Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторний практикум

Математичне моделювання та оптимізація біотехнологічних процесів



Вступ

риба біотехнологвічний дтсперсійний

Сьогодні математичні методи і моделі широко використовуються для діагностики стану довкілля, вивчення причинно-наслідкового механізму формування варіації та динаміки природних явищ і процесів, прогнозування технологічних систем та прийняття оптимальних управлінських рішень. Для успішної роботи майбутній фахівець-біотехнолог перш за все повинен оволодіти теоретичними знаннями з основних математичних методів дослідження інформації та навичками їх застосування на практиці для аналізу технологічних процесів, їх оптимізації та прийняття управлінських рішень.

Ефективність використання математичних методів обліку, оброблення, аналізу і прогнозування біотехнологічних процесів підвищується використанням комп'ютерних технологій. За сучасного рівня розвитку технічної оснащеності використання основних комп'ютерних технологій є важливою складовою професійної підготовки біотехнологів.

Навчальна дисципліна «Математичне моделювання та оптимізація біотехнологічних процесів» є основою сукупності теоретичних знань та практичних навичок, що формують профіль фахівця з біотехнології в галузі математичного моделювання біотехнологічних процесів, статистичних методів збирання, збереження, оброблення інформації, прийняття управлінських рішень на основі методів оптимізації із застосуванням новітніх інформаційних технологій.

З огляду на технічні вимоги лабораторний практикум розрахований на поглиблене вивчення поширених програмних пакетів: Microsoft Word, Excel, MathCad.

Лабораторні роботи оформлюються у вигляді звітів (дод. А). Під час захисту студент повинен володіти теоретичними знаннями, практичними навичками роботи на персональному комп'ютері та вміти відповісти на запитання для самоперевірки, які додаються до кожної лабораторної роботи.

Правила техніки безпеки під час виконання лабораторних робіт

1. Загальні положення

1.1. За стан техніки безпеки в комп'ютерній лабораторії відповідають: під час проведення занять - викладач, який проводить заняття, решту часу - закріплений за лабораторією лаборант. На них покладається відповідальність за розміщення комп'ютерного обладнання, забезпечення безпеки на робочих місцях, дотримання правил протипожежної безпеки, санітарії, проведення інструктажу з техніки безпеки та його оформлення.

1.2.3 З метою попередження нещасних випадків працівник в комп'ютерній лабораторії зобов'язаний:

1.2.1. Перед виконанням роботи пройти докладний інструктаж з техніки безпеки в лабораторії. Ознайомлення з інструкціями з техніки безпеки та протипожежної безпеки повинно підтверджуватися особистими підписами в журналі з техніки безпеки осіб, які проводили інструктаж, та студентів.

1.2.2. Не порушувати навчальної дисципліни, виконувати роботу суворо за встановленим розкладом тільки зі своєю групою.

1.2.3. У випадку порушення правил техніки безпеки в обов'язковому порядку проходити позачерговий інструктаж-перевірку знань з відміткою про це в журналі з перевірки знань безпеки праці (незалежно від адміністративних заходів щодо порушника).

1.2.4. Виконувати всі вимоги з техніки безпеки.

1.2.5. У разі недомагання чи нещасного випадку припинити роботу, повідомити про це викладача або лаборанта та звернутися за медичною допомогою.

1.2.6. У випадку будь-якого займання чи пожежі необхідно негайно вжити заходів щодо її гасіння засобами, які є в лабораторії, та повідомити викладача або лаборанта.

1.3. 3 метою попередження нещасних випадків заборонено:

1.3.1. Входити в лабораторію та працювати в ній у верхньому одязі.

1.3.2. Виносити з лабораторії прилади та інструменти.

1.3.3. Працювати з несправними приладами, пристосуваннями, обладнанням.

1.3.4. Доторкатися до оголених електропровідників та струмопровідних частин електрообладнання та електроприладів.

1.3.5. Самому ремонтувати комп'ютерне обладнання.

1.3.6. Загромаджувати проходи в лабораторії.

1.3.7. Працювати особам, які не пройшли інструктажу з техніки безпеки та без відповідної відмітки про це в журналі.

1.3.8. Приступати до виконання роботи без дозволу викладача.

1.3.9. Перебувати в лабораторії без викладача або лаборанта.

1.4. Лабораторія повинна бути обладнана аптечкою для надання першої медичної допомоги та первинними засобами пожежегасіння.

1.5. Контроль за виконанням даної інструкції покладається на викладача та лаборанта.

2. Техніка безпеки під час роботи на комп'ютері.

2.1. Перед початком роботи необхідно:

2.1.1. Перевірити та оглянути робоче місце. Підготуватись до виконання завдання, ознайомитись з роботою, вивчити послідовність виконання лабораторної роботи.

2.1.2. З'ясувати всі незрозумілі питання щодо роботи та отримати інструктаж з техніки безпеки у викладача.

2.1.3. Пересвідчитись у справності обладнання та повідомити викладача про його несправність.

2.1.4. Перед ввімкненням комп'ютера переконатися в готовності до роботи та отримати дозвіл викладача на ввімкнення.

2.1.5. Робочі місця з дисплеями повинні бути розташовані так, щоб до поля зору працівника не потрапляли вікна, освітлювальні прилади та поверхні, які мають властивість віддзеркалювати. Дисплеї мають бути встановлені під кутом 90° - 105° до вікон.

2.1.6. Відстань між робочими місцями з пресональним комп'ютером (ПК) повинна бути не меншою за 1,5 м у ряду та не меншою за 1 м між рядами. ПК мають бути розміщені не ближче, ніж 1 м від джерела тепла.

2.1.7. Для освітлення приміщень з ПК необхідно використовувати люмінесцентні світильники. Освітленість робочих місць на висоті 0,8 м від підлоги повинна бути не меншою за 400 лк.

2.1.8. Переконатися в справності розеток, кабелів живлення, розгалужувальних та з'єднувальних коробок, вимикачів та інших електроприладів.

2.1.9. Перевірити наявність та надійність заземлення.

2.1.10. Знати місця розташування засобів пожежегасіння та вміти ними користуватися.

2.1.11. Знати план евакуації з приміщення в разі виникнення пожежі.

2.1.12. Уміти діяти в разі враження електричним струмом або виникнення пожежі.

2.2. Під час роботи необхідно:

2.2.1. Утримувати робоче місце в чистоті та порядку.

2.2.2. У разі виявлення будь-якої неполадки терміново вимкнути комп'ютер та повідомити про це викладача або лаборанта.

2.2.3. У разі припинення подачі електроенергії терміново вимкнути комп'ютер та повідомити про це викладача або лаборанта.

2.2.4. У разі виконання роботи бути уважним, не відволікатися сторонніми справами та розмовами самому, а також не відволікати інших.

2.2.5. Відстань від очей користувача до екрана повинна становити 500-700 мм. Найбільш вигідне розташування екрана - перпендикулярно до лінії зору користувача.

2.2.6. Заняття повинні проходити в раціональному режимі праці та відпочинку, який передбачає дотримання регламентованих перерв та їх активне проведення (на початку перерв виконується гімнастика для очей).

2.3. Під час роботи заборонено:

2.3.1. Переносити обладнання з одного місця на інше.

2.3.2. Користуватися приладами, які не викоритовуються в роботі.

2.3.3. Користуватися несправним обладнанням.

2.3.4. Класти на комп'ютери та столи портфелі, одяг та інші сторонні предмети.

2.3.5. Знімати кришки, які закривають доступ до струмопровідників первинного електроживлення при ввімкненому обладнанні.

2.3.6. Замінювати запобіжники під напругою.

2.4. По закінченні роботи необхідно:

2.4.1. Вимкнути комп'ютер.

2.4.2. Прибрати своє робоче місце.

2.4.3. Здати лабораторну роботу викладачу та повідомити його про виявлені недоліки у роботі ПК.

2.4.4. Після закінчення заняття необхідно провести вологе прибирання та провітрювання. Видаляти пил з екрану необхідно не рідше одного разу на день.



Модуль 1. Методи моделювання біотехнологічних процесів

Лабораторна робота 1.1

Тестування навичок використання Еxcel для оброблення експериментальних даних

Мета та основні завдання роботи: актуалізувати знання та навички, отримані студентами під час вивчення курсу «Обчислювальна математика та програмування». Показати можливості застосування табличного процесора Excel для розв'язання біотехнологічних задач.

Основні теоретичні відомості

Табличний процесор Excel дозволяє створювати електронні таблиці та діаграми, спрощувати розрахунки.

Створення формул включає такі кроки:

? обрати комірку, у яку необхідно ввести формулу;

? увести = (знак рівняння);

? натиснути кнопку функції ;

? обрати потрібну формулу та додержуватись інструкцій на екрані монітора.

Вставка діаграми передбачає такі кроки:

? увести діапазон у необхідну таблицю з даними у середовищі MS Excel;

? обрати діапазон даних;

? обрати закладку Вставка (Insert), категорію Гистограмма (Column or Bar Chart) > Гистограмма с группировкой (Clustered column);

? підписати осі графіка.

Послідовність виконання роботи

Для заданих множин даних, наведених в табл. 1.1: Роки, Промисловість, Комунальне господарство та Сільське і рибне господарство виконати такі завдання:

1. Оформити таблицю 1.1 у середовищі Excel та заповнити її початковими даними (рис. 1.1).

Таблиця 1.1. Структура водоспоживання в Україні за галузями народного господарства, 1985-2015 рр.

Рік Галузь	1985	1990	1995	2000	2005	2010	2015
Промисловість	74,2	69,1	65	58	52,5	46,7	46,1
Комунальне господарство	6,3	6,3	7,5	8,2	9,8	10,5	10,7
Сільське і рибне господарство	19,5	24,6	27,5	33,8	37,7	42,5	43,2

Рис. 1.1. Початкові дані для розрахунків

2. Побудувати гістограму динаміки показників галузей промисловості, використовуючи Майстер діаграм (рис. 1.2. - 1.4).



Рис. 1.2. Вибір виду діаграми

Рис. 1.3. Додавання підписів осей

Рис. 1.4. Додавання похибок



3. Представити результат у вигляді гістограми у MS Word (рис. 1.1.4):

Рис. 1.5. Гістограма. Структура водоспоживання в Україні за галузями народного господарства, %

4. Розрахувати середнє значення водоспоживання кожною із галузей за період 1985-2015 рр., використовуючи функцію СРЗНАЧ, додати отримані результати до таблиці з початковими даними та подати кінцеву таблицю у MS Word (табл. 1.2):

Таблиця 1.2. Середнє водоспоживання в Україні за галузями народного господарства, 1985-2015 рр.

Рік Галузь	1985	1990	1995	2000	2005	2010	2015	Середнє значення за 30 років
Промисловість	74,2	69,1	65	58	52,5	46,7	46,1
Комунальне господарство	6,3	6,3	7,5	8,2	9,8	10,5	10,7
Сільське і рибне господарство	19,5	24,6	27,5	33,8	37,7	42,5	43,2



Опрацювання результатів

Після введення таблиці у середовищі MS Excel виділити діапазон даних за часом та досліджуваними показниками, обрати відповідний тип діаграми, відформатувати діаграму, додавши підписи осей, похибки, видаливши назву. Колір шрифту діаграми - чорний, горизонтальних ліній - сірий, осей - чорний.

Розрахувати середні значення за 30 років по кожним показників за допомогою функції СРЗНАЧ та маркера автозаповнення.

Скопіювати отриману таблицю і графік у MS Word та оформити звіт відповідно до вимог.

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати зміну динаміки водопостачання промисловості протягом досліджуваного періоду у відсотках.

2. Оцінити спад / зростання водоспоживання у сільському та рибному господарствах у період 1985-2015 рр. Описати тенденцію та відсотковий приріст.

3. Визначити, чи змінюється тенденція споживання водних ресурсів комунальним господарством протягом досліджуваного періоду. Якщо зміни істотні, то з'ясувати, на скільки відсотків досліджуваний показник змінюється.

Лабораторна робота 1.2

Лінійна залежність. Моделі залежності маси риби від її віку та довжини

Мета та основні завдання роботи: навчитися будувати функціональні залежності маси риби від її віку та довжини за допомогою табличного процесора Excel і зобразити їх графічно.

Основні теоретичні відомості

Лінійною функцією називається найпростіша залежність між двома змінними величинами. Графік лінійної функції - це пряма лінія.

Функціональна залежність між двома змінними називається прямою пропорційністю, якщо збільшення (зменшення) однієї з величин у декілька разів призводить до збільшення (зменшення) другої величини в стільки ж разів.

Наприклад, на ранній стадії свого розвитку маса деяких промислових видів риб лінійно залежить від їх віку:

де W - маса риби, кг; t - вік риби, місяці; a - коефіцієнт пропорційності (сталий параметр, що залежить від виду риби і визначається за даними натурних спостережень).

Якщо припустити, що в цей період розвитку довжина риби також лінійно залежить від віку, то довжину риби L можна визначити за формулою:

де L - довжина, м; t - вік, місяці; b - коефіцієнт пропорційності.

Послідовність виконання роботи

1. Згідно з варіантом (табл. 1.3) обчислити за формулами 1.1 та 1.2 коефіцієнти та занести їх у сформовану таблицю у середовищі Excel.

З урахуванням залежностей (1.1) та (1.2):

,



отримуємо формулу залежності маси риби від її довжини:

Таким чином, якщо у віці одного року, тобто t = 12 місяців, довжина риби L _max = 0,6 м і її маса W _max = 1,2 кг, то маємо змогу обрахувати коефіцієнти пропорційності a і b: a = 1,2/12 = 0,1 кг /місяць; b = L/t = 0,6/12 = 0,05 м/місяць, звідки > Отримано формулу залежності маси риби від її довжини.

2. Визначити залежності маси риби від віку, довжини риби від віку та маси від довжини. Побудувати графіки цих залежностей.

3. Сформувати висновки.

Таблиця 1.3. Варіанти для розрахунків

Варіант	Wmax, кг	Lmax, м	a	b	t, місяці	W, кг	t
1	5	0,30			1…12		1
2	7	0,50			1…10		1
3	12	1,00			2…18		2
4	3	0,20			0,5…3		0,5
5	10	0,80			3…24		3
6	6	0,40			1…18		1
7	2	0,30			0,5…6		0,5
8	4	0,50			2…12		2
9	8	0,60			1…10		1
10	15	1,10			2…18		2
11	11	0,90			1…12		1
12	3	0,40			1…6		1
13	9	0,70			2…18		2
14	30	1,50			5…24		5
15	45	1,30			3…18		3



Опрацювання результатів

Відомо, що маса однорічної риби W_max=11 кг, а її довжина L_max = 0,9 м. У стовпчику (t, міс.) табл. 1.3 запис 1…12, означає, що заміряно рибу у віці 12 міс.

Щоб розрахувати залежність маси риби від віку протягом 12 міс. з інтервалом t = 1, спочатку потрібно обчислити коефіцієнт пропорційності a, потім створити таблицю, занести в неї початкові дані: t і W. Причому W заносимо як формулу.

Далі будуємо графік залежності W від t і переконуємось в тому, що він є графіком лінійної функції.

Аналогічно будуємо графіки залежностей довжини риби від віку та маси від довжини. Аналізуємо отримані результати та формуємо висновки.

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати, у скільки разів маса риби збільшується/зменшується протягом досліджуваного періоду.

2. Оцінити залежність довжини риби від віку. Визначити відсотковий приріст довжини.

3. Визначити закономірність залежності маси риби від довжини протягом досліджуваного періоду.

Лабораторна робота 1.3

Обернено пропорційна функціональна залежність. спрощена модель типу «хижак - жертва»

Мета та основні завдання роботи: ознайомитись з одним із варіантів моделі «хижак - жертва». Навчитися прогнозувати динаміку чисельності популяції зайців, які відіграють роль жертви, залежно від зміни кількості вовків - хижаків.

Основні теоретичні відомості

Функціональна залежність між двома змінними називається оберненою пропорційністю, якщо збільшення (зменшення) однієї з величин у декілька разів призводить до зменшення (збільшення) іншої величини у стільки ж разів. Графік оберненої пропорційності - це гіпербола.

Прикладом обернено пропорційної залежності в екології може бути найпростіший варіант моделі «хижак - жертва». Ця модель передбачає, що кількість хижаків обернено пропорційна кількості жертв:

,

де N_х - кількість хижаків; N_ж - кількість жертв; k - коефіцієнт, який визначається за даними натурних спостережень.

Послідовність виконання роботи

1. Згідно з варіантом (табл. 1.5) обчислити за формулою кількість зайців та занести дані в таблицю.

2. Побудувати графік залежності популяції зайців від популяції вовків.

3. Оцінити за якої чисельності вовків популяція зайців скоротиться удвічі, утричі, в десять разів?

4. Сформувати висновки.

5. Підготувати протокол практичної роботи.

Таблиця 1.5. Варіанти для розрахунків

Варіант	Nв0	Nз0	Nв	Nв
1	50	100	50…150	15
2	25	180	25…500	50
3	40	160	40…100	10
4	100	530	100…1000	100
5	90	210	10…120	10
6	60	240	10…180	30
7	15	120	6…60	6
8	45	110	45…150	15
9	25	80	20…100	10
10	10	480	10…50	5
11	75	170	20…120	10
12	30	150	10…80	10
13	100	330	100…500	50
14	50	245	30…150	15
15	2	35	1…10	1

Опрацювання результатів

Нехай N_з - кількість популяції зайців (жертв), N_в - кількість популяції вовків (хижаків):

Якщо в певний день N_з = 100 і N_в = 25, тоді Таким чином, залежність чисельності популяції зайців від чисельності популяції вовків набуває вигляду

Наприклад, якщо необхідно розрахувати зміну чисельності зайців за умови, що популяція вовків буде зростати з 20 до 120 (N_в = 20…120 із кроком N_в = 10), якщо відомо, що в певний день кількість вовків становила N_в⁰ = 75, а кількість зайців N_з⁰ = 170, то спочатку потрібно розрахувати коефіцієнт пропорційності

,



а потім створити таблицю, занести в неї початкові дані (табл. 1.6): N_в = 20…120, із кроком N_в = 10 і N_з за допомогою формули

.

За допомогою «Майстра діаграм» будуємо графік залежності популяції зайців від популяції вовків (рис. 1.6).

Таблиця 1.6. Початкові і розрахункові дані

№	Nв	Nз
1	20	637
2	30	425
3	40	318
4	50	255
5	60	212
6	80	159
7	90	141
8	100	127
9	110	115
10	120	106

Рис. 1.6. Спрощена модель «хижак - жертва»



Цю залежність можна використовувати тільки для дуже приблизних прогнозів, оскільки вона не враховує деяких інших факторів, які впливають на репродуктивність і смертність популяцій.

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати, у скільки разів чисельність популяції зайців зменшиться зі збільшенням чисельності популяції вовків.

2. Дослідити характер кривої чисельності популяції зайців. Визначити відсотковий спад чисельності.

3. Виявити, від яких факторів може залежати чисельність популяції зайців та вовків.

Лабораторна робота 1.4

Класичне рівняння ферментативної кінетики - рівняння Міхаеліса-Ментен

Мета та основні завдання роботи: Ознайомитися з рівнянням Міхаеліса-Ментен, як прикладом застосування дробово-лінійної функції до моделювання кінетики ферментативних реакцій. Побудувати діаграму залежності швидкості реакції від концентрації субстрату.

Основні теоретичні відомості

Класичне рівняння ферментативної кінетики - рівняння Міхаеліса-Ментен описує залежність швидкості перебігу реакції, яка каталізується ферментом, від концентрації субстрату і ферменту. Воно має вигляд дробово-лінійної функції і описується формулою:

, (1.3)

де V - швидкість реакції; V_макс - максимальна швидкість реакції; S - концентрація субстрату; K_м - константа Міхаеліса, яка дорівнює такій концентрації субстрату, за якої швидкість реакції досягає половини максимальної швидкості, тобто коли .

Послідовність виконання роботи

1. Згідно з варіантом (табл. 1.7) побудувати залежність швидкості реакції від концентрації субстрату.

2. Занести дані у сформовану таблицю.

3. Побудувати графік цієї залежності

4. Знайти на графіку та виділити в таблиці константу K_м.

5. Підготувати протокол лабораторної роботи.

Таблиця 1.7. Варіанти для розрахунків

Варіант	Vмакс•106, моль/(л•с)	Kм •105, моль/л	S •105, моль/л	S, моль/л
1	0,41	0,3	0…0,85	0,05
2	0,37	0,35	0…0,51	0,03
3	0,52	0,26	0…0,34	0,02
4	0,28	0,4	0…0,85	0,05
5	0,18	0,08	0…0,17	0,01
6	0,6	0,44	0…0,68	0,04
7	0,3	0,36	0…1,02	0,06
8	0,44	0,22	0…0,34	0,02
9	0,6	0,36	0…1,02	0,06
10	0,5	0,25	0…0,85	0,05
11	0,78	0,5	0…0,85	0,05
12	0,82	0,5	0…1,7	0,1
13	0,68	0,8	0…3,4	0,2
14	0,48	1,2	0…5,1	0,3
15	0,32	0,6	0…3,4	0,2

Опрацювання результатів

Обчислити залежність швидкості ферментативної реакції від концетрації субстрату, якщо концентрація S змінюється від 0 до 1,7•10⁵ моль/л з кроком S = 0,1•10⁵ моль/л, максимальна швидкість V_макс•10⁶ моль/(л•с), а константа Міхаеліса K_м = 0,5•10⁵ моль/л. Потрібно створити таблицю (табл. 1.8), занести в неї початкові дані та розрахувати невідомі значення швидкості V за допомогою формули 1.3.

Таблиця 1.8. Початкові та розрахункові дані

Vмакс•106, моль/(л•с)	Kм •105, моль/л	S•105, моль/л	S, моль/л	V•106, моль/(л•с)
0,2	0,5	0	0,1	0
0,2	0,5	0,1	0,1	0,03
0,2	0,5	0,2	0,1	0,06
0,2	0,5	0,3	0,1	0,07
0,2	0,5	0,4	0,1	0,09
0,2	0,5	0,5	0,1	0,1
0,2	0,5	0,6	0,1	0,11
0,2	0,5	0,7	0,1	0,116
0,2	0,5	0,8	0,1	0,12
0,2	0,5	0,9	0,1	0,128
0,2	0,5	1	0,1	0,13
0,2	0,5	1,1	0,1	0,137
0,2	0,5	1,2	0,1	0,14
0,2	0,5	1,3	0,1	0,144
0,2	0,5	1,4	0,1	0,147
0,2	0,5	1,5	0,1	0,15
0,2	0,5	1,6	0,1	0,152
0,2	0,5	1,7	0,1	0,154

Графік - гіпербола Міхаеліса зображена на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Гіпербола Міхаеліса

Коли концентрація субстрату необмежено зростає S>?, швидкість реакції прямує до сталої величини V>V_макс. Пряма лінія V=V_макс називається асимптотою гіперболи Міхаеліса.

За допомогою «Майстра діаграм» будуємо гіперболу Міхаеліса (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Гіпербола Міхаеліса

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати, на скільки порядків змінюється швидкість ферментативної реакції залежно від концентрації субстрату.

2. Оцінити різницю між значенням константи Міхаеліса та значеннями концентрації субстрату, за яких швидкість реакції починає наближатися до максимальної.

3. Визначити діапазон концентрацій субстрату, за якого швидкість реації інтенсивно зростає.



Лабораторна робота 1.5

Математична модель з використанням степеневої функції: швидкість розмноження популяції

Мета та основні завдання роботи: навчитися створювати маематичну модель з використанням степеневої функції та оцінити динаміку швидкості розмноження популяції залежно від зміни її чисельності.

Основні теоретичні відомості

Степенева функція в екології може бути використана для опису залежностей маси риби від віку та довжини, а також швидкості розмноження популяції. Графіком цієї функції є парабола.

Залежність маси риби від її віку можна обчислювати за допомогою кубічної функції:

.

а масу риби - через її довжину:

Швидкість розмноження популяції доцільно описувати за допомогою такої функції:

, (1.4)

де - швидкість розмноження популяції; - кількість особин; r - питома швидкість розмноження; K - ємність середовища, тобто максимальна чисельність, за якої швидкість розмноження дорівнює нулю.



Послідовність виконання роботи

1. Згідно з варіантом (табл. 1.9) побудувати графік залежності швидкості розмноження популяції від її чисельності.

2. Визначити чисельність популяції, за якої швидкість її розмноження є максимальною, мінімальною? Зростає чи спадає? Чому?

3. Визначити, чисельність, за якої спостерігається встановлення гомеостазу популяції?

4. Сформувати висновки.

5. Підготувати протокол практичної роботи.

Таблиця.1.9. Варіанти для розрахунків

Варіант	N	N	r	K
1	5…500	20	3	500
2	50…1000	30	10	1000
3	60…1000	40	6	1000
4	10…500	30	2	500
5	100…2000	100	5	2000
6	50…1250	40	7	1250
7	0…90	3	1	90
8	200…665	15	2	700
9	10…335	25	3	350
10	100…1500	50	3	1500
11	10…770	40	10	800
12	100…4900	200	20	5000
13	2…98	4	2	100
14	20…500	20	2	500
15	50…1250	50	3	1250

Швидкість розмноження популяції, як правило, спочатку збільшується, а потім, у зв'язку з недостатнім харчуванням та внутрішньою конкуренцією, починає зменшуватись, прямуючи до нуля.

Установлення такої рівноваги називається гомеостазом популяції.

Опрацювання результатів

Обчислити зміну швидкості розмноження чисельності популяції залежно від зміни кількості особин від 5 до 470, крок N = 15.

Питома швидкість розмноження дорівнює 3, а ємність середовища - 500. Розрахунки виконуємо за формулою (1.4).

Будуємо таблицю, а потім діаграму (рис 1.9). Аналізуємо отримані результати та формуємо висновки.

Рис. 1.9. Швидкість розмноження популяції

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати, за якої чисельності популяції швидкість її розмноження буде досягати гомеостазу та наближатися до нього. Показати на графіку.

2. Оцінити інтенсивність зростання / спаду швдкості розмноження популяції за зміною її чисельності.

3. Визначити, за якої чисельності популяція гине.



Лабораторна робота 1.6

Математична модель з використанням показникової функції: розмноження бактерій

Мета та основні завдання роботи: побудувати модель розмноження дріжджів з використанням показникової функції та оцінити біотичний потенціал дріжджів, що розмножуються за експоненціальним законом.

Основні теоретичні відомості

Експоненціальною називається показникова функція, основою степеня якої є експонента а = е = 2,71828.

Графіком такої функції є експоненціальна крива чи експонента y = e^x. Експоненціальна залежність між двома змінними трапляється доволі часто.

У цьому можна переконатися вивчаючи різні екологічні процеси.

Кожній популяції притаманний біотичний потенціал, під яким розуміють теоретично можливе потомство від однієї пари особин, якщо ці організми можуть розмножуватись у геометричній прогресії, тобто за відсутності лімітуючих факторів.

Зазвичай біотичний потенціал тим вищий, чим нижчий рівень організації організмів.

Але біотичний потенціал реалізується організмами з певною мірою повноти тільки в окремих випадках і протягом малих інтервалів часу за відсутності конкурентів.

Послідовність виконання роботи

1. Згідно з варіантом (табл. 1.10) побудувати графік зміни кількості бактерій за певний проміжок часу.

2. Оцінити за скільки хвилин кількість бактерій збільшиться в 5, 10, 100, 1000 разів.

3. Який у бактерій біотичний потенціал?

4. Сформувати висновки.

5. Підготувати протокол лабораторної роботи.

Таблиця 1.10. Варіанти для розрахунків

Варіант	N0	r	t, хв	t
1	200	0,5	0…18	1
2	2	0,5	0…20	1
3	400	0,3	0…40	2
4	100	0.3	0…27	1,5
5	1	0,2	0…90	5
6	60	0,2	0…20	1
7	150	0,4	0…17	1
8	4	0,1	0…90	5
9	80	0,6	0…36	2
10	10	0,5	0…36	2
11	75	0,3	0…30	3
12	30	0,8	0…10	0,5
13	50	0,1	0…60	3
14	500	0,1	0…30	3
15	1200	0,2	0…40	4

Колонія клітин дріжджів, наприклад, розмножується за експоненціальним законом. Інакше кажучи, з кожної окремої клітини через кожні десять хвилин з'являються вже дві клітини, тобто їх збільшення сягає 100%. За певних умов для реалізації біотичного потенціалу вони зуміли б освоїти весь простір земної кулі за кілька годин.

Розмноження бактерій описується такою експоненціальною залежністю:

, (1.4)

де N - кількість бактерій у будь-який час t; N₀ - початкова кількість бактерій у момент часу t = 0; r - константа швидкості розмноження бактерій, що визначається експериментально.

Опрацювання результатів

Обчислити, змінюу чисельності популяції бактерій від часу t. Нехай, наприклад, час t змінюється від 0 до 4 хв, крок t = 0,1, r = 0,7, початкова чисельність популяції N₀ = 450. Розрахунки виконуємо за формулою (1.4). Будуємо таблицю, а потім діаграму (рис. 1.10). Аналізуємо отримані результати та формуємо висновки.

Рис. 1.10. Динаміка зростання чисельності популяції бактерій

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати, у скільки разів чисельність популяції зросла протягом усього досліджуваного часового періоду порівняно з початковою чисельністю.

2. Оцінити інтенсивність зростання швидкості розмноження популяції на початку та в кінці досліджуваного періоду.

3. Визначити залежність характеру росту кривої чисельності популяції від константи швидкості реакції.

Лабораторна робота 1.7

Математичні моделі з використанням експоненціальної залежності з від'ємним показником

Мета та основні завдання роботи: засвоїти методику побудови математичної моделі з використанням експоненціальної залежності з від'ємним показником, згідно з побудованою моделлю за формулою Берталанфі пояснити динаміку зростання маси риби від її віку.

Основні теоретичні відомості

Для більшості екологічних процесів, включаючи і процеси розмноження популяцій, значення змінних не можуть зростати необмежено. Для опису таких процесів добре пристосована показникова функція з від'ємним показником y = e^-kt.

Наприклад чисельність більшості популяцій спочатку зростає, а потім зростання припиняється і чисельність залишається сталою, тобто не перевищує певної величини N_max (рис. 1.7.1, формула 1.11):

,

де N₀ - початкова чисельність популяції у деякий час t = 0, k - const (визначається експериментально для кожного виду популяції), N = N_max - ємність середовища (асимптота графіка функції).

Рис. 1.11. Динаміка чисельності популяції

Послідовність виконання роботи

1. Згідно з варіантом (табл. 1.11) побудувати графік залежності тривалості життя тварини від дози токсичних речовин.

2. Пояснити вигляд побудованого графіка. Визначити асимптоту. Оцінити динаміку зміни тривалості життя від зміни дозування токсинів.

3. Згідно з варіантом (табл. 1.12) побудувати графік визначення маси риби за формулою Берталанфі.

4. Пояснити вигляд отриманого графіка. Визначити асимптоту. Оцінити динаміку збільшення маси риби за певний період.

5. Оформити протокол лабораторної роботи.

Таблиця 1.11. Варіанти для розрахунків дії токсикантів

Варіант	T1, міс.	Tp, міс.	k	p, мг/л	p
1	12	5	0.2	0…10	1
2	36	12	0.5	0…12	1
3	18	8	0.15	0…20	2
4	18	13	0.4	0…10	1
5	12	7	0.3	0…12	1
6	14	6	0.25	0…5	0,5
7	30	21	0.35	0…30	2
8	22	16	0.2	0…10	1
9	24	8	0,1	0…30	1,5
10	36	20	0.3	0…20	1
11	12	3	0.3	0…20	1
12	36	12	0.7	0…10	0,5
13	18	8	0.35	0…15	1
14	18	13	0.4	0…10	0,5
15	12	7	0.6	0…7	0,6

Таблиця 1.2. Варіанти для розрахунків за формулою Берталанфі

Варіант	Wmax, кг	б	t0	t, міс.	t
1	12	0,5	0,1	1…9	0,5
2	36	1	0,1	1…6	0,3
3	18	0,8	0,1	1…9	0,5
4	18	0,3	0,1	1…20	1,5
5	12	0,7	0,1	1…12	1
6	14	0,6	0,1	1…36	1
7	30	0,2	0,1	1…36	3
8	22	0,65	0,1	1…10	1
9	24	0,9	0,1	1…12	1
10	36	0,25	0,1	1…25	2
11	12	0,9	0,1	1…12	1
12	26	1	0,1	1…7	0,4
13	18	0,4	0,1	1…9	0,5
14	32	0,7	0,1	1…12	1
15	12	0,7	0,1	1…9	0,5

Середня тривалість життя тварин за дії на організм токсикантів (рис. 1.12) взначається за допомогою такої формули:

, (1.5)

де T_l - середня тривалість життя тварин; p - доза токсичних речовин, що скорочує тривалість життя до величини T_p, якщо p > ?.

Рис. 1.12. Скорочення тривалості життя під дією токсинів

Константи k, T_p визначаються експериментально для кожного виду тварин і для кожної токсичної речовини.

Пряма T = T_p є асимптотою графіка функції.

Для визначення динаміки зростання маси риби використовується комбінація показникової і степеневої функцій відповідно до формули Берталанфі:

, (1.6)

де W_max - максимальна маса риби; б - константа зростання; t₀ - гіпотетичний вік, коли маса риби дорівнює нулю.

Висновок повинен містити аналіз отриманих результатів розрахунків та опис отриманих залежностей.

Опрацювання результатів

Визначити зміну тривалості життя тварини залежно від дози токсикантів р. Нехай, наприклад, доза р змінюється від 0 до 20 мг/л, крок р = 1, k = 0,18, тривалість життя особин за нульової дози Т_l = 12 міс, за максимальної дози (Т_р) - 4,5 міс. Розрахунки виконуємо за формулою (1.5). Будуємо таблицю, а потім діаграму (рис. 1.13). Аналізуємо отримані результати та формуємо висновки.

Рис. 1.13. Залежність тривалості життя особин популяції від дози токсикантів

Обчислити, як змінюється маса риби залежно від віку t. Нехай, вік t змінюється від 1 до 9 міс., крок t = 0,5 міс., б = 0,45, t₀ = 0,1 міс. Розрахунки ведемо за формулою (1.6). Будуємо таблицю, а потім діаграму (рис. 1.14). Аналізуємо отримані результати та робимо висновки.



Рис. 1.14. Залежність маси риби від віку

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати, на скільки місяців та у скільки разів зменшиться тривалість життя особин популяції, якщо збільшити дозу токсикантів на порядок.

2. Оцінити, як збільшиться маса риби зі зростанням віку в досліджуваному часовому діапазоні порівняно з початковими значннями.

3. Визначити, на скільки інтенсивно змінюється тривалість життя та маса особин досліджуваних популяцій зі зростанням дози токсикантів та віку риби у 2-5 та 3-9 разів відповідно.

Лабораторна робота 1.8

Моделювання періодичних процесів

Мета та основні завдання роботи: навчитися прогнозувати зміну температури повітря за допомогою табличного процесора Excel, використовуючи періодичні функції.

Основні теоретичні відомості

Тригонометричні функції - це математичні функції від кута: синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) і косеканс (cosec x), причому остання пара функцій використовується рідко. Тригонометричні функції є дуже важливими для дослідження періодичних процесів. Характерною властивістю тригонометричних функції є їх періодичність.

Функція називається періодичною, якщо існує таке число h, що додавання його до будь-якого значення аргумента не змінює значення функції: f (x+h) = f(x), де h - період функції.

У природі є процеси, які близькі до періодичних (зміна температури повітря, води в річках за роками, сезонами і протягом доби). Їх можна описати такою функцією:

,

де A = const - амплітуда; щ > 0 - частота, (щt + ц) - фаза; ц - початкова фаза (вона одержується з фази при t = 0).

Амплітуда збільшує висоту синусоїди в А разів, а частота щ перетворює період 2р на період ф, що дорівнює:

,

тобто зменшує період 2р у щ разів. За наявності початкової фази ц (або -ц) синусоїда зміщується вліво (вправо) на величину ц/щ.

Послідовність виконання роботи

1. Згідно з варіантом (табл. 1.13) обчислити температуру повітря влітку Т₁ упродовж 24 год із інтервалом одна година.

2. Згідно з варіантом (табл. 1.13) обчислити температуру повітря восени Т₂ упродовж 24 год із інтервалом одна година.

3. Побудувати графіки цих залежностей.

4. Розрахувати температуру повітря в такі години доби: 4, 10, 16 та 20.

5. Сформувати висновки та оформити звіт про лабораторну роботу.

Таблиця 1.13. Варіанти для розрахунків

Варіант	T1 / T2	T(0)=Т(24), oC	T(12),oC
1	T1	12	24
	T2	5	18
2	T1	15	33
	T2	0	12
3	T1	18	36
	T2	-2	15
4	T1	17	32
	T2	0	10
5	T1	10	30
	T2	-3	8
6	T1	14	28
	T2	5	20
7	T1	12	35
	T2	4	17
8	T1	15	32
	T2	-1	6
9	T1	16	25
	T2	-7	4
10	T1	20	40
	T2	7	18

Опрацювання результатів

1. Побудувати графік зміни температури повітря влітку впродовж 24 год з інтервалом одна година t = 1, якщо відомо, що опівночі маємо такі дані спостережень: T(0) = T(24) = 15 C, а опівдні - T(12) = 25 C.

2. Розрахувати температуру повітря восени впродовж 24 год з інтервалом одна год, якщо маємо такі дані спостережень: T(0) = T(24) = - 4 C, T(12) = 12 C. Побудувати графік.

Для обчислення температури повітря влітку та восени скористаємося формулою:

.



Обчислимо частоту, якщо період ф = 24:

.

Далі знайдемо початкову фазу з умови, що sin набуває найменшого значення при :

1. Якщо T(0) = T(24) = 15 C, T(12) = 25 C, то маємо

2. Якщо , то аналогічно:

На підставі отриманих формул обчислюємо температуру влітку та восени (табл. 1.14) і будуємо графіки (рис. 1.15):

Таблиця 1.14. Початкові і розрахункові дані

t	T1	T2
0	15	-4
1	15,2	-3,7
2	15,7	-2,9
3	16,5	-1,6
4	17,5	0
5	18,7	1,9
6	20	4
7	21,3	6
8	22,5	8
9	23,5	9,6
10	24,3	10,9
11	24,8	11,7
12	25	12
13	24,8	11,7
14	24,3	10,9
15	23,5	9,6
16	22,5	8
17	21,3	6
18	20	4
19	18,7	1,9
20	17,5	0
21	16,5	-1,6
22	15,7	-2,9
23	15,2	-3,7
24	15	-4

Рис. 1.15. Залежність температури повітря влітку та восени від часу: Т₁ - температура влітку; Т₂ - температура восени

Висновок повинен містити аналіз отриманих результатів розрахунків та опис отриманих залежностей.

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати зміну амплітуди досліджуваних температур влітку та взимку.

2. Оінити, як зміщується фаза коливань температури зі зміною пори року.

3. Визначити та показати на графіку, у який час доби досліджувані температури будуть максимальними влітку та восени.

Лабораторна робота 1.9

Зведення та групування результатів біотехнологічних досліджень. побудова варіаційних рядів

Мета та основні завдання роботи роботи: навчитися групувати статистичні дані біотехнологічних досліджень у вигляді рядів розподілу з використанням електронних таблиць MS Excel.

Основні теоретичні відомості

Первинні статистичні дані, зібрані під час статистичного спостереження, характеризують окремі одиниці досліджуваної сукупності і часто складні для розуміння.

Для того, щоб виявити закономірності, дані необхідно систематизувати й обробити. Першим етапом оброблення статистичних даних є їх групування. Результати групування часто оформлюють у вигляді рядів розподілу (інша назва - варіаційних рядів).

Статистичний ряд розподілу (варіаційний ряд) - це ряд, який характеризує розподіл одиниць сукупності за групами за будь-якою ознакою, розміщеною у певному порядку (зазвичай у порядку зростання значень ознаки). Окреме значення групувальної ознаки називають варіантою (х_і), а кількість елементів у групі - частотою (абсолютною частотою) (f_i).

Групування статистичних даних полягає в знаходженні проміжку зміни значень ознаки, розбиття його на послідовність проміжків і знаходження кількості значень ознаки статистичної сукупності, які належать кожному проміжку.

Послідовність виконання роботи

Як початкові дані для зведення та групування пропонуються дві вибірки: вибірка А та вибірка В (дод. Б).

1. Скласти ряди розподілу (дискретний для вибірки А, інтервальний для вибірки В).

2. Обчислити відносні та нагромаджені частоти.

3. Побудувати полігон та гістограму абсолютних і відносних частот, кумулятивну криву.

4. Сформувати висновки та підготувати звіт.

Опрацювання результатів

1. Побудова варіаційного ряду для вибірки А0 (варіант 0 з дод. Б).

1.1. Використовуючи вбудовані статистичні функції МАКС, МИН, знаходимо розмах варіацій . Оскільки розмах варіації невеликий, то будуємо дискретний ряд розподілу. Кількість значень варіації (та кількість груп в інтервальному ряді розподілу) визначаємо за формулою

Проміжок зміни (область існування) ознаки статистичної сукупності називають розмахом варіації. Сукупність значень ознаки статистичної сукупності, які належать окремому проміжку називають групою.

Дискретний варіаційний ряд - це таблиця, у якій задано всі можливі значення статистичної сукупності і відповідні їм частоти.

Інтервальний варіаційний ряд - це таблиця, у якій задано всі проміжки зміни ознаки статистичної сукупності і кількість значень ознаки, які належать відповідним проміжкам і називаються частотами або частки статистичної сукупності.

Групуючи статистичну сукупність за варіаційною ознакою, необхідно визначити кількість груп і проміжків групування.

У тих випадках, коли порівнюються частоти кожного проміжку ознаки; проміжки необхідно вибирати однаковими.

Кількість груп, на які розбивається статистична сукупність, залежить від обсягу статистичної сукупності.

1.2. Формуємо на листі Excel таблицю для розрахунків (табл. 1.15).

1.3. Розраховуємо значення абсолютних, відносних і нагромаджених частот для кожної варіанти та вносимо розрахунки до таблиці.

Для визначення абсолютних частот можна використати спеціальні функції Excel роботи з базами даних СЧЕТ і БСЧЕТ (для їх застосування варто ознайомитись з довідкою Excel).

Останній рядок виконує контрольну функцію: сума абсолютних частот повинна дорівнювати обсягу вибірки, сума відносних частот - рівна 1, а нагромаджена частота для останньої варіанти завжди 1.

Таблиця 1.15. Дискретний варіаційний ряд вибірки А

Номер групи	Варіанти хі	Абсолютні частоти fi	Відносні частоти w = fi/N	Нагромаджені частоти
1
2				+
…	…	…		…

Для вибірки А0 розрахунки матимуть вигляд табл. 1.16.

Таблиця 1.16. Розрахунки частот для вибірки А0

Номер групи	Варіанти хі	Абсолютні частоти fi	Відносні частоти w = fi/N	Нагромаджені частоти
1	0	4	0,05	0,05
2	1	13	0,16	0,22
3	2	14	0,18	0,39
4	3	24	0,30	0,70
5	4	16	0,20	0,90
6	5	3	0,04	0,94
7	6	3	0,04	0,97
8	7	2	0,03	1,00
		79	1

1.4. Використовуючи «Майстер діаграм», будуємо полігон абсолютних частот (рис. 1.16), гістограму відносних частот (рис. 1.17) та кумулятивну криву (рис. 1.18). Для побудови полігона використовують точкову діаграму у вигляді ламаної.

Рис. 1.6. Полігон абсолютних частот вибірки А0

Іноді замість абсолютних частот розглядають відносні частоти, які отримують діленням частот, що відповідають окремим значенням варіанти, на загальну кількість даних у статистичній сукупності (w = f_i/N). Відносні частоти використовують для порівняння однорідних явищ та процесів, що вивчаються за допомогою вибірок різного обсягу.

Для унаочнення користуються різними способами графічного зображення варіаційних рядів. Варіаційний ряд можна зобразити у вигляді полігона і гістограми.

Полігон (багатокутник розподілу) застосовується в основному для зображення дискретних рядів розподілу і являє собою графік, для якого функцію абсцис виконують значення ознаки (варіанти), а функцію ординат - абсолютні або відносні частоти.

Гістограма розподілу здебільшого застосовується для зображення інтервальних рядів. Гістограма будується як множина прямокутників, основою яких є довжина інтервалу, а висота - пропорційна до відповідної частоти.

У практиці може виникнути потреба в перетворенні рядів розподілу у кумулятивні ряди, які будуються за нагромадженими частотами, які отримують у результаті послідовного підсумовування абсолютних або відносних частот. На підставі таких рядів досліджують процес концентрації досліджуваного явища. За даними кумулятивного ряду можна побудувати графік у вигляді кутуляти (або кумулятивної кривої).

Для побудови гістограми відносних частот використовують відповідний тип діаграм Excel.

Рис. 1.17. Гістограма відносних частот вибірки А0

Для побудови кумулятивної кривої пропонуємо використати гістограму як тип графічного зображення статистичних даних.



Рис. 1.18. Графічне зображення кумуляти

2. Побудова варіаційного ряду для вибірки В0 (дод. Б).

2.1. Для визначення кількості груп використовують формулу, рекомендовану американським статистиком Стержесом

, (1.7)

де К - кількість груп (інтервалів); N - обсяг статистичної сукупності.

Якщо відома кількість груп, то довжину проміжку обчислюємо за формулою:

(1.8)

Зрозуміло, що для зручності розрахунків це значення округлюють, наприклад, до цілого значення.

За формулою (1.7) розрахуємо кількість груп інтервального ряду розподілу:

.

Беручи до уваги, що , розраховуємо за формулою (1.8) довжину кожного інтервалу:

.

Відповідно складаємо таблицю для розрахунків частотних характеристик вибірки В0 (табл. 1.17). На відміну від вибірки А0 для зручності наступних досліджень групи інтервального варіаційного ряду зобразимо трьома стовпчиками - початок інтервалу, кінець інтервалу та середина інтервалу, яка використовуватиметься для розрахунків числових характеристик вибірки.

Таблиця 1.17. Розрахунки частот для вибірки В0

Номер групи з/п	Початок інтервалу	Кінець інтервалу	Середина інтервалу	Абсолютні частоти fi	Відносні частоти w = fi/N	Нагромаджені частоти
1	60	63	61,5	3	0,015	0,015
2	63	66	64,5	13	0,065	0,080
3	66	69	67,5	37	0,185	0,265
4	69	72	70,5	62	0,310	0,575
5	72	75	73,5	54	0,270	0,845
6	75	78	76,5	21	0,105	0,950
7	78	81	79,5	8	0,040	0,990
8	81	84	82,5	2	0,010	1,000
				200	1

2.2. Виконуємо графічне зображення частотних характеристик ознаки аналогічним до попереднього випадку. Середини інтервалів можна використовувати як значення на осі абсцис.

Основні вимоги до побудови інтервального варіаційного ряду:

- проміжки зміни ознаки не перетинаються між собою. Для цього припускається, що початок інтервалу включається до цього проміжку, а кінець (який є також початком наступного інтервалу) - не включається;

- кожен елемент вибірки повинен «знайти» свій проміжок;

- усі проміжки інтервального варіаційного ряду мають однакову довжину (якщо інше не вимагається у дослідженні).

2.3. Сформувати висновки про відмінності статистичного зведення та групування вибірок А і В.

По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати, у скільки разів мінімальні абсолютні частоти відрізняються від максимальних для різних варіант та інтервалів.

2. Оцінити, як відрізняється характер зміни абсолютної та відносної частот для досліджуваних вибірок.

3. Визначити інтенсивність приросту нагромаджених частот для досліджуваних варіант та інтервалів.

Лабораторна робота 1.10

Визначення середніх величин статистичної сукупності

Мета та основні завдання роботи: ознайомитися з методиками визначення середніх значень та навчитися на практиці обраховувати середні величини статистичної сукупності засобами MS Excel.

Основні теоретичні відомості

Середня величина - це статистична оцінка рівня ознаки сукупності даних, що узагальнює кількісну варіацію сукупності і може не збігатися із жодним з індивідуальних значень сукупності. Середня величина має розмірність ознаки сукупності.

У практиці статистичного оброблення інформації залежно від особливостей досліджень застосовують такі види середніх величин: арифметичну, геометричну, квадратична, гармонійну.

Послідовність виконання роботи

1. Для рядів розподілу, отриманих у лабораторній роботі 1.9 (дискретного та інтервального), обчислити середні величини:

- безпосередньо за формулами;

- використовуючи вбудовані статистичні функції Excel.

2. Показати середнє арифметичне значення на гістограмі і полігоні рядів розподілу.

3. Сформувати висновки, оформити звіт.

Опрацювання результатів

1. Розрахувати середнє арифметичне для вибірок А і В. Скопіювати таблиці розподілу з лабораторної роботи №1.9 у новий лист Excel. Розраховані середні значення дописати в кінець таблиці.

Розрізняють середню арифметичну величину - просту і зважену. Просту середню арифметичну величину знаходять за формулою:

,

де - індивідуальні значення ознаки. Тут і далі використовуються позначення, уведені в роботі 19.

1.1. Просте середнє арифметичне в Excel знаходять одним зі способів (для не згрупованих статистичних даних):

- як відношення двох вбудованих функцій: математичної СУММ(блок) та статистичної СЧЕТ(блок), що повертає кількість елементів у вказаному блоці даних;

- використанням вбудованої статистичної функції СРЗНАЧ (блок даних).

Блоку вихідних даних можна надати ім'я і замість адреси вводити ім'я блока (за допомогою ланцюга операцій меню ВставкаИмяПрисвоить). Так можна використовувати вихідні дані з різних таблиць.

Для згрупованих статистичних даних знаходять зважену середню арифметичну величину. Для дискретного варіаційного ряду (табл. 1.18) середню арифметичну зважену знаходять за формулою:



.

Таблиця 1.18. Дисретний варіаційний ряд

xi	x1	x2	…	xn
fi	f1	f2	…	fn

Якщо ряд розподілу задано відносними частотами

xi	x1	x2	…	xn	,
wi	w1	w2	…	wn

то середнє арифметичне знаходять за формулою:

.

1.3. Зважене середнє арифметичне в Excel за дискретним рядом розподілу знаходять як відношення вбудованих математичних функцій:

де блок 1 - адреси варіант ряду розподілу; блок 2 - адреси частот).

Розрахунок спрощується, якщо використати відносні частоти (сума яких =1):



де блок 3 - адреси відносних частот.

1.4. Для інтервального ряду розподілу спочатку знаходять середину кожного інтервалу, а потім знаходять середнє арифметичне зважене згідно з п. 1.2. Для розрахунків за інтервальним рядом розподілу використовується табл. 1.17.

Для інтервального ряду розподілу (табл. 1.19) середню арифметичну величину знаходять за допомогою середин інтервалів:

Таблиця 1.19. Дискретний варіаційний ряд

xi	x0 - x1	x1 - x2	…	xn-1 - xn
fi	f1	f2	…	fn

У тих випадках, коли крайні інтервали відкриті, крок відкритого першого інтервалу береться таким, що дорівнює кроку наступного інтервалу, а крок останнього відкритого інтервалу дорівнює кроку попереднього інтервалу.

2. Розрахувати середню гармонійну зважену для вибірок А і В.

Середня гармонійна величина розраховується за допомогою таких формул:

Для цього створити в таблицях додатковий блок даних з величинами, оберненими до варіант (або до середин інтервалів у випадку інтервальних рядів розподілу) та розрахувати середню гармонічну за формулою:

де блок 2 - адреси частот; блок 4 - адреси обернених величин.

3. Розрахувати середню квадратичну зважену величину.

Середня квадратична величина розраховується за формулами:

Для цього створити додатковий блок даних «блок 5» у вигляді додаткового рядка або совпчика таблиці для значень квадратів варіант (або середин інтервалів) і використати формулу:

де блок 2 - адреси частот.

Розрахувати середній темп зменшення чисельності сільського населення України за даними (табл. 1.20), використовуючи середнє геометричне:

Таблиця 1.20. Статистичні дані населення області

Рік	Чисельність (млн., Yі)	Темп спадання (Yі+1/Yі)
1991	17,3
2001	16,8
2011	15,8
Середній темп спадання	=СРГЕОМ (блок даних)



По закінченні роботи оформити звіт.

Аналіз отриманих результатів

1. Проаналізувати розбіжність між результатами розрахунків середніх значень для простих та зважених вибірок.

2. Визначити, у скільки разів зменшилося населення області у період 1991-2011 рр.

Лабораторна робота 1.11

Визначення структурних характеристик та показників варіації статистичної сукупності

Мета та основні завдання роботи: навчитися на практиці обраховувати структурні характеристики та показники варіації статистичної сукупності засобами MS Excel.

Основні теоретичні відомості

Структуру статистичних сукупностей характеризують особливими показниками, які у статистиці називають структурними або порядковими середніми величинами; це мода і медіана.

Мода (Мо) - значення варіанти, що повторюється у ряді розподілу найчастіше.