «перекачка» кинетической энергии в потенциальную, в системе сохраняется дальний порядок, что видно по пикам на ФРР до больших значений r. После того, как установится новое равновесие между кинетической и потенциальной энергией, кристаллическая структура полностью исчезает, и система представляет собой жидкость с характерным быстрым затуханием ФРР.

Более подробно внутреннюю структуру образца можно представить с помощью метода Вороного-Делоне. Для визуализации структуры мы рисуем центры симплексов, имеющих форму хороших тетраэдров [1,2]. Если хорошие тетраэдры смежны по граням, то их центры соединяем линией. При таком подходе идеальному кристаллу ГЦК соответствуют ряды изолированных точек [8,9], (в структуре ГЦК тетраэдры контактируют только ребрами). По мере нагрева модели ровные ряды симплексов расстраиваются и появляются нетипичные для структуры ГЦК кластеры тетраэдрических симплексов, в частности, появляются тетраэдры, смежные по граням (рис. 5 а).

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

Затем происходит постепенное накопление и рост локальных дефектов, которые сливаются друг с другом, образуя единую область неупорядоченной структуры. При этом в модели еще остаются островки кристалла (рис. 5 б), которые, однако быстро тают, и в результате остается однородная жидкая фаза (рис. 5 в). Заметим, что характер процесса плавления является одинаковым для обоих рассмотренных нами случаев: для плотного и неплотного кристаллов.

Кристаллизация

Для изучения кристаллизации мы охлаждали полученную выше модель жидкой фазы с плотностью 0,85. Охлаждение проводилось ступенчато, подобно тому, как мы нагревали кристалл на рис.2. Кинетическая энергия мгновенно уменьшалась (на величину, соответствующую понижению температуры на 0,1), и после этого происходила релаксация системы, см. рис. 6, области I-IV. Такое охлаждение продолжали до тех пор, пока в образце не началась структурная перестройка, начало которой четко видно по резкому росту кинетической энергии в области IV при достижении температуры 0,32.

В отличие от плавления, где кристалл переходит в «единообразную» неупорядоченную фазу, при кристаллизации наблюдается разнообразие возникающих структур. Это понятно, поскольку вид кристаллических ядер, характер дефектов и их пространственное расположение могут быть весьма специфичны. Для исследования этого вопроса мы рассмотрели несколько моделей кристаллизующейся жидкости, полученных в идентичных условиях. Мы стартовали из одной и той же конфигурации жидкой фазы с заданной кинетической энергией, однако начальные направления скоростей атомов задавались случайными. Поведение трех таких моделей показано на рис.6 кривыми 1-3. Сразу можно отметить, что структурная перестройка в этих моделях (рост кинетической энергии) начинается уже в разные моменты времени. Общим для всех моделей оказалось то, что первый этап изменения структуры заканчивается при Т = 0,4. После этого в течение некоторого времени наблюдается «стабильная» эволюция системы. Как показал наш анализ, жидкость с плотностью 0,85, переохлажденная до температуры 0,32, сначала переходит в более плотное неупорядоченное состояние, а собственно кристаллизация образца начинается только после этого. Заметим, что поскольку объём модельного куба у нас не меняется, то после возникновения плотной неупорядоченной фазы при Т = 0,4 в модели появляется компактная полость («пузырек») диаметром в несколько у. Однако эта полость занимает малый объем по сравнению с модельным боксом и не мешает наблюдению за дальнейшими структурными перестройками в системе.

На рис.7 а-г показана структура конфигураций модели 1 в разные моменты времени (показанные стрелками на рис.6, кривая 1). Точки внутри модельного бокса, как и на рис.5, изображают центры симплексов Делоне хорошей тетраэдрической формы, а линии соединяют центры таких симплексов, если они имеют общую грань. На рис.7 а мы видим зарождение кристалла. Как только кристаллический зародыш возник, он начинает быстро расти (что видно по быстрому росту кинетической энергии), и буквально через 0,1 нс кристаллическая фаза занимает уже половину образца, рис.7 б, а еще через 0,15 нс кристаллическая фаза заполняет весь образец, однако в ней остается много дефектов рис.7, в. Дальнейшее изменение кинетической энергии замедляется, принципиальных структурных перестроек больше не происходит, идет постепенное «залечивание» дефектов. Тем не менее, этот процесс идет неравномерно. Так, в момент, указанный стрелкой г на кривой 1 (рис.6), видно небольшое но достаточно резкое изменение кинетической энергии образца, в результате чего исчезла существенная часть дефектов, и качество кристаллической структуры заметно возросло, рис.7 г.

Отметим, что наблюдаемые ряды коротких отрезков означают ряды пар тетраэдров, смежных по граням. Такие пары тетраэдров (треугольные бипирамиды) являются характерным элементом структуры ГПУ. Возможность появления слоев ГПУ структуры внутри структуры ГЦК - хорошо известный факт. Это результат нарушения чередования кристаллических плоскостей. Порядок чередования плоскостей, свойственный для кристалла ГЦК, представляют как АВСАВС... , а порядок, свойственный кристаллу ГПУ - как АВАВ… Однако при наличии сбоев возможна, например, последовательность АВСАВАВАВС, т.е возникают участки, свойственные структуре ГПУ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

В общих чертах результирующая картина кристаллизации примерно одинакова для всех изученных моделей. Основной кристаллической структурой является структура ГЦК. Однако в ней всегда остаются дефекты; обязательным типом дефектов являются нарушения чередования кристаллических плоскостей, что приводит к наличию слоев структуры ГПУ. [8,9] Другое дело, что конкретное расположение дефектов в разных моделях оказывается непредсказуемым.

Однако в процессе кристаллизации возможны нетривиальные структурные превращения. Интересный пример дает модель 2 (см. рис.6, кривая 2). Здесь при кристаллизации, в момент времени, помеченный на рис. 6 стрелкой д, возникли структуры с 5-кратной симметрией. На рис.8 д они видны как стопки пятичленных колец. Такие стопки ранее наблюдались в моделях упаковок твердых сфер, в которых имеются кристаллические ядра [2].

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

Возникшая структура оказалась относительно устойчивой и просуществовала в течение 0,1 нс. Однако затем кристаллизация продолжилась, и в результате к моменту, помеченному стрелкой е на рис.6, получилась нормальная кристаллическая фаза с уже знакомыми дефектами, рис.8 е.

Пятичленное кольцо в нашем подходе означает замкнутый агрегат из пяти хороших тетраэдров. Такая структура (пентагональная бипирамида, образованная семью атомами) хорошо известна для плотных моноатомных систем и упаковок сфер [10-12], рис.9а. Она представляет собой часть икосаэдрической укладки атомов. Однако икосаэдры типичны только для малых атомных кластеров и практически не встречаются в объемных образцах. Для объемных неупорядоченных плотных упаковок сферических атомов (в системах с периодическими граничными условиями) типичны отдельные пентагональные бипирамиды [1, 10, 12,13], а при кристаллизации могут образовываться стопки из таких конфигураций - полидекаэдры [2]. Такая стопка является «осью» пентагональной призмы. Возможность существования пентагональных призм в упаковках сферических атомов в свое время подробно исследовалась в кристаллографии [11, 14-16]. Возможны так называемые структуры Багли. Такая структура имеет одну ось пятого порядка и однородно заполняет пространство [11,17,18]. В каждом секторе призмы реализуется кристаллическая структура, несколько отличающаяся от плотнейших упаковок (объемоцентрированная орторомбическая с плотностью 0,7236 [11]), а на границах секторов за счет изменения чередования кристаллических плоскостей происходит «поворот» этой структуры на угол, равный пятой части полного угла: 2р./5, рис.9, б.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

Однако с увеличением размера пентагональной призмы кристаллическая структура в ее секторах переходит в более устойчивую - ГЦК. Поэтому в кристаллографии такая структура обычно рассматривается как 5-кратный двойник структуры ГЦК. Тем более, что структура ГЦК характерна тем, что в ней выделяются макро-области правильной тетраэдрической формы, которые можно уложить в кольцо. Но здесь имеется другая проблема - двугранный угол идеального тетраэдра равен примерно 70,5 градусам, т.е.чуть меньше пятой части полного угла, а поэтому в пятикратном двойнике кристалла ГЦК остается щель в 7,5 градуса, см. рис.9, в. Однако в эксперименте (физическом или компьютерном), где атомы возмущены тепловыми движениями, такая щель легко замывается, и вопрос о природе пентагональной призмы (является она структурой Багли или пятикратным двойником ГЦК) становится непринципиальным.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

Модель 3 (кривая 3 на рис.6) демонстрирует возникновение более устойчивой структуры с пятикратной симметрией, чем модель 2. Здесь, кроме отдельных стопок пятичленных колец, имеется достаточно крупный фрагмент структуры с осью симметрии пятого порядка, рис.10. В результате, за время нашего молекулярно-динамического эксперимента, в данной модели так и не образовалось единого кристалла, получились отдельные ядра с различной ориентацией. Разумеется, потенциальная энергия такой системы выше, чем в сплошном кристалле ГЦК, что объясняет более низкую кинетическую энергию данной модели по сравнению с моделями 1 и 2, см. рис.6.

Выводы

В данной работе мы исследуем плавление и гомогенную кристаллизацию леннард-джонсовской системы, используя метод молекулярной динамики в NVE ансамбле. Создана специальная программа, время расчета которой возрастает линейно с числом атомов в модели (O(N)), что отличает ее от многих доступных программ, эффективность которых квадратична со временем (O(N²)). Этот момент является принципиальным для данной задачи. Во-первых, наши модели должны быть достаточно большими, по крайней мере превышать характерный размер возникающих при плавлении и кристаллизации структурных неоднородностей. Кроме того, изучаемые процессы происходят за сравнительно долгие времена, и скорость работы программы является критическим фактором.

Мы работаем с леннард-джонсовской системой, содержащей 10976 атомов в модельном боксе с периодическими граничными условиями. Расчет проведен на временах до 1,6 нс. Показано, что при плавлении кристалла первоначально возникают локальные дефекты, которые растут и превращаются в области неупорядоченной фазы (жидкость). Постепенно они заполняют весь объем образца, поглощая остатки островков кристаллической фазы. Кристаллизация жидкости, аналогично, начинается с появления кристаллических зародышей, которые, вырастая, дают дефектный кристалл. Конкретная структура получающегося кристалла оказывается весьма различной в разных реализациях одной и той же модели. Тем не менее, преобладающей является структура ГЦК. Области со структурой ГПУ присутствуют главным образом на границах областей ГЦК и возникает как следствие нарушения порядка в чередовании атомных плоскостей. В процессе кристаллизации, кроме обычных кристаллических ядер, наблюдаются структуры с осью симметрии пятого порядка - пентагональные призмы, которые можно интерпретировать как пятикратные «двойники» структуры ГЦК.

Благодарности. Работа сделана при поддержке гранта РФФИ 05-01-32647.

Литература

1. Медведев Н.Н. / Метод Вороного-Делоне в исследовании структуры некристаллических систем. - Изд. СО РАН, Новосибирск. - 2000. - С. 214.

2. Медведев Н.Н., Безруков А., Штоян Д. // Журн. структур. химии. - 2004. - 45. - С. 24 - 31.

3. Метод молекулярной динамики в физической химии. / Ред. Ю.К. Товбин. - М.: Наука, 1996.

4. Allen M.P., Tildesley D.J. // Computer simulation of liquids. - Clarendon Press: Oxford, 1987. - P. 386.

5. Frenkel D., Smit B. // Understanding molecular simulation: from algorithm to applications.

a. Academic Press, USA: San Diego, 1996. - P. 444.

6. Haile J.M. // Molecular dynamics simulation: elementary methods. - “John Wiley & Sons”: New York, 1997. - P. 490.

7. Verlet L.// Phys.Rev. - 1967. - Vol. 159. - P.98 - 103; Ibid. - 1968. - Vol. 165. - P.201 - 214.

8. Алинченко М.Г., Медведев Н.Н.// Применение метода Вороного-Делоне для исследования структуры дефектов в кристаллах. Труды 10-ой российской конференции "Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов". - Изд.ЮурГУ, Екатеринбург - Челябинск. - 2001. - Том 1. - C. 19 - 23.

9. Medvedev N.N // Physica. - 2002. - A 314,. - P. 678 - 685.

10. Bernal J.D. // Proc. R. Soc. - London, 1964. - A280, - P. 299 - 322.

11. Bagley B.G. // Nature. - 1965. - 208, - P. 674 - 675.

12. 12 . Spaepen F. // Nature. - 2000. - 408, - P. 781 - 785.

13. O'Malley B., Snook I. // Phys.Rev.Lett. - 2003. - 90(8), - P. 085702.

14. Hofmeister H. // Cryst. Res. Technol. - 1998. - 33. - P. 3 - 25.

15. Grysnov V.G., Heydenreich J., Kaprelov A.M., Nepijko S.A., Romanov A.E., Urban J. // Cryst. Res. Technol. - 1999. - 34. - P. 1091 - 1119.

16. Bulienkov N.A., Tytik D.L. // Изв.Академии.Наук - 2001. - 1. - P. 1 - 19.

17. Bagley .B.G. // J.Crystal Growth. - 1970. - 6. - P. 323 - 326.

18. Киттель Ч. Введение в физику твёрдого тела. - М. : Наука, 1978.

Размещено на Allbest.ru