История проникновения математических идей и методов в биологию

Размещено на http://www.allbest.ru/

Белорусский государственный университет

Биологический факультет

«История проникновения математических идей и методов в биологию»

Развитие математической и биологической наук в XVIII-XIX в.

Биология и математика - что может быть общего у этих столь различных областей знания? Математика - абстрактная наука о числах с ее интегралами, дифференциалами, матрицами и множествами, биология - наука о жизни во всем многообразии ее проявлений: от субклеточных и клеточных структур до популяций и биогеоценозов. Совершенно ясно, что специфика и многообразие живой природы таковы, что никакие математические построения отразить их не в состоянии. Большинство ученых до начала ХХ века считали, что между биологией и математикой лежит если не пропасть, то, по крайней мере, труднопреодолимая преграда.

Правда, отдельные смельчаки - физики и математики - делали попытку пробраться на «вражескую» территорию. Это и Леонардо да Винчи, рассмотревший в рамках еще зарождавшейся в XV- XVI веках механики движение животных, и, выдающийся математик XVIII века Л. Эйлер, создавший математическую модель сердца. Более близки по времени к нам работы по физиологии зрения и слуха знаменитого физика XIX века Г. Гельмгольца. Однако это были просто «вылазки разведчиков», ставивших своей целью лишь захват «языка» - интересной с математической точки зрения проблемы. Отталкиваясь от того или иного биологического примера, ученые-математики формулировали новые математические идеи, разрабатывали новые математические методы, словом, занимались вопросами своей научной дисциплины. А биологическая основа рассматривалась ими только как повод для этого.

Переоценка ценностей началась еще в XIX веке. Связано это было с превращением биологии из науки наблюдательной в науку экспериментальную, До середины XIX века ученый-естествоиспытатель был, по сути дела, натуралистом. Своей основной задачей он считал наблюдение за живыми организмами, описание и систематизацию всего их многообразия. По мере решения этих задач биологи все глубже и интенсивнее вторгались в область эксперимента, позволяющего задавать природе конкретные вопросы и получать на них столь же конкретные ответы. В результате было накоплено большое количество фактов той степени точности и абстрактности, которая допускает применение математического аппарата. А желание познать механизмы изучаемых явлений неизбежно привело биологов к необходимости использовать в своей работе этот аппарат.

Первоначально биологи применяли в основном методы математической статистики для обработки результатов своих экспериментов. Следствием этого было создание целого научного направления - биометрии. В дальнейшем биометрическое направление существенно преобразилось, что было связано со все более широким распространением методов многомерных статистик. Сейчас математическая статистика используется прежде всего как средство, позволяющее корректно спланировать эксперимент и получить с наименьшими затратами труда и средств достоверную количественную информацию об изучаемом объекте. Теоретической основой для такого подхода стала новая отрасль статистики - теория планирования оптимального эксперимента. Однако, хотя эта теория и позволяет получать количественные зависимости между изучаемыми явлениями, такие модели большей частью оказываются формальными и дают возможность скорее управлять процессами, чем познавать их механизмы.

Более содержательны такие математические модели, которые отражают структуру и внутренние связи исследуемых процессов и явлений, раскрывают их движущие силы и законы функционирования. Именно таков основной путь применения формального математического аппарата в современной биологии. При этом математическая модель становится важным и неотъемлемым средством теоретического исследования.

Одним из первых примеров именно такого подхода к применению математики в биологии оказалась генетика. Уже работы основоположника этой науки Г. Менделя стали прекрасной иллюстрацией того, каким плодотворным может быть применение математических идей для проникновения в самую суть биологических явлений. Сформулированные на строгом математическом уровне законы наследования Менделя лежат в основе современной генетики, являющейся, пожалуй, наиболее математизированной из всех биологических дисциплин.

В ХХ веке началось бурное вторжение математических методов и идей в биологические исследования. На службу биологии «приняты» и алгебра, и теория вероятностей, и математическая статистика и дифференциальное и интегральное исчисление, и топология, и теория конечных автоматов. Проще, наверное, было бы назвать те разделы математики, которые пока еще не используются для описания явлений живой природы. Поэтому с полным основанием можно говорить о возникновении особой отрасли биологической науки - математической биологии.

Прогресс многих биологических наук, особенно за последнюю четверть XX века, в значительной степени связан с широким использованием математических методов и обращением к принципам кибернетики.

Попытки найти общие принципы строения биологических систем, управляющих развитием организмов, предпринимались уже в начале ХХ в. Н. А. Белов (1914, 1924) первым высказал идею, что основным типом взаимоотношений в организме является то, что теперь называют отрицательной обратной связью. Экспериментальное обоснование этого принципа взаимодействия применительно к биологическим системам дал в 30-х годах М. М. Завадовский, назвав его «плюс-минус взаимодействием». Затем он показал, что в процессах онтогенетической дифференциации основную роль играют положительные обратные связи. Систематическое применение принципа обратной связи к биологическим системам началось после создания основ кибернетики Винером (1948). Оно привело к повышению основных характеристик регуляторных биологических систем, раскрытию конкретных структурных основ реализации обратных связей и обеспечения надежности передачи информации. Биокибернетический подход оказался плодотворным в исследовании процессов, протекающих на всех уровнях организации. С его помощью особенно успешно стали изучать процессы жизнедеятельности клеток, морфогенез, работу мозга и органов чувств, регуляцию функциональных процессов, изменения генетической структуры популяций, экологические проблемы, коммуникацию между животными. Универсальное значение для биологии приобрел метод математического моделирования. С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель -- это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования -- исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование -- это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект -- явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Построение математических моделей па основе самых существенных связей между анализируемыми явлениями играет незаменимую роль во всех случаях, когда невозможно или трудно поставить эксперимент непосредственно на изучаемом объекте.

Процесс проникновения математики в биологию имеет длительную историю. Однако сильнее всего он проявился в ХХ в.. Это прежде всего связано с развитием самой биологии, ее теоретических представлений. Системы биологических понятий достигли той степени абстрактности и точности, при которой стало возможным использование математических моделей для описания биологических явлений. Кроме того, структура изучаемых в настоящее время биологических систем оказалась столь сложной, что потребовала для своего анализа разработки новых принципов исследования, основанных на точных математических методах.

Важную роль в математизации биологии сыграло взаимопроникновение наук. Биология издавна испытывала влияние представлений, возникавших в механике и физике. Достаточно вспомнить попытки сравнения скелета позвоночных с системой рычажных механизмов (Леонардо да Винчи, Дж. Борелли). Возникшая из этих попыток биомеханика начала особенно интенсивно развиваться в первой четверти ХХ в. (Н. И. Гердина, Н. А. Бернштейн и др.). Сближение биологической тематики с физическими и химическими проблемами является одним из путей проникновения в биологию математики, давно играющей важную роль в физике и химии.

Большое значение имели также некоторые идеи, возникшие вне биологии и проникшие в нее в последние десятилетия. Это главным образом идеи теории регулирования и теории информации. Они привели к тому, что существенно изменился подход к регуляторным системам организма, к работе рецепторов и т. д. Понятия «обратной связи», «информации», органически связанные с математическими представлениями, явились существенным навалом проникновения математики в биологию.

Как известно, в последние десятилетия в математике возник ряд новых направлений, связанных с изучением моделей систем высокой степени сложности. К ним относятся теория автоматов, теория игр, теория операций и др. В этой связи биология оказалась для математиков интересным объектом, на котором можно проверить силу новых теорий при помощи вновь созданных математических дисциплин и вычислительных машин.

Более того источником новых математических идей стала сама биология. Некоторые примеры такого рода могут быть отмечены даже в биологии XIX в. Так, Г. Гельмгольц исследовал некоторые уравнения математической физики в связи со своими работами по физиологии слуха. Известно, что некоторые работы Р. Фишера по математической статистике были связаны с его занятиями биологией. Работы В. Вольтерры по интегральным уравнениям базировались на его исследованиях в области экологии.

Однако именно в настоящее время биология оказывается особенно привлeкательной для математика. Сложность таких явлений, как работа мозга, взаимосвязи в биологических сообществах, высокая способность организмов к адаптации, размножению и т. д. привели к выводу, что для их описания потребуется: создание новых математических конструкций. Тан размышления о математических моделях размножения привели, например, Дж. Неймана к созданию теории самовоспроизводящихся автоматов. Именно биология как источник новых моделей, как наука, изучающая объекты, не имеющие аналогов в физике и технике, и потому позволяющая ставить совершенно новые задачи, привлекла к себе внимание таких математиков как Р. Беллман, Н. Винер, г. Вейль, И. М. Гельфанд (Ленинская премия, 1955), А. Н. Колмогоров (Ленинская премия 1965), А. А. Ляпунов, Дж. Нейман и др.

Некоторые закономерности проникновения математических методов и идей в биологию

На раннем этапе математика проникала в биологию через посредство смежных наук, прежде всего через механику и физику. При этом случаи применения математических методов носили эпизодический характер. Наиболее известные примеры такого рода дают работы Дж. Борелли (1680-1681) о движении животных, Л. Эйлера (1730), Ж. Пуазейля (1840) и Дж. Стокса (1845) по гемодинамике и Г. Гельмгольца по физиологической оптике (1867) и акустике (1863). При этом биологическая проблема формулировалась как одна из задач механики или физики. Начиная с первой трети ХХ в. математика получает в биологии систематическое применение для решения собственно биологических проблем и эти науки начинают обходиться без посредников.

Вторая закономерность проникновения математики в биологию связана с изменением способа применения математики. Первоначально систематическое использование математики определялось развитием методов обработки результатов эксперимента, прежде всего, методов математической статистики. На базе использования этих методов возникла специальная наука - биометрия. Кроме того, математика использовалась для сокращенного описания результатов экспериментов, для выявления эмпирических функциональных связей и подбора формул для их описания. Примером может служить часть многочисленных уравнений роста. Однако с течением времени математика все чаще стала использоваться каа средство моделирования. В основе такого использования математики лежит формирование системы представлений и гипотез о некотором круге биологических явлений. После того как исходная система представлений сформирована, привлекается формальный аппарат, позволяющий получить выводы и предсказания о возможном характере поведения, о возможных режимах функционирования данной биологической системы. Эти выводы и предсказания должны в принципе допускать экспериментальную проверку. В результате же проверочных экспериментов, в свою очередь, уточняется модель. При таком подходе математическая модель оказывается существенным инструментом теоретического исследования. Математические в указанном смысле слова отражают основные, существенные связи между явлениями, известные на данном этапе познания, и позволяют ставить разнообразные мысленные эксперименты, которые порой очень трудно или даже невозможно поставить прямо на изучаемом объекте.

Параллельно с накоплением биологических знаний идет усложнение математических методов, используемых в биологии, причем оно касается всех способов применения математики. Так, в области биометрии в последнее время все шире используются методы многомерных статистик. В курсе рассматриваются различные вероятностно-статистические методы обработки и анализа данных. Описываются характерные этапы и задачи обработки наблюдений за живой природой, методы их решения, имеющиеся программные реализации.

При описании эмпирического материала вместо элементарных функций сейчас часто используются дифференциальные или интегральные уравнения и т. д. В последние десятилетия в математике возник ряд новых направлении, связанных с изучением систем высокой степени сложности (теория автоматов, теория игр, динамическое программирование и т. д.). Можно указать на попытки использования в биологии матричных методов, теории групп, топологических методов и других средств современной математики.

В связи с усложнением математических средств, используемых в биологии, все более широкое применение находят вычислительные машины. Быстрота операций, совершаемых машинами, позволяет обрабатывать большое количество данных и открывает новые возможности для биологического эксперимента. При этом обработка данных может выполняться непосредственно в ходе опыта, так что исследователь получает необходимые результаты тогда, когда еще можно изменить направление эксперимента. Более того, вычислительная машина может сама по заданной программе вести эксперимент, меняя его ход в зависимости от получаемых результатов. Некоторые эксперименты, связанные с исследованиями быстро протекающих процессов, вообще принципиально невыполнимы без использования быстродействующих технических средств.

Еще большее значение имеют вычислительные машины для создания в биологии математических моделей. Биологические системы часто описываются нелинейными уравнениями, системами из большого числа дифференциальных уравнений или сложными логическими схемами, так что после формулировки основных положений анализ модели без использования вычислительной техники оказывается столь трудоемким, что она становится непродуктивной. Таким образом, наряду с появлением новых математических направлений принципиальную роль в математизации биологии стала играть и вычислительная техника.

Проникновение математических методов и математического метода мышления вообще в различные области биологических исследований показывают, что этот процесс, начавшийся в конце XIX в., интенсивно продолжается и еще вeсьма далек от завершения.

Направления и исследования по существу являются лишь первыми шагами и, по-видимому, отражают лишь основные тенденции процесса прогрессирующей математизации биологии.

Примеры использования математических уравнений в биологии

Модель Мальтуса

Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением:

где б -- некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция x(t) = x₀e^бt. Если рождаемость превосходит смертность (б > 0), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста:

где x_s -- «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению x_s, причем такое поведение структурно устойчиво.

Система хищник-жертва

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных : кролики, питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов x, число лис y. Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Вольтерра -- Лотки:

Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения. Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра -- Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

математический моделирование биология

Задача

Через сосуд вместимостью a л, наполненный водным раствором некоторой соли, непрерывно протекает жидкость, причем в единицу времени в сосуд поступает b л чистой воды и вытекает такое же количество раствора. Найти закон, по которому изменяется содержание соли в сосуде в зависимости от времени протекания жидкости через сосуд, если известно, что в начальный момент t=0 в сосуде c кг соли.

Решение: В качестве независимой переменной выберем время t, через x обозначим количество соли в сосуде в момент времени t. Нам необходимо найти неизвестную функцию x=x(t). В каждом литре раствора содержится x/a кг соли, а в b л - bx/a кг.

Если бы в течение единицы времени, начиная с момента t, концентрация раствора оставалась постоянной, то количество соли за эту единицу времени уменьшилось бы на bx/a кг. Величина bx/a выражает скорость изменения количества соли в сосуде для момента времени t. С другой стороны, производная функции x=x(t) выражает скорость изменения количества соли в момент t. Следовательно, - =

(Знак “-“ взят потому, что с увеличением t функция x убывает)

Уравнение (1) является уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя его, получаем ln x=- , откуда x= CЗначение произвольной постоянной C определим из условия задачи: x=c при t=0. Подставляя эти значения t и x в уравнение (2), находим: c=C, C=c. Следовательно, искомый закон определяется функцией x=c.

Ответ: содержание соли в сосуде в зависимости от времени протекания жидкости через сосуд определяется функцией x=c.

Используемая литература

1) Дромашко С.Е. «Биология и математика». Издательство «Наука и техника», 1986 г.

2) «История биологии». Издательство «Наука», 1984 г.

3) Безручко Б. П., Смирнов Д. А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. -- Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005. -- ISBN 5-94409-045-6

4) Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделирование систем: Учеб. для вузов -- 3-е изд., перераб. и доп. -- М.: Высш. шк., 2001. -- 343 с. ISBN 5-06-003860-2

5) Цымбал Б. П. Математическое моделирование сложных систем в металлургии. -- Кемерово-Москва: "Российские университеты" Кузбассвузиздат - АСТШ, 2006. -- ISBN 5-202-00925-9

Размещено на Allbest.ru