Динамика астроцита

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Астроцит

1.1 Развитие математической модели астроцита

2. Исследование математической модели астроцита

2.1 Описание исследуемой модели

2.2 Определение состояний равновесия и их устойчивости

2.3 Фазовый портрет

Заключение

Список использованной литературы

Приложения

3 

Введение

Нервная система безусловно играет важную роль в функционировании организма, она связывает в единое целое и координирует работу всех его систем, обеспечивает связь организма с окружающей средой. Принято различать центральную нервную систему (ЦНС), к которой относят все структуры, расположенные в головном и спинном мозгу, и периферическую, к составу которой относят все нервные структуры, находящиеся вне пределов головного и спинного мозга.

В мозге присутствует два главных типа клеток: нейроны и глиальные клетки, или глия. Главным отличием глиальных клеток от нейронов является отсутствие аксонов, по которым от тела клетки отходят нервные импульсы. Глиальные клетки занимают как минимум половину объёма ЦНС, количество их по крайней мере в 10 раз превышает количество нейронов. Помимо этого, глиальные клетки, в отличие от нейронов, многообразны. Так, в ЦНС они делятся на несколько классов: астроциты, олигодендроциты, эпендимиальные, радиальные глиальные и микроглиальные клетки. В периферической нервной системе аналогом глия являются шванновские клетки. Нейроны и глиальные клетки очень плотно упакованы, можно сказать, что глия являются средой для нейронов. Мембраны нервных клеток разделены узким межклеточным пространством (шириной около 20 нм), которое заполнено жидкостью и содержат ионные каналы, рецепторы нейромедиаторов, насосы, транспортирующие ионы, и транспортёры аминокислот. Помимо этого, глиальные клетки связаны между собой щелевыми контактами, через которые могут проходить ионы и небольшие молекулы.

1. Астроцит

1.1 Развитие математической модели астроцита

Впервые глиальные клетки были описаны Рудольфом Вирховым в 1846 году, который считал, что они являются своеобразным «нервным клеем», откуда и получили своё название (с англ. glue - клей). Для определённого подкласса клеток, благодаря специфической форме, Михаэлем Ленхошшеком в 1893 г. был предложен термин «астроцит» (с греческого astro - звезда, и cyte - клетка). Астроциты делятся на два вида: протоплазматические астроциты и фиброзные, или волокнистые, астроциты. Первые располагаются преимущественно в сером веществе мозга и имеют многочисленные ветвистые отростки, вторые же - в белом веществе мозга и обладают меньшим телом и длинными малоразветвлёнными отростками. Астроциты, контактируя с капиллярами и нейронами, участвуют в транспорте веществ между нейроном и кровью.

1.2 Развитие математической модели астроцита

астроцит нервный система модель

Одним из наиболее часто исследуемых вопросов является изучение внутриклеточных кальциевых сигналов. Так, De Young и Joel Keizer (1992), (3) была предложена упрощённая модель, объясняющая динамику клетки только на основе изменения внутриклеточной концентрации кальция [Ca²⁺] и инозитолтрифосфата (IP₃). Изменение концентрации [Ca²⁺] представлялось в виде разности вытекающего и втекающего кальциевых потоков, причём вытекающий поток содержал в себе две компоненты: ток через IP₃-зависимый канал и постоянный ток утечки. Описание механизма изменения концентрации [IP₃] ссылалось на более ранние исследования и основывалось на том, что IP₃-канал имеет один участок связывания IP₃, и два участка связывания Ca²⁺, один для активации, другой для торможения. Тем самым считалось, что каждый IP₃-канал может существовать в 8 состояниях. Предложенная модель хорошо согласовывалась с полученными к тому времени экспериментальными данными. Так же немаловажным фактом можно считать то, что в модели был рассмотрен случай наличия обратной связи между Ca²⁺ и IP₃, которая при различных значениях определённого параметра либо была малозаметна, либо достаточно сильно сказывалась на динамике колебаний.

Дальнейшие исследования (4) этой модели привели к появлению одной из наиболее распространенных моделей, модели Ли-Ринцеля (1994). В её основе лежит описание биофизических процессов, регулирующих внутриклеточную концентрацию кальция. В этой модели помимо токов через мембрану эндоплазматического ретикулума учитываются и токи через плазматическую, или внешнюю, мембрану (в модели «закрытой» клетки ими просто пренебрегали) астроцита. Такая модель описывает не только динамику внутриклеточных процессов, но и позволяет отслеживать отклик астроцита на внешние воздействия, такие как, например, импульс нейрона.

Более поздняя модель (5) динамики внутриклеточной концентрации кальция, для наилучшего соответствия экспериментальным данным, использует в своём описании и наличие у астроцитов щелевых контактов, рассматривая два астроцита, соединенных между собой посредством щелевого контакта. Таким образом, в модель добавляется описание диффузионных процессов, напрямую или косвенно приводящих к изменению внутриклеточной концентрации кальция, создавая основу для исследования динамики как одиночной клетки, так и структур астроцитов.

2. Исследование математической модели астроцита

2.1 Описание исследуемой модели

Динамика внутриклеточной концентрации кальция, согласно модели Ли-Ринцеля, описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка, имеющей следующий вид:

(1)

где переменная z характеризует изменение внутриклеточной концентрации кальция, обусловленной токами через IP3-зависимые каналы (J_chanel) эндоплазматического ретикулума (ЭР), токами активной перекачки кальция из внутриклеточного пространства внутрь ЭР (J_pump) и пассивными токами утечки через мембрану ЭР (J_leak). Эти токи определяются как

где

концентрация инозитолтрифосфата, которую при исследовании системы (1) будем считать параметром, и переменная q определяет долю активных IP3-зависимых рецепторов ЭР. Воспользуемся экспериментально определёнными значениями: 

2.2 Определение состояний равновесия и их устойчивости

Для начала, определим состояния равновесия системы (1). Они задаются следующей системой:

(2)

Исключая q_о, получим следующее уравнение, описывающее зависимость координаты z_о состояния равновесия от параметра [IP₃]:

Эта зависимость представлена на рисунке:

Определение устойчивости состояний равновесия производится с помощью линеаризованной системы вблизи состояний равновесия. За F и G обозначим правые части уравнений системы (1) соответственно. Тогда, используя разложение в ряд Тейлора до членов первого порядка, получим:

(3)

где значения частных производных для F и G берём в состояниях равновесия. Составим характеристическое уравнение:

(4)

откуда, решая квадратное уравнение относительно характеристического показателя ?, получаем условие на неустойчивость состояния равновесия:

(5)

В итоге получаем, что состояние равновесия теряет устойчивость при достижении значения а затем, при достижении - вновь становится устойчивым.

2.3 Фазовый портрет

Проследим за динамикой системы на фазовой плоскости (z,q). Особая точка, которая является точкой пересечения изоклин нулевых наклонов, есть состояние равновесия. На нижеприведённых рисунках обозначены характерные траектории при различных начальных значениях z и q.

Ниже приведены различные фазовые портреты и соответствующие им временные реализации внутриклеточной концентрации кальция. Случаи (а) и (г) характеризуют стационарный режим клетки с единственным устойчивым состоянием равновесия типа узел или фокус соответственно. Напротив, (б) и (в) характеризуют неустойчивое состояние равновесия типа центр, и на фазовой плоскости существует устойчивый предельный цикл, что соответствует колебательному режиму. На представленных временных реализациях хорошо заметно проявление начальных условий.

Список использованной литературы

1) Дж. Г. Николлс, От нейрона к мозгу, М.: Едиториал УРСС, 2003.

2) Glial Neurobiology - A Textbook - A. Verkhratsky, A. Butt (Wiley, 2007)

3) De Young, G., and Keizer, J. (1992). A single-pool inositol 1,4,5- trisphosphate-receptor-based model for agonist-stimulated oscillations in Ca2+ concentration. Proc. Natl. Acad. Sci. USA

4) Joel Keizer, Yue-Xian Li, Stanko Stojilkovic, John Rinzel (1995) InsP3-induced Ca2+ Excitability of the Endoplasmic Reticulum. The American Society for Cell Biology

5) Ghanim Ullah, Peter Jung, A.H. Cornell-Bell (2005) Anti-phase calcium oscillations in astrocytes via inositol (1, 4, 5)-trisphosphate regeneration.

6) А.В. Семьянов, В.Б. Казанцев (2007) Нейрон-глиальное взаимодействие в мозге

Приложения

Все вычисления и построения выполнялись в среде MatLab, ниже приведены программные реализации для:

1. определения координат состояния равновесия и его устойчивости

clear

c1=0.185; v1=6; v2=0.11; v3=0.9; k3=0.1; d1=0.13; d2=1.049; d3=0.9434; d5=0.08234; a2=0.2; c0=2;

zc=c0/(c1+1);

f=@(z,p)(c1+1)*v1*z^3/(d5+z)^3*(d2*p)^3/(d2*(p+d1)+z*(p+d3))^3*(z-zc)+v3*z^2/(k3^2+z^2)+(c1+1)*v2*(z-zc);

H=ezplot(f,[0,0.5,0,1]);

set(H,'LineWidth',2,'LineColor','bl');

title('z_0([IP3]_0)');

xlabel('Z_0');

ylabel('[IP3]_0');

saveas(1,'z0([IP3]).bmp');

disp('Выделить график')

pause

ud=get(gco);

z=ud.XData;

p=ud.YData;

p1(1:size(z,2))=0;

for i=1:size(z,2)

m=p(i)/(p(i)+d1);

n=z(i)/(d5+z(i));

aq=a2*d2*(p(i)+d1)/(p(i)+d3);

q(i)=aq/(aq+a2*z(i));

zc=c0/(c1+1);

fz=-(c1+1)*v1*m^3*q(i)^3*n^3*(3*d5*(z(i)-zc)*n/z(i)^2+1);

fz=fz-2*v3*z(i)*k3^2/(k3^2+z(i)^2)^2-(c1+1)*v2;

gq=-(aq+a2*z(i));

if (fz+gq>0) %unstable

p1(i)=p(i);

end

end

k=0;

for i=1:size(z,2)

if (p1(i)~=0)&&(p1(i-1)==0)

k=i;

end

if (k~=0)&&(p1(i)~=0)

pu(i-k+1)=p1(i);

end

end

csvwrite('pu.csv',pu)

csvwrite('p.csv',p)

l=num2str(pu(size(pu)));

n=['unstable btw p: (' l ')'];

disp(n)

2. построения фазовых портретов и соответствующих им временных реализаций

clear

c1=0.185; v1=6; v2=0.11; v3=0.9; k3=0.1; d1=0.13; d2=1.049; d3=0.9434; d5=0.08234; a2=0.2; c0=2;

p=input('p ');

n0(1)=0;n0(2)=input('q0 ');

zc=c0/(c1+1);

f=@(t,x)[-((c1+1)*v1*(p/(p+d1))^3*(x(1)./(d5+x(1)))^3*x(2).^3*(x(1)-zc)+v3*x(1).^2/(k3^2+x(1).^2)+v2*(c1+1)*(x(1)-zc));...]

(a2*d2*(p+d1)/(p+d3))*(1-x(2))-x(1).*x(2).*a2];

ezplot(@(z,q)(a2*d2*(p+d1)/(p+d3))*(1-q)-z*q*a2)

hold on

ezplot(@(z,q)-((c1+1)*v1*(p/(p+d1))^3*(z/(d5+z))^3*q^3*(z-zc)+v3*z^2/(k3^2+z^2)+(c1+1)*v2*(z-zc)))

for i=0.6:0.2:2

for j=0:0.4:2

[t,x]=ode45(f,[0 100],[j i]);

plot(x(:,1),x(:,2))

xlabel('z');ylabel('q');

title('Phase Portrait');

end

end

axis([0,2,0,2])

l=num2str(p); nn=num2str(n0);n=['zq_p_' l '_' nn '.bmp'];

saveas(1,n);

hold off

figure

[t,x]=ode45(f,[0 100],n0);

plot(t,x(:,1))

xlabel('t'); ylabel('z');

n=['zt_p_' l '_' nn '.bmp'];

saveas(2,n);

Размещено на Allbest.ru