Свойства процедур построения портфеля инвестиций

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»

Факультет информатики, математики и компьютерных наук

Программа подготовки бакалавров по направлению 38.03.05 Бизнес-информатика

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Свойства процедур построения портфеля инвестиций

Тюняева Марина Николаевна

Научный руководитель

Профессор

А.П. Колданов

Нижний Новгород, 2019



Введение

Оптимизация портфеля инвестиций является одной из распространенных и важных финансовых задач, которая возникает в экономической сфере. Для инвестора решение данной задачи позволяет найти наиболее выгодный способ вложения собственного капитала в акции определенных компаний. Целью оптимизации портфеля ценных бумаг является формирование портфеля, который соответствует требованиям инвестора или предприятия, как по доходности, так и по возможному риску. Для достижения данной цели необходимо распределить ценные бумаги в портфеле. портфель инвестиция акция рынок

Обычно предполагают, что распределение акций на рынке является нормальным. В то время как экспериментальные результаты отличаются от данного распределения [9]. Поэтому осуществляется переход к эллиптической модели.Оценки рискаи доходности по матрице корреляций Пирсона оказываются неустойчивыми при отклонении распределений от нормального. С другой стороны, показано, что оценки с помощью знаковой меры близости устойчивы в классе эллиптических распределений[2]. Однако полученные результаты носят общий характер и не учитывают специфику задачи построения портфеля инвестиций.

Другая актуальная проблема, которая возникает в данной теме, связана с желанием инвестора сократить число активов в своём оптимальном портфеле. Решением данной проблемы является некоторый предварительный отбор акций на рассматриваемом рынке. Эта задача решена в работе “MarketGraphandMarkowitzModel”, но исследования ограничены нормальным распределением.

В целом, актуальность работы заключается в исследовании сокращения числа акций в портфеле при условии, что для оценки ковариаций применяется вероятность совпадения знаков и полученные решения сравниваются с известными результатами.

Объект исследования-способы построения оптимального портфеля. Предмет исследования -свойства процедур создания инвестиционного портфеля.

Цели и задачи

Цель дипломной работы заключается ванализеи сравнениисвойств процедурформированияпортфелей инвестиций:

Классический портфельМарковица по всем акциямрассматриваемого рынкав наборе данных.

Портфель, построенный на акциях максимального независимого множества в знаковой сети или сети корреляций Пирсонас предварительным отбором по величине отношенияШарпа.

Портфель, построенный на акциях максимального независимого множества без предварительного отбора по величине отношения Шарпа.

Под свойствами понимается устойчивость процедур построения портфеля инвестиций к изменению вероятностной модели в классе эллиптических распределений (от многомерного нормального к распределению Стьюдента) и зависимость ошибок от объёма наблюдений.

Задачи дипломной работы:

Применение традиционного способа построения портфеля инвестиций для всего набора акций

Построение оптимального портфеля на акциях максимального независимого множества спредварительным отбором по величине отношения Шарпа:

Отбор акций с помощьюкоэффициента Шарпа

Построение графа рынка на отобранных акциях, используя вероятность совпадения знаков

Построение графа рынка на отобранных акциях, используя коэффициент корреляции Пирсона.

Поиск максимального независимого множества в графах и построения портфеля на данных акциях

Формирование портфеля акций максимального независимого множества без использования коэффициента Шарпа

Моделирование выборки из смеси многомерного нормального распределения и распределения Стьюдента

Применение процедуры с использованием знаковой меры и корреляции Пирсона по сгенерированным данным

Оценка качества процедур построения портфеля в сравнении с истинными структурами



1. Традиционный способ построения портфеля инвестиций

Первый способ построения портфеля - классический. Эффективный фронт строится по всем акциям, без отбора по какому-либо критерию. Для построения оптимального портфеля применяется модель Гарри Марковица.

Теория построения портфеля по модели Марковица

Впервые законченную систему создания сбалансированного по доходности и риску портфеля инвестиционных инструментов создал Гарри Марковиц. В 1950--1951 годах при подготовке докторской диссертацииМарковиц сформулировал основные положения портфельной теории.Первой работой, где описана данная теория, считается статья «Выбор портфеля», опубликованная в «Финансовом журнале» в 1952 году. В этой статье Гарри Марковиц впервые предложил математическую модель формирования оптимального портфеля.

На данный момент модель Марковица является одной из самых популярных инструментов для практического выбора портфеля и оптимизации. Основной концепцией оптимизации портфеля в рамкахмоделиМарковица является эффективный фронт множества акций.

Этапы формирования портфеля инвестиций по модели Марковица

Пусть S - это подмножество акций на финансовом рынке,N -это количество акций в множестве S[1]. За nобозначается число наблюдений.

За pi(t) обозначается цена i-той акции за день t,где iменяется от 1 до N, а t- от 1 до n.

Сначала определяется ежедневная доходность акции iза период с t-1 дня по день t:



Затем вычисляется ожидаемая доходность акциипо формуле:

На следующем шаге определяется риск i-той акции в S, то есть среднеквадратичное отклонение:

Мы получили первоначальные необходимые данные для оценки долей данных акций в инвестиционном портфеле.

Портфель акций из Sопределяется вектором f=(f1, f2, … ,fN), где fi0 представляет собой часть капитала, который инвестируется в акцию i. По условию [1].

Портфель Марковица базируется на двух характеристиках:

Ожидаемая доходность портфеля,где

- доля общего вложения, приходящаяся на i-ю акцию

- ожидаемая доходность i-й ценной бумаги, %

Мера риска портфеля у(R) , где

- ковариация между доходностями i-й и j-й акциями;

- доли общего вложения, приходящиеся на i-ю и j-ю ценные бумаги;

Ковариация доходностей ценных бумаг () равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

- коэффициент корреляции доходностей i-ой и j-ой акций;

, - стандартные отклонения доходностей i-ой и j-ой акций.

Выделяют две инвестиционные стратегии при формировании портфеля:

Максимизации доходности инвестиционного портфеля при ограниченном уровне риска.

Минимизация риска инвестиционного портфеля при минимально допустимом уровне доходности.

Понятие эффективного фронта

Эффективный фронт рынка является множеством оптимальных по Парето точек на плоскости (E,у).

Эффективный фронтдля исследуемого набора акций - это кривая на плоскости, на которой расположены оптимальные портфели, удовлетворяющие двум критериям[1]:

По горизонтали указывается риск определенного портфеля инвестиций эффективного фронта, по вертикали отображены значения ожидаемой доходности данного портфеля (рис 1).



Рис 1.Эффективный фронт

Портфели, лежащие слева от эффективного фронта применить нельзя, так как они не принадлежат допустимому множеству. Внутренние портфели, находящиеся справа и ниже эффективной границы не являются эффективными, потому что существуют портфели, которые при данном уровне риска обеспечивают более высокую доходность, либо более низкий риск для данного уровня доходности.

Выбор оптимального портфеля зависит от предпочтений и возможностей инвестора, а так же от толерантности к риску. Однако, верен тот факт, что эффективный фронт неизменен для всех инвесторов.Рациональный инвестор будет стремиться получить максимальную прибыль и минимизировать свой риск. Поэтому всем возможным портфелям допустимого множества вкладчик предпочтет только те, которые расположены на эффективном фронте, поскольку они являются доминирующими по отношению к портфелям с тем же уровнем риска или с той же доходностью.

Таким образом, главным достоинством модели Марковицаявляется системный подход к созданию инвестиционного портфеля, а также управлению его доходностью и риском.



2. Построение оптимального портфеля на акциях максимального независимого множества с коэффициентом Шарпа

Первым шагом в построении портфеля предлагаемым способом является вычисление отношения Шарпа.

Коэффициент Шарпа и отбор акций с помощью коэффициента

Рассмотрим один из самых популярных показателей, которым пользуются финансовые и инвестиционные аналитики -коэффициент Шарпа.

Коэффициент Шарпа (англ. Sharp ratio) - это показатель, оценивающий эффективность и результативность управления инвестиционным портфелем. Данный коэффициент был разработан У. Шарпом в 1966 году.Коэффициент Шарпа показывает эффективность инвестиционного актива или портфеля в виде соотношения доходности и риска (стандартного отклонения).

Формула расчета коэффициента Шарпа:

S(X) -- коэффициент Шарпа;

X -- выбранный актив;

R(X) -- доходность инвестиционного актива;

E(R(X)) -- математическое ожидание актива X;

у(X) -- стандартное отклонение актива X.

Коэффициент Шарпа предназначен для того, чтобы понять, насколько доходность актива компенсирует риск, принимаемыйинвестором. Если сравнивать два актива с одинаковым ожидаемым доходом, то вложение в актив с более высоким коэффициентом Шарпа будет менеерискованным[3].

Следующим шагом является задание определенного порога, чтобы произвести отбор акций с данным коэффициентом.

Если коэффициент Шарпа у акции Xiбольше заданного порога, то данная акция добавляется в множество отобранных акций. Если акция меньше заданного порога, то она не входит в данное множество.

Xi -i-тая акция, гдеi меняется от 1 до N;

N - количество акций в множестве S.

Таким образом, получается множество акций с коэффициентом Шарпа больше заданного порога. Следующим этапом в построении данного портфеля инвестиций является вычисление вероятности совпадения знаков акций, корреляции Пирсона и построение графа рынка.

Построение графа рынка на отобранных акциях, используя вероятность совпадения знаков и корреляцию Пирсона

Сети случайных величин порождают сетевые модели, которые представляют собой простой полный неориентированный взвешенный граф

G = (V,E,г). Множество вершин сетиV = {1,2,...,N} описываются случайными величинамиXi , i=1,…,N , E - множество ребер с весами, где вес ребра (i,j)задаетсянекоторой мерой зависимости между случайными величинамиXiиXj :

=,гдеi,j=1,2,…,N, i?j.

В дипломной работе в качестве мер зависимости случайных величин я использую знаковую меру и корреляцию Пирсона.Коэффициент корреляции Пирсона является наиболее известной и популярной мерой зависимости в сетевом анализе рынков. Коэффициент корреляции Пирсона как мера зависимости порождает сеть корреляций Пирсона. Данный коэффициент рассчитывается по формуле[2]:



где коэффициент корреляции Пирсона для i-той и j-той акций, i,j =1…N.

Знаковая мера основывается на вероятности совпадения знаков[2]:

Соответствующая сеть называется сетью вероятностей совпадения знаков.В классе эллиптических распределений эта сеть связана с сетью корреляций Пирсона соотношением

где - порог сети корреляции Пирсона.

В графе рынкаактивы соответствуют вершинам сети, связь между активами задается некоторым взвешенным ребром, и вес ребра отражает общность (similarity) в поведении активов. Для построения сетевой (графической) модели фондового рынка в качестве случайных величин Xi рассматриваются доходности рыночных активов.

Граф рынка строится следующим образом: ребро между двумя вершинами iи jвключается в граф рынка, если >, где -некоторый заданный порог[2]. Для заданного порога граф определяется матрицей смежности S=(si,j), где

si,j= 0, если?

si,j= 1, если>, si,j= 0, i,j=1,2,…,N.

То есть фиксируем некоторый порог и удаляем все ребра, вес которых меньше этого порога или равен ему, таким образом, оставляем только связи, которые представляют собой какую-то значимую величину, начиная с какого-то значения меры близости. Вследствие, после построения графа рынка, необходимо определить максимальное независимое множество. Поэтому следующим шагом является поиск этого множества и построение эффективного фронта для отобранных акций.

Идентификация максимального независимого множества графа рынка и построение оптимального портфеля

Изучение сетевых моделей G = (V,E, г) естественно сводится к изучению ключевых характеристик соответствующих графов. В теории графов предложено достаточно большое количество таких характеристик: отсеченный граф, клики, независимые множества, максимальное остовное дерево, степени вершин, центральность, диаметр и другое.

В данной работе в графе рынка находится максимальное независимое множество (maximumindependentset). Считается, что это может быть полезно, если необходимо построить оптимальный портфель. То есть целью нахождения данного множества являетсясохранение в портфеле небольшого числа активов.

Независимым множеством (IS) графа рынка G = (V,E) называется пустой подграф графа G, т.е. подграф

Независимое множество G1 = (V1,E1) называется максимальным (MIS) (по размеру), если для любого другого независимого множества G2 = (V2,E2) графа G выполняется:

То есть осуществляется поиск такого множества, где активы являются независимыми друг от друга, не имеют связи между собой. Затем из независимых множеств ищется максимальное, то есть такое множество, которое содержит максимальное количество вершин, а именно активов, не связанных между собой.

Подводя итог, на основе акций, входящих в максимальное независимое множество, строится эффективный фронтоптимальных портфелей.

В данной работе также исследуется процедура построения эффективного фронта по максимальному независимому множеству в знаковой сети или корреляции Пирсона без отбора по коэффициенту Шарпа.

Моделирование данных

Для того чтобы изучить свойства процедур формирования инвестиционного портфеля, необходимо смоделировать данные. В данном случае моделирование означает генерирование наблюдений по акциям из соответствующих распределений: многомерное нормальное,распределение Стьюдента, эллиптическое распределение.

В данной работе эллиптическое распределение включает многомерное нормальное и многомерное распределение Стьюдента.

Пусть распределение случайного вектора X принадлежит классу эллиптического распределения с функциями плотности[8]

где - положительно определённая

матрица, g (x) ? 0, и

Для моделированиянаблюдений по распределениюследует вычислить матрицу корреляций и вектор математических ожиданий для акций рынка выбранной страны в определённый период времени.



3. Понятие истинного и выборочного портфеля

В данной работе сравниваются результаты, полученные на основе реальных данных с определённого рынка инвестиций и с использованием сгенерированных наблюдений по двум распределениям.

Истинными портфелями считаются те портфели, которые созданы по данным рынка акций. Сначала строится портфель по всем акциям. Истиной является доходность и риск данного портфеля. Фиксируется истинная корреляционная матрица и вектор математических ожиданий доходностей. Портфель по всем активам обозначается как .Затем находим истинные структуры для второй процедуры с отношением Шарпа. Граф рынка с использованием вероятности совпадения знаковили корреляции Пирсона, максимальное независимое множество, доходность и риск портфеля являются истиной для портфеля , сформированный по второй процедуре. Такие же истинные структуры находятся для портфеля . Данный портфель строится по акциям максимального независимого множества без применения отношения Шарпа на первом шаге процедуры.

Таким образом ,,, являются истинными портфелями.

Выборочные портфели - это портфели по акциям смоделированных данных по нормальному распределению и распределению Стьюдента. После применения процедур с использованием знаковой меры и корреляции Пирсона к моделированным наблюдениям получаем граф рынка, максимальное независимое множество. Таким образом, данные структуры являются выборочными для исследуемых процедур построения портфеля инвестиций по сгенерированным данным.

Оценка качества процедур построения портфелей

Качество рассматриваемых процедур построения портфеля инвестиций оценивается вектором, который содержит среднее число ошибок первого и второго рода, а также общую долю ошибок.

Число ошибок первого рода это число акций, которые включены в выборочное максимальное независимое множество, но не содержатся в истинной структуре(ложное включение акции в портфель). Ошибка второго рода -это ложное невключение актива в инвестиционный портфель. То есть акция является частью истинного множества, но не добавлена в выборочный портфель.

Введем обозначения для определения общей доли ошибок:

-максимально возможное число ошибок первого рода,

-максимально возможное число ошибок второго рода,

-число ошибок первого рода, -второго рода.

Пусть определена случайная величина X:

Случайная величина X? [0, 1] описывает общую долю ошибок[8].

4. Устойчивость процедур построения портфеля

Процедуры построения портфеля с использованием вероятности совпадения знаков являются устойчивыми к изменению распределения в соответствие с теоремой 1[2]:

Теорема 1. Пусть вектор (, . . . , ) имеет эллиптическое распределение с плотностью

Тогда вероятности

не зависят от функции g для любого? {?1, 1}, k= 1, 2, . . . , N.

Теорема 2 является следствием основной теоремы 1:

Теорема 2. Пустьслучайныйвектор(, . . . , ) имеет эллиптическое распределение с плотностью.

Тогдасмешанное распределениестатистик, гдеi,j(i, j= 1, 2, . . . , N; i?j) не зависит от функции g.

5. Экспериментальные результаты и их сравнение

Для построения портфеля по трём рассматриваемым процедурам взятнабор данных, состоящий из 198 акций страны Индии.Набор представляет собой матрицу, в которой указаны цены на активыза 2016 год.

Построение оптимального портфеля инвестиций в среде Matlab

Был выбранвысокоуровневый язык и интерактивная среда для программирования, численных расчетов и визуализации результатов - Matlab.Данная среда разработки имеет пакеты расширения, которые содержат множество функций для определённых целей в различныхсферах деятельности, например, анализа данных. Один из пакетов расширения - Financial Toolbox. Данный пакет дополняет возможности Statistics Toolbox и Optimization Toolbox функциями и процедурами анализа финансовых данных.FinancialToolbox предоставляет набор инструментов для оптимизации портфеля, проведения анализа размещения капитала и активов, расчёта рисков. Поэтому Matlabотлично подходит для оптимизации в дипломной работе.

Практическая часть разделяется на несколько этапов:

1. Формирование классического портфеля по модели Марковица.

2. Формирование портфеля на специально отобранных акциях(вероятность совпадения знаков или коэффициент Пирсона) максимального независимого множества с использованием отношения Шарпа.

3. Создание портфеля инвестиций по максимальному независимому множеству без предварительного отбора по коэффициенту Шарпа.

Рассмотрим последовательно три способа построения портфеля. После реализации всех процедурпо данным рынка Индии (истина) и сгенерированным наблюдениям(выборочные структуры) сравниваются результаты, полученные в процессе вычисления.

Формирование классического портфеля по модели Марковица

В начале загружается файл с данными цен активов рынка Индии с помощью функции load:load('prices_198.mat');

Матрица имеет размерность 245x198, где 245 -количество дней, 198 -число акций в рассматриваемых данных.Затемценыакций преобразованы в доходности, используя функцию price2ret:

returns_198=price2ret(prices);

Далее создается объект Portfolio. После инициализации рассчитывается ожидаемая доходность каждой акции и ковариациядоходностей активов. Эти действия осуществляет команда estimateAssetMoments. Функция setDefaultConstraints устанавливает ограничения портфеля с неотрицательными весами, сумма которых равна единице[7]:

p=Portfolio();

p=p.estimateAssetMoments(returns_198);

p=p.setDefaultConstraints;

Следующим этапом является применение командыplotFrontier, которая оценивает эффективный фронт портфелей. Количество портфелей на границе указывается в скобках функции, по умолчанию ставится 10:

[prisk,preturns] = p.plotFrontier();

holdon;

Таким образом, получен эффективный фронт по всем акциям:



Рис. 2. Эффективный фронт по всем акциям

По оси абсцисс указывается риск портфелей, ось ординат отображает доходности портфелей.

Обозначим портфель со средним риском и средней доходностью за

П0-истинный портфель со следующими характеристиками:

Доходность - 0.0029

Риск - 0.0144.

Итак, далее приступаем к реализации второй процедуры построения оптимального портфеля инвестиций.

Формирование портфеля на акциях максимального независимого множества с предварительным отбором по отношению Шарпа

На первом этапе процедура применяется к данным рынка Индии.

Сначала считается коэффициент Шарпа с помощью функции sharpe, которая принимает один аргумент - массив доходностей акций:

sh=sharpe(returns_gener);

После подсчета отношений Шарпа, применяется сортировка по индексу и значениям:



[S,I]=sort(sh);

N_sh=50;

S(1:N_stocks-N_sh)=[];

I(1:N_stocks-N_sh)=[];

После сортировки вычисленных значений отбирается 50 активов с наиболее высокими коэффициентами Шарпа.

Следующим шагом является построение графа рынка в знаковой сети или сети корреляции Пирсона. Затем в графе рынка находится максимальное независимое множество. Рассмотрим процедуру с использованием знаковой меры.

Первым шагом рассчитывается математическое ожидание у каждой акции, чтобы затем применить формулу вероятности совпадения знаков.Для этого в цикле for, где jменяется от 1 до 50, считаю сумму доходностей акций в переменной sum.Далее в вектор Exразмера 1 x50, в значениеj-той акции записывается величина sum / cases, cases - это количество наблюдений(245) :

c=size(returns_gener,2);

Ex=zeros(1,c);

sum=0;

P=ones(c,c);

for j=1:c

for i=1:cases

sum=sum+returns(i,j);

end

Ex(j)=sum/cases;

sum=0;

end



Затем считается вероятность совпадения знаков, в цикле подсчитывается количество акций, которые соответствуют выражению

(returns(t,i)- Ex(i))*(returns(t,j)- Ex(j)) >0:

k=0;

for i=1:c-1

for j=(i+1):c

for t=1:cases

if ((returns(t,i)- Ex(i))*(returns(t,j)- Ex(j)) >0)

k=k+1;

end

end

P(i,j)=k/cases;

P(j,i)= P(i,j);

k=0;

end

end

Следующий этап - отбор акций на основе знаковой меры и построение графа рынка для трех некоторых порогов 0.59,0.66,0.72. В двойном цикле forв операторе ifуказывается порог для вероятности совпадения знаков. Если вероятность i-той и j-той акций меньше заданного порога, то в элемент Sijматрицы смежности S ставится значение нуль. Это означает, что в графе рынка ребро между акциями не проводится. Чтобы построить граф, используется функция graph. Аргументом данной функции является матрица смежности:

s=ones(c);

for i=1:c

for j=1:c

if (P(i,j)<= threshold)

s(i,j)=0;

end

end

end

for i=1:c

s(i,i)=0;

end

G= graph(s);

С помощью функции plotстроится граф рынка:

Порог 0,59:

Порог 0,66:

Порог 0,72:



Затем в графе G находится максимальное независимое множество. Для этого применяется функция mis.m, аргументом является матрица смежности:

G= graph(s);

our_mis=maxMis(s);

is=our_mis;

is=sort(is);

Таким образом, получаются три максимальных независимых множества:

Порог 0,59 - 12 18 48 57 58 76 87 96 100 115 121 139 149 162 178 189 195

Порог 0,66 - 7 12 14 18 41 46 48 51 57 58 63 66 69 73 75 76 80 82 87 92 95 96 100 114 115 121 133 144 164 178 183 189 195 196

Порог 0,72 - 7 12 18 34 41 46 51 54 55 57 58 63 66 69 70 73 75 76 80 82 87 92 95 96 100 114 115 121 133 139 140 144 147 149 160 162 164 178 183 189 195 196

Затем портфель инвестиций строится на отобранных акциях и имеет данные характеристики для заданных порогов 0.59,0.66, 0.72, соответственно:

Риск - 0.0193 , доходность - 0.00280

Риск - 0.0185 , доходность - 0.00276

Риск - 0.0167 , доходность - 0.00257.

Сравнив данные портфели с портфелем П0по всем акциям рассматриваемого рынка, можно сделать вывод, что количество акций уменьшилось, а характеристики портфелей, сформированных в ходе ступенчатой процедуры, при разных порогах приближены к характеристикам портфеля по всем активам. Другими словами, можно сократить число активов в портфеле и получить хорошую аппроксимацию.

Таким образом, графы рынка,найденные множества при различных порогах обозначаются за истину. Портфели, построенные на акциях, входящие в максимальное независимое множество с предварительным отбором по величине Шарпа, являются истинными портфелями П2.

Если провести данную ступенчатую процедуру с отбором по коэффициенту корреляции Пирсона для порогов 0.3,0.5,0.65, связанные со знаковой мерой через формулу арксинуса, тогда истинные структуры будут идентичны найденным:

pears=0.65;

threshold=0.5+(1/3.1415926535)*asin(pears);

Следующим шагом является генерирование данных. Моделирование матрицы доходностей многомерного нормального распределения осуществляется с помощью функции mvnrnd, аргументами которой являются вектор математических ожиданий, корреляционная матрица и количество наблюдений:

returns_gener=mvnrnd(MU,MATR,N_cases).

Для генерации распределения Стьюдента используется метод mvtrnd:

returns_gener=mvtrnd(MATR,3,N_cases);

Для смешанного распределения необходимо задать гамма , которое принимает значение от 0 до 1. Например, равно 0,3, то есть эллиптическое распределение состоит из 30% многомерного нормального распределения и 70%(1-) распределения Стьюдента.

Для каждого распределения при моделировании данных в функции указывается разное число наблюдений, а именно 250,750,1500. Количество генераций по каждому распределению равно 1000.

Второй этап -применение четырёхступенчатой процедуры с вычислением ошибок первого и второго рода к сгенерированным данным.

Ошибка первого и второго рода -это ложное включение и невключение акции в максимальное независимое множество, соответственно. Для того, чтобы вычислить данные ошибки, создается вектор, элементы которого могут иметь значения 0 и 1: 0 -если акция не принадлежит максимальному независимому множеству, 1 - если включена в найденное множество. Таким образом, если в векторе истинной структуры у акции значение 0, а в выборочном векторе - 1, тогда это является ошибкой первого рода. Если значения стоят наоборот, то можно говорить об ошибке второго рода. Это проверяется в данном условие if:

num_error_first(1:N_gener)=0;

num_error_second(1:N_gener)=0;

for j=1:N_gener

for i=1:n_stocks

if ((true_mis(i)==0)&& (gener_mis(j,i)==1))

num_error_first(j)=num_error_first(j)+1;

end

if ((true_mis(i)==1)&& (gener_mis(j,i)==0))

num_error_second(j)=num_error_second(j)+1;

end

end

end

Выборка генерируется 1000 раз, поэтому после вычисления ошибок у всех смоделированных данных находим среднее значение у каждой ошибки.

Общая доля ошибок рассчитывается следующим образом:

num_first=mean(num_error_first);

num_second=mean(num_error_second);

M2=length(main_mis);

M1=n_stocks-M2;

norm_error=1/2*(num_first/M1+num_second/M2);

Построение портфеля инвестиций при моделировании осуществляется такими же функциями программы Matlab, как описано в традиционном способе.

Итак, результаты по сгенерированным данным с отбором по вероятности совпадения знаков представлены в данных таблицах:

Порог 0,59:

Знаковая мера(0.59)
Распределение	Количество наблюдений	I род	II род	Общая доля
Нормальное	250	7.86	11.6	0.36
	750	6.8	9.2	0.29
	1500	3.699	5.1	0.16
Стьюдента	250	7.82	11.6	0.36
	750	6.82	9.2	0.29
	1500	3.70	5.1	0.16
Смешанное(=0.3)	250	7.83	11.69	0.36
	750	6.83	9.22	0.29
	1500	3.69	5.14	0.16

Порог 0,66:

Знаковая мера(0.66)
Распределение	Количество наблюдений	I род	II род	Общая доля
Нормальное	250	15.91	19.0	0.33
	750	14.5	14.3	0.26
	1500	9.49	7.7	0.14
Стьюдента	250	16.11	19.0	0.33
	750	14.33	14.6	0.26
	1500	9.51	7.7	0.14
Смешанное(=0.5)	250	16.0	18.99	0.33
	750	14.49	14.43	0.26
	1500	9.49	7.75	0.14

Порог 0,72:

Знаковая мера(0.72)
Распределение	Количество наблюдений	I род	II род	Общая доля
Нормальное	250	18.93	20.0	0.30
	750	14.7	15.0	0.23
	1500	6.83	6.2	0.10
Стьюдента	250	18.70	20.2	0.30
	750	14.87	15.0	0.23
	1500	6.91	6.3	0.10
Смешанное(=0.7)	250	18.82	20.19	0.30
	750	14.69	14.98	0.23
	1500	6.88	6.28	0.10

Затем вычислены значения для процедур построения портфеля с отбором по матрице корреляций Пирсона:

Порог 0,3:

Корреляция Пирсона(0.3)
Распределение	Количество наблюдений	I род	II род	Общая доля
Нормальное	250	8.42	10.7	0.34
	750	7.1	8.6	0.27
	1500	3.01	4.2	0.13
Стьюдента	250	11.59	15.1	0.48
	750	10.21	13.2	0.42
	1500	7.06	9.5	0.29
Смешанное(=0.3)	250	10.52	14.00	0.44
	750	9.31	11.45	0.36
	1500	5.79	8.01	0.25
Смешанное(=0.7)	250	9.00	11.82	0.37
	750	7.97	9.91	0.31
	1500	4.13	5.04	0.16



Порог 0,5:

Корреляция Пирсона(0.5)
Распределение	Количество наблюдений	I род	II род	Общая доля
Нормальное	250	17.85	17.6	0.31
	750	13.1	12.5	0.22
	1500	8.43	6.1	0.11
Стьюдента	250	22.00	24.1	0.42
	750	19.00	20.1	0.35
	1500	12.43	13.2	0.23
Смешанное(=0.5)	250	19.87	21.11	0.37
	750	15.91	16.85	0.29
	1500	10.74	9.05	0.17

Порог 0,65:

Корреляция Пирсона(0.65)
Распределение	Количество наблюдений	I род	II род	Общая доля
Нормальное	250	18.31	17.5	0.26
	750	13.4	12.3	0.18
	1500	4.77	6.1	0.08
Стьюдента	250	23.88	25.5	0.38
	750	20.26	22.1	0.33
	1500	8.65	9.1	0.14
Смешанное(=0.7)	250	19.76	20.22	0.30
	750	14.80	15.67	0.23
	1500	5.74	6.59	0.10
Смешанное(=0.3)	250	22.52	23.74	0.35
	750	18.56	19.78	0.29
	1500	8.01	8.53	0.13

Проанализировав полученные результаты можно сделать несколько выводов. При увеличении объёма наблюдений у различных распределений ошибки первого и второго рода постепенно уменьшаются. То есть, чем больше число наблюдений, тем меньше ошибки первого и второго рода, а также общая доля ошибок. При применении процедуры с использованием вероятности совпадения знаков при отборе активов замечено, что все вычисленные ошибки при различных распределениях с одинаковым количеством наблюдений имеют равные значения. Однако при использовании коэффициента корреляции Пирсона для отбора акций наблюдается, что ошибки двух родов возрастают, если данные моделируются из распределения Стьюдента. То есть, генерация многомерного нормального распределения имеет меньше ошибок, чем распределение Стьюдента при одинаковом числе наблюдений. В классе эллиптических распределений при реализации процедуры с применением корреляции Пирсона, чем больше доля распределения Стьюдента, тем больше ошибки первого и второго родов. Следовательно, исходя из данных выводов, знаковая мера близости является устойчивой по отношению к изменению распределений активов. Коэффициент корреляции Пирсона показал неустойчивость к смене распределений сгенерированных данных.

Таким образом, рассмотрены процедуры с предварительным отбором по величине отношения Шарпа. Проверим, справедливы ли данные выводы для процедур построения портфеля без предварительного отбора по величине отношения Шарпа.

Создание портфеля инвестиций по максимальному независимому множеству без использования коэффициента Шарпа

Сначала применяем данную процедуру построения портфеля инвестиций для данных рынка Индии.

Для порогов коэффициента корреляции Пирсона получены истинные характеристики:

Порог 0.3

Максимальное независимое множество:

5 12 18 48 59 69 75 77 81 85 95 100 103 130 136 144 146 148 150 151 165 166 176 185 195

Риск -0.0175 , доходность - 0.002482

Порог 0.5

Максимальное независимое множество:

1 3 4 8 12 15 18 21 23 37 41 44 57 58 61 63 66 70 73 75 76 77 78 80 81 82 85 87 88 92 94 95 96 98 100 103 105 108 109 110 112 113 114 116 117 119 120 121 123 124 130 131 133 134 136 138 140 143 144 145 146 148 149 150 151 153 155 157 161 163 164 165 166 167 168 169 171 172 174 176 177 180 181 183 184 185 189 190 192 193 195 196 197

Риск - 0.01579, доходность - 0.0024

Затем построены истинные графы рынка для порогов 0.3,0.5,соответственно.

Порог 0,3:

Порог 0,5:



Полученные портфели инвестиций являются истинными портфеля П3.

Заключительный этап - применение процедур создания портфеля инвестиций без предварительного отбора по величине Шарпа к сгенерированным данным.

Сначала рассмотрим таблицы результатов с использованием знаковой меры близости:

Порог 0,59:

Знаковая мера(0.59)
Распределение	Количество наблюдений	I род	II род	Общая доля
Нормальное	250	20.01	14.8	0.35
	750	18.1	11.7	0.28
	1500	15.031	9.4	0.23
Стьюдента	250	20.00	14.8	0.35
	750	18.26	11.6	0.28
	1500	15.07	9.4	0.23
Смешанное(=0.3)	250	19.99	14.78	0.35
	750	18.29	9.41	0.28
	1500	15.00	11.65	0.23

Порог 0,66

Знаковая мера(0.66)
Распределение	Количество наблюдений	I род	II род	Общая доля
Нормальное	250	37.27	28.2	0.33
	750	34.2	15.5	0.25
	1500	26.74	11.5	0.19
Стьюдента	250	37.37	28.2	0.33
	750	34.16	15.4	0.25
	1500	26.79	11.5	0.19
Смешанное(=0.7)	250	37.29	28.19	0.33
	750	34.16	15.42	0.25
	1500	26.73	11.48	0.19



Далее приведены результаты процедур с отбором акций по значению корреляции Пирсона:

Порог 0,3

Корреляция Пирсона(0.3)
Распределение	Количество наблюдений	I род	II род	Общая доля
Нормальное	250	19.47	11.9	0.29
	750	17.6	10.0	0.25
	1500	13.41	8.2	0.20
Стьюдента	250	21.22	16.9	0.40
	750	18.17	14.2	0.34
	1500	15.34	11.3	0.27
Корреляция Пирсона(0.3)
Смешанное(=0.3)	250	20.55	15.74	0.37
	750	17.90	13.06	0.31
	1500	14.67	10.58	0.25

Порог 0,5

Корреляция Пирсона(0.5)
Распределение	Количество наблюдений	I род	II род	Общая доля
Нормальное	250	34.65	16.1	0.25
	750	31.4	12.4	0.22
	1500	20.75	10.1	0.15
Стьюдента	250	39.50	30.9	0.35
	750	33.10	25.1	0.29
	1500	26.12	15.8	0.21
Смешанное(=0.7)	250	35.65	21.20	0.28
	750	31.84	16.00	0.24
	1500	21.99	11.23	0.17

Итак, проанализировав результаты ступенчатой процедуры без предварительного отбора по величине отношения Шарпа, можно подтвердить устойчивость знаковой меры, так как общие доли ошибок первого и второго рода при разных распределениях равны при одинаковом объеме выборки. Неустойчивость коэффициента Пирсона к распределениям обнаружена при сравнении числа ошибок в многомерном нормальном распределении и распределении Стьюдента. Количество ошибок первого и второго рода также уменьшается при увеличении числа наблюдений.

Таким образом, найдены истинные и выборочные структуры, применено моделирование данных по различным распределениям и проанализированы свойства рассматриваемых процедур.



Заключение

Подводя итог,для формирования портфеля инвестиций были использованы рассматриваемые процедуры и исследованы их свойства: устойчивость к изменению вероятностной модели и зависимость ошибок от объема наблюдений. Были вычислены различные критерии для отбора активов: коэффициент Шарпа, знаковая мера, корреляция Пирсона. Последние два значения были подсчитаны для построения графа рынка. Затем в данном графе было найдено максимальное независимое множество, целью которого является сохранение в портфеле небольшого числа активов.Таким образом, если инвестор хочет сократить количество акций в портфеле, то доходность и риск финансового инструмента будут приближены к значениям величин классического портфеля.После применения процедур для смоделированных наблюдений и данных рынка Индии, было сделано несколько выводов. Во-первых, при увеличении объема выборки, уменьшается число ошибок первого и второго рода, а также общая доля ошибок. При использовании корреляции Пирсона для отбора акций в граф рынка выявлена неустойчивость данной меры к изменению вероятностной модели. Число ошибок у многомерного нормального распределения меньше, чем у распределения Стьюдента при отборе акций с помощью корреляции Пирсона. При исследовании вероятности совпадения знаков наблюдается, что ошибки первого и второго рода не изменяются в своих значениях при различных распределениях. Поэтому данная мера связи является устойчивой к изменению вероятностной модели. В следствие, в процессе исследования свойств процедур для построения портфеля инвестиций я научилась применять различные способы формирования портфелей, моделировать данные, рассчитывать различные виды ошибок. Подводя итог, выполнен ряд задач для исследования свойств процедур построения портфелей,и поставленная цель была достигнута.



Список используемой литературы

1. Koldanov P., Kalyagin V. A., Koldanov A. P., Zamaraev V. A. Market Graph and Markowitz Model // Optimization oi Science and Engineering (In Honor of the 60th Birthday of Panos M. Pardalos). NY : Springer Science, Business Media, 2014. Ch. 15. P. 301-313.

2. Kalyagin V. A., Koldanov A. P., Petr A. Koldanov. Robust identification in random variables networks // Journal of Statistical Planning and Inference. 2017. Vol. 181. No. Feb . P. 30-40.

3. ГоряйноваА.Д.,КонтаеваЕ.А.Оценка эффективности вложений с помощью коэффициента Шарпа // Сборник научных трудов по материалам I Международной научно-практической конференции. НОО «Профессиональная наука». 2016. С. 11-15.

4. ГриневаЕ.В.,МатвеевМ.Г. Выбор портфеля инвестиций// Современная экономика: проблемы и решения. 2012. № 5 (29). С. 140-149.

5. Серова Е.Г. , Шипицын А.В. Эффективность инвестиций в портфеле ценных бумаг // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. 2012.№ 2. С. 99-103.

6. ОлемскойИ.В.,ФирюлинаО.С.Алгоритм поиска максимального независимого множества//Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014. № 1. С. 79-89.

7. Matlabdocumentation//URL:

8. https://www.mathworks.com/help/matlab/index.html

9. Kalyagin, V.A., Koldanov, A.P., Koldanov, P.A., Pardalos, P.M., Zamaraev, V.A., 2014. Measures of uncertainty in market network analysis // Physica A 413 (1), P.59-70.

10. Gupta A.K., Varga T., Bodnar T., Elliptically Contoured Models in Statistics and Portfolio Theory, Springer-Verlag // New York, 2013, 321 pp.



Приложения

generFrontierMax.m

function [is,preturns_,prisk_,s] = generFrontierMax(returns_gener,threshold)

N_stocks=size(returns_gener,2);

cases=size(returns_gener,1);

c=N_stocks;

Ex=zeros(1,c);

sum=0;

P=ones(c,c);

for j=1:c

for i=1:cases

sum=sum+returns_gener(i,j);

end

Ex(j)=sum/cases;

sum=0;

end

k=0;

for i=1:c-1

for j=(i+1):c

for t=1:cases

if ((returns_gener(t,i)- Ex(i))*(returns_gener(t,j)- Ex(j)) >0)

k=k+1;

end

end

P(i,j)=k/cases;

P(j,i)= P(i,j);

k=0;

end

end

s=ones(c);

for i=1:c

for j=1:c

if (P(i,j)<= threshold)

s(i,j)=0;

end

end

end

for i=1:c

s(i,i)=0;

end

our_mis=maxMis(s);

is=our_mis;

is=sort(is);

n_mis=length(is);

return_ind(1:cases,1:n_mis)=0;

for i=1:n_mis

num=is(i);

for j=1:cases

return_ind(j,i)=returns_gener(j,is(i));

end

end

p_=Portfolio();

p_=p_.estimateAssetMoments(return_ind);

p_=p_.setDefaultConstraints;

[prisk_,preturns_] = p_.plotFrontier(10);

pwvt_ = p_.estimateFrontier(10);

end



generFrontierPearsonMax.m

function [is,preturns_,prisk_,s] = generFrontierPearsonMax(returns_gener,threshold)

N_stocks=size(returns_gener,2);

cases=size(returns_gener,1);

c=size(returns_gener,2);%

P=corr(returns_gener);

s=ones(c);

for i=1:c

for j=1:c

if (P(i,j)<= threshold)

s(i,j)=0;

end

end

end

for i=1:c

s(i,i)=0;

end

G= graph(s);

our_mis=maxMis(s);

is=our_mis;

is=sort(is);

n_mis=length(is);

return_ind(1:cases,1:n_mis)=0;

for i=1:n_mis

num=is(i);

for j=1:cases

return_ind(j,i)=returns_gener(j,is(i));

end

end

holdall;

p_=Portfolio();

p_=p_.estimateAssetMoments(return_ind);

p_=p_.setDefaultConstraints;

[prisk_,preturns_] = p_.plotFrontier(10);

pwvt_ = p_.estimateFrontier(10);

end

generFrontierSharpeMax.m

function [is,preturns_,prisk_,s] = generFrontierSharpeMax(returns_gener,threshold)

N_stocks=size(returns_gener,2);

cases=size(returns_gener,1);

%шарп%

mean_ret=mean(returns_gener);

std_ret=std(returns_gener);

sh=mean_ret./std_ret;

[S,I]=sort(sh);

N_sh=20;

S(1:N_stocks-N_sh)=[];

I(1:N_stocks-N_sh)=[];

returns_new(1:cases,1:N_sh)=0;

for i=1:N_sh

returns_new(:,i)=returns_gener(:,I(i));

end

returns_gener=[];

returns_gener(1:cases,1:N_sh)=returns_new;

c=size(returns_gener,2);

Ex=zeros(1,c);

sum=0;

P=ones(c,c);

for j=1:c

for i=1:cases

sum=sum+returns_gener(i,j);

end

Ex(j)=sum/cases;

sum=0;

end

k=0;

for i=1:c-1

for j=(i+1):c

for t=1:cases

if ((returns_gener(t,i)- Ex(i))*(returns_gener(t,j)- Ex(j)) >0)

k=k+1;

end

end

P(i,j)=k/cases;

P(j,i)= P(i,j);

k=0;

end

end

s=ones(c);

for i=1:c

for j=1:c

if (P(i,j)<= threshold)

s(i,j)=0;

end

end

end

for i=1:c

s(i,i)=0;

end

G= graph(s);

our_mis=maxMis(s);

is=our_mis;

is=sort(is);

n_mis=length(is);

return_ind(1:cases,1:n_mis)=0;

for i=1:n_mis

num=is(i);

for j=1:cases

return_ind(j,i)=returns_gener(j,is(i));

end

end

holdall;

p_=Portfolio();

p_=p_.estimateAssetMoments(return_ind);

p_=p_.setDefaultConstraints;

[prisk_,preturns_] = p_.plotFrontier(10);

pwvt_ = p_.estimateFrontier(10);

end



generFrontierSharpePearsonMax.m

function [is,preturns_,prisk_,s] = generFrontierPearsonSharpeMax(returns_gener,threshold)

N_stocks=size(returns_gener,2);

cases=size(returns_gener,1);

%шарп%

mean_ret=mean(returns_gener);

std_ret=std(returns_gener);

sh=mean_ret./std_ret;

%sh=sharpe(returns_gener);

[S,I]=sort(sh);

N_sh=20;

S(1:N_stocks-N_sh)=[];

I(1:N_stocks-N_sh)=[];

returns_new(1:cases,1:N_sh)=0;

for i=1:N_sh

returns_new(:,i)=returns_gener(:,I(i));

end

returns_gener=[];

returns_gener(1:cases,1:N_sh)=returns_new;

c=size(returns_gener,2);

%

P=corr(returns_gener);

s=ones(c);

for i=1:c

for j=1:c

if (P(i,j)<= threshold)

s(i,j)=0;

end

end

end

for i=1:c

s(i,i)=0;

end

G= graph(s);

our_mis=maxMis(s);

is=our_mis;

is=sort(is);

n_mis=length(is);

return_ind(1:cases,1:n_mis)=0;

for i=1:n_mis

num=is(i);

for j=1:cases

return_ind(j,i)=returns_gener(j,is(i));

end

end

holdall;

p_=Portfolio();

p_=p_.estimateAssetMoments(return_ind);

p_=p_.setDefaultConstraints;

[prisk_,preturns_] = p_.plotFrontier(10);

pwvt_ = p_.estimateFrontier(10);

end



generFrontierAllStocks.m

function [preturns_gener,prisk_gener] = generFrontierAllStocks(returns_gener)

p_gener=Portfolio('Name','Stocks');

p_gener=p_gener.estimateAssetMoments(returns_gener);

p_gener=p_gener.setDefaultConstraints;

[prisk_gener,preturns_gener] = p_gener.plotFrontier(10);

pwvt_gener = p_gener.estimateFrontier(10);

holdon;

end

errorsSharpeMax.m

pears=0.6;

threshold=0.5+(1/3.1415926535)*asin(pears);

[main_mis,preturns,prisk,s]=generFrontierPearsonMax(returns_100,threshold);

true_mis(1:100)=0;

for i=1:size(main_mis,2)

true_mis(main_mis(i))=1;

end

true_mean_prisk=mean(prisk);

true_mean_pret=mean(preturns);

disp(main_mis);

fprintf ('\n Истина : %d - знакпорог (%d) , %d - риск , %d - дох-ть \n',threshold,pears,true_mean_prisk,true_mean_pret);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

N_cases_new=[50 100 150 200 250];

for i=1:5

N_cases=N_cases_new(i);

N_gener=1000;

whatDist="st";

mat_mis(1:N_gener,1:100)=0;

p_ret(1:10,1:N_gener)=0;

p_risk(1:10,1:N_gener)=0;

for i=1:N_gener

returns_gener = returnsDistib(whatDist,MU,CORR,N_cases);

[mis_,preturns_,prisk_,s_]=generFrontierPearsonMax(returns_gener,threshold);

mat_mis(i,1:size(mis_,2))=mis_;

p_ret(1:10,i)=preturns_;

p_risk(1:10,i)=prisk_;

end

mean_prisk=mean(p_risk);

mean_pret=mean(p_ret);

mean_all_prisk=mean(mean_prisk);

mean_all_pret=mean(mean_pret);

gener_mis(1:N_gener,1:100)=0;

for i=1:N_gener

for j=1:size(mat_mis,2)

if (mat_mis(i,j)~= 0)

gener_mis(i,mat_mis(i,j))=1;

end

end

end

num_error_first(1:N_gener)=0;

num_error_second(1:N_gener)=0;

for j=1:N_gener

for i=1:100

if ((true_mis(i)==0)&& (gener_mis(j,i)==1))

num_error_first(j)=num_error_first(j)+1;

end

if ((true_mis(i)==1)&& (gener_mis(j,i)==0))

num_error_second(j)=num_error_second(j)+1;

end

end

end

num_first=mean(num_error_first);

num_second=mean(num_error_second);

M2=length(main_mis);

M1=100-M2;

norm_error=1/2*(num_first/M1+num_second/M2);

fprintf ('%s Cases %d: \n %d - first kind , %d - second kind , %d - нормированнаяошибка \n %d - средняядох-ть , %d - среднийриск \n',whatDist, N_cases,num_first,num_second,norm_error,mean_all_pret,mean_all_prisk);

end

NormStudent.m

N_cases_new=[50 100 150 200 250];

for i=1:5

N_cases=N_cases_new(i);

N_gener=1000;

whatDist="norm+st";



mat_mis(1:N_gener,1:100)=0;

p_ret(1:10,1:N_gener)=0;

p_risk(1:10,1:N_gener)=0;

for i=1:N_gener

gamma=rand(1);

returns_gener = gamma*returnsDistib("norm",MU,CORR,N_cases)+(1-gamma)*returnsDistib("st",MU,CORR,N_cases);

[mis_,preturns_,prisk_,s_]=generFrontierPearsonMax(returns_gener,threshold);

mat_mis(i,1:size(mis_,2))=mis_;

p_ret(1:10,i)=preturns_;

p_risk(1:10,i)=prisk_;

end

mean_prisk=mean(p_risk);

mean_pret=mean(p_ret);

mean_all_prisk=mean(mean_prisk);

mean_all_pret=mean(mean_pret);

gener_mis(1:N_gener,1:100)=0;

for i=1:N_gener

for j=1:size(mat_mis,2)

if (mat_mis(i,j)~= 0)

gener_mis(i,mat_mis(i,j))=1;

end

end

end

num_error_first(1:N_gener)=0;

num_error_second(1:N_gener)=0;

for j=1:N_gener

for i=1:100

if ((true_mis(i)==0)&& (gener_mis(j,i)==1))

num_error_first(j)=num_error_first(j)+1;

end

if ((true_mis(i)==1)&& (gener_mis(j,i)==0))

num_error_second(j)=num_error_second(j)+1;

end

end

end

num_first=mean(num_error_first);

num_second=mean(num_error_second);

M2=length(main_mis);

M1=100-M2;

norm_error=1/2*(num_first/M1+num_second/M2);

fprintf ('%s Cases %d: \n %d - first kind , %d - second kind , %d - нормированнаяошибка \n %d - средняядох-ть , %d - среднийриск \n',whatDist, N_cases,num_first,num_second,norm_error,mean_all_pret,mean_all_prisk);

end

Data.m

load('returns_198.mat');

p=Portfolio('Name','Stocks');

p=p.estimateAssetMoments(returns_198);

p=p.setDefaultConstraints;

MU=p.AssetMean;

SIGMA=p.AssetCovar;

CORR=corr(returns_198);

Размещено на Allbest.ru