3

Реферат

На тему: Принципы симметрии

План

1) Понятие " симметрия".

2) Типы симметрии.

3) Симметрии физических законов.

4) Связь симметрии с законами сохранения.

Принципы симметрии

1. Физические законы неизменны, инвариантны по отношению к переносам в пространстве, что обусловлено однородностью пространства. Это значит, что при переносе какого-либо устройства из одной точки пространства в другую его свойства, особенности функционирования и результаты опытов не изменятся.

Физические законы инвариантны по отношению к поворотам в пространстве. Это называют изотропностью пространства. Например, на север ли, на восток ли повернута установка, результаты опыта будут одни и те же.

Симметрия физических законов определяется и однородностью времени, т.е. они инвариантны по отношению к переносам во времени. Таким образом, однородность пространства и времени являются свойствами симметрии.

Принцип относительности законов природы - это тоже симметрия по отношению к переходу из одной инерциальной системы отсчета в другую. Эта симметрия устанавливает равнозначность всех инерциальных систем отсчета.

Никакие физические явления не изменяются при перестановке двух идеально одинаковых частиц (например, электронов или протонов) - перестановочная симметрия.

Еще один вид симметрии физических законов - инвариантность по отношению к зеркальному отражению. Это значит, что две физические установки, одна из которых построена как зеркальное отображение другой, будут функционировать одинаково.

Отметим, что эта симметрия при определенных взаимодействиях нарушается.

Свойства симметрии относятся к числу самых фундаментальных свойств физических систем. Однако не все законы природы инвариантны к любым преобразованиям. Например, геометрический принцип подобия не применим к физическим законам. Р. Фейнман приводит наглядный пример с моделью какого-нибудь собора, который сложен из спичек. Если эту модель увеличить до натуральных размеров, то строение разрушится. Законы классической физики перестают работать в микромире, вместо них приходят законы квантовой механики. Это уже проявление асимметрии, т.е. несимметрии. С точки зрения современной физики отсутствие симметрии физических законов относительно преобразования подобия объясняется тем, что порядок размеров атомов имеет абсолютное, одинаковое для всей Вселенной значение.

Между симметрией и законами сохранения существует глубокая связь. В начале XX в. была сформулирована теорема Нётер, согласно которой, если свойства системы не изменяются от какого-либо преобразования над ней, то этому соответствует некоторый закон сохранения. Поскольку независимость свойств от преобразования означает наличие в системе симметрии относительно данного преобразования, постольку теорема Э. Нётер может быть сформулирована как утверждение о том, что наличие в системе симметрии обуславливает существование для нее сохраняющей физической величины. Например, закон сохранения импульса есть следствие однородности пространства, а закон сохранения энергии - следствие однородности времени. Законы сохранения, действуя в самых различных областях и в различных конкретных ситуациях, выражают то общее для всех ситуаций, что, в конечном счете, связано с соответствующими принципами симметрии.

Таким образом, симметрия связана с сохранением, выделяя в нашем изменчивом мире различные инварианты - некие своеобразные "опорные точки". Можно сказать, что симметрия вносит порядок в наш мир. В окружающем нас мире "все течет, все изменяется," он наполнен взаимодействиями и превращениями, всюду присутствует случайность и неопределенность. Но при этом законы мира обнаруживают симметрию: энергия сохраняется, за летом следует зима и т.п. Симметрия выделяет общее как в объектах, так и в явлениях, подчеркивая, что мир многообразен, но в то же время он и един, так как в разнообразных явлениях природы присутствуют черты общности.

В мире живой природы также проявляются все основные виды симметрии, которые возможны по геометрическим соображениям. Специфика строения растений и животных определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются, особенностями их образа жизни. У любого дерева есть основание и вершина, "верх" и "низ", которые выполняют разные функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести определяют вертикальную ориентацию поворотной оси "древесного конуса" и плоскостей симметрии. Для листьев характерна зеркальная симметрия. Эта же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаше выступает в сочетании и поворотной симметрией. Нередки случаи и переносной симметрии (веточки акации, рябины). Интересно, что в цветочном мире наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка, которая принципиально невозможна в периодических структурах неживой природы. Этот факт академик Н. Белов объясняет тем, что ось 5-го порядка - своеобразный инструмент борьбы за существование, "страховка против окаменения, кристаллизации, первым шагом которой была бы их поимка решеткой". Действительно, живой организм не имеет кристаллического строения в том смысле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой. Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко.

В мире рыб, насекомых, птиц, млекопитающих характерна билатеральная симметрия (билатеральный в переводе с латинского - "дважды боковой") - так в биологии называют зеркальную симметрию. Это обусловлено тем, что в отличие от растений, которые не меняют места жительства, для животных актуально перемещение в пространстве: у них нет симметрии относительно того направления, в котором они передвигаются, т.е. задняя и передняя части животного асимметричны. Плоскость симметрии у животных, кроме вектора направления движения, определяется, как и у растений, направлением силы тяжести. Эта плоскость делит животное на две половины - правую и левую. Это же относится и к человеку.

Симметрия подобия проявляется в природе во всем, что растет. Ствол дерева имеет вытянутую коническую форму. Ветви обычно располагаются вокруг ствола по линии похожей на винтовую, но она постепенно суживается к вершине. Это пример симметрии подобия с винтовой осью симметрии. Всякий живой организм повторяет себя в подобном. Природа обнаруживает подобие как свою глобальную генетическую программу. Подобие правит живой природой в целом. Геометрическое подобие считается общим принципом пространственной организации живых структур. Лист березы подобен листу березы и т.п.

Имеется еще одна замечательная симметрия - самоподобие или масштабная инвариантность (скейлинг), которая имеет самое прямое отношение к природе.

При построении моделей, описывающих окружающий нас мир, мы привыкли использовать такие известные геометрические понятия, как линия, круг, сфера, квадрат, куб и другие. Но, в действительности, мир устроен по более сложным законам. Оказалось, что не всегда можно ограничится такими простыми понятиями, т.е. мир не всегда можно изучать, используя только "линейку и циркуль". Геометрия Евклида не способна описать форму ни облаков, ни гор, ни деревьев или берега моря. Дело в том, что облака - это не сферы, горы - не конусы и т.д. Природа демонстрирует нам совершенно другой уровень сложности, чем мы привыкли считать. В природных структурах, как правило, число различных масштабов бесконечно.

Математики разработали математические понятия, выходящие за рамки традиционной геометрии, идеи которой, как теперь начинают понимать, позволяют все более глубже постигать сущность природы. Одним из ярких примеров можно назвать фрактальную геометрию, центральным понятием которой является понятие "фрактала". На русский язык слово переводится как изломанный объект с дробной размерностью.

Существует множество различных определений фрактала. Прежде всего, математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, отражая иерархический принцип организации. Фракталы обладают свойством самоподобия: их вид существенно не изменяется при рассмотрении через микроскоп с различным увеличением, т.е. фрактал выглядит практически одинаково, в каком бы масштабе его не наблюдать. Другими словами, фрактал состоит из однотипных элементов разных масштабов и. по сути, представляет собой повторяющийся при изменении масштабов узор. Малый фрагмент такого объекта подобен другому, более крупному фрагменту или, даже, структуре в целом. Поэтому и говорят, что фрактал это структура, состоящая из частей, которые подобны целому. Фракталы в какой-то степени отражают принцип восточной мудрости: "одно во всем, и все в одном".

Главная особенность фракталов состоит в том, что они имеют дробную размерность, являющейся следствием масштабной инвариантности. С математической точки зрения геометрические объекты, в том числе и фракталы можно рассматривать как множества точек, вложенных в пространство. Например, множество точек, образующих линию в евклидовом пространстве, имеют размерность D = 1, а множество точек, образующих поверхность в трехмерном пространстве, имеют размерность D = 2. Шар имеет размерность D = 3. Характерная их особенность состоит в том, что длина линии, площадь поверхности или объем пропорциональны, соответственно, линейному масштабу в первой, во второй или третьей степени, т.е. их размерность совпадает с размерностью пространства, в которое они вложены.

Однако существуют объекты, для которых это не так. Такие объекты и называют фракталами, а их размерность D - фрактальной размерностью и выражается она дробным числом: 1 < D < 3. На Рис.2.1 показан один из таких стандартных примеров, демонстрирующих, что кривая может иметь размерность D > 1, так называемая кривая Кох. Она строится следующим образом. Исходный отрезок единичной длины делится на три равные части. Затем выполняются построения, показанные на Рис.2.1 В результате в первом поколении (г/ = 1) получаем ломаную кривую, состоящую из четырех звеньев длиной по 1/3. Длина всей кривой в этом поколении составляет Ј (1/3) = 4/3. Следующее поколение (п = 2) получается путем той же самой операции над каждым прямолинейным звеном первого поколения. Здесь получается кривая, состоящая из N - 4² = 16 звеньев, каждое длиной 6 = 3~² = 1/9. Вся длина равна L (l/9) = (4/3) ² = 16/9. И так далее. На п-м шаге длина прямолинейного звена равна S = 3~^п. Число поколений можно представить в виде ~1п<5/1пЗ, а длина всей ломаной равна L (S) = (4/3)" = expln<5 [ln4 - 1пЗ] /ЬЗ = 8^X~^D, ln4/lnЗ = 1.2628. Число сегментов равно N{6) = А^п = 4-'^п<5/^1п3 и может быть записано как N (6) = S"^D, где D - фрактальная размерность кривой Кох. Таким образом кривая Кох есть фрактал с фрактальной размерностью D = In 4/3. Подобным образом можно построить много разновидностей и других фракталов. Можно построить и такие объекты, для которых необходимо вводить не одну, несколько размерностей. Иногда такие объекты называют математическими фракталами, которые, в отличие от природных или физических фракталов, обладают идеальным самоподобием. Для физических фракталов самоподобие или масштабная инвариантность выполняется приближенно.

Примером фрактального объекта, часто встречающегося в природе, является береговaя линия. На Рис.2.2 показано побережье южной части Норвегии, которая имеет вид изрезанной линии. Можно показать, что измерить длину такой линии, используя обычные способы евклидовой геометрии, невозможно. Но для этой цели хорошо подходит фрактальная геометрия. Оказалось, что длина береговой линии хорошо описывается формулой L (б) = аб^{] - D}. где 6 используемый для измерения масштаб (например, некоторый раствор циркуля) а - число единиц масштаба. Для НорвегииD = 1.52, для береговой линии Великобритании D=1.3 В природе фрактальные структуры встречаются часто: очертания облаков, дым, деревья, береговая линия и русла рек, трещины в материалах, бронхи лёгких, пористые губки, ветвящиеся подобно лишайникам структуры, поверхности порошков, артерии и реснички, покрывающие стенки кишечника, и многие другие, которые не имеют, на первый взгляд, закономерностей в своем строении. Но отсутствие порядка в них иллюзорно. Внешне они выглядят как изрезанные, 'лохматые" или "дырявые" объекты, представляя собой нечто промежуточное между точками, линиями поверхностями и телами.

Введение понятия фрактала и фрактальной геометрии позволяет выделить ранее скрытые закономерности в строении и свойствах природных объектов, имеющих неупорядоченную структуру, классифицировать и исследовать их свойства. Когда мы смотрим на фрактальный объект, то нам он представляется неупорядоченным. При увеличении или уменьшении масштаба мы опять увидим то же самое. Это и есть проявление свойства симметрии - масштабной инвариантности или скейлинга. Именно оно и обуславливает их необычные свойства. Благодаря самоподобию фракталы обладают удивительно притягивающей красотой, которой нет в других объектах. Они могут описывать многие процессы, которые до сих пор не удавалось описать, благодаря своей дробной размерности и самоподобию. Даже считается, что фрактальный мир ближе к реальному, так как свойства фракталов демонстрируют многие природные объекты. Видимо не зря говорят, что природа любит фракталы.

Столь удивительное сходство реального мира и фрактального обусловлено, прежде всего, тем, что свойства физического мира изменяются медленно с изменением масштабов. У песка на берегу много свойств, общих со свойствами гальки. Маленький ручеек во многом похож на большую реку. Такая неизменность относительно масштаба - характерная черта фракталов. В живой природе внешний вид и внутренне строение заданы в генотипе алгоритмически. Ветка дерева похожа на само дерево, по тому что построено по тому же алгоритму. Это относится и к кровеносной системе животных человека, и к сложным листьям некоторых растений.

Различные фрактальные множества можно получать и с помощью простых (элементарных) преобразований, например, типа х_п+г = хn^2 + с, где с - некоторое комплексное число, п = 1,2,3. и других. Множество чисел, полученных по этой формуле, также обладают свойствами фракталов. Отображая их на плоскости или в трехмерном пространстве, получают удивительно красивые изображения (см., например, Рис.2.3 и Рис.2.4).

n=1

Рис.2.1: Построение триадной кривой Кох

Рис.2.2: Побережье южной части Норвегии.

Рис.2.3: Характерное изображение фрактального множества Жюлиа.

Рис.2.4: "Глаз морского конька".

Интересно отметить, фрактальная математика может быть использована для анализа изменений цен и заработной платы, статистики ошибок на телефонных станциях, частот слов в печатных текстах и т.д.

Отметим, что симметрия в живой природе никогда не бывает абсолютной, всегда присутствует какая-то доля несимметрии. Хотя с симметрией мы встречаемся практически всюду, но при этом замечаем часто не ее, а ее нарушение. Асимметрия - другая сторона симметрии. Асимметрия - это несимметрия, т.е. отсутствие (нарушение) симметрии.

Симметрия и асимметрия - две полярные противоположности объективного мира. На разных уровнях развития материи присутствует то симметрия - относительный порядок, то асимметрия - тенденция нарушения покоя, движения, развития.

Асимметрия присутствует уже на уровне элементарных частиц и проявляется в абсолютном преобладании в нашей Вселенной частиц над античастицами. Известный физик Ф. Дайсон писал: "Открытия последних десятилетий в области физики элементарных частиц заставляет обратить нас особое внимание на концепцию нарушения симметрии. Развитие Вселенной с момента ее зарождения выглядит как непрерывная последовательность нарушений симметрии. В момент своего возникновения при грандиозном взрыве Вселенная была симметрична и однородна. По мере остывания в ней нарушается одна симметрия за другой, что создает возможности для существования все большего и большего разнообразия структур. Феномен жизни естественно вписывается в эту картину. Жизнь - это тоже нарушение симметрии".

Молекулярная асимметрия открыта Л. Пастером, который первым выделил "правые и "левые" молекулы винной кислоты: правые молекулы похожи на правый винт, а левые на левый. Такие молекулы химики называют стереоизомерами. Молекулы-стереоизомеры имеют одинаковый атомный состав, одинаковые размеры, одинаковую структуру - в то же время они различимы, поскольку являются зеркально асимметричными, т.е. объект оказывается нетождественным со своим зеркальным двойником. Поэтому здесь понятия "правый-левый" - условны.

В настоящее время хорошо известно, что молекулы органических веществ, составляющие основу живой материи, имеют асимметричный характер, т.е. в состав живого вещества они входят только либо как правые, либо как левые молекулы. Таким образом, каждое вещество может входить в состав живого только в том случае, если оно обладает вполне определенным типом симметрии. Например, молекулы всех аминокислот в любом живом организме могут быть только левыми, сахара - только правыми. Это свойство живого вещества и его продуктов жизнедеятельности называют дисимметрией. Оно имеет совершенно фундаментальный характер. Хотя правые и левые молекулы неразличимы по химическим свойствам, живая материя их не только различает, но и делает выбор. Она отбраковывает и не использует молекулы, не обладающие нужной ему структуры. Как это происходит, пока не ясно. Молекулы противоположной симметрии для нее яд. Если бы живое существо оказалось в условиях, когда вся пища была бы составлена из молекул противоположной симметрии, не отвечающей дисимметрии этого организма, то оно погибло бы от голода. В неживом веществе правых и левых молекул поровну. Дисимметрик - единственное свойство, благодаря которому мы можем отличить вещество биогенного происхождения от неживого вещества. Мы не можем ответить на вопрос, что такое жизнь, но имеем способ отличить живое от неживого.

Таким образом, асимметрию можно рассматривать как разграничительную линию между живой и неживой природой. Для неживой материи характерно преобладание симметрии, при переходе от неживой к живой материи уже на микроуровне преобладает асимметрия. В живой природе асимметрию можно увидеть всюду. Очень удачно это подметил в романе "Жизнь и судьба" В. Гроссман: "В большом миллионе русских деревенских изб нет и не может быть двух неразличимо схожих. Все живое неповторимо. Не мыслимо тождество двух людей, двух кустарников шиповника. Жизнь глохнет там, где насилие стремится стереть ее своеобразие и особенности".

Симметрия и асимметрия составляют единство, они взаимосвязаны друг с другом, как две стороны одной медали. Нельзя представить полностью симметричный мир, так же как и невозможно помыслить о мире, вообще лишенном симметрии. Симметрия лежит в основе вещей и явлений, выражая нечто общее, свойственное разным объектам, тогда как асимметрия связана с индивидуальным воплощением этого общего в конкретном объекте.

На принципе симметрии основан метод аналогий, предполагающий отыскание общих свойств в различных объектах. На основе аналогий создаются физические модели различных объектов и явлений. Аналогии между процессами позволяют описывать их общими уравнениями. Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Разработан метод решения задач из соображений симметрии.

Принципы симметрии выражают наиболее общие свойства природы, они имеют более общий характер, чем законы движения. Поэтому проверка принципов симметрии всегда интересовала физиков, а поиск новых симметрии составляет одну из задач физики вообще. Поиски новых свойств симметрии - это вместе с тем поиски и новых законов сохранения. Наши представления о симметрии устанавливаются путем обобщения опытных данных. Некоторые симметрии оказываются только приближенными. С другой стороны, обобщая опыт, мы открываем новые законы сохранения и, следовательно, новые принципы симметрии.

Существует точка зрения, согласно которой в нашем познании о мире есть три ступени:

уровень явлений или событий, законов природы и принципов симметрии, поднимаясь на которые мы глубже и дальше познаем природу, лучше ее понимаем. Уровень явлений самый элементарный. Это все, что происходит в мире: движение тел, столкновения частиц, поглощение и излучение света и много других явлений. С первого взгляда кажется, что между ними нет ничего общего. Однако при более внимательном рассмотрении мы обнаруживаем, что между явлениями имеются определенные взаимосвязи, которые и называют законами. В принципе, если бы мы располагали полной информацией обо всех явлениях и событиях в мире, то нам законы были бы не нужны. С другой стороны если бы мы знали все законы или один всеобъемлющий закон природы, то свойства инвариантности этих законов не давали бы ничего нового. Но, к сожалению, нам не известны даже большинство законов природы. Поэтому познание свойств симметрии, как писал Е. Вигнер "состоит в наделении структурой законов природы или установлению между ними внутренней связи, так же как законы устанавливают структуру или взаимосвязь мире явлений. "Поэтому говорят, что если законы управляют явлениями, то принципы симметрии - это законы физических законов. Таким образом, можно сказать, что симметрия характеризует собой эпоху синтеза, когда разрозненные знания сливаются в единую, целостную картину.

Выявление различных симметрии в природе, а иногда и постулирование их, стало одним из методов теоретического исследования микро-, макро - и мегамира. Законы природы позволяют предсказывать явления, а принципы симметрии - открывать законы природы. Например, уравнения Максвелла в электродинамике получены на основании симметрии между электрическими и магнитными явлениями. Д. Максвелл исходил из убеждения, что взаимодействие электрического и магнитного полей должны быть симметричными и поэтому ввел в свои уравнения дополнительное слагаемое, учитывающее это обстоятельство. Уверенность в симметрии законов природы привела его в выводу о существовании электромагнитных волн. То же самое можно сказать, что идея А. Эйнштейна, приведшая его к созданию теории относительности, опиралась на уверенность в глубокой симметрии природы, которая должна одновременно охватывать механические, электромагнитные и все другие явления.

О. Мороз в книге "В поисках гармонии" пишет: "Физики гонятся за симметрией подобно тому, как путники преследуют в пустыне ускользающий мираж. Вот возникла на горизонте прекрасная манящая картина, но как только вы попытаетесь к ней приблизиться, она исчезает, оставляя чувство горечи. "

Список литературы