Математическое моделирование процесса охлаждения во взвешенном зернистом слое

Производство минеральных гранулированных удобрений и других зернистых продуктов (обесфторенных фосфатов, технических солей) в настоящее время базируются на нескольких типовых технологических схемах [1]. При разработке более совершенных технологических схем разработчики и проектировщики сталкиваются с трудностями подбора необходимого оборудования для операционных отделений производства, в частности, для охлаждения гранул после их грануляции и сушки. Наиболее эффективными аппаратами для осуществления указанных целей являются аппараты взвешенного слоя [2]. Однако разработку и внедрение аппаратов со взвешенным слоем на многих производствах сдерживает отсутствие надежных и корректных методов их расчета, которые должны вытекать из математического моделирования протекающего в аппарате технологического процесса.

Разработке и анализу математических моделей процесса теплопереноса в газодисперсных системах посвящен ряд публикаций [3-9]. В данных источниках большинство математических моделей представлено достаточно сложными уравнениями, которые решаются только приближенными методами и позволяют анализировать параметры технологического процесса лишь качественно. Более «практичные» математические модели не описывают процесс теплопереноса в целом для системы, а охватывают только отдельные стадии теплообмена для зернистого слоя - внешнюю или балансовую. Тепловой расчет охладителя, вытекающий из «внешней» задачи теплообмена, сводится к решению уравнений теплового баланса (определению расхода охлаждающей среды или конечной температуры продукта), базируется на стационарности гидродинамических режимов и является весьма упрощенным. Использование «внутренней» задачи теплообмена при определении времени охлаждения гранул аммиачной селитры известно только в работе [10], но не может быть корректным ввиду того, что рассматривается теплоперенос только для одиночной частицы.

Корректное и более точное определение кинетических параметров процесса конвективного охлаждения частиц во взвешенном слое материала (темпа и времени охлаждения, температурного профиля) возможно только при математическом моделировании в логической взаимосвязи «одиночная частица - ансамбль частиц - взвешенный слой (в масштабе аппарата с учетом гидродинамики потоков)».

С этой целью на основе системного анализа [11] была разработана математическая модель процесса конвективного охлаждения во взвешенном слое материала, включающая несколько иерархических уровней. Первый уровень рассматривает совокупность теплофизических параметров, определяющих скорость протекания теплообменного процесса в локальном объеме по отношению к одиночной частице. Второй уровень рассматривает процесс теплопереноса в выделенном элементарном объеме с несколькими частицами (ансамбль частиц). Третий уровень рассматривает теплоперенос, протекающий в масштабе рабочего объема аппарата с учетом гидродинамической модели движения потока материала.

Процесс теплопереноса на первом уровне рассматриваем в случае, когда критерий 0Bi. В данном случае возникает необходимость расчета температуры в центре твердой частицы t_ц (максимальной во всем объеме частицы) при ее теплообмене с окружающей средой. Принимаем: частица шарообразной формы радиусом R, представляет собой однородную и изотропную среду, характеризуется определенными величинами температуропроводности (a_Т), теплоемкости (c_Т) и плотности (_Т). Температура окружающей среды t_с и коэффициент теплоотдачи остаются постоянными в течение всего процесса охлаждения .

Процесс теплопереноса описывается дифференциальным уравнением теплопроводности[12]

_Т (1)

Начальные условия, предусматривающие равномерное распределение температуры по объему твердой частицы в начальный момент времени ₀, представляются в виде

> _o , 0 < r < R, t (r, _o ) = f(r). (2)

Условия симметрии имеют вид

t ( 0, ) , . (3)

Решение уравнения (1) методом разделения переменных представляется в общем виде

, (4)

где A_n - постоянная; _n - корень уравнения; Fo - критерий Фурье.

Как указывалось выше, процессы конвективного теплообмена во взвешенных слоях включают две стадии: теплообмен между потоком ожижающего агента и поверхностью твердых частиц и перенос тепла внутри самих частиц. В зависимости от того, какая из этих стадий - первая или вторая - лимитирует скорость процесса, говорят соответственно о «внешней» или «внутренней» задаче теплообмена, при соизмеримости скоростей обеих стадий - о «сложной» задаче. Разграничение «внешней» и «внутренней» задач возможно, как известно [7, 12], по значению критерия Bi. Если Bi0,1 - задача теплообмена считается «внешней» (термическим сопротивлением внутри частицы пренебрегаем), если Bi20 - задача теплообмена считается «внутренней».

Проанализируем два предельных случая применительно к взвешенным слоям зернистого материала (например, режиму псевдоожижения). Допустим, критерий Bi=0,1 (верхняя граница «внешней» задачи). При данном значении критерия Био величина критерия Нуссельта (Nu) должна быть около Nu=2-2,5 (=27-35 Вт/м²К), что характерно только для дисперсных потоков с низкой концентрацией частиц, когда столкновения между ними незначительны, относительные скорости их небольшие и конвективной составляющей теплопереноса можно пренебречь. Понятно, что для псевдоожиженных систем данные свойства нехарактерны, так как средние значения коэффициента теплоотдачи для таких систем достигают =150-200 Вт/м²К [3, 5, 9]. При данных значениях коэффициента теплоотдачи величина критерия Bi=0,1, а размер частиц должен быть равен 300 - 400 мкм. Материал, содержащий фракции частиц указанного размера, возможно, обрабатывать только в режиме пневмотранспорта, а для псевдоожижения в промышленности используются фракции 1-4мм. При Bi=0,1 коэффициент теплопроводности частиц равен _Т=2 Вт/мК, что является на порядок выше значений, характерных для гранул минеральных удобрений, частиц обесфторенного фосфата и многих технических солей. Таким образом, сугубо «внешней» задачи теплообмена не должно быть при моделировании процесса охлаждения (как и теплопереноса в целом) в аппаратах взвешенного на газораспределительной решетке слоя.

Допустим, критерий Bi=20 (нижняя граница «внутренней» задачи теплообмена). При этом возможны только такие ситуации: коэффициент теплоотдачи равен =7000 Вт/м²К, что характерно только для высокотурбулизированного потока жидкости, кипения ее или конденсации пара; коэффициент теплопроводности равен _Т=0,01 Вт/мК, что характерно только для газов; размер твердых частиц равен 70 мм, что характерно для крупнокускового материала, который не обрабатывается в аппаратах взвешенного слоя. Безусловно, для моделирования теплопереноса при псевдоожижении мелкозернистого материала потоком воздуха неприемлема и сугубо «внутренняя» задача.

Таким образом, при моделировании процесса теплопереноса во взвешенных слоях зернистого материала имеем «сложную» задачу теплообмена, когда 0,1Bi20. В данном случае к уравнению (1) применимы граничные условия 3-го рода, предусматривающие равенство количеств тепла, подведенного изнутри частицы к ее поверхности и отданного поверхностью частицы в окружающую среду:

_Т . (5)

Тогда уравнение (4) приобретает вид

, (6)

где постоянная . (7)

Поскольку процесс охлаждения является достаточно продолжительным, то критерий Фурье Fo0,3, бесконечный ряд (6) быстро сходится и можно ограничиться только первым членом ряда (n=1).

Полагаем в уравнении (6) R0 (центр частицы). Тогда [sin_n(r/R)/_n(r/R)] 1 и уравнение (6) принимает вид

.(8)

Температура в центре частицы равна

.(9)

Корень ₁² уравнения (9) равен

, (10)

а постоянная В₁ определяется по специальным таблицам [12].

Выражение для определения времени охлаждения частиц получаем, решая уравнение (8) относительно (входит в критерий Fo):

.(11)

Длительность процесса охлаждения является важнейшим кинетическим параметром, влияющим на энергозатраты и габариты аппарата. В инженерных расчетах принято пользоваться графиками вида

.(12)

Такие графики как в первоисточнике [12], так и в других литературных источниках представлены только для условий нагрева шарообразных частиц. Графики для процесса охлаждения представлены в литературе гораздо реже (известно, по крайней мере, [13, 14]). Данные графики построены исходя из аналитических решений уравнения теплопроводности и являются графической интерпретацией результатов расчета, а поэтому неточны. Так по уравнению (9) температура центра частицы в процессе охлаждения от начальной температуры t_н=75 ⁰С получается равной t_ц=38 ⁰С, по графику [13] - t_ц=34 ⁰С, по графику [14] - t_ц=28 ⁰С. Соответственно время охлаждения частиц по формуле (11) равно _ох=5,3 с, а исходя из графиков _ох=3,3 с. То есть ошибка графического определения указанных параметров составляет 10 - 40 %.

В то же время определение температуры частицы и времени ее охлаждения по уравнениям (9)-(11) связаны с трудностями выбора постоянной В₁. Значения данных постоянных в зависимости от величины критерия Био приводятся в таблицах только первоисточника [12], который в настоящее время является библиографической редкостью.

В связи с этим автором с помощью метода наименьших квадратов были обработаны данные таблиц [12] и получены уравнения регрессии для различных диапазонов значений критерия Био:

В₁=0,290(Bi) + 1,0 , при 0,1Bi 1,0, (13)

В₁=0,183(Bi) + 1,1 , при 1,0Bi 2,0, (14)

В₁=0,130(Bi) + 1,22 , при 2,0 Bi 4,0. (15)

Диапазон 0,1B_i4,0 характерен для взвешенных (псевдоожиженных) систем. Сравнение результатов расчета по уравнениям (13)-(15) с эталонными данными таблиц [12]показало относительную погрешность не более 1-1,2 %.

Процесс теплопереноса на втором уровне рассматриваем в условиях, при которых параметры непрерывно изменяются как во времени, так и в пространстве вдоль траектории движения частиц в пределах выделенного объема V.

Дифференциальное уравнение теплового баланса для выделенного объема запишется в виде суммы составляющих количеств тепла, поступающего и уходящего из элементарного объема с твердыми частицами и отводимого от поверхности твердых частиц за счет конвекции:

.(16)

Уравнение (16) невозможно решать классическими математическими методами, поэтому проведем преобразования. Представим объемную концентрацию частиц в слое N (шт./м³) как

(17)

и выражение

NR²=F_сл=6(1-)/d, (18)

где G_р - относительный расход как отношение расходов продукта и воздуха, (кг/кг); - порозность слоя; d - средний диаметр частиц в слое,(м); u_Т - скорость твердых частиц по оси x, (м/с).

Отбрасывая в уравнении (16) знаки интегрирования и учитывая условия нормирования функции распределения частиц по размерам

(19)

получаем

.(20)

Решение уравнения (20) позволяет получить выражение для расчета температурного профиля во взвешенном слое зернистого материала с учетом особенностей гидродинамики потока в рабочем объеме аппарата (третий уровень).

Если в уравнении (20) для режима идеального вытеснения предположить, получим

. (21)

Для режима идеального смешения в уравнении (20) предположим

. Тогда получим

. (22)

По формулам (21) и (22) были рассчитаны профили температур во взвешенном слое гранулированного суперфосфата. Относительная погрешность расчетных значений от экспериментальных данных не превышает 10- 20 %, то есть находится в пределах точности инженерных расчетов.

Разработанная математическая модель позволила составить инженерный метод расчета охладителей взвешенного зернистого слоя, который состоит из двух основных этапов: 1) по уравнениям (10), (11),(13)-(15) определяют время охлаждения частиц до технологически необходимой температуры t_к; 2) по уравнению (21) или (22) определяют конечную температуру материала t_к исходя из условий: t_к t_к, _{ох пр} , _ох (x/u_Т).

На основании изложенной методики разработаны блок-схема и программа расчета на ЭВМ охладителя полочного типа гранулированного суперфосфата с применением языка программирования Turbo Pascal версии 7.0. Расчет позволяет определить рациональные режимные параметры процесса и габариты охладителя с незначительными энергозатратами. Разработанный метод расчета позволил определить также рациональные режимные параметры и габариты охладителя-пневможелоба для охлаждения гранулированного сульфата алюминия.

Перспективы дальнейших исследований в данном направлении должны быть направлены на разработку математических моделей теплопереноса с учетом истинных скоростей фаз, так как данный подход позволит определить рациональные с точки зрения энергосбережения технологические параметры процесса.

SUMMARY