Оцінка швидкості зростання популяції бактерій за допомогою математичної моделі

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Національний авіаційний університет

Факультет екологічної безпеки і технологій

Кафедра екології

Курсова робота

з дисципліни: «Моделювання та прогнозування стану довкілля»

та тему:

Оцінка швидкості зростання популяції бактерій за допомогою математичної моделі

Виконала: студентка

ІІІ курсу групи ЕК-301

Хілько Вікторія Олегівна

Перевірив:

Горбач І.М.

Київ 2021



ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ТА ЇЇ ВИКОРИСТАННЯ

1.1 Характеристика математичної моделі

1.2 Використання математичної моделі в екології

РОЗДІЛ 2. ХАРАКТЕРИСТИКА БАКТЕРІЙ

2.1 Біотичний потенціал бактерій

2.2 Фізіологія досліджуваних бактерій

РОЗДІЛ 3. РОЗРАХУНОК ТА СТВОРЕННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ

3.1 Розрахунок та отримання потрібних значень

3.2 Обрахунок отриманих значень

3.3 Створення математичної моделі

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ДОДАТКИ



ВСТУП

Математичні моделі широко використовують в екології, так як з їх допомогою можна відслідкувати швидкість зростання організмів, у нашому випадку - бактерій.

Бактерії швидко розмножуються, і відслідкувати динаміку їх зростання допомагає математична модель, за допомогою експоненціального закону. В результаті, можемо оцінити біотичний потенціал живих організмів, так як бачимо динаміку їх зростання.

Мета роботи полягає в оцінці біотичного потенціалу бактерій, що розмножуються за експоненціальним законом та створення математичної моделі.

Досягнення зазначеної мети передбачає розв'язання таких завдань:

Охарактеризувати математичну модель та її використання в екології;

Оцінити біотичний потенціал бактерій;

Охарактеризувати фізіологію досліджуваних бактерій

Розрахувати отримані значення;

Створити математичну модель росту бактерій;

Об'єкт дослідження - ріст популяції бактерій певного виду в зручному для них середовищі;

Предмет дослідження - створення математичної моделі зростання популяції бактерій



РОЗДІЛ 1. МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ТА ЇЇ ВИКОРИСТАННЯ

1.1 Характеристика математичної моделі

Математична модель -- система математичних співвідношень, які описують досліджуваний процес або явище. Математична модель має важливе значення для таких наук, як: економіка, екологія, соціологія, фізика, хімія, механіка, інформатика, біологія та ін.

При отриманні математичної моделі використовують загальні закони природознавства, спеціальні закони конкретних наук, результати пасивних та активних експериментів, імітаційне моделювання за допомогою обчислювальних машин. Математичні моделі дозволяють передбачити хід процесу, розрахувати цільову функцію (вихідні параметри процесу), керувати процесом, проектувати системи з бажаними характеристиками.

Для створення математичних моделей можна використовувати будь-які математичні засоби -- мову диференційних або інтегральних рівнянь, теорії множин, абстрактної алгебри, математичну логіку, теорії ймовірностей, графи та інші. Процес створення математичної моделі називається математичним моделюванням. Це найзагальніший та найбільш використовуваний в науці, зокрема, в кібернетиці, метод досліджень.

Якщо відношення задаються аналітично, то їх можна розв'язати в замкнутому вигляді (явно) відносно шуканих змінних як функції від параметрів моделі, або в частково замкнутому вигляді (неявно), коли шукані змінні залежать від одного або багатьох параметрів моделі. До моделей цього класу належать диференціальні, інтегральні, різницеві рівняння, ймовірнісні моделі, моделі математичного програмування та інші.

Якщо не можна здобути точний розв'язок математичної моделі, використовуються чисельні (обчислювальні) методи або інші види моделювання.

У залежності від того, якими є параметри системи та зовнішні збурення математичної моделі можуть бути детермінованими та стохастичними. Останні мають особливо важливе значення при дослідженні і проектуванні великих систем зі складними зв'язками і властивостями, які важко врахувати. Математичний опис неперервного процесу (наприклад, диференційними рівняннями) являє собою неперервну математичну модель.

Якщо ж математична модель описує стан системи тільки для дискретних значень незалежної змінної і нехтує характером процесів, які протікають у проміжках між ними, то така модель є дискретною (тут важливим є вибір кроку дискретності, від якого залежить точність опису реального об'єкта його математичною моделлю). Якщо параметри об'єкта, для якого розробляють математичну модель, можна вважати незалежними від часу, то така система описується стаціонарною моделлю, характерна особливість якої -- постійні коефіцієнти. У протилежному випадку математична модель є нестаціонарною.

При математичному моделюванні орієнтуються на моделі стандартного вигляду, які забезпечені відповідним математичним апаратом. Так фізичні процеси характеризуються просторово-часовими співвідношеннями і у загальному випадку описуються диференційними рівняннями у часткових похідних.

Важливим моментом структурування моделі є феноменологічний метод, коли субпроцеси можуть бути представлені окремими моделями, вихідні величини яких є вхідними для інших (наступних) субпроцесів. У цьому випадку математична модель складного процесу являє собою систему моделей (рівнянь), знайдених для кожного субпроцесу.

Для розробки математичних моделей широко використовується диференційне числення, теорія множин, матриці і графи, а також планування експерименту. Відповідно розрізняють теоретико-множинні, матричні, топологічні та поліномні математичні моделі.

Наведемо декілька прикладів математичної моделі:

Модель Мальтуса -- закон про пропорційну залежність між швидкістю росту і розміром популяції.

Система хижак-жертва (Вольтерри-Лотки) -- показує залежність між чисельністю хижаків та жертв.

Модель оптимальної поведінки покупця -- виражає вибір покупця між множиною продуктів при обмеженому бюджеті.

Модель Гарячого Всесвіту.

Математичні моделі мають велике значення в галузі природничих наук, зокрема, у фізиці . Фізичні теорії майже завжди виражають за допомогою математичних моделей.

Протягом всієї історії, були розроблені менш і більш точні математичні моделі. Закони Ньютона точно описали багато повсякденних явищ, але в певних межах ситуацію краще і правильніше описують теорія відносності і квантова механіка, проте вони не застосовуються до всіх ситуацій і потребують подальшого доопрацювання. Це потрібно, щоб отримати менш точні моделі у відповідних межах, наприклад, релятивістська механіка зводиться до механіки Ньютона на швидкостях набагато менших за швидкість світла. Квантова механіка зводиться до класичної фізики, коли квантові числа високі.

Вони є загальними для використання ідеалізованих моделей у фізиці, щоб спростити речі. Безмасові мотузки, точкові частинки, ідеальні гази і частинки в полі серед багатьох спрощених моделей, що використовуються у фізиці. Закони фізики представлені у вигляді простих рівнянь, таких як закони Ньютона, рівняння Максвелла і рівняння Шредінгера. Ці закони, є основою для створення математичних моделей реальних ситуацій. Більшість реальних ситуацій є дуже складними і, таким чином, моделюється приблизно на комп'ютері, моделі, які можна обчислити зроблені з основних законів або наближених моделей, зроблених з основних законів. Наприклад, молекули можуть бути змодельовані молекулярних орбіталей моделей, які наближені рішення рівняння Шредінгера.

Різні математичні моделі використовують різні геометричні описи, які не обов'язково точними описами геометрії Всесвіту. Евклідова геометрія часто використовується в класичній фізиці, в той час як спеціальна теорія відносності і загальна теорія відносності є прикладами теорій, які використовують в геометрії, що не є Евклідовою.

1.2 Використання математичної моделі в екології

Для отримання нових факторів та формування гіпотез і теорій сучасна екологія використовує різні наукові методи. Їх можна розділити на дві великі групи - емпіричні та теоретичні.

У випадку з емпіричними методами екологи працюють із природними об'єктами, визначаючи їх властивості. Також до таких методів відносять спостереження й експеримент.

У разі теоретичних методів досліджують моделі природних об'єктів. Наприклад, застосовують такі види моделей: словесні, графічні, математичні, фізичні, геоінформаційні тощо. У теоретичних методах виділяють моделювання обробку даних.

Моделювання використовується в тих ситуаціях, коли проведення реального експерименту неможливе. Так, наприклад, досліджують еволюційні процеси, зміни екосистем у планетарному масштабі тощо.

У сучасних математичних моделях виділяють тактичні і стратегічні моделі.

Тактичні моделі розглядають окремі екосистеми з метою прогнозування їхнього стану при різноманітних впливах.

Стратегічні моделі будуються в основному із дослідницькими цілями для окреслення загальних властивостей екологічної системи, таких як стабільність, усталеність, спроможність до саморегуляції.

Одним з важливих напрямків у цих дослідженнях є математичне моделювання біологічних популяцій. Воно застосовується для вирішення таких завдань як збереження зникаючих і рідкісних видів, прогнозування чисельності промислових популяцій і розробка оптимальних стратегій промислу, вивчення впливу антропогенних факторів на чисельність біологічних видів і інших.

Ефективними формами моделювання є математичне та імітаційне моделювання, які відображають найістотніші особливості реальних об'єктів, процесів, явищ і систем, що вивчаються різними науками, в т. ч. біологією та екологією.

Використовують багато способів і прийомів математичного моделювання, при цьому в назві математичної моделі часто відображають назву математичного методу, застосованого при її побудові, наприклад, розрізняють моделі дискретні й неперервні, детерміністичні й стохастичні, аналогові й символічні та ін.

Класифікують моделі за характером використання початкової інформації, типом (видом) математичного методу, ступенем адекватності моделі і реальної системи, рівнем конкретизації об'єкта, за характером опису ними просторових характеристик (властивостей) реальної системи.

Моделями із зосередженими значеннями (параметрами), або точковими, називають моделі, в яких просторові характеристики природної системи не враховуються, тобто ці моделі описують такі характеристики (параметри), які залежать тільки від часу. Моделями з розподіленими значеннями (параметрами) називають моделі, в яких враховують зміни характеристик не тільки в часі, а й у просторі, тобто шукані характеристики (параметри) залежать як від часу, так і від точки простору. Для теоретичних досліджень найперспективнішими є детерміновані моделі з розподіленими параметрами. Однак варто ширше реалізовувати можливості простих концептуальних моделей, особливо тих, що фізично обґрунтовані. Прості моделі в практичному застосуванні є мобільнішими, хоча вони й не здатні відтворювати весь можливий спектр природних умов.

Більшість математичних моделей, що використовуються в різних галузях природничих і суспільних наук, можна поділити за критерієм використовуваних методів ще на такі великі класи: математичні, або аналітичні, моделі і імітаційні, або системні, моделі.

Вважають, що в математичних моделях використовують переважно аналітичні методи, зокрема апарат сучасного математичного аналізу та інших розділів математики, а в імітаційних моделях застосування засобів інформатики і сучасних ПК є основним і принципово обов'язковим елементом дослідження.

Чітко розмежовувати види моделювання складно, оскільки в математичних (аналітичних) моделях часто доводиться використовувати чисельний експеримент із застосуванням ЕОМ, а в імітаційних (системних) моделях неможливо обійтися без аналітичного розв'язування поставленої задачі

Як правило, під час дослідження конкретного процесу або явища природи можна побудувати кілька математичних (імітаційних) моделей. Кожна з них матиме певний теоретичний рівень, що характеризує її узагальненість та адекватність реальній системі, яку вона описує. Цей рівень передусім залежить від знань про об'єкт, процес або явище, для яких розробляють модель, та від рівня кваліфікації фахівця (математика, фізика, біолога) -- розробника математичної моделі. Крім цього, на рівень імітаційного математичного моделювання значною мірою впливають потужність ПК та його математичне забезпечення. Моделі не можуть бути одночасно і достатньо адекватними (реалістичними), і загальними (теоретичними). З найзагальніших математичних моделей, що описують широкий клас процесів і явищ, можна вивести (одержати) часткові математичні моделі, які описують уже конкретніші, вужчі сукупності явищ, що характеризуються додатковими зв'язками. У такий спосіб будують моделі різних рівнів, причому кожна модель нижчого рівня повинна бути погоджена з моделлю вищого рівня. Класичним прикладом математичних моделей високого рівня є закони збереження в механіці й фізиці: закон збереження маси, закон збереження енергії, закон збереження кількості руху та ін.

Процес побудови математичної чи імітаційної моделі не може бути чітко формалізованим та алгоритмізованим. Він завжди містить як елементи формалізації, відомих правил, законів і алгоритмів, так і елементи творчості й інтуїції, а отже, створює нові правила, підходи, алгоритми.

Найзагальнішим правилом побудови імітаційної математичної моделі є процес послідовних наближень (спосіб ітерацій), який полягає в тому, що при розробленні моделі на кожному етапі її уточнення враховують результати розрахунків за попереднім варіантом моделі, які порівнюють як з уже накопиченою інформацією або відомими даними експериментів чи натурних спостережень, так і з новою інформацією та даними про моделюючу систему. В процесі порівняння результатів моделювання з даними натурних спостережень або лабораторних експериментів визначають числові значення параметрів, що входять до математичних моделей і мають певний фізичний зміст (у статистичних моделях такі параметри не мають фізичного змісту -- тобто здійснюють верифікацію, або калібровку, математичної (імітаційної) моделі. Завдання полягає в тому, щоб визначити (дібрати) числові значення невідомих параметрів моделі так, щоб різниця між даними натурних спостережень і розрахунковими значеннями була мінімальною. Модель вважають верифікованою (каліброваною) в тому разі, коли результати розрахунків двох послідовних наближень збігаються із заданою точністю. Вважають, що найвагоміше значення для екології мають два види знакових моделей: математичні й концептуальні.



РОЗДІЛ 2. ХАРАКТЕРИСТИКА БАКТЕРІЙ

2.1 Біотичний потенціал бактерій

Біотичний потенціал це репродуктивний потенціал, найважливіший умовний показник, що відображає здатність популяції до розмноження, виживання та розвитку при оптимальних екологічних умовах, тобто до збільшення чисельності при відсутності лімітуючих факторів. Ідентичний показнику потенційного росту популяції.

Біотичний потенціал визначається або середньою величиною приплоду, або швидкістю, з якою при гіпотетично безперешкодному розмноженні особини даного виду покриють всю земну кулю рівномірним шаром.

Кількість особин після деякого часу (t) безперешкодного розмноження дорівнюватиме:

Де Д -- коефіцієнт, що характеризує темп розмноження виду. Час, необхідний для подвоєння чисельності популяціі, дорівнює 0,6931: Nt.

В експериментальних умовах Nt щурів виявилося рівним 0,104 на тиждень, причому подвоєння чисельності їхньої популяції відбувається за 6,76 тижнів. У звичайних умовах до величини біотичного потенціалу близька швидкість розмноження організмів з коротким життєвим циклом (бактерій при спалаху епідемії, водоростей при цвітінні води).

Різниця між біотичних потенціалом і реалізованою чисельністю особин популяції показує опір середовища. Хоча в природних умовах біотичний потенціал ніколи не реалізується (лімітують фактори навколишнього середовища), його визначення необхідне при розробці методів боротьби з економічно шкідливими видами, для збільшення чисельності корисних видів, а також охорони та раціонального використання тваринного світу, при екологічних експертизах технічних проектів, організації тваринницьких комплексів, рибних господарств тощо.

Чапман запровадив також «індекс живучості»:

Індекс живучості = (число народжених/число померлих)*100

Біотичний потенціал -- це найвище значення індекса живучості, можливе для виду. Воно досягається, коли народжуваність є найбільшою, а смертність мінімальна.

2.2 Фізіологія досліджуваних бактерій

Внутрішня структура. Внутрішня частина бактерії -- цитоплазма -- охоплюється однією або двома мембранами, що відділяють її від зовнішнього середовища. Внутрішня з цих мембран називається цитоплазматичною мембраною. У випадку двох мембран, друга мембрана називається зовнішньою, а простір між мембранами -- периплазмою. Гомогенна фракція цитоплазми, що містить набір розчинних РНК, білків, продуктів і субстратів метаболічних реакцій, називається цитозолем або гіалоплазмою. Інша частина цитоплазми представлена різними структурними елементами, що включають хромосому, рибосоми, цитоскелет та інші, характерні для окремих видів, немембранні структури, наприклад, газові везикули. Деякі бактерії формують внутрішньоклітинні гранули для зберігання живильних речовин, як-от глікоген, поліфосфат, сірка або полігідроксиалканоати, що дають бактеріям можливість зберігати ці речовини для подальшого використання.

Однією з основних відмінностей клітини бактерій від клітини еукаріотів є відсутність ядерної мембрани і, найчастіше, відсутність взагалі мембран всередині цитоплазми. Багато важливих біохімічних реакцій, наприклад, реакції енергетичного циклу, відбуваються завдяки іонним градієнтам через мембрани, створюючи різницю потенціалів подібно до батареї. Відсутність внутрішніх мембран у бактеріях означає, що ці реакції, наприклад, перенос електрона у реакціях електронно-транспортного ланцюжка, відбуваються через цитоплазматичну мембрану, між цитоплазмою і периплазмою.

Проте, у деяких фотосинтезуючих бактерій існує розвинена мережа похідних від цитоплазматичної фотосинтетичних мембран. У пурпурних бактерій (наприклад, Rhodobacter) вони зберегли зв'язок з цитоплазматичною мембраною, що легко виявляється на зрізах під електронним мікроскопом, але у ціанобактерій цей зв'язок або важко виявляється, або втрачений у процесі еволюції. Відомим класом мембранних органел бактерій, які більш нагадують еукаріотичні органели, але, можливо, теж зв'язані з цитоплазматичною мембраною, є магнетосоми, присутні у магнетотактичних бактерій.

Розмір бактерій. Бактерії можуть мати великий набір форм та розмірів (або морфологів). За розміром бактеріальні клітини звичайно в 10 разів менші, ніж клітини еукаріотів, маючи тільки 0,5--5,0 мм у своєму найбільшому розмірі, хоча гігантські бактерії, як-от Thiomargarita namibiensis та Epulopiscium fishelsoni, можуть виростати до 0,5 мм у розмірі та бути видимими неозброєним оком. Найменшими вільноживучими бактеріями є мікоплазми, члени роду Mycoplasma, лише 0,3 мм у довжину, приблизно рівні за розміром найбільшим вірусам.

Дрібний розмір важливий для бактерій, тому що він приводить до великого співвідношення об'єму до площі поверхні, що пришвидшує транспорт поживних речовин і виділення відходів. Низьке співвідношення об'єму до площі навпаки обмежує швидкість метаболізму мікроба. Причина для існування великих клітин невідома, хоча здається, що великий об'єм використовується перш за все для зберігання додаткових поживних речовин. Однак, існує і найменший розмір вільноживучої бактерії. Згідно з теоретичними підрахунками, сферична клітина діаметром менше 0,15--0,20 мкм стає нездатною до самостійного відтворення, оскільки в ній фізично не поміщаються всі необхідні біополімери і структури в достатній кількості. Нещодавно були описані нанобактерії (та схожі наноби і ультрамікробактерії), що мають розміри менші від «допустимих», хоча факт існування таких бактерій все ще залишається під сумнівом. Вони, на відміну від вірусів, здатні до самостійного зростання і розмноження, але вимагають отримання ряду поживних речовин, які вони не можуть синтезувати, з середовища або від клітини-хазяїна.

Морфологія клітини. Більшість бактерій мають або сферичну форму -- так звані коки (від грецького слова kуkkos -- зерно або ягода), або паличкоподібну -- так звані бацили (від латинського слова bacillus -- паличка). Деякі паличкоподібні бактерії (вібріони) дещо зігнуті, а інші формують спіральні завитки (спірохети). Вся ця різноманітність форм бактерій визначається структурою їхньої клітинної стінки та цитоскелету. Ці форми важливі для функціонування бактерій, оскільки вони можуть впливати на здатність бактерій отримувати поживні речовини, прикріплятися до поверхонь, рухатися і рятуватися від хижаків.

Економічна та екологічне значення. Бактерії, зокрема Lactobacillus в комбінації з дріжджами і пліснявою, протягом тисяч років використовують для виробництва продуктів бродіння, наприклад сиру, солених овочів, соєвого соусу, оцту, вина і кефіру.

Здатність бактерій руйнувати різноманітні органічні сполуки використовують у переробці відходів і біоремедіації. Бактерії, здатні до травлення вуглеводнів, використовують для збирання розлитої нафти. Наприклад, після катастрофи танкера Ексон Валдес у затоці Принца Вільгельма була розлита значна кількість нафти. В спробі очистити узбережжя від нафти на деякі пляжі були викинуті культури бактерій, які показали свою ефективність на не дуже сильно забруднених територіях. Бактерії також широко використовуються для біоремедіації промислових токсичних відходів. У хімічній промисловості бактерії найважливіші у виробництві енантіомерно чистих хімічних речовин для використання у фармацевтиці або сільському господарстві.

Бактерії можуть також використовуватися замість пестицидів у біологічній боротьбі зі шкідниками. Частіше за все для цього використовують Bacillus thuringiensis (також відома під назвою BT), грам-позитивна ґрунтова бактерія. Підвиди цієї бактерії використовуються як інсектицид, специфічний до лускокрилих, що продається зараз комерційно. Через свою специфічність ці засоби вважаються екологічно дружніми, майже без негативного ефекту на людину, дику природу, запилювачів і на інших корисних комах.

Через їхню здатність швидко рости і відносну легкість, з якою ними можна маніпулювати, бактерії широко використовуються у молекулярній біології, генетиці та біохімії. Створюючи мутації в бактеріальній ДНК і досліджуючи результуючий фенотип, учені можуть визначити функцію генів, ферментів і метаболічних шляхів у бактеріях, а потім застосовують це знання до складніших організмів. Зараз розвинуті методи, що дозволяють накопичити значні набори даних про експресію багатьох генетичних продуктів одночасно та використовувати ці дані в математичних моделях біохімії цих організмів. Це досяжно відносно деяких найкраще вивчених бактерій, моделі бактерії Escherichia coli зараз активно досліджуються. Розуміння бактеріального метаболізму і генетики дозволяє використання біотехнологій для виробництва за допомогою бактерій терапевтичних білків, наприклад, інсуліну, факторів росту або антитіл.

Сульфатвідновлювальні бактерії можуть перебувати в поверхневих і пластових водах і сприяють утворенню сірководню із сульфатів, котрі містяться у водах і гірських породах.

Ріст бактерій.

Ріст бактерій -- процес, при якому при поділі клітини з кожної бактеріальної клітини виникає дві дочірні бактерії -- клони. В результаті виникає локальне подвоєння числа бактерій. Не обов'язково обидві дочірні клітини виживають, проте, якщо число бактерій, що виживають, у середньому більше за одиницю, бактерійне населення піддається експоненціальному росту. Вимірювання кривої такого експоненціального зростання числа бактерій традиційно було частиною навчання всіх мікробіологів.

У популяційній екології, бактеріальний ріст може бути промодельованим за допомогою чотирьох фаз: лаг-фази (A), фази експоненціального росту (B), стаціонарної фази (C), і фази деградації або передсмертної фази (D).

Протягом лаг-фази, бактерії адаптуються до умов зростання. Це -- період, де індивідуальні бактерії пристосовуються до навколишнього середовища і ще не здатні ділитися.

Протягом експоненціальної фази, число нових бактерій, що з'являються за одиницю часу, пропорційне до розміру популяції. Це означає класичний експоненціальний ріст, при якому логарифм числа бактерій підвищується лінійно з часом (див. зображення). Фактична швидкість такого зростання (тобто нахил кривої на зображенні) залежить від умов зростання, які впливають на частоту подій поділу клітини і ймовірність виживання дочірніх клітин. Експоненціальний ріст не може продовжуватися невизначено, тому що поживні речовини скоро виснажуються.

Протягом стаціонарної фази, темп приросту уповільнюється в результаті виснаження поживних речовин і накопичення отруйної продукції. Ця фаза означає виснаження ресурсів, доступних до бактерій.

Протягом фазі деградації, бактерії залишаються без поживних речовин і вмирають.

Фактично ці фази не так добре визначені, а крива значно більше гладка. Бактеріальний ріст може бути зупиненим басткріостатичними речовинами без обов'язкового знищення бактерій. У популяційній екології, де розглядається більш ніж один вид бактерій (мікробів), їх зростання динамічніше і безперервне.



РОЗДІЛ 3. РОЗРАХУНОК ТА СТВОРЕННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ

3.1 Розрахунок та отримання потрібних значень

Для того, щоб створити математичну модель та оцінити біотичний потенціал бактерій, потрібно знати певні значення.

Там потрібно знати кількість організмів, яка була на початку вимірювання. Також потрібно знати коли буде проводитись вимірювання, та через який проміжок часу тощо.

Розрахувати нам допоможе експоненціальна показникова функція, основою степеня якої є експонента:

Експоненціальна залежність між двома змінними зустрічається доволі часто. В цьому ми переконаємось при подальшому вивченні різних екологічних процесів.

Колонія клітин дріжджів, наприклад, розмножується за експоненціальним законом. Інакше кажучи, з кожної окремої клітини через кожні десять хвилин з'являються вже дві клітини, тобто має місце їх збільшення на 100 %. За певних умов для реалізації біотичного потенціалу вони зуміли б освоїти весь простір земної кулі за кілька годин.

Розмноження бактерій описується такою експоненціальною залежністю:

Де N - кількість бактерій у будь-який час t, N0 - початкова кількість бактерій у момент часу t, r - константа швидкості розмноження бактерій, що визначається експериментально.

Тож візьмемо такі значення:

N0 = 500

r = 0,1

t = 0…30

Дt = 3

Ми визначили які значення нам потрібно знати, для обрахунку та створення математичної моделі, тож можемо приступати до обрахунку та створення таблиці, яка допоможе нам створити математичну модель.

3.2 Обрахунок отриманих значень

Приступаємо до створення таблиці зі зазначеними значеннями. Вона буде виглядати так:

N0	r	t	Дt	N
500	0,1	0…30	3	500

Колонка N буде містити кількість бактерій, яка буде змінюватись з часом. Тепер розширимо таблицю, обраховуючи колонку N за формулою:

N= N0*a(r*t)

Тож після обрахунку, ми маємо таку таблицю:

N0	r	t	Дt	N
500	0,1	0	3	500
500	0,1	3	3	675
500	0,1	6	3	911
500	0,1	9	3	1230
500	0,1	12	3	1660
500	0,1	15	3	2241
500	0,1	18	3	3025
500	0,1	21	3	4083
500	0,1	24	3	5512
500	0,1	27	3	7440
500	0,1	30	3	10043

З цієї таблиці видно, як швидко зростає популяція бактерій, тобто при t=30, N=10043.

На основі цієї таблиці, можемо в подальшому побудувати математичну модель, у вигляді графіка.

3.3 Створення математичної моделі

На основі раніше створеної таблиці, можна легко створити математичну модель у вигляді графіку, зростання популяції бактерій.

Тобто, ми бачимо, що зростання відбувається дуже стрімко і швидко, особливо після t=20.

З цього слідує, що за 15 хвилин, кількість бактерій зростає у 5 разів. За 24 хвилини кількість зростає у 10 разів.

Біотичний потенціал у бактерій досить великий, адже він досяг таких значень: за 3 хвилини збільшилось до 674, а за 30 хвилин їхня кількість налічувала 10042.



ВИСНОВКИ

Отже, після виконання даної роботи, можемо зробити висновок, що математичні моделі широко використовуються



СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

Alcamo, I. Edward. Fundamentals of Microbiology. 6th ed. Menlo Park, California: Benjamin Cumming, 2001.

Madigan, Michael and Martinko, John. Brock Biology of Microorganisms. 11th ed. Prentice Hall, 2005.

Tortora, Gerard; Funke, Berdell; Case, Christine. Microbiology: An Introduction. 8th ed. Benjamin Cummings, 2003.

Томашевский В.Н., Жданова Е.Г., Жолдаков А.А. Решение практических задач методами компьютерного моделирования. - Киев: "Корнейчук", 2001. - 268 с.

Єріна Антоніна Михайлівна Статистичне моделювання та прогнозування. - К.: КНЕУ, 2001. - 170с.

Бахрушин, Володимир Євгенович Математичне моделювання: Навч. посіб. - Запоріжжя: ГУ "ЗІДМУ", 2004. - 140с. - 7.00



Додаток А

Структурний баланс відходів у лісозаготівельному виробництві



Додаток В

Характеристика основних напрямків використання деревних відходів Львівського управління лісовим господарством



Додаток Д

Схема обігу сировинно-матеріальних ресурсів та деревних відходів підприємств лісопромислового комплексу



Додаток К

Концентрація основних забруднюючих речовин в атмосферному повітрі м.Львова у 2016 році



Додаток Л

популяція бактерія математичний

Рівень забруднення атмосферного повітря у м.Львові за значенням ІЗА за 2013-2016 роки

Размещено на Allbest.ru